2023年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)和考生號(hào)填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每到小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

設(shè)集合2則（）

1.∕={X∣X-2X-3≤0},B={Χ∣-1->Q},4UB=

A.{2,3}B.[-3,+8）C.[2,3]D.[-L+∞）

2.復(fù)數(shù)坦的虛部為（）

l-i

A.IB.-IC./D.-i

3.校運(yùn)會(huì)期間，要安排4名志愿者參加跳高、跳遠(yuǎn)、接力賽三個(gè)項(xiàng)目的保障工作，要求每

個(gè)項(xiàng)目至少安排1名志愿者，每位志愿者只參加一個(gè)項(xiàng)目，則所有不同的安排方案有

（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

4.某同學(xué)畫''切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫

做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個(gè)橢圓（如圖所示）.若該同學(xué)所畫的

橢圓的離心率為工，則“切面”所在平面與底面所成的角為（）

?KK6兀C兀

A.dB.C?D.

12643

5.在448C中，若taM+tanB+J^=J4，則tan2C=()

A.-2√2B.2√2c.-2√3D,2√3

第1頁共20頁

6.過點(diǎn)尸(4,0)作圓O：/+/=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為/,B.若直線/8與拋物線

J2=4X交于C,D,則ICZ)I=()

A.4√3B.2√3C.2D.4

/y2?/?

7.已知H,尸2是雙曲線C：靛一金=1(。>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)FI且斜率為W

的直線交y軸于點(diǎn)N,交雙曲線右支于點(diǎn)若∣Λ∕N]=∣F2N∣,則雙曲線C的離心率為

()

A.√2B.√3C.2D.√5

8.若存在實(shí)數(shù)X,y滿足/“X-x+32d'+/，，則()

A.-IB.0C.1D.e

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.若數(shù)列｛a,J是等比數(shù)列，則()

A.數(shù)列Q｝是等比數(shù)列

an

B.數(shù)列｛版“｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛即+即+1｝是等比數(shù)列

D.數(shù)列｛“∕｝是等比數(shù)列

(多選)10.己知函數(shù)/(x)=2SinrCOSx+2J^Sin2x?則()

A./(x)的最小正周期為n

B.(?,0)是曲線/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

C.X=會(huì)是曲線/(x)的一條對(duì)稱軸

D./(x)在區(qū)間(工，亞)上單調(diào)遞增

612

(多選)11.已知橢圓C："0+,4=1是直線y=χ+ι交于/,B兩點(diǎn),且AB=，M

3

工)為月8的中點(diǎn).若P是直線18上的點(diǎn)，貝IJ()

33

A.橢圓C的離心率為近

2

B.橢圓C的短軸長為√E

C.0A?0B=-3

第2頁共20頁

D.P到C的兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為2√2

(多選)12.若(I-X2)2022—αθ+6f1χ+α2χ2+...+Q4044χ4044,則()

A.ao=l

2022

b

?∑a2i=0

i=0

4044

C.￡(ia21^1)=4044×32021

i=l?

2022

D"nD'院22)"-，器

1=0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知y=∕(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=IogK,則f(-κ∕5)=.

14.老師要從6篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能

及格.某位同學(xué)只能背出其中的4篇，則該同學(xué)能及格的概率是.

15.已知等差數(shù)列｛”,,｝的公差為力前〃項(xiàng)和為S),試寫出‘'SIO+S2>2SU”的一個(gè)充分不

必要條件：.

16.在棱長為√E的正方體/8CD-381C1O∣中，P為側(cè)面8CC∣8ι內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線小產(chǎn)

與的夾角為30°,則點(diǎn)尸的軌跡長為；若點(diǎn)出與動(dòng)點(diǎn)P均在球。表面上，

球O的表面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在BC中,角4B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,且2c-α=2bcosN.

(1)求8；

(2)若M是NC的中點(diǎn)，且6=2,在下面兩個(gè)問題中選擇一個(gè)進(jìn)行解答.

