高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)：23圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題

專(zhuān)題突破練23圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題

L(2021?重慶八中月考)已知橢圓CT+5=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線(xiàn)/交橢圓C于A(yíng),B兩

點(diǎn),連接ARBF并延長(zhǎng)分別與橢圓交于異于A(yíng),B的兩點(diǎn)PQ.

(1)求直線(xiàn)/的斜率的取值范圍；

⑵若而=2同,行=〃而,證明為定值.

2.(2021?河北張家口三模)已知拋物線(xiàn)CV=4px(p>0)的焦點(diǎn)為F,且點(diǎn)M(1,2)到點(diǎn)F的距離比至IJy軸

的距離大p.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；

(2)若直線(xiàn)/:尤加(γ+2)-5=0與拋物線(xiàn)C交于A(yíng),B兩點(diǎn),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)九使IMAHMBI=64√Σ?若存在,

求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2021?江蘇南通適應(yīng)性聯(lián)考)已知雙曲線(xiàn)4-?=l(a＞O力＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸陋,一條漸近線(xiàn)方程

為y=bxg∈N"),且雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(√2,l).

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在直線(xiàn)x=m()乎土九0＜相＜1,且〃?是常數(shù))上,過(guò)點(diǎn)P作雙曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB,切點(diǎn)為

A,8,求證:直線(xiàn)AB過(guò)某一個(gè)定點(diǎn).

4.(2021?山東濟(jì)南二模)已知橢圓。當(dāng)+察1(心匕＞0)的離心率為與,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)”(-2,1).

aDN

(1)求橢圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P(-3,0)的直線(xiàn)(不與X軸重合)與橢圓C相交于A(yíng),B兩點(diǎn),直線(xiàn)H4,HB分別交X軸于MN兩點(diǎn),

點(diǎn)G(-2,0),若麗=亦或而=〃方,求證」+工為定值.

5.(2021?廣東汕頭三模)已知圓CΛ2+(J-2)2=1與定直線(xiàn)/:y=-l,且動(dòng)圓M與圓C外切并與直線(xiàn)/相切.

(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程；

(2)已知點(diǎn)P是直線(xiàn)ky=-2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作軌跡E的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B.

①求證:直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；

會(huì)證:NPCA=/PCA

6.(2021?北京東城一模)已知橢圓諄+3=im>b>0)過(guò)點(diǎn)。(-2,0),且焦距為2√5.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)4-4,0)的直線(xiàn)/(不與X軸重合)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)7與點(diǎn)。關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)TP與

X軸交于點(diǎn)H,是否存在常數(shù)九使得∣A0?∣O∕∕∣=2(IAoHoHl)成立?若存在,求出Z的值;若不存在,說(shuō)明

理由.

專(zhuān)題突破練23圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題

1.(1)解由題意知直線(xiàn)/的斜率不為零,故設(shè)其方程為尤=(y+4,與橢圓方程聯(lián)立,消去X得

(3p+4)y2+24<y+36=0,∕=144(∕2-4)>0,解得t<-2或t>2.

故直線(xiàn)/的斜率Zq的取值范圍為(4,0)u(o,?).

⑵證明∕7(l,0),設(shè)A(XI,yι),8(X2,*),P(X3,”),。(%4,丁4),由⑴得6+?=號(hào)*/少2=愛(ài)果，

3

所以WU2=一翅+").

由兩=4成,得尸3_=產(chǎn)-1)，即產(chǎn)=λx1-λ-l,

(-丫3—1,匕丫3—1-

又點(diǎn)尸在橢圓上,即有3χf+4y2=12,

代入上式得3(2xι-A-1)2+4λ2yf=12,即λ2(3xl+4yl)-6λ(λ+1)ΛI(xiàn)+3(Λ+1)2=12,

又3*+4弁=12,所以12(2+1)(2-1)-6Λ(2+1)xι+3(2+1)2=0.

易知％+l≠0,故％=/—,同理可得μ=-^--.

?-z??5-Z%2

又(5-2xι)(5-2x2)=25-10(x∣+x2)+4%1x2

=25-10[r(>,ι+^2)+8]+4(∕>ι+4)(ty2+4)

所以=—~~~；=1-

2.解(1)由點(diǎn)M到點(diǎn)b的距離比到y(tǒng)軸的距離大p,

得點(diǎn)M到點(diǎn)尸的距離與到直線(xiàn)X=N的距離相等.

由拋物線(xiàn)的定義,可知點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C上,所以4=4p,解得P=L

所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為)>2=4X.

(2)存在滿(mǎn)足題意的見(jiàn)其值為1或-3.

理由如下：

由I'~(4???Cn得y2-4my-8"2-20=0.

U-m(y+2)-5=0,

因?yàn)?=16川+4(8m+20)>0恒成立,所以直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C恒有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)A(XI,yI),8(x2,y2),則yι+>2=4/〃,y∣>2=-4(2/a+5).

