2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第2章 函數(shù)的概念及其表示

第二章函數(shù)

§2.1函數(shù)的概念及其表示

【考試要求】1.了解函數(shù)的含義.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象

法、列表法、解析法)表示函數(shù)3了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用.

■落實

【知識梳理】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)48是非空的實數(shù)集,如果對于集合/中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對

應(yīng)關(guān)系了,在集合8中都有唯一確定的數(shù)v和它對應(yīng),那么就稱力/f8為從集合/到集合8

的一個函數(shù)，記作y=/(x),x&A.

2.函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函

數(shù)稱為分段函數(shù).

【常用結(jié)論】

1.直線x=a與函數(shù)夕=火刈的圖象至多有1個交點.

2.在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集4B,4即為函數(shù)的定義域，值域為8的子集.

3.分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的

定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“丿”或“X”)

(1)若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).(X)

（2）函數(shù)y=/（x）的圖象可以是一條封閉曲線.（X）

（3?=￡°與歹=1是同一個函數(shù).（X）

X—1,

（4）函數(shù)/）=?的定義域為R.（V）

產(chǎn)，x<0

【教材改編題】

1.（多選）下列所給圖象是函數(shù)圖象的是（）

答案CD

解析A中，當(dāng)1>0時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；B中，當(dāng)

冗=》0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；CD中，每一個x的值對應(yīng)唯一的y值，因此

是函數(shù)圖象.

2.下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（）

A.y=x-1與歹=---

x+1

B.y=x~］與,=一丄

x

C.y=2正與y=2x

2J2

D.y=---與\r=-----

x-1t~\

答案D

解析y=x-l的定義域為R,~1的定義域為{x|x#—1},定義域不同，不是同一個函

x+1

數(shù)，故選項A不正確；

y=X-|=1與歹=一丄的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)，故選項B不正確；

XX

y=2G=2|x|與y=2x的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)，故選項C不正確；

y=亠與仁亠的定義域都是（一8,1）U（1,+8）,對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一個函數(shù),

X—1t—\

故選項D正確.

3.已知函數(shù)外）=則函數(shù)/（/、匕JJ等于（）

eY,%W0,

A.3B.-3C.丄D.——

33

答案c

解析由題意可知，/日=ln(=-ln3,所以71日)=/(—In3)=e-M3=：.

■探究核心題型

題型一函數(shù)的定義域

ln(x+1)

例1(1)函數(shù)y=,的定義域為()

^/―%2—3x+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)

C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+1>0,

解析由題意得?解得一1<》<1,故定義域為

—X2-3x+4>0,

⑵已知函數(shù)/(x)的定義域為(-4,-2),則函數(shù)g(x)=/(x—1)+聲踵的定義域為.

答案［-2,-1)

解析：/(x)的定義域為(-4,-2),

要使g(x)=/(x-l)+聲気有意義，

則已<1<-2,解得一2令一1,

k+22o,

二函數(shù)g(x)的定義域為[—2,-1).

思維升華(1)無論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值

集合；(2)若已知函數(shù)4)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)貝g(x))的定義域由不等式“Wg(x)Wb

求出；(3)若復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,b],則函數(shù)貝x)的定義域為g(x)在[a,句上的值域.

跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)兀0=-5—+殍二的定義域為()

ln(x—1)

A.(1,3]B.(1,2)U(2,3]

C.(1,3)U(3,+°°)D.(一8,3)

答案B

x—1>0,

解析由題意知“一1#1,

3—xNO,

所以14<2或2VxW3,

所以函數(shù)的定義域為(1,2)U(2,3].

(2)(2023?南陽檢測)已知函數(shù)外)=1g~則函數(shù)g(x)=/(x—1)+^2x—1的定義域是()

1+x

B.3}

A.{x\x>2x<0}

X

C.{x|x>2}D.{-I4}

答案B

1---Y

解析要使兀r)=lg—有意義,

1+x

1---Y

則丄—>0,

1+x

即(l-x)(l+x)>0,解得一ivxvl,

所以函數(shù)人X)的定義域為(-1,1).

