直擊2024年高考-高三數(shù)學(xué)秋季期末卷（全國解析版）

高三數(shù)學(xué)秋季期卷(全國版)1-答案解析

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1、已知集合M={x|y="-婷+2久+3bN—{x\-2<x<2,x&7,}

則MCN=().

A.[-1,2)B.(2,3]C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】D;

【解析】={%|——+2%+3>0}={x|—14x43},N={-1,0,1},

:.MCN=[-1,0,1).

故選D.

2、已知直線tx+2y—3=0,%：Q—l)x+ty+3=0,則“/+2t+1=0'是"卜,L4

的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A;

【解析】Vt2+2t+l=0,

t——1,

由k：tx+2y—3=0,%：(t—1)久+ty+3=0,

當(dāng)h1%時(shí)，有—1)+2t=0,解得t=0或t=-1,

故t2+2t+1=0=41%，

但匕,Lq推不出+2t+1=0,

故/+2t+1=0是k1%的充分不必要條件.

故選A.

22

3、已知雙曲線C：左一嬴=19>0/>0）的兩條漸近線的斜率之積等于—4,則雙曲線C的離心

率為（）.

A.匹B.V5C.回D.V10

22

【答案】A;

22

【解析】雙曲線C：9—2=1（。>0/>0）的兩條漸近線的斜率之積等于一4,

2

可得一2=—%

所以小=4b2,

所以e=叵!=恒

7a27a?2

故選：A.

4、下列關(guān)于％,y的關(guān)系中為函數(shù)的是（）.

f陽％》1

A.y=V%—4+—xB.y2=4%cr-y=h-2%,%<i

D.

X1234

y0011

【答案】D;

【解析】A選項(xiàng)：y=Vx—4+，3—%中，

令｛仁工解得｛:箸即k,

y不是關(guān)于％的函數(shù).

B選項(xiàng)：y2=4x,當(dāng)X>0時(shí)，有兩個(gè)y與％對應(yīng)，

y不是關(guān)于％的函數(shù).

C選項(xiàng)：y=｛1當(dāng)％=1時(shí),有丫=±1,

所以y不是關(guān)于X的函數(shù).

D選項(xiàng)：滿足任取定義域內(nèi)的％,都有唯一的y與％對應(yīng)，y是關(guān)于％的函數(shù).

、已知貝！、的大小關(guān)系為（）.

5b=log42,c=log73,Jab、c

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D;

【解析】VO<g）11<i,

0Va<-，

2

1

Vlog42=

b=-,

2

..弓=

log7V7<log73<log77=1,

：.-<c<1,

2

.,.c>b>a.

故選D.

6、在△ABC中，已知BC=2,—AB，COS2C+2sin2=1,貝UB/.BC=

（）.

A.1B.3C.2D.2A/3

【答案】B;

【解析】盛1+國=同-同，

??力C_L力B，A=2f

：cos2c+2sin2—=1,

2

COS2c=COS（7T—C）,可得2cos2。+cosC-1=0,

解得cosC=所以c=g則

236

在RfABC中'BC=2,BA=?BA?BC=通X2=3.

故選B.

7、已知數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為立，若對任意的正整數(shù)n,都有an+i&Sn，則稱為“和諧數(shù)

列”，若數(shù)列｛爵｝為“和諧數(shù)列”，則的的取值范圍為().

A.(-1,+8)B.[0,+8)C.(0,+8)D.(L+8)

【答案】B;

【解析】①當(dāng)?shù)?0時(shí)，顯然滿足廝+14Sn，此時(shí)數(shù)列｛/｝為“和諧數(shù)列”；

②當(dāng)a-0時(shí)，$九=當(dāng)口=2%(1—引，由an+i《Sn可得:簿《2的(1-表),

2

即2a1(2n—1)》

V2(2n-1)>1恒成立，

??a1>0.

綜上可知，%>0.

故選B.

8、已知在正三棱錐/—BCD中，E為4。的中點(diǎn)，AB1CE,則正三棱錐4一BCD的表面積與該三

棱錐的外接球的表面積的比為().

