2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬匯編 第四講 圖形的性質(zhì)(二)

第四講圖形的性質(zhì)（二）

一、平行線的性質(zhì)（共1小題）

1.（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若/1=55°,

二、全等三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

2.（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在△A8C中，AB=AC,是△A8C的外接圓，CD是。。

的切線，C為切點,且CD=CB,連接40,與OO交于點E.

（1）求證AD—AB-,

（2）若4E=5,BC=6,求。。的半徑.

3.（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，點。在線段A8上，AB^BC^CD,AE//CD.BE與CD相

交于點F,NABE=NBCD.

（1）求證：BE=CD-,

（2）若NBCD=20°,求NADE的度數(shù).

三、線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）

4.（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AHLBC,垂足為4,且BH=CH,E為

54延長線上一點，過點E作EFLBC,分別交BC,AC于F,M.

（1）求證/B=/C；

（2）若AB=5,AH=3,AE=2,求MF的長.

四、等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）

5.（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，已知等腰△ABC一腰上的中線BQ把這個三角形的周長分成

12cM和21c7〃兩部分，求這個等腰三角形的底邊BC的長.

五、勾股定理的逆定理（共1小題）

6.（2022?鼓樓區(qū)一模）在平面直角坐標系中，AABC的頂點坐標分別為A（-2,0）,B（8,

0）,C（0,4）.用兩種方法證明NACB=90°.（寫出必要的推理過程）

六、三角形綜合題（共2小題）

7.（2022?鼓樓區(qū)二模）藏寶地之謎.

從前，一個年輕人在他先祖的遺物中發(fā)現(xiàn)了一張記錄著藏寶地的羊皮紙，上面寫著：

某荒島上有一株橡樹A和一株松樹B,還有一座木樁P,從木樁P走到橡樹A,記住所

走的步數(shù)，到了橡樹A向左拐個直角再走這么多步，在這里打個樁，記為C從木樁尸

再朝松樹B走去，記住所走的步數(shù)，到了松樹B向右拐個直角再走這么多步，在這里也

打個樁，記為D樁C,。的正當中就是寶藏的位置Q.

根據(jù)指示，這個年輕人找到了荒島上的橡樹和松樹，但可惜木樁已腐爛成土，一點痕跡

也看不出了.他只能亂挖起來，但是地方太大了，一切只是徒勞，他只好抱憾而歸.

聰明的讀者，你有辦法找到寶藏嗎？

不妨任取一個位置作為P,根據(jù)材料畫出如圖.

（1）以A8的中點為坐標原點，以直線AB為x軸、以AB的垂直平分線為y軸建立平面

直角坐標系.不妨設(shè)點B的坐標為（10,0）.

①若尸的坐標為（6,10）,則。的坐標為；

②若尸的坐標為（-4,8）,則。的坐標為；

（2）猜想當戶在不同位置時，。的位置是否隨之變化.

（3）寫出證明（2）中猜想的思路.

（4）將材料中兩處“再走這么多步”同時改為,可使（2）中的猜想仍然成立.

8.（2022?秦淮區(qū)校級模擬）（1）如圖①，O為等邊三角形ABC內(nèi)一點，0A=3,。8=4,

OC=5.求N4OB的度數(shù).（提示：可將△408繞點A旋轉(zhuǎn)到△4PC）

（2）在圖②中，用尺規(guī)作等邊三角形ABC,使點A,B,C分別落在三個圓上.（保留作

圖的痕跡，寫出必要的文字說明）

（3）如圖③，直線?！╞〃c.怎樣找到等邊三角形ABC,使點A,B,C分別落在三條直

線上？用尺規(guī)作出該三角形.（保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明）

b

③

①

七、平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）

9.（2022?玄武區(qū)一模）在口A5CZ）中，E,F分別是AB,CQ的中點，連接2凡DE,M,N

分別是BF,OE的中點，連接EM,FN.

（1）求證：四邊形8FDE是平行四邊形；

（2）若AB=12,EM=EN=5,則四邊形ABC￡＞的面積為

八、菱形的性質(zhì)（共2小題）

10.（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，菱形ABC。的對角線AC=4a〃，把它沿對角線AC方向平

移\cm得到菱形EFGH,則圖中陰影部分圖形的面積與四邊形EMCN的面積之比

為?

11.（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，在菱形ABCO中，E、尸分別是BC、0c的中點.

（1）求證：NAEF=NAFE；

（2）若菱形48C。的面積為8,則尸的面積為

九、菱形的判定（共3小題）

12.（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，OE是△ABC的中位線，延長。E至點凡使EF=DE,連

接AF,CF,AD.