要使g(x)=7(x—1)+^/2r—1有意義,

—l<x—1<1,

則

2x-l>0,

解得&x<2,

2

所以函數(shù)g(x)的定義域為J

題型二函數(shù)的解析式

例2(1)已知/(I—sinx)=cos2?x,求貝尤)的解析式；

(2)已知/1+「=/+丄，求危)的解析式；

(3)已知大x)是一次函數(shù)且3{x+l)-2/(x-l)=2x+17,求加)的解析式.

(4)已知兀0滿足2fix)+A-x)=3x,求y(x)的解析式.

解(1)(換元法)設(shè)l-sinx=f,fG[0,2],

則sinx=1~t,Vy(l—sinx)=cos2x=1—sin2x,

/⑴=1一(1一。2=2.一凡Qo,2].

即道%)=2%一4,[0,2].

(2)(配湊法)..?/("1=/+[=[+力2-2,

X2

：.J(X)=X1-29xe(-oo,-2]U[2,+8).

(3)(待定系數(shù)法)???/a)是一次函數(shù)，可設(shè)/(幻=公+伙〃#0),

：.3[a(x+l)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+\l.

即ax+(5a+b)=2x+17,

a=2,Q=2,

解得

5a+h=\79b=7.

.；危)的解析式是危)=2x+7.

(4)(解方程組法)?.?賀》)+人一x)=3x,①

...將x用一x替換，得一x)+貝x)=-3x,②

由①②解得人x)=3x.

思維升華函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法：(3)換元法；(4)解方程組法.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知兀v-l)=/+4x-5,則人x)的解析式是()

A./(x)=x2+6xB./(X)=/+8X+7

C.D./(x)=x2+6x—10

答案A

解析fix—1)—x2+4x—5,設(shè)x—1—t,x—z+1,

則貝。=(f+l)2+4(/+l)—5=?+6/,

故7(x)=x2+6x.

(2)若/日=:口，則/(x)=.

答案丄(xWO且xWl)

X—1

i

解析y(x)=--■-=awo且%wi).

11X—}

1----

X

(3)已知函數(shù)/(x)滿足J=3x,則貝2)等于()

A.-3B.3C.-1D.1

答案A

則/（xJ+2/（x）=-②

x

聯(lián)立①②解得以）=—2—X,則{2）=—2—2=—3.

x2

題型三分段函數(shù)

彳（X—|）x>0

例3⑴已知函數(shù)代）=,’貝IJ貝2024）的值為（）

—ln（x+e）+2,xWO,

A.-1B.0C.1D.2

答案C

/(x—1),x>0,

解析因為/(x)=

—ln(x+e)+2,xWO,

所以貝2024)=/2023)=/2022)="fl),

又/(D=/(l-l)=/(0)=-ln(0+e)+2=—l+2=l,所以大2024)=1.

,—工2—3xI2—]

(2)已知函數(shù)火x)=,'‘若/(。)=4,則實數(shù)a的值是_______；若大a)22,

2-3>x2-1,

則實數(shù)“的取值范圍是.

答案-2或5[-3,-1)U[4,+°0)

解析若大m=4,

宀\a<—1,a2一1,

貝小或

'1一02—30+2=42"、=4,

解得a=—2或a=5.

若/(a)22,

Ia<—I.a2一1,

則，，或

l-a2-3a+2>2―2，

解得一3Wa<-1或a24,

...a的取值范圍是[-3,-1)U[4,+8).

思維升華分段函數(shù)求值問題的解題思路

(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)人貝。))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值,

切記要代入檢臉.

x+2,xWO,

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)/(x)=若貝/(幻)=2,則。等于()

印,x>0,

.X

A.0或1B.一1或1

C.0或一2D.一2或一1

答案D

解析令兒?)=/,則/⑺=2,可得1=0或)=1,

當(dāng)1=0時,即火0=0,顯然aWO,

因此。+2=0=>。=—2,

當(dāng))=1時,即加)=1,顯然aWO,

因此〃+2=10〃=—1,

綜上所述，a=-2或一1.