①求4∕8Λ∕面積的最大值；

②求的最大值.

fan+l,n為奇數(shù)

18.(12分)已知數(shù)列｛斯｝滿足αι=0,￠7,,+1=JtoM2i,?記b"=a2∏.

2an,n為偶數(shù)

(1)寫出加，b2,并證明：數(shù)列｛b"+l｝是等比數(shù)列;

(2)若數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為加，求數(shù)列｛<?｝的前20項(xiàng)的乘積720.

19.(12分)如圖，在長方體N8C0-∕∣8ιCιG中，已知∕8=8C=2,44ι=4,P為棱BBl

的中點(diǎn)，平面以IC與平面/8CZ)的交線為/.

第3頁共20頁

(1)證明：BD//1；

(2)求二面角C-MP-8的正弦值.

20.(12分)為進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)習(xí)教育活動(dòng)的深入進(jìn)行，某單位舉行了黨史知識(shí)競賽.規(guī)

定：①競賽包含選擇題和填空題2種類型，每位選手按照先回答選擇題后回答填空題的

順序進(jìn)行，每次答題結(jié)果正確與否相互獨(dú)立；②選擇題包含3道題目，若前兩道均回答

正確，則終止選擇題解答，進(jìn)入填空題解答，否則需要回答3道選擇題；③填空題也包

含3道題目，若第一道填空題回答正確，且連同選擇題共答對(duì)3道題目，則結(jié)束答題，

否則需要解答完3道填空題；④若整個(gè)競賽中答題總數(shù)為3道，則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為

100元；若答題總數(shù)為4道或5道，則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為50元；其余情況獲參與獎(jiǎng)，

獎(jiǎng)金為20元.現(xiàn)有該單位某員工參加比賽，已知該員工答對(duì)每題的概率均為2.

3

(1)求該員工獲得一等獎(jiǎng)的概率；

(2)判斷該員工獲得獎(jiǎng)金的期望能否超過50元，并說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=阮什旦，其導(dǎo)函數(shù)為/(x).

X

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)α的值；

(2)若/(Xl)=f(X2)(XlrX2)，證明：/(XI)+f(X2)>3-

a

22

22.(12分)已知雙曲線C：二_2_=1(α>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為/(-1,0),

B(1,0),兩條準(zhǔn)線之間的距離為1.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若點(diǎn)P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線以與C交于/,/W,直線P8與C交于8,M求點(diǎn)

B到直線MN的距離的最大值.

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2023年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)和考生號(hào)填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考答案與試題解析

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每到小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

2

1.設(shè)集合N={X∣X-2X-3W0},B={x∣-?->0}-貝!U8=()

A.{2,3}B.[-3,+8)C.[2,3]D.[-1,+∞)

解：A={X?X2-2x-3≤0}={x∣-l≤x≤3},

B={xI=?>0}={小>2},

貝∣J4U8=[-1,+8),

故選：D.

2.復(fù)數(shù)工巨的虛部為()

1-i

A.1B.-1C.iD.-i

解.??l+i=>+D?2i

,

1-i(1-i)(l+i)-2=1

.?.復(fù)數(shù)坦的虛部為1.

1-i

故選：A.

3.校運(yùn)會(huì)期間,要安排4名志愿者參加跳高、跳遠(yuǎn)、接力賽三個(gè)項(xiàng)目的保障工作，要求每

個(gè)項(xiàng)目至少安排1名志愿者，每位志愿者只參加一個(gè)項(xiàng)目，則所有不同的安排方案有

()

A.18種B.24種C.36種D.48種

解：由題意先選出2名志愿者參加一個(gè)項(xiàng)目的保障工作，另外兩名志愿者分別參加剩下

的兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)項(xiàng)目的保障工作，

第5頁共20頁

可得：CfAW=36種,

故選：C.