（1）求證：四邊形A8O尸是平行四邊形；

（2）要使四邊形AQCF是菱形，△ABC的邊需要滿足的條件是.

13.（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，在四邊形ABC。中，點E,尸分別在邊BC,CD±,連接

AE,AF,已知△AAE'空△AQF.

（1）若AO〃BC,求證：四邊形A8C。是菱形；

（2）以下條件：?ZBAD^ZBCD；②AB=C￡>；③BC=C￡>.如果用其中的一個替換（1）

中的“AO〃BC”，也可以證明四邊形ABC。是菱形，那么可以選擇的條件是（填

寫滿足要求的所有條件的序號）.

14.（2022?南京一模）如圖，在。A8C。中，E、尸分別是A8、8的中點，AF與CE相交

于點G,CE與8F相交于點

（1）證明：四邊形EHFG是平行四邊形：

（2）當具備怎樣的條件時，四邊形EHFG是菱形？請直接寫出條件，無需說明

理由.

一十.矩形的性質(zhì)（共1小題）

15.（2022?南京一模）如圖，在矩形488中，點E,尸分別在4￡>,8C上，且AE=CK直

線EF分別交BA,OC的延長線于點G,H.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若48=4,BC=8,當AE的長為時，四邊形是菱形.

G

一十一、矩形的判定(共2小題)

16.(2022?玄武區(qū)二模)如圖，在平行四邊形ABCQ中，E是AD的中點，連接CE并延長,

與BA的延長線交于點F.

(1)求證EF=EC；

(2)連接4C,DF,若4c平分求證：四邊形AC￡?F為矩形.

17.(2022?秦淮區(qū)校級模擬)如圖，D,E分別是aABC的邊A8,AC的中點，CF//AB,

CF與OE的延長線相交于點凡連接AF、CD.

(1)求證：四邊形AOCF是平行四邊形；

(2)當△A8C滿足什么條件時，四邊形ADC尸是矩形？為什么？

A

一十二、正方形的判定（共1小題）

18.（2022?南京二模）如圖，在四邊形A8CD中，AB=AD,CB=CD,對角線AC、BD交

于點O,過點B作BE〃C。交AC于點E,連接。E.

（1）求證：四邊形8C￡>E為菱形；

（2）若AB=5,E為AC的中點，當BC的長為時，四邊形BCQE為正方形.

一十三、四邊形綜合題（共3小題）

19.（2022?建鄴區(qū)一模）如圖①，在四邊形ABCD中，AB^AD=5,8c=8=5百，ZB

=90°.點M在邊A。上，AM=2,點N是邊BC上一動點.以MN為斜邊作RtZ\MYP,

若點P在四邊形ABCD的邊上，則稱點P是線段MN的“勾股點

（1）如圖①，線段MN的中點。到8c的距離是.

A.痘8.5C.3D.273

2

（2）如圖②，當AP=2時，求BN的長度.

（3）是否存在點M使線段MN恰好有兩個“勾股點”？若存在，請直接寫出8N的長

度或取值范圍；若不存在，請說明理由.

20.(2022?鼓樓區(qū)一模)一道作圖題：“求作一個DABCD,使得點4與邊BC的中點E的連

線平分/BAD”

小明的思考：在不明確如何入手的時候，可以先把圖描出來，接著倒過來想它有什么性

質(zhì).

例如，假設(shè)QABC。即為所求作，則AD〃BC,

:.NDAE=NBEA.

又4E平分/BAO,

:.NBAE=NDAE.

:.NBAE=NBEA.

J.BA^BE.(①)

是邊BC的中點，

再倒過來，只要作出的cABCO滿足BC=?BA即可.

(D填空：①(填推理依據(jù))；②.

(2)參考小明的思考方式，用直尺和圓規(guī)作一個oABCD,使得點A與邊BC的中點E

的連線與對角線BO垂直；(要求：保留作圖的痕跡，無需寫出文字說明.)

(3)問題(2)所作的nABCD中的BC和54是否也有和(1)類似的數(shù)量關(guān)系？設(shè)BC

=kBAa是常數(shù))，若%是定值，直接寫出k的值；若不是，試直接寫出k的取值范圍.

BEC

21.（2022?建鄴區(qū)二模）在平面直角坐標系中，一動點P（x,y）從點M（1,0）出發(fā)，沿

以A(-1,1),8(-1,-1),C(I,-1),￡)(1,1)四點為頂點的正方形的邊(如

圖1）按一定方向運動（1個單位長度代表1米）.

圖2是點尸運動的路程s（米）與運動時間，（秒）之間的函數(shù)圖，圖3是點尸的縱坐標

y與點尸運動的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分.