10g2X,X>\t

(2)(2023?重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)｛x)=,則1)的解集為.

爐一1,xWl,

答案［"?+T

解析當(dāng)xWO時，x+lWl,

/(x)</(x+1)等價于/—l<(x+I)*2—1,

解得一LxWO；

2

當(dāng)0<xWl時，x+l>l,

此時人丁)=爐一IWO,/x+l)=log2(x+l)>0,

,當(dāng)OvxWl時，恒有人x)勺(x+1)；

當(dāng)%>1時，x+l>2,

./(X)5/(X+1)等價于10g2X<10g2(x+l),此時也恒成立.

+

綜上，不等式/(X)勺a+i)的解集為〔一3°°1

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.函數(shù)人x)=1g(x-2)+—!一的定義域是()

X—3

A.(2,+8)B.(2,3)

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+8)

答案D

解析V/(x)=lg(x-2)+-,

x—3

x—2>0,厶,

***<解仔x>2,且x#3,

%—3WO,

???函數(shù)段)的定義域為(2,3)U(3,+oo).

2.(2023?三明模擬)已知集合4={x|-2〈xWl},B={x\0<x^4},則下列對應(yīng)關(guān)系中是從集合

力到集合5的函數(shù)是()

A.f：x-^y=x+1B./：x-y=ex

C.f：x—^y=x2D.f：x-^y=\x\

答案B

解析對于A,當(dāng)x=-l時，由/：x-y=x+l得尸0,但0生8,故A錯誤；

對于B,因為從4={x|-2aWl}中任取一個元素，通過/：x-y=e'-在8={x|0<x<4}中都有

唯一的元素與之對應(yīng)，故B正確；

對于C,當(dāng)x=0時，由/：x-*y=x2得y=0,但0住8,故C錯誤;

對于D,當(dāng)x=0時，由/：xfy=|x|得夕=0,但0比8,故D錯誤.

3.已知人好）=愴》，則火10）的值為（）

A.1B.VlbC.-D.~

3加

答案C

解析令》3=10,則X=103,

?M0)=iggq

4.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿，其身流線自若、

紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù).科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其

內(nèi)注水，恰好用時30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為心注水時間為3則下面選

項中最符合厶關(guān)于f的函數(shù)圖象的是（）

答案A

解析水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗，

所以在注水恒定的情況下，開始水的高度增加的快，中間增加的慢，最后又變快,

由圖可知選項A符合.

5.函數(shù)y=1+x-\l-2x的值域為（）

解析設(shè)設(shè)=Z,貝h20,x=g—,所以丁=l+g-----z=#一1一2z+3）=—*+1>+2,

因為BO,所以z|.所以函數(shù)尸1+x—后五的值域為卜8'￡

一/+2%+3,xW2,

6.已知函數(shù)Hx）=,'''?、，（心0且。#1）,若函數(shù)危）的值域是（-8,4],則

6+log?x,x>2

實數(shù)。的取值范圍是（）

A.即應(yīng)T

C.（1）的D.（1,也）

答案B

解析當(dāng)xW2時，/（X）——x2+2x+3

=—（x-1）2+4,

當(dāng)x=l時，.危）=-7+2x+3取得最大值4,

所以當(dāng)xW2時，函數(shù)/（x）的值域是（-8,4],

所以當(dāng)x>2時，函數(shù)/（x）=6+logd的值域為（一8,用的子集,

當(dāng)a>\時,危）=6+10恥在（2,+8）上單調(diào)遞增,

此時段）M2）=6+k）ga2>6,不符合題意，

當(dāng)0q<1時，/（工）=6+108，K在（2,+8）上單調(diào)遞減，

此時Hx）q（2）=6+loga2<4,即loga2<—2,

所以“22丄，可得也

22

亞]

所以實數(shù)a的取值范圍是_2'丄

7.（多選）下列四個函數(shù)，定義域和值域相同的是（）

丄

x\x<0,

A.歹=-x+1B.y=<

~9x>°

1X

2x-l

C.y=\n\x\D.y

x~2

答案ABD

解析對A,函數(shù)的定義域和值域都是R；

對B,根據(jù)分段函數(shù)和察函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的定義域和值域都是R；

對C,函數(shù)的定義域為(-8,O)u(o,+°°),值域為R；

2r—1?