6+V3B2+V3c3+V3D3+V3

4TT47r47167r

【答案】D;

【解析】正三棱錐A—BCD中，AB1CD,AB1CE,

：.AB1平面4cO,

：.AB1AC,AB14D,.?.三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

設(shè)ZB=a,

■,.a2+a2=BC2,

:.BC=缶，

則可得正三棱錐4-BCD的表面積為3x|xa2+^x(缶)2=等a?,

設(shè)外接球的半徑為R,則2R=Va2+a2+a2,

?nV3

??R=—。，

2

則外接球的表面積S=4TTR2=37m2,

.?.正三棱錐4-BCD的表面積與該三棱錐的外接球的表面積的比為：蹩絲=三遺.

3na26n

故選D.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

9、若復(fù)數(shù)z滿足z(l-2i)=10(i是虛數(shù)單位)，貝U().

A.z=2-4i

B.z-2是純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

D.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在角a的終邊上，貝Usina=^

5

【答案】A;B;

【解析】Vz(l-2i)=10,

旦—io(i+2i)_2+組

?.Z_.2i_(l-2i)(l+2i)_N+41'

.-.z=2-4i,選項(xiàng)A正確，

Vz-2=4i,為純虛數(shù)，

，選項(xiàng)B正確,

:復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(2,4),在第一象限,

.?.選項(xiàng)C錯(cuò)誤,

:復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(2,4),

..42V5

?"Sina=/。。=——

V22+425

選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10、如圖，正方體ABC?！狝iBiGA，取正方體六個(gè)面的中心G,H,M,N,E,F,將其連接起

來就得到了一個(gè)正八面體，下面說法正確的是().

A.〃平面FMNB.EM與平面GHMN所成角為？

C.平面FMN_L平面FGHD.平面FHM〃平面EGN

【答案】A;B;D;

【解析】A選項(xiàng)：連接&D,&Q,JD,

根據(jù)正方體六個(gè)面的中心分別為點(diǎn)G,H,M,N,E,F,

可得￡7/〃JD,同理可證FN〃(:iD,則EH〃FN,

■:FNu平面FMN,EHC平面FMN,故〃平面FMN,故A正確；

1>

B選項(xiàng)：由題意知，四邊形GHMN為正方形，設(shè)GMCHN=0（點(diǎn)。同時(shí)是正方體和正八面體的中

心），

連接E。，則/EM。即為直線EM與平面所成的角,

由長度關(guān)系可得。=￡,故正確；

NEM4B

B,c

C選項(xiàng)：連接BD,由題意知BD過點(diǎn)F,則平面FMNCI平面FGH=BD,

且GH〃BD//MN,分別取GH,NM的中點(diǎn)S,T,連接ST,FS,FT,

?：4FGH,△FMN都為等邊三角形，

故NSF7即為平面FMN與平面FGH所成的二面角，

由余弦定理可得cosZSFT=故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：由以上證明可知，GN〃HM,

-：GN^nEGN,HMC平面EGN,

故4M〃平面EGN,

又；EG〃ACi，F(xiàn)M//AClt故EG〃FM,

；EGu平面EGN,FMC平面EGN,故尸M〃平面EGN,

,：FMCHM=M,EGCGN=G,故平面FHM〃平面EGN,故D正確.

11、設(shè)角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊與單位圓交點(diǎn)為

P(a,b),記a=/(a),b=g(a),則下列命題正確的是().

.,a

A.tana=-

b

B.a=/(a)為偶函數(shù)，b=g(a)為奇函數(shù)

C./(a)-g(a)與/(a)+g(a)的最大值均為近

D./(a)—g(a)與/(a)+g(a)在區(qū)間上均為單調(diào)遞增函數(shù)

【答案】B;C;

【解析】A選項(xiàng)：由任意角的三角函數(shù)的定義可知，a=cosa,b=sina,tana故選項(xiàng)A

a

錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：由于a=/(a)=cosa為偶函數(shù)，b=g(a)=sina為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；

C選項(xiàng)：由于/(a)—g(a)=cosa—sina=V2sin-a)，/(a)+g(a)=cosa+sina=

V2sinQ+因此兩個(gè)函數(shù)的最大值均為夜，故選項(xiàng)C正確；

D選項(xiàng):由于/(a)—g(a)=cosa—sina=V2sin-a)=—\/2sin(a—》在區(qū)間可上

單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

12、已知函數(shù)/(%)=[(meR)e為自然對數(shù)的底數(shù))，則().