（1）s與t之間的函數(shù)表達式是；

（2）與圖3相對應(yīng)的點P的運動路徑是，點P出發(fā)秒首次到達點B；

（3）直接寫出當3WsW8時，y與s之間的函數(shù)表達式，并在圖3中補全函數(shù)圖象.

一十四、圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）

22.（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點，以AE為直徑的。。與AB,

BC,AC分別交于點F,D,G,且O是茴的中點.

（1）求證AB=AC\

（2）連接。凡當。尸〃4c時，若AB=10,BC=\2,求CE的長.

A___、

B

DEC

一十五、圓周角定理（共2小題）

23.（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在扇形OAB中，ZAOB=90°,C為OA的中點，點。在標

上，且CO〃O8,則/AB￡>=.

24.（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，A,8是。。上的兩點，點C在。。內(nèi)，點。在。。外，AD,

BO分別交。0于點E,F.求證

一十六、三角形的外接圓與外心（共2小題）

25.（2022?建鄴區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，CA=C8,。是△ABC外接圓。。上一點,

連接C￡>,過點B作8E〃Cf）,交4。的延長線于點E,交。。于點尸.

（1）求證：四邊形。EFC是平行四邊形；

（2）如圖②，若AB為直徑，AB=7,BF=],求CD的長.

26.（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，四邊形A8C。是平行四邊形，ZB=60°,經(jīng)過點A,C,D

的圓與8c相交于點E,連接4E.

（1）求證：4ABE是等邊三角形.

(2)尸是AD上一點，且以=FC,連接EF.求證：EF=BC.

一十七、直線與圓的位置關(guān)系(共2小題)

27.(2022?鼓樓區(qū)校級二模)點P是平面直角坐標系中的一點且不在坐標軸上，過點尸向x

軸，)，軸作垂線段，若垂線段的長度的和為4,則點P叫做“垂距點例如：下圖中的

P(1,3)是“垂距點”.

(1)在點4(2,2),B(旦，-5),C(-1,5)中，是“垂距點”的點為；

22

(2)求函數(shù)y=2x+3的圖象上的“垂距點”的坐標；

(3)。7的圓心7的坐標為(1,0),半徑為人若。T上存在“垂距點”，則r的取值范

圍是.

28.(2022?鼓樓區(qū)校級二模)如圖，A8為。O直徑，C為。O上一點，點。是標的中點,

DEVAC于E,DFVAB于F.

(1)判斷QE與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)若。尸=4,求AC的長度.

一十八、切線的判定與性質(zhì)(共5小題)

29.(2022?建鄴區(qū)二模)如圖，四邊形ABCD是菱形，以4B為直徑作交C8于點F,

點E在CZ)上，且CE=CF,連接A￡

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)連接AC交。。于點尸，若AP=料，BF=1,求OO的半徑.

30.(2022?南京一模)如圖，在矩形ABCO中，E為A。的中點，△E8C的外接圓分別

交AB,CD于點M,N.

(1)求證：4。與。。相切；

(2)若DN=1,AD=4,求。。的半徑r.

31.(2022?秦淮區(qū)一模)如圖，△ABC內(nèi)接于AB是直徑，直線/過點C,AOJJ,交

。。于點兒垂足為》BELL垂足為E,且靜=合.

(1)求證：/與。0相切；

(2)當AD=4cm,BE=1.5cnj時，。0的半徑為cm.

o

DCE

32.(2022?南京一模)如圖，在△ABC中，ZABC^ZACB,以A8為直徑的。0交BC于

點。，點戶在8c的延長線上，且NBAC=2NP.

(1)求證：直線AP是。。的切線；

(2)若BC=12,tanP=2,求。。的半徑長及tan/^AC的值.

33.(2022?雨花臺區(qū)校級模擬)如圖，在RtZ\ABC中，/C=90°,BD平分/ABC,與4c

交于點力，DE1DB,垂足為。，與AB交于點、E,經(jīng)過B,D,E三點的。0與BC交于

點F.

(1)求證AC是。。的切線；

(2)若BC=3,AC=4,求。。的半徑.

0I)

一"h九、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心(共1小題)

34.(2022?鼓樓區(qū)二模)如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,/BAC的平分線AF交。0于點G,過

G作。E〃BC分別交AB,AC的延長線于點。，E.

(1)求證：DE是。。的切線;

(2)已知AG=8,此=3,點/為△ABC的內(nèi)心，求G/的長.

二十、圓的綜合題(共6小題)

35.(2022?南京二模)如圖，在△ABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圓.D為BC延

長線上一點，A。交。0于點E,連接BE.

(1)求證：ND=NABE；

(2)若A8=5,2C=6.