4.某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫

做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個(gè)橢圓（如圖所示）.若該同學(xué)所畫的

橢圓的離心率為工，則“切面”所在平面與底面所成的角為（）

2

A.2LB.2Lc.2LD.2L

12643

解：設(shè)橢圓與圓柱的軸截面如圖所示，DELBC,則NCDE為“切面”所在平面與底面

所成的角，設(shè)為心

設(shè)圓柱的直徑為2人則S為橢圓的長軸24,短軸為OE=2r

則橢圓的長軸長2α=∣CD∣=—AL.,COs。=三，短軸長2∕>=2r,

cosθa

c22

則=√a-b'

故選：B.

5.在C中，若tan∕+tan8+則tan2C=()

A.-2√2B.2√2c.-2√3D,2√3

解：因?yàn)閠arL4+ta∏β=√2taιυ4tan5-Λ∕2=Λ∕2(tan4ta∏β-1),

第6頁共20頁

所以tan(4+8)=tanA+tanB=，2(tanAtanB-l)=-泥,

1-tanAtanB1-tanAtanB

所以tanC=tan[π-(4+B)]=-tan(A+B)=V

所以tan2C^2tanC2√2=_2??.

l-tan2C1-(V2)

故選:A.

6.過點(diǎn)尸(4,0)作圓。/+產(chǎn)=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B.若直線N8與拋物線

J2=4X交于C,D,則ICZ)尸()

A.4√3B.2√3C.2D.4

解：以線段。尸為直徑的圓的方程為X(χ-4)+y2=0,

與圓。的方程H+y2=4相減，得x=l,即直線力B的方程為：x=l,

(X=I

直線/8與拋物線∕=4x交于C,D,由I可得>=土2,

.y'=4x

.?.∣CD∣=2+2=4.

故選：D.

X2y2V3

7.已知尸1,乃是雙曲線C：/-記=1(α>0,?>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)91且斜率為三

的直線交N軸于點(diǎn)N,交雙曲線右支于點(diǎn)若IMM=IF22，則雙曲線C的離心率為

()

A.√2B.√3C.2D.√5

解：因?yàn)镹在y軸上，所以INFlI=IFW]=∣MM,所以為直角三角形,

即MF2-LQF2且N是MF?的中點(diǎn)，

所以IMF2∣=",又IFlF2l=2c，AJWFI=孚=IMd,

所以有2ac=V5b2,2ac=V3(c2-02),

解得e=5=Vl

a

故選：B.

y

8.若存在實(shí)數(shù)X,y滿足歷X-X+328+&9則x+y=()

A.-1B.0C.1D.β

解：令/(x)=GX-X+3,則1(X)=I=

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

第7頁共20頁

所以/(x)m0χ=/(1)=/〃1-1+3=2,

令g(y)=縝+門，則以+02,當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)取等號(hào)，

又Inx-x+3^ey+ey,所以-》+3=/+1)'=2,

所以X=1,y=0,x+y=I,

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.若數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，則()

A.數(shù)列Q｝是等比數(shù)列

an

B.數(shù)列｛h〃｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛α,,+α,,+ι｝是等比數(shù)列

D.數(shù)列｛“/｝是等比數(shù)列

解：由題意得一^?≡-=l,(?≠0),

an-l

1

A：-1≡-?L=1,故數(shù)列耳_｝是等比數(shù)列，/正確；

-------a?iqan

an-l

B：當(dāng)Z=O時(shí)，8顯然不成立；

C：當(dāng)〃“+即+ι=0時(shí)，C顯然不成立；

2

D?.?-?(&_)2=/,故數(shù)歹Ij｛o∕｝是等比數(shù)列.

a

n-larι-l

故選：AD.

(多選)10.已知函數(shù)/(x)=2SirLrCOSx÷2%si門2口則()

A.f(x)的最小正周期為π

B.(?,0)是曲線/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

C.乂=會(huì)是曲線/(x)的一條對(duì)稱軸

D./(x)在區(qū)間(工，??)上單調(diào)遞增

612

第8頁共20頁

解：f（x）=2SinxCOSXsin2x=sin2X-V^Cos2x+√^=2sin（2x--?）+Vs?