對D,因為函數(shù)、=幺一」=2+亠，所以函數(shù)的定義域為(-8,2)U(2,+8),值域為

X—2x~2

(-8,2)U(2,+°o).

所以ABD是定義域和值域相同的函數(shù).

8.(多選)函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利、歐

拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)

一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他

的變數(shù)叫做函數(shù).德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn).后人在此基礎(chǔ)上

構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)48是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法

則/,對于集合力中的每一個元素方在集合8中都有唯一的元素〉和它對應(yīng)，那么這樣的對

應(yīng)叫做從“到8的一個函數(shù)”，則下列對應(yīng)法則/滿足函數(shù)定義的有()

A.義工2)=田B./(x2)=x

C./(cosx)=xD.

答案AD

解析令f=x2(f>0),/)=|±"|=",故A符合函數(shù)定義；

令f=x2(f》0),丿(。=±叱，設(shè)1=4,八/)=±2,一個自變量對應(yīng)兩個函數(shù)值，故B不符合函數(shù)

定義；

設(shè)/=8$*,當(dāng)/=丄時，x可以取W等無數(shù)多個值，故C不符合函數(shù)定義；

23

令t=e(t>0),Xz)=lnt,故D符合函數(shù)定義.

_[cosx,x<0,卩

9.已知函數(shù)y(x)=，則/I3"IJ=________.

—7C)?X>0,

答案!

2

解析由已知得冏可圖=/(羽圖=/卜衆(zhòng)」一髄

10.已知/(4)=x-l,則貝x)=.

答案x2-1(x^0)

解析令，=衽，則。0,x=t2,

所以人。=尸一1。20),即貝刈=爐一l(x20).

11.已知函數(shù)貝X)的定義域為[-2,2],則函數(shù)g(x)=/(2x)+q匸區(qū)的定義域為.

答案[T,0]

|-2W2iW2,

解析由條件可知，函數(shù)的定義域需滿足，

|_1一2后0,

解得一1WxWO,

所以函數(shù)g(x)的定義域是[―1,O].

2》+3工>0

'''若/S)=5,則實數(shù)Q的值是__________;若/(/S))W5,則

{X2—4,xWO,

實數(shù)。的取值范圍是.

答案1或一3[一$,-1]

解析①當(dāng)“>0時，2"+3=5,解得。=1；

當(dāng)“W0時，a2—4=5,解得a=—3或。=3(舍).

綜上，a—1或一3.

②設(shè)f=/(a),由次。<5得一3W/WI.

由一3Wy(a)Wl,解得一—1.

立綜合提升練

13.(2022?廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足，貝1—x)+"(x)=x2+l,則大1)等于()

A.-1B.1C.——D.—

33

答案B

解析?.?定義在R上的函數(shù)人均滿足，.★1-x)+〃W=K+l,

...當(dāng)x=0時，/(1)+〃0)=1,①

當(dāng)x=l時，貝0)+〃(1)=2,②

②X2一①，得訓(xùn)1)=3,解得次1)=1.

(x+3,x這0,

14.(2023?南昌模擬)已知函數(shù)外)=:「若{a—3)=次。+2),則大〃)等于()

Nx,x>0,

A.2BSC.1D.0

答案B

解析作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示.

因為貝。-3)=/(a+2),且3<。+2,

a—3W0,

所以?即一2<〃43,

a+2>0,

此時貝。-3)=。-3+3=。，沢。+2)=4而，

所以a=++2,即。2=°+2,

解得。=2或。=一1(不滿足。=正直，舍去),

則/(a)=/.

R拓展沖刺練

15.VxeR,用