①求的半徑r；

②些的最大值為.

DC

A

36.（2022?秦淮區(qū)二模）【概念認識】

與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第I類圓；與

矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第n類圓.

【初步理解】

（1）如圖①?③，四邊形ABC。是矩形，001和。。2都與邊A。相切，與邊48

相切，OO1和003都經(jīng)過點8,003經(jīng)過點Q,3個圓都經(jīng)過點C.在這3個圓中，是

矩形4BC。的第I類圓的是,是矩形4BCD的第H類圓的是.

【計算求解】

（2）己知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6,直接寫出它的第I類圓和第H類圓的

半徑長.

【深入研究】

（3）如圖④，已知矩形ABCD,用直尺和圓規(guī)作圖.（保留作圖痕跡，并寫出必要的文

字說明）

①作它的1個第I類圓；

②作它的1個第［|類圓.

37.（2022?南京一模）解決問題常常需要最近聯(lián)想，遷移經(jīng)驗.例如研究線段成比例時需要

想到…

【積累經(jīng)驗】

（1）如圖①，。。是△ABC的外接圓，AQ是△ABC的高，AE是。。的直徑.求證地

AD

=AE

AC-

（2）如圖②，己知線段mb,c.用兩種不同的方法作線段d,使得線段“，6,c,“滿

足旦=￡.

bd

要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

【問題解決】

（3）如圖③，已知線段a,b.AB是。0的弦.在。O上作點C,使得CA?CB=ab.

要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

A

①

b

38.(2022?玄武區(qū)一模)旋轉(zhuǎn)的思考

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)己知△4BC,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'.小美，小麗探索發(fā)現(xiàn)了

下列結(jié)論.

小美的發(fā)現(xiàn)如圖①，連接對應(yīng)點BB',CC',則巨匕=3殳.

CC'AC

小麗的發(fā)現(xiàn)如圖②，以A為圓心，BC邊上的高A。為半徑作GM，則夕C與相切.

(i)請證明小美所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

(ii)如圖②，小麗過點A作A。'LB'C,垂足為.證明途徑可以用下面的框

圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭?

【問題解決】

(2)在中，ZA=90°,AB=?AC=2遙，M是AC的中點，將△ABC繞

點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A9C.

(i)如圖③，當邊8'。恰好經(jīng)過點C時，連接38',則83的長為.

(ii)在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊8C所在直線/恰好經(jīng)過點B,請在圖④中利用無刻度的直尺

和圓規(guī)作出直線/.(保留作圖痕跡，不寫作法)

【拓展研究】

(3)在(2)的條件下，如圖⑤，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線8斤，CC交于點尸，則BP的最大

值為.

39.(2022?秦淮區(qū)一模)【數(shù)學(xué)概念】

我們把存在內(nèi)切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形.例如，如圖①，四邊形A8CQ內(nèi)

接于OM,且每條邊均與OP相切，切點分別為E,F,G,H,因此該四邊形是雙圓四邊

形.

D

G

【性質(zhì)初探】

(1)雙圓四邊形的對角的數(shù)量關(guān)系是,依據(jù)是.

(2)直接寫出雙圓四邊形的邊的性質(zhì).(用文字表述)

(3)在圖①中，連接GE,HF,求證GEJ_”￡

【揭示關(guān)系】

(4)根據(jù)雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，在圖②中畫

出雙圓四邊形的大致區(qū)域，并用陰影表示.

【特例研究】

(5)已知P,M分別是雙圓四邊形A8C。的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，若AB=1,BC=2,

ZB=90",則PM的長為.

40.(2022?建鄴區(qū)二模)閱讀下面材料：

在學(xué)習(xí)《圓》這一章時，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題：

尺規(guī)作圖：如圖1,過圓外一點作圓的切線.

已知：P為。0外一點.

求作：經(jīng)過點P的。。的切線.

小敏的作法如下：如圖2,

(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C；

(2)以點C為圓心，C。的長為半徑作圓，交OO于A,B兩點；

(3)作直線以，PB.

所以直線抬，尸3就是所求作的切線.

老師認為小敏的作法正確.

請回答：

(1)連接。4,OB后,可證NOAP=NOBP=90°,其依據(jù)是；

(2)如果。。的半徑等于3,點P到切點的距離為4,求點A與點8之間的距離.

二十一、作圖一復(fù)雜作圖（共6小題）

41.（2022?鼓樓區(qū)校級二模）尺規(guī)作圖：如圖，已知正方形4BC。，在邊CO上求作一點P,

使NP8C=15°.（保留作圖痕跡，不寫作法）

42.（2022?建鄴區(qū)二模）尺規(guī)作圖：如圖，已知AB是。。的直徑.用兩種不同的方法作圓

的內(nèi)接四邊形48CQ,要求A8〃CQ且NA=60°.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

43.（2022?玄武區(qū)二模）已知△A8C,請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕

跡，不寫作法）.