+(yι-2)(*-2)

_州)2+：赳+5)_4(2加+5)一所+5

=0,

所以MALMB,即aMAB為直角三角形.

設(shè)d為點(diǎn)M到直線(xiàn)/的距離,所以IMAHMBl=IA8R∕=√1+τ∏2.[優(yōu)+yz^-^y-^2'

4===4-11+m??J16m2+16(2m+5)=16?11+/?z∣?(m+I)2+4=64-/2,

√l+m2\

所以(/〃+l)4+4("z+1)2-32=0,

解得(m+l)2=4或("z+l)2=-8(舍).

所以m=1或m=-3.

所以當(dāng)實(shí)數(shù)加=1或m=-3時(shí)MAHMBl=64√Σ

b=b

「1’解得a

3.(1)解由=1,

b=1,

故雙曲線(xiàn)方程為/-V=1.

(2)證明設(shè)A(XI,yι),B(x2j2),直線(xiàn)PA的斜率為k,P(m,yo).

則PAyyI=A(XM,聯(lián)立方程組f；)；王)'

消去可得x2-[Ax+(-Ax∣+γι)]2=l,

整理可?(l-A2)x2-2?(y∣-fccι)x-(yι-Axι)2-l=0.

因?yàn)镻A與雙曲線(xiàn)相切，

所以Δ=4lc(y]-fccι)2+4(1-F)?(yι-fccι)2+4(1-Z~)=0,

整理得4(yι-Axi)2+4(1-?2)=0.

即k2xl-2kx?y?+yf+1-A2=O,

即(?i-1)?2-2fcr∣yι+(j?+1)=0,

因?yàn)楹靡灰?1,所以好-1=光,比+1=后代入可得比K-2xιy次+好=0,即(y∣Z-x∣)2=0,所

以k="

Vi

故PAyyi=Nx-Xi),即y?y=x?x-1.

y,ι

同理,切線(xiàn)PB的方程為y2y=x2x-l.

因?yàn)镻(m,yo)在切線(xiàn)PAFB上,所以有｛；：；：::：：：；：

A,B滿(mǎn)足直線(xiàn)方程yoy=mx-L而兩點(diǎn)唯一確定一條直線(xiàn),

故AB:yoy=nu-l,所以當(dāng)卜一加時(shí),無(wú)論yo為何值,等式均成立.

Iy=O

故點(diǎn)，0)恒在直線(xiàn)AB上,故無(wú)論P(yáng)在何處,AB恒過(guò)定點(diǎn),0).

4.(1)解由題意知e=?=Jlf=,則。2=2戶(hù).

又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)//(2,1),所以芻+~2~??

ab

聯(lián)立解得標(biāo)=6,〃=3,所以橢圓C的方程為<+<=l?

O?

(2)證明設(shè)直線(xiàn)AB的方程為X=my-3,A(xι,yι),B(x2,y2),

,x=Tny-3,

?'X2y2聯(lián)立消去X,得(m2+2)/2.6"?y+3=0,

?+τ=1

,

所以/=36nr-12(〃P+2)>0,>1+第=^^2,γιp=m^,2由題意知W均不為1.

設(shè)M(XM,0),N(XM0),由H,M,A三點(diǎn)共線(xiàn)知詢(xún)與麗共線(xiàn),所以XmXI=(小)(2x”),化簡(jiǎn)

曰%i÷2y

何XM-----1.

由H,N,B三點(diǎn)共線(xiàn)洞理可得XN=罕X

由兩=4所,得(XM+3,0)=%(l,0),即λ=XM+3.

由麗=〃而,同理可得μ=XN+3.

所以工+工=_J__J_=]]=Bi,"=R,

+x+2+x+2,+3

λμXM+3XN+3ly↑,O2y210XrYi+3^2-)2(介1)當(dāng)

ι-yι十ι-y2

1出_1(i-%I+巧—,?I?2??9

,

(Tn-I)及-rn-1y1y2mΛ?y1y2/"?n-lI3I

?m2+2)

所以④+工為定值.

5.(1)解依題意知:M到C(0,2)的距離等于M到直線(xiàn)y=-2的距離，

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以C為焦點(diǎn),直線(xiàn)y=-2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).

設(shè)拋物線(xiàn)方程為Λ2=2py(p>0),則與=2,則〃=4,即拋物線(xiàn)的方程為x2=8y,故動(dòng)圓圓心

M的軌跡E的方程為X2=Sy.

(2)證明①由X1=Sy得y=∣x2,y-?r.

04

設(shè)A(XIqM)蟾),PQ,-2),其中XMX2,

則切線(xiàn)PA的方程為?`-??i=∕x-xι),

即>,?w?ι?

，O

同理,切線(xiàn)