3

可得/（x）的最小正周期為T=等=n,A正確：

/'（?）=2Sin（2X型-工）+√3=√3-可得（生，√3）是曲線/（x）的一個(gè)對(duì)稱

6636

中心，B錯(cuò)誤；

令ix-2L=2L+?ττ/wz,解得x=ΣΞ-+Js2L,?∈z,%=-1時(shí)，x=-2L,可得X=工

321221212

是曲線/（x）的一條對(duì)稱軸，。正確；

由-2L<2X-2L<2L,可得-2L<x<^2L,可得了（》）在（-2L,IZL）上單調(diào)

23212121212

遞增，。正確.

故選：ACD.

（多選）11.已知橢圓C：機(jī)』+〃/=1是直線y=χ+ι交于/,8兩點(diǎn)，且/8=切反，M

3

（一2,工）為N8的中點(diǎn).若P是直線/8上的點(diǎn)，則（）

33

A.橢圓C的離心率為亞

2

B.橢圓C的短軸長為√E

C.0A-^0B=-3

D.尸到C的兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為K歷

解：設(shè)/（XI，??）,B（X2,”），則可得N8的中點(diǎn)為：（ELH2,7/也）,

22

71+?2

由題意可得X.!.+X2.=-2,.=A,

2323

’22

mx1+ny1=1

將4,8的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得1?,作差可得用（XI2-X22）+〃⑶，

22

mx2+ny=1

-yι2）=0,

整理可得：.ylΞy2=/心1+"2,,而由題意可得ZIIz2=ι,

×1-X2∏（Yi+￥2）×ι~×2

所以可得叫=-—~~^?=-（--）=—9

n×ι+x222

即n=2m,

第9頁共20頁

y=χ+l

聯(lián)立，，整理可得：3"7x2+4mx+2m-l=0,

,mx"+2my=1

貝IJχ∣+χ2=-—fXlx2=2正—1,

33m

所以弦長48=7^.\區(qū)+*2)2_4乂/廣揚(yáng)樽_4.^^=呼

解得機(jī)=工，"=上，

63

22

所以橢圓的方程為：三—+匚=1；

63

所以N正確,

短軸長26=2?,所以8不正確;

OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+x1x2+x1+x2+l=2XIX2+XI+X2+1=2?(--)+(-?)+1=-3,

33

所以C正確;

設(shè)左右焦點(diǎn)為Fl(-√3.0),F2(√3.0),因?yàn)槭?8上,

設(shè)Q(-百，0)關(guān)于直線/8的對(duì)稱點(diǎn)為E(e,/),

則，解得e--?,f-?-V3,

即E(-1,1-√3).

則IPnI=IPE|,∣PF1∣-?PF2?=?PE?-∣PF2∣≤∣EF2∣,

當(dāng)且僅當(dāng)尸，E,用三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以IPFlI-IPP2|的最大值為IEF2|=

V(√3-1)2+(1-A∕3)2=2^2>故。正確,

故選：ACD.

2

(多選)12.若(1-X)2θ22="o+mχ+α2χ2+…+α4044χ4044j則()

A.ao=1

2022

b

?∑a2i=o

i=0

第IO頁共20頁

4044

C.E(ia21^1)=4044×32021

i=l?

2022

D.y(-↑}i(Ci}2_1011

乙,”“2022/=cυ2022

1=0

解：Z選項(xiàng)：X=O時(shí)，l=αo,4對(duì)；

8選項(xiàng)：X=I時(shí)，O=QO+αi+02+…+44044，①

X=-1時(shí)，O=QO-。1+。2+…+?4044，②

①+②，0=。0+。2+〃4+…+。4044，8對(duì).

220222++4044,

C選項(xiàng)：(I-X)=a0+a1x+a2X?"a4044x

2202124043

求導(dǎo)得，2022(-2x)(l-x)=aι+2a2x+3a3x+???+4044a4044χ-

202124043

x=2時(shí),2022×(-4)×￠-3)=a1+2a2-2+3a3?2+-+4044-a4044?21

4044

202111

8088×3=∑iai2^>

i=l

。選項(xiàng)：(1-工2)2022=(1+冗)2022.(I-X)2022,

2+4044

>(a0+a1x+a2x+???a4044x)

∕ir,0,∩1,z∏22..>->20222022、/j∏O,1,r22..r20222022

kυ2022υ2022xυ2022xυ2022x20222022xu2022xυ2022x

比較兩邊/。22的系數(shù)

2022

==(C°)2-(Cl)2+…-(「2021)2+(「2022)2=T)2ClOIl

a2022^lz2022)~2022/^2022/kt,2022)乙\"klz2022)υ2022

i=0

,。對(duì).

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知y=∕(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=Iogzr,則f(-2λ回)=-3.

2

解：y=f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=IogK,

WJf(-2√2)=-/(2√2)=-log22√2=-?

2

第11頁共20頁

故答案為：-3.

2

14.老師要從6篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能

及格.某位同學(xué)只能背出其中的4篇，則該同學(xué)能及格的概率是

5

解：由題意：隨機(jī)抽3篇不同的課文中至少要背出其中2篇才能及格，分類討論：--種

情況為從能背出其中的4篇中選2篇，再從他不會(huì)背的2篇中選一篇；

另一種情況為從能背出其中的4篇中選3篇.從6篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同

學(xué)背誦，共有C需種選法.

?+C3

.??該同學(xué)能及格的概率是=」-?~生=9，

C35

υ6

故答案為：1.

5

15.已知等差數(shù)列｛“”｝的公差為4,前〃項(xiàng)和為S“試寫出''SIO+512>2SII"的一個(gè)充分不

必要條件：d=l(答案不唯一).

,

解：當(dāng)d=l時(shí)，Sιo+Si2-2Su=10m+45+12αι+66-2(llαι+55)=l>0,ΛSιo+5ι2>25ι∣:

當(dāng)d=2時(shí),Sιo+5∣2-25∏=10αι+90+12αι+132-2(llαι+110)=2>0,Λ5IO+S12>2SIB

：.d=\是Sιo+Si2>2Sιι的一個(gè)充分不必要條件.

故答案為："=1(答案不唯一).

16.在棱長為√3的正方體N8CD-∕ι8ιCιOι中，尸為側(cè)面8。。團(tuán)內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線小P

與ZB的夾角為30°,則點(diǎn)P的軌跡長為_2L_；若點(diǎn)/1與動(dòng)點(diǎn)P均在球。表面上，

2

球。的表面積為_」反兀_.

3

(1)P與48的夾角為30°，AB∕∕A?B?,

第12頁共20頁

.?.∕1尸與小81的夾角為30°,

即N8ι∕ιP=30°,

?.118ι,平面BCC?B?,

則PBl當(dāng)AIBI=1，

O

...尸點(diǎn)軌跡長度工1二?:

22

(2)'CA?B?LB?P,Aι,P都在球。上,

O在A?B?上，

令半徑為R,A1O=R.B10=√3-R>

0P2=l+(√3-R)2=R2'

S=?πR2=4打母=粵匚

eO

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在BC中,角4B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,且2c?-α=26cos/.

(1)求8；

(2)若M是NC的中點(diǎn)，且b=2,在下面兩個(gè)問題中選擇一個(gè)進(jìn)行解答.

①求4/8M面積的最大值；

②求8/W的最大值.

222

解：(1)在AZBC中，由余弦定理，得CoSZ=b+c-a,

2bc

,2.2_2

因?yàn)?c-α=2bcos4,所以2c-"=29°十￡一七，

2bc

化簡得b2=a2+c2-ac,

2221

所以COSB=~~~——=?,

2ac2

又因?yàn)?<8Vττ,

所以B=—.

3_

(2)若選①，因?yàn)镸是ZC的中點(diǎn)，所以Sy2"=4dBC=LχL<αcsin5=Y^

一2228

在AABC中，由余弦定理，得b2=a2+c2-2αccos8,

第13頁共20頁

所以22-a2+c2-2ac~X--a1+c2-ac^2ac-ac—ac,

2

所以αcW4,當(dāng)且僅當(dāng)α=c=2時(shí)等號(hào)成立，

所以a∕8Λ∕的面積的最大值是近.

2

若選②，在△力Be中，由余弦定理，得后=α2+c2-IaccosB,

所以22=a2+c2-2ac×-=a1?^c2-ac,

2

22

所以a+c=4+ac9

因?yàn)?是ZC的中點(diǎn)，所以前=工（語前），

2

所以靛=工（前+配2+2就?安）=1（c2+a2+ac）=?‰c+1,

442

因?yàn)閠z2+c2=4+^c≥2ac,所以（7C≤4,

所以靛＜3,當(dāng)且僅當(dāng)α=c=2時(shí)等號(hào)成立..

所以8〃的最大值是√5.

為奇數(shù)

"ran+l,n

18.（12分）已知數(shù)列｛斯｝滿足m=0,an+?=i.iΞbn=aιn.

為偶數(shù)

2an,n

（1）寫出bi，b2,并證明:數(shù)列｛瓦+1｝是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列｛c11｝的前n項(xiàng)和為bn,求數(shù)列｛cn｝的前20項(xiàng)的乘積T20.

（1）證明：因?yàn)閙=0,所以Aj=ɑ2=aι+l=l,b2=α4=α3+l=2重+1=3；

因?yàn)閎n=ain^

所以b〃+l=。2〃+2=。[（2〃+1）+1]=。2〃+1+1=2。2〃+1=2b〃+l,

所以狐∏+1=2加+2=2（6w+l）,

h+1

又因?yàn)?1+1=2,所以上1一=2，

bn+l

所以數(shù)列｛加+1｝是等比數(shù)列.

(2)因?yàn)樨?1=2X2n^l=2n?

所以bn=2ll-l,

當(dāng)n=?時(shí)，cι=6ι=l,

當(dāng)〃》時(shí)，nn1n1

2cn=bn-bn-1=(2-l)√2--l)=2^'

第14頁共20頁

n1

綜上可知，r=o">

所以T-Q+1+2+3+…+19_019。.

?20-zCI-N

19.(12分)如圖，在長方體/88-∕∣8ιCiZh中，已知∕8=8C=2,44ι=4,P為棱BBl

的中點(diǎn)，平面RlIC與平面/8CA的交線為/.

(1)證明：BD//1；

(2)求二面角C-∕ιP-5的正弦值.

解：(1)證明：在平面∕88ι∕∣中，延長小尸與/8交于點(diǎn)E,連接CE,

因?yàn)?1P∩∕8=E,所以E是平面RiIC與平面的交點(diǎn)，所以/=CE,

在長方體/8C。-ZiBiCiDi中，AAi〃BBi,

在三角形/ME中，因?yàn)镻為棱881的中點(diǎn)，AA}∕∕PB,

所以8為棱/E的中點(diǎn)，

所以。C在長方體山CQi中，CD//AB且Cz)=48,

所以CD〃BF且CD=BE,所以四邊形BECO是平行四邊形，

所以8￡>〃CE,即8?！?；

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-χyz,

第15頁共20頁

則/(2,O,O),A?(2,O,4),P(2,2,2),C(O,2,O),

在長方體［8CZ)-mBiCiA中，D4_L平面Z8814

所以X=(2,0,0)是平面小P8的一個(gè)法向量，

設(shè)W=(x，Y>Z)為平面'1PC的法向量，

因?yàn)椴?(0,2,-2),CP=(2,0,2)，

由二疝=0,n+CP=0,得2y-2z=0,2x+2Z=0，

取x=l,所以W=(l,-1,-I)為平面小PC的一個(gè)法向量，

記一面角C-NiP-8的平面角為α,

因?yàn)閏os(DA，n/=可'

所以Sina=J1-

YeO

即二面角C-AIP-B的正弦值為近.

3

20.(12分)為進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)習(xí)教育活動(dòng)的深入進(jìn)行，某單位舉行了黨史知識(shí)競賽.規(guī)

定：①競賽包含選擇題和填空題2種類型，每位選手按照先回答選擇題后回答填空題的

順序進(jìn)行，每次答題結(jié)果正確與否相互獨(dú)立；②選擇題包含3道題目，若前兩道均回答

正確，則終止選擇題解答，進(jìn)入填空題解答，否則需要回答3道選擇題；③填空題也包

含3道題目，若第一道填空題回答正確，且連同選擇題共答對(duì)3道題目，則結(jié)束答題，

否則需要解答完3道填空題；④若整個(gè)競賽中答題總數(shù)為3道，則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為

第16頁共20頁

IOO元；若答題總數(shù)為4道或5道，則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為50元；其余情況獲參與獎(jiǎng),

獎(jiǎng)金為20元.現(xiàn)有該單位某員工參加比賽，已知該員工答對(duì)每題的概率均為2.

3

(1)求該員工獲得一等獎(jiǎng)的概率：

(2)判斷該員工獲得獎(jiǎng)金的期望能否超過50元，并說明理由.

解：(1)記該員工獲得一等獎(jiǎng)為事件

則P(A)=I?×?∣X、嵯■.

(2)記答題總數(shù)為X,則X的所有可能取值為3,4,5,6,

O

P(X=3)=P(A)~

P(X=4)=C?×f×f×∣?

991A

P(X=5)FXWX?w十萬'

OOOCt\

216429

P(X=6)=1-(P(X=3)÷P(X=4)+P(X=5))=—焉喏得分

ZIOlZIOl

該員工獲得獎(jiǎng)金為K

則P(Y=IOo)=P(X=3)哈，

OO

P(Y=50)=P(X=4)+P(X=5)卷，

ol

29

P(Y=20)=P(X=6)~

Ol

期望E(X)*X100皤X50+∣∣?X20=?^L>50，

Z(ololol

即該員工獲得獎(jiǎng)全的期望超過50元.

21.(12分)已知函數(shù)［(x)=lnx+±,其導(dǎo)函數(shù)為/(x).

X

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)α的值；

(2)若/'(XI)=/(X2)(X1WX2)，證明：/(Xl)V(X2)>3-L.

又../(I)=/〃l+；=a，

：.f(.X)在X=I處的切線方程為y=(1-α)(χ-1)+a,

把。(0,0)代入y=(1-α)(χ-l)+a,

第17頁共20頁

得Q-1+Q=0,EPa=-↑

2

(2)證明：?.?f,(χ1)?-?,f'(x2)?-?.K/(XI)=/S)

xx

lx12X2

(x1≠x2),

Vxi≠X2,?*?a(-?--f??-)=V則Q>0?

xlx2

-4,

?f(x1)+f(x2)=Inx?I+InX2^"^=ln(x1x2)+1

xlx2

?a，X1x2>4/.

.?./(XI)(X2)=山(XIX2)+1>//7(4。2)+1.

設(shè)g(a)=ln(4a2)d-2=21naJ+21n2-2，

aa

貝∣Jg'(Q)――L=2gT,

λaa2a2

當(dāng)06(0,?)時(shí)，g'(a)<0,g(α)單調(diào)遞減，

2

當(dāng)a6(?,+∞)時(shí)，g'(α)>0,g(a)單調(diào)遞增，

2

當(dāng)a=/寸，g(a)jnιn=g(/)=0'

]n(4a2)+?^-2>0,即(4『)+1>3-A.

aa