(.—%—4%—4,x<m

A.函數(shù)/(久)至多有2個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)/(%)至少有1個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)加<一3時(shí)，對Bq。久2，總有“嗎)-"不)<0成立

D.當(dāng)：m=0時(shí)，方程/(/(x))=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

【答案】A;B;C;

【解析】作出函數(shù)y=ex-1和函數(shù)y=-%2-4%-4的圖象如圖所示，

當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)/'(%)只有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)—2＜加《0時(shí)，函數(shù)/(%)有2個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)m4-2時(shí)，函數(shù)/'(%)只有1個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)AB正確；

當(dāng)血＜-3時(shí)，函數(shù)/(久)為增函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)m=0時(shí)，/(t)—0,“=—2,t2—0,當(dāng)/'(久)=ti=—2時(shí)，該方程有兩個(gè)解,

當(dāng)/(%)=t2=0時(shí)，該方程有兩個(gè)解，

所以方程(久))=0有4個(gè)不同的解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選ABC.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13、已知圓C：久2+y2=4上恰好有3個(gè)點(diǎn)到直線1：y=久+b的距離都等于1,則

b=.

【答案】+V25

【解析】由圓。的方程：%2+y2=4,可得圓C的圓心為原點(diǎn)。(0,0),半徑為2,

若圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1,則點(diǎn)。到直線&y=%+b的距離d等于1,

直線Z的一般方程為：x—y+b=0,

d=詈=1,

解得b=+V2.

故答案為：土金.

14、學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛質(zhì)疑，比如唐代詩人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃.欲

將輕騎逐，大雪滿弓刀.”這是一首邊塞詩的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出邊塞

征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情.這首詩歷代傳誦，而無人提出疑問.當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家

華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此詩的一些疑點(diǎn)，并寫詩質(zhì)疑，詩云：

“北方大雪時(shí)，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見雁飛？”但是，數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，

如法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想用=22n+1(n=0,1,2,…)是質(zhì)數(shù).直到1732年才被

善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，&=641X6700417不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)與=Iog2【log2(&-

1

l)](n=1,2,-),“=田式")，則表示數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和%=.

【答案】盍

【解析】因?yàn)?=Iog2【log2(4-1)]=>

an(an+l)n(n+l)nn+1

所以％=l-l+l-j+-

nn+ln+1n+l

故答案為：忌.

15、已知拋物線y2=2p;c(p>0)的焦點(diǎn)為F(l,0),過點(diǎn)F的直線交拋物線于2,B兩點(diǎn)，且2/

-3/M-則拋物線的方程為;但用的值為

【答案】y2=4%;|;

【解析】：拋物線/=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F(l,0)，

2~P=2，

...拋物線的方程為y2=4%,準(zhǔn)線為x=—1,

如圖所示，分別過點(diǎn)48作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M,N,設(shè)準(zhǔn)線與工軸的交點(diǎn)為P,過點(diǎn)5作

直線AM的垂線，垂足為E,交x軸于點(diǎn)Q,

由拋物線的定義可得:\AF\=\AM\,\BF\=\BN\,\PF\=p=2,

由2房=一3癡可知MW=2\BF\,

設(shè)出川=d,則|3N|=d,

\AF\=\AM\=2d,\AE\=\AM\-\BN\=d,\QF\=\PF\-\PQ\=2-d,

,.\QF\_=\BF\_

,\AE\~\AB\f

,2-da1

??-.一,

dd+2d3

解得：d=\BF\=|.

故答案為：y2-4x,|.

16、如圖，樹頂4離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面c米的C處看此樹，則距離此

樹米時(shí)，看4、B的視角（NZCB）最大.（結(jié)果用a,b,c表示）

【答案］J(a—c)(b—c)；

【解析】過點(diǎn)。作。。148,貝!|AD=a—c,BD=b—c,設(shè)CD=x,

則tan/皿/告，tanNBT=f

tanZACD-tan/BCD

tanZACB=tan(/力CD-/BCD)

1+tanZACD-tan/BCD

a-cb-c

___F_7a-b

a-cb-c—(g-c)(b-c)

1||<2J(a_c)(b-c)

xxx

當(dāng)且僅當(dāng)x=二c),即％=J(a—c)(b—c)時(shí),tanN4CB取得最大值，即N4SB最大.

故答案為：-c)(b—C).

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17、在△力BC中，它的內(nèi)角力，B,。的對邊分別為a,b,C,且滿足5由2(3+。)一$由23—

sin2C+sinBsinC=0,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，

條件①：c=4,a+b=6+2V7;

條件②：b=6,sin

(1)求a的值.

【答案】選擇條件①：a=2V7,選擇條件②：a=45

【解析】若選擇條件①：c=4,a+b=6+2V7;

因?yàn)閟in?(B+C)—sin2B—sin2C+sinBsinC=0,

可得sin?B+sin2C—sin2A=sin可inC,

由正弦定理可得/+c2-a2=be,

則小=ft2+c2—ftc=(6+2A/7—a)2+16—(6+2V7—a)x4，解得。=2夕.

若選擇條件②：b=6,sing—B)=—%

因?yàn)閟iM(B+C)—sin2B—sin2C+sinBsinC=0,

可得sin?B+sin2C—sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得川+c2-a2^be,

再由余弦定理可得cosA=吐薩=：

又因?yàn)?e(0,兀),

71

所以

A3

因?yàn)閟in-B）=—cosB=-亨'BPcosB=爭則BE

?2

所以sinB=

4

則由正弦定理嘉=心及b=6,

可得。=需=絳=3

4

(2)求AABC的面積.

【答案】選擇條件①：S-BC=6b，選擇條件②：

【解析】若選擇條件①：c=4,a+6=6+2V7;

由（1）及余弦定理可得cosA=%F=?

因?yàn)?e（0,兀）,

所以4=爭

因?yàn)閍=2V7，a+b=6+2V7，

所以b=6,

所以S0BC=^bcsinA=|x6x4x^=6A/3-

若選擇條件②：b=6,sin售—B）=—%

因?yàn)?=，sinB=7,cosB=—，a=4^3，

344

V

133十

V-3XVT7+Xx/2i

2---

所以sinC=sinM+B）248

所以SAABC=|absinC=|x4V3x6x3+^=。目產(chǎn)

18、近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷，特別是美國對我國華為的限制，盡管美國對華為極力封鎖，百

般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G,然而這并沒有讓華為卻步，華為在

2018年不僅凈利潤創(chuàng)下紀(jì)錄，海外增長同樣強(qiáng)勁，今年，該企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)

劃在2020年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250

+100%0<%<40,

.10000'。力匚八、

701%H----------9450,%>40

X

由市場調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)7000元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.

（1）求出2020年的利潤?。ň茫ㄈf元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）；

（—10/+600%—250,0<%<40

【答案】僅久）=[.i+—）+9200,x》40?

【解析】當(dāng)0<久<40時(shí)，

勿（久）=700%-（10/+100%）-250

=-10x2+600%-250,

當(dāng)x>40時(shí)，

/（％）=700%-（701%+-9450）-250

（,ioooo\

二一（第H——--J+9200,

f—10%2+600%—250,0<%<40

〃（無）=1_（%+D+9200,x》40.

（2）2020年產(chǎn)量為多少（干部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】2020年產(chǎn)量為100（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.

【解析】若0<久<40,IV（x）=-10（%-30）2+8750,

當(dāng)％=30時(shí)，皿（久）?!"=8750萬元，

若久》40,卬（%）=—（%++9200<9200-2,10000=9000,

當(dāng)且僅當(dāng)叫時(shí),即％=時(shí)，卬（久）久萬元，

x=1°：1001na=9000

；.2020年產(chǎn)量為100（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.

19、已知圓臺(tái)01。2,軸截面ABC。，圓臺(tái)的上底面圓半徑與高相等，下底面圓半徑為高的兩倍，

點(diǎn)E為下底圓弧心的中點(diǎn)，點(diǎn)N為上底圓周上靠近點(diǎn)4的而的四等分點(diǎn)，經(jīng)過。八02,N三點(diǎn)的平

面與2)交于點(diǎn)M，且E，M,N三點(diǎn)在平面4BCD的同側(cè).

(1)判斷平面。1。2“可與直線CE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】CE〃平面O1O2MN,證明見解析.

【解析】：圓臺(tái)的兩個(gè)底面互相平行，

，平面。1。2”可與圓臺(tái)兩個(gè)底面的交線平行，

又因?yàn)辄c(diǎn)N為上底圓周上的靠近點(diǎn)4的晶的四等分點(diǎn)，

，點(diǎn)M為下底圓周上的靠近點(diǎn)。的辦的四等分點(diǎn)，

77

:.NAO]N=NDO2M=

:點(diǎn)E為下底圓弧的中點(diǎn)，

ZO2CE=p

O2M//CE,

又02Mu平面O1O2MN,CE0平面O1O2MN,

.,.?！?/平面01。2”必

(2)尸為上底圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四棱錐P-4BCD的體積最大時(shí)，求異面直線CP與DB所成角的

余弦值.

【答案】正.

6

【解析】當(dāng)四棱錐P-4BCD的體積最大時(shí)，也就是點(diǎn)P到平面的距離最大，此時(shí)點(diǎn)P為上

底圓周上48的中點(diǎn).

設(shè)圓臺(tái)的上底面圓的半徑為r,則高為r,02c=2r,以點(diǎn)。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則C(0,2r,0),P(r,0,r),￡)(0,-2r,0),B(0,r,r),

—>—>

??CP=(r,—2r,r)?DB=(0,3r,r>

則cos｛CP,DB)="L尸'歹=-—)

''V6rxV10r6

.?.異面直線CP與DB所成角的余弦值為叵，

6

當(dāng)點(diǎn)P在成的另一側(cè)中點(diǎn)時(shí)，異面直線CP與DB所成角的余弦值也是叵,

6

異面直線CP與DB所成角的余弦值為叵.

6

20、已知是等差數(shù)列，其前幾項(xiàng)和為工，｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且的+瓦=3,瓦=2%,

。+壇=

313,S5—3b3=1.

⑴求數(shù)列與｛,｝的通項(xiàng)公式.

【答案】即=

2n-1,bn=2n.

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列｛g｝的公比為q(q>0)>

由的+瓦=3,瓦=2al得%=1,瓦=2,

由與可得管：13

03+b3=13S5-3b3=1：2：220=,

5(5(1+2d)-6q2=1

解得：d=2,q=2,

故九n

a=2n-1,bn=2.

若％=n記〃=仇,+求%.

(2)an+(—l),qc2b2+—Fcnbn,nEN*,

n+1n

【答案】Tn=(2n-3)2+|(-2)+y.

n

【解析】由(1)得：cn=an+(—l)=2n—1+(—1)”,

nnn

■'-cnbn=anbn+(-l)bn=(2n-l)2+(-2),

設(shè)An=21+3-22+5-23+???+(2n-1)2"①，

234

則2Ali=2+3-2+5-2+---+(2n-1)2幾+1②，

由①一②得：

—An=21+2-22+2?23+??■+2-2n-(2n-l)2n+1

n+1

=2+23al-(2n-l)2

=(3-2n)2n+1-6,

=(2n-3)2n+1+6,

又(一2)1+(-2)2+…+(-2尸==|[(-2)"-1],

nn+1n

?1?Tn=(2n-30+1+6+|[(-2)