新高考數(shù)學（B）人教A版一輪復習課時規(guī)范練 空間向量及其運算

課時規(guī)范練37空間向量及其運算

基礎鞏固組

1.已知空間四邊形OABC4',^4=a,OB=b,OC=c,^M在OA上，且0M為8c中點，則

而=（）

AHb4c

號口爭+銹

2.若直線/的方向向量為a=（l,0,2）,平面a的法向量為11=（2,0,4）,則（）

A./〃aB./±a

C./caD./與a斜交

3.（2019陜西西安質(zhì)檢）已知空間四邊形488的每條棱和對角線的長都等于分別是BCAD的

中點，則族?赤的值為（）

A.a2B.%C.%D.,〃2

4.若向量2=（遮,1,0）斤（1,0?2）,＜2,1）＞=/則實數(shù)2的值為（）

A.V2B.2C.±V2D.±2

5.平行六面體N8CD4由Cd中,向量方，而，京兩兩的夾角均為60°,且|荏|=1,|而|=2,|麗＞3,則

I福I等于（）

A.5B.6C.4D.8

6.已知空間向量a,b,滿足|a|=|b|=1,且a,b的夾角為與。為空間直角坐標系的原點，點48滿足

萬?=2a+b,而=3ab,則AO/B的面積為.

7.已知向量p在基底｛a,b,c｝下的坐標為（2,l,l）,則p在基底［a+b,ab,c｝下的坐標為，在基底

｛2a,b,c｝下的坐標為.

8.(2019江蘇宿遷期末)若平面a的一個法向量為4，,0),直線/的方向向量為(1,0,1),則/與a所成角的

大小為.

9.在空間直角坐標系中，以點Z(4,l,9),8(l(),1,6),C(x,4,3)為頂點的A/BC是以8C為斜邊的等腰直角三

角形,則實數(shù)x的值為.

10

如圖，在棱長為a的正方體ABCDA\ByC\D\中,G為△8CQ的重心，

求證:(1)小6,。三點共線；

(2)4C丄平面BC\D.

綜合提升組

11.(2019廣西模擬)/,8,C,。是空間不共面的四點，且滿足荏?前=0,而?而=0,荏?而=0"為8c中點,

則△力加。是()

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.不確定

12.直三棱柱Z8C481cl中,N8C/=90°,MN分別是4囪aG的中點,BC=C4=CCi,則BM與4N所

成角的余弦值為()

.12?V30?V2

A-WBD5C而D.-

13.已知正方體48CC481Gz)i,下列命題：

_>____,____>____>2

+AiD1+A-[Bi)^==3AiBi;

題E(4瓦-中)=o；

③向量畫與向量項的夾角為60°;

④正方體ABCDA\B\C\D\的體積為|布?麗>?而|.

其中真命題的序號是()

、①②B.①②③C.①④D.①②④

14.(2019西安調(diào)研)已知方=(1,5,2),近=(3,1,z),若荏丄前，麗=(xl,乂3卜且8尸丄平面Z6C,則實數(shù)

x+y=.

創(chuàng)新應用組

如圖,四邊形/88和尸。均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段P。上,E,尸分別為

的中點.設異面直線EM與/尸所成的角為仇則cos。的最大值為.

如圖，直三棱柱/8C48Q,底面△/BC中,。=C8=l,N8C4=90°,棱44i=2,MJV分別是48s仇的

中點.

(1)求麗的模；

⑵求cos<B4；,CB；>的值;

(3)求證：48丄GM

參考答案

課時規(guī)范練37空間向量及其運算

1.B顯然麗=而一而^+閑|dl=；b*|a.故選B.

2.B：a=(l,0,2),n=(2,0,4),

即n=2a,故a〃n,?：/丄a

3.CAE-AF=^(AB+AC)-^AD=^(AB-AD+AC-AD)=^a2cos60°+a2cos60。)=，.

故選C.

4.C|a|=J(V3)2+l2=2,|b|=>/l+z2,a-b=V3..?.cos?==—====:，化為z?=2,解

NJWW2xvl+zz厶

得z=土魚.故選C.

5.A設i4B=a,4D=b,A41=c,則MCl|=a+b+c,MCl|2=a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2c?a=25,因此

|宿|=5.

6.乎由市=2a+b,而=3ab,得

|明=J(2a+庁=夕礪|=J(3a-b)2=V7,01-05=(2a+b)-(3ab)=y.

*cosNBOA=°A°B—H

??C°S/"Q"|函函一14，

5V3

.\smZBOA=-r.

14

1--->---?5A/3

；.S“OAB=WI。411OBIsinZBOA=詈.

7.(H)(1,1,1)由條件p=2a+bc設p在基底｛a+b,ab,c｝下的坐標為(x,y/),則

p=x(a+b)+y(ab)+zc=(x+y)a+Qy)b+zc,

x+y=2,

x-y=1,

(z--1,

(x=I，

所以｛y=2.，即p在基底｛a+b,ab,c｝下的坐標為(|,1,1),

[z=-1,

同理可求p在基底｛2a,b,c｝下的坐標為(1,1,1).

故答案為(|4,1,1).

8.]設平面a的一個法向量為m=(H，0),直線/的方向向量為n=(l,0,l),

OZZ

1

則cos<m,n>=JF=—=令I與a所成角的大小為優(yōu)則sin，即直線/與平

n

叫11l2^XV2ZZ

面a所成角為巳

o

9.2由題意知萬?尼=0,|荏|=|就

又通=(6,2,3),前=。4,3,6),

6(%-4)-6+18=0,

解得x=2.

.04)2_&

、_------?----?----?------?---->----?------>---->------>------>------>9

10.證明(1)C41=CB+BA+AAj=CB+CD+CC^CG=CC1+QG=CCj4-1x

1---->----?---->1--->---->--->---->1-->--->----?1---->

久的8+60)="1+j(C5-CCj+CO-CC1)=j(CB+CD+CCj)=|CAr,

CG||京即4,G,C三點共線.

(2)-^C5=a,CD=b,CQ=c,

則|a|=|b|=|c|=a,

且ab=bc=ca=O.

,:CAr=a+b+c,SC1=ca,

?,.C4i=(a+b+c)(ca)=c2a2=0.

因此兩丄西，即CA\LBC\.

同理C4i丄8D

又8。與8G是平面內(nèi)的兩條相交直線，故4C丄平面BC\D.

11.C:為8C中點,???AM=^(AB+AC).AAM-AD=^(AB+AC)-AD=^AB-AD+

1-->--->

^AC-AD=0,

.：/0丄/。厶4〃。為直角三角形.故選C.

12.C如圖，以點G為坐標原點,GB,G4,CC所在的直線分別為x軸沙軸/軸,建立空

間直角坐標系，

不妨設8C=G4=CG=1,可知點40,1,1),N(0,，0),8(1,0,1),

???麗=(0/1),前=(另,1).

.：cos<麗，的>=湍親=魯.根據(jù)京與麗(的夾角及MV與所成角的關系可

知與ZN所成角的余弦值為魯.

13.A設正方體邊長為單位長為1,建立空間直角坐標系，如圖.

罰=(0,0,1),和=(1,0,0),京=(0,1,0),中=(1,1,1),何=(1,0,1),

2

所以對于①，(彳7+不瓦+小瓦)2=(1,1,1>(1丄1)=3=3用瓦，故廢真命題；

對于②碇瓦一価)=(1,1,1>(0,1,1)=0,故②是真命題；

對于③因為麗?布=(1,0,1>。1,1)=1,所以cos</D；/必=硒:焉.=,向量也

與向量項的夾角為120°,故③是假命題；

對于正方體”CD418coi的體積為|靠卜|価j-|瓦5],但是|龍?國?詬|=0,故歌

假命題.故選A.

(3+5-2z=0,

14.y由條件得k-l+5y+6=0,

3(x-l)+y-3z=0,

1525

7―7?

15.|以4為坐標原點，射線分別為x,y,z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直

角坐標系.

設正方形ABCD和ADPQ的邊長為2,則E(1,0,0)4(2,1,0),M(0),2)(0WyW2).所以

格(2,1,0)麗=(]),2).所以萬兩=2+乂|而=圾函

麗麗_卜2+y|

所以cos0=,

麗的「后1+y2一0小+y2

令2V=厶則y=2厶且[0,2],

所以cos0=----1=「I虧.當f=0時,cos8=0.當拄0時,cos