（1）在圖①中，8c所在直線的下方求作一點M,使得N2MC=NA；

（2）在圖②中，8c所在直線的下方求作一點M使得/BNC=2NA.

A

44.（2022?鼓樓區(qū)二模）尺規(guī)作圖：如圖，在。ABCQ的邊AQ上求作點P,使尸分別滿足

以下要求：

（1）BP=CP；

（2）BP=AP+BC.

圖1圖2

45.（2022?建鄴區(qū)一模）尺規(guī)作圖：如圖，已知△ABC,AB=AC,作矩形MNPQ,使得點

M.N分別在邊AB、AC上，點P、。在邊8c上，且MN=2MQ（不寫作法，保留作圖

痕跡）.

46.（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，已知線段a,h,用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個等腰

三角形48c（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）.

ah

（1）△ABC的底邊長為外底邊上的高為〃；

（2）△ABC的腰長為“，腰上的高為兒

二十二.作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖（共2小題）

47.（2022?南京二模）△ABC是一塊三角形鐵皮，如何按要求從中剪一個面積最大的圓？

【初步認識】

（1）請用無刻度直尺和圓規(guī)在圖①中作出面積最大的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）.

【繼續(xù)探索】

（2）若三角形鐵皮上有一破損的孔點D（孔徑大小忽略不計），要求剪一個面積最大的

圓且圓面無破損，請用無刻度直尺和圓規(guī)在圖②中作出滿足要求的圓（保留作圖痕跡，

寫出必要的文字說明）.

【問題解決】

（3）如圖③，若AB=AC=10,BC=12,E、尸分別是48、AC的中點，破損的孔點。

位于EF上（孔徑大小忽略不計）.設(shè)。E=x,剪出面積最大的圓（圓面無破損）的半徑

為r,直接寫出x和r的關(guān)系式及對應(yīng)x的取值范

圍.

48.（2022?秦淮區(qū)一模）圖①是2022年北京冬季奧運會自由式滑雪大跳臺和單板滑雪大跳

臺的比賽場館，別名“雪飛天”.我們畫出一個與它類似的示意圖②，其中出發(fā)區(qū)EF、起跳

區(qū)C。都與地面AB平行.助滑坡DE與著陸坡AC的長度之和為80”.已知E尸到AB的距

離是8到A8的距離的3倍，/A=30°,M為CD延長線上一點，NEDM=37；求EF

到AB的距離.（參考數(shù)據(jù):sin37°*0.60,cos37°~0.80,tan37°20.75.）

第四講圖形的性質(zhì)（2）

參考答案與試題解析

一、平行線的性質(zhì)（共1小題）

1.（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若Nl=55°,

【分析】根據(jù)平角等于180。求出N3,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N2+90。=

Z3.

：直尺兩邊互相平行，

/.Z2+900=/3,

.*.Z2=125°-90°=35°.

故答案為：35.

二、全等三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

2.（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圓，CD是。。

的切線，C為切點，且CO=C8,連接AD,與交于點E.

（1）求證AD—AB-,

（2）若AE=5,BC=6,求。。的半徑.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NACB,再利用弦切角定理可得/4C￡>=

NB,從而可得NACD=N4CB,然后證明△ACBgZvlC。，利用全等三角形的性質(zhì)即可

解答；

(2)連接08,0C,CE,連接AO并延長交8c于點F,利用(1)的結(jié)論可得NCA8

=NC4O,從而可得8C=CE=C￡>=6,然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得NCEO=NACO

=NO,從而證明△DECs△OCA,利用相似三角形的性質(zhì)可求出QE的長，再利用線段

垂直平分線的逆定理可得4R是的垂直平分線，從而在RtzMFC中，利用勾股定理

求出A尸的長，最后在RtZ^OFC中，利用勾股定理進行計算即可解答.

【解答】(1)證明：???A3=AC,

AZB=ZACB,

???C。是。。的切線，C為切點,

???ZACD=ZB,

：.ZACD=ZACBf

■:BC=BD,AC=AC,

：.^ACB^/\ACD(SAS)，

：.AB=AD；

(2)連接08,OC,CE,連接A。并延長交8C于點R

:.ZCAB=ZCAD9

/.BC=CE，

：?BC=CE,

*：BC=CD=6,

：?CE=CD=6,

：?/D=NCED,

?.?A8=AC,AB=AD9

：.AD=AC,

ZACD=ZD9

:.NCED=NACD,

：./\DEC^/^DCA9

?DE=DC

**DCDAJ

.DE_6

5+DE'

；.OE=4或OE=-9(舍去)，

：.AD=AE+DE=9,

：.AB=AC=AD=9,

"：AB=AC,OB=OC,

.?.AF是BC的垂直平分線，

：.AFVBC,BF=CF=LC=3,

2

AF=I/AC2-CF2=VO2-32=6&，

設(shè)。。的半徑為r,

在RtAOFC中，。產(chǎn)+C/2=OC2,

(6&-r)2+32—P,

.*?r=2Z.".[2>

8

的半徑為2工點.

8

3.(2022?建鄴區(qū)二模)如圖，點。在線段A8上，AB=BC=CD,AE//CD.BE與CQ相

交于點F,/ABE=NBCD.

(1)求證：BE=CD；

(2)若/BCC=20°,求NAOE的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)/BAE=NDBC,AB=BC,NABE=/BCD,即可得到△ABEgA

BCD,進而得到BE=C￡>；

(2)連接EC,判定△BCE是等邊三角形，即可得到BC=EC,NBCE=60：進而得

到NCOE=N￡>EC=70°,再根據(jù)/AOE=180°-NBOC-NCDE進行計算即可.

【解答】解；：(1):點。在AB上，BC=CD,

:.NDBC=NBDC,

'：AE//CD,

:.NBAE=NBDC,

：.NBAE=NDBC,

又，：AB=BC,ZABE=ABCD,

:.△ABEQABCD(ASA),

:.BE=CD；

(2)如圖，連接EC,

由(1)可得BE=CQ,

\"AB=BC^CD,

：.AB=BC=CD=BE,

\'ZBCD=20Q,NABE=NBCD,

：.ZDBC=ZBDC=SO°,

NEBC=ZDBC-ZABE=60°,

.二△BCE是等邊三角形，

：.BC=EC,/BCE=60°,

：.CD=CE,ZDCE=ZBCE-ZBCD=40°,

:.NCDE=NDEC=70°,

：.ZADE=1800-/BDC-NCDE=30°.

三、線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）

4.（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AHLBC,垂足為“，且BH=CH,E為

B4延長線上一點，過點E作EFLBC,分別交8C,AC于凡M.

（1）求證NB=/C；

（2）若AB=5,AH=3,AE=2,求M尸的長.

【分析】（1）利用線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可證明結(jié)論;

（2）證明△CMFSACA”，列比例式計算可求解.

【解答】（1）證明：；AH-LBC,垂足為H,且BH=CH,

...A，是8c的垂直平分線.

：.AB=AC.

.\ZB=ZC；

（2）解：'：AH±BC,AB=AC,

：.ZBAH=ZCAH.

:AHLBC,EFA,BC,

:.NAHB=NEFB=9Q°.

：.AH//EF.

:.NBASNE,ZCAH^Z.AME.

：.ZE=ZAME.

：.AM=AE=2.

；4B=4C=5,

：.CM=AC-CM^3.

,JAH//EF,

：.^\CMF^/\CAH.

?MF=CM

"AHCA'

?.亞=3

"~3~5"

；.MF=9.

5

四、等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）

5.（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，已知等腰△ABC一腰上的中線BZ）把這個三角形的周長分成

12cm和21cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊BC的長.

【分析】如圖，AB=AC,80為腰AC上的中線，設(shè)AO=OC=x,BC=y,根據(jù)三角形

周長得fx+2x=12或fx+2x=21,然后分別解方程組后求出三角形的三邊，最后利用三角

|y+x=21|y+x=12

形三邊的關(guān)系確定三角形的底邊長.

【解答】解：AB=AC,3。為腰AC上的中線，設(shè)A￡)=￡)C=x,8C=y,

根據(jù)題意得卜+2'=12或卜+2x=21,

|y+x=21|y+x=12

解得產(chǎn)或卜=7,

ly=17\y=5

當x=4,y=17時，等腰三角形的三邊為8,8,17,顯然不符合三角形的三邊關(guān)系，舍

去；

當x=7,y=5時，等腰三角形的三邊為14,14,5,

答：這個等腰三角形的底邊BC長是5.

五、勾股定理的逆定理(共1小題)

6.(2022?鼓樓區(qū)一模)在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為A(-2,0),B(8,

0),C(0,4).用兩種方法證明N4C8=90°.(寫出必要的推理過程)

【分析】方法一：根據(jù)勾股定理分別求出AC2,8c2,4解，再利用勾股定理的逆定理證

明即可；

方法二：先證明△AOCs/^COB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出/OAC=NOC8,再由直

角三角形兩銳角互余即可證明NACB=90°.

【解答】證明一：：A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

.".AC2=22+42=20,BC2=82+42=80,AB2=102=100,

:.AB2=AC2+BC2,

.二△ABC是直角三角形，且NACB=90°；

證明二：VA(-2,0),B(8,0),C(0,4),

：.OA=2,OC=4,。8=8,

?0A=2=l0C=4=l

0C42OB82

在△AOC與△COB中，

"0A_QC

0C=0B，

ZA0C=ZC0B

.../XAOC^/XCOB,

：.ZOAC=ZOCB,

"：ZOAC+ZOCA=90°,

.\ZOCB+ZOCA=90°,

即N4CB=90°.

六、三角形綜合題（共2小題）

7.（2022?鼓樓區(qū)二模）藏寶地之謎.

從前，一個年輕人在他先祖的遺物中發(fā)現(xiàn)了一張記錄著藏寶地的羊皮紙，上面寫著：

某荒島上有一株橡樹4和一株松樹B,還有一座木樁尸，從木樁P走到橡樹A,記住所

走的步數(shù)，到了橡樹A向左拐個直角再走這么多步，在這里打個樁，記為C.從木樁P

再朝松樹B走去，記住所走的步數(shù)，到了松樹B向右拐個直角再走這么多步，在這里也

打個樁，記為D樁C,。的正當中就是寶藏的位置Q.

根據(jù)指示，這個年輕人找到了荒島上的橡樹和松樹，但可惜木樁已腐爛成土，一點痕跡

也看不出了.他只能亂挖起來，但是地方太大了，一切只是徒勞，他只好抱憾而歸.

聰明的讀者，你有辦法找到寶藏嗎？

不妨任取一個位置作為P,根據(jù)材料畫出如圖.

（1）以AB的中點為坐標原點，以直線為x軸、以AB的垂直平分線為y軸建立平面

直角坐標系.不妨設(shè)點B的坐標為（10,0）.

①若P的坐標為（6,10）,則。的坐標為（0,-10）;

②若尸的坐標為（-4,8）,則。的坐標為（0,-10）:

（2）猜想當P在不同位置時，。的位置是否隨之變化.

（3）寫出證明（2）中猜想的思路.

（4）將材料中兩處“再走這么多步”同時改為再走工這么多步，可使（2）中的猜

想仍然成立.

【分析】(1)①如圖1,作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明AAEP四(4AS)flIA

PEB注ABOD,可得結(jié)論；

②如圖2,過點P作PFA.AB于F,過點C作CGLAB于G,過點D作DE1AB于E,

同理可得結(jié)論；

(2)猜想：當P在不同位置時，Q的位置不變；

(3)如圖3,設(shè)點8的坐標為(m,0),A(-m,0),P(x,y),同理根據(jù)兩三角形全

等可得結(jié)論；

(4)將材料中兩處“再走這么多步”同時改為再走上這么多步，可使(2)中的猜想仍

2

然成立.同理設(shè)點B的坐標為(加，0),A(-m,0),P(x,y),證明△AFPsacGA,

△BFPs/\DEB,可得結(jié)論：當尸在不同位置時，。的位置不變.

【解答】解：(1)①如圖1,過點P作PELAB于E,

VZPAC=ZPAE+ZCAO=90°,NFAE=NAPE=90°,

NAPE=NCAO,

'：AP=AC,/AEP=/AOC=90°,

...△AE%Z\COA(A4S),

.?.CO=AE=10+6=16,

同理得也△B。。(AAS),

：.OD=BE=\Q-6=4,

；.C￡)=16-4=12,

?.?。是CO的中點，

：.Q(0,10)；

故答案為：(0,-10)；

②如圖2,過點P作PF_LAB于凡過點C作CG于G,過點。作。E_LAB于E,

同①得△AFP絲△CGA,△BFP9XDEB,

；.CG=4尸=10-4=6,AG=PF=S,OE=8F=10+4=14,BE=PF=8,

：.C(-2,-6),D(2,-14),

是CO的中點，

：.Q(0,-10)；

故答案為：(0,-10)；

(2)猜想：當P在不同位置時，。的位置不變；

(3)如圖3,以AB的中點為坐標原點，以直線A8為x軸、以AB的垂直平分線為y軸

建立平面直角坐標系.

設(shè)點8的坐標為(tn,0),A(,-m,0),P(x,y),

過點P作P以LAB于凡過點C作CGJ_A8于G,過點。作。于E,

同①得AAFP四△CGA,△BFP"ADEB,

：.CG=AF^x+m,AG=PF=y,DE=BF=m-x,BE=PF=y,

C(y-m,-x-m),D(m-y,x-m),

???。是CO的中點，

Q(0,-w)；

???當P在不同位置時，Q的位置不變；

(4)將材料中兩處“再走這么多步”同時改為再走上這么多步，可使(2)中的猜想仍

2

然成立.理由如下：

如圖4,以48的中點為坐標原點，以直線A8為x軸、以AB的垂直平分線為y軸建立

平面直角坐標系.

設(shè)點8的坐標為(〃z,0),A(-m,0),P(x,y),

過點P作PRLAB于凡過點C作CG_LAB于G,過點。作LAB于E,

同①得△AFPS/XCGA,△BFPs^DEB,相似比為2,

CG=X1F=AG=ApF=Ay,DE^^BF=l-m-Xx,BE=l.PF=l-y,

22222-22222'

C(Ay-m,-iv-,DCm--v,-kr--iw),

222222

是CD的中點，

Q(0,-L〃)；

2

二當尸在不同位置時，Q的位置不變；

故答案為：再走上這么多步.

2

8.(2022?秦淮區(qū)校級模擬)(1)如圖①，。為等邊三角形ABC內(nèi)一點，。4=3,08=4,

OC=5.求NA08的度數(shù).(提示：可將△AOB繞點A旋轉(zhuǎn)到△APC)

(2)在圖②中，用尺規(guī)作等邊三角形ABC,使點4,B,C分別落在三個圓上.(保留作

圖的痕跡，寫出必要的文字說明)

(3)如圖③，直線a〃b〃c.怎樣找到等邊三角形ABC,使點A,B,C分別落在三條直

線上？用尺規(guī)作出該三角形.(保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明)

a

b

①②

【分析】（1）將△AB。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,此時A8正好與AC重合，得到

連接OP,得△AOP為等邊三角形，AOPC為直角三角形，從而得出答案；

（2）根據(jù)（1）中圖形，可得畫法：在最小的圓上取一點A,然后以點A為圓心，04為

半徑畫弧，與小圓交于點P,再以尸為圓心，中間的圓的半徑長為半徑畫弧，與最大的

圓交于一點B,連接AB,以B為圓心，AB長為半徑畫弧，與中間的圓交于一點C,連

接BC,AC,則△ABC為所求三角形，

（3）在直線a上任意取一點A,過點A作于點。，以點A為圓心，的長為半

徑畫圓，以。為圓心，A。為半徑畫弧，交OA于一點P,過點P作交直線c

于點8,連接AB,以點8為圓心，AB的長為半徑畫弧，交直線b于點C,連接AC,BC,

可得△ABC.

【解答】解：（1）如圖，將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,此時AB正好與4c重合，

得到△HCP,連接。P,

A

BC

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AO=AP,/OAP=60°,CP=0B=4,

...△AOP為等邊三角形，

；.OP=O4=3,NAP"60°,

'：OP^+PC2-32+42=52=oc2,

...△OPC為直角三角形，

：.ZOPC=90°,

AZAPC=ZAPO+ZOPC=60°+90°=150°,

.?.NAOB=NAPC=150°；

(2)在最小的圓上取一點A,然后以點A為圓心，OA為半徑畫弧，與小圓交于點P,

再以「為圓心，中間的圓的半徑長為半徑畫弧，與最大的圓交于一點8,連接A8,以B

為圓心，48長為半徑畫弧，與中間的圓交于一點C,連接BC,4C,則4ABC為所求三

角形，如圖所示，

(3)在直線a上任意取一點A,過點A作A。，人于點。，以點A為圓心，AQ的長為半

徑畫圓，以力為圓心，A。為半徑畫弧，交OA于一點P,過點P作交直線c

于點8,連接AB,以點B為圓心，A8的長為半徑畫弧，交直線b于點C,連接AC,BC,

則4ABC即為所求.

七、平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）

9.（2022?玄武區(qū)一模）在QABCC中，E,F分別是AB,CD的中點，連接BF,DE,M,N

分別是2F,DE的中點，連接EM,FN.

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=OC,AB//DC.根據(jù)線段中點的定義得到

BE=LAB,DF^IDC,根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；

22

（2）連接EF,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE=BF,根據(jù)線段中點的定義得到EN=Z）N

=BM=FM=/BF,求得EM=/iF,根據(jù)勾股定理得到EF={BF2_BE2=8,于是得

到結(jié)論.

【解答】（1）證明：I?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB=DC,AB//DC.

■:E,尸分別是AB,8的中點，

：.BE=^AB,DF=^DC,

22

：.BE=DF,

'：BE//DF

四邊形是平行四邊形；

（2）解：連接EF,

???四邊形BFQE是平行四邊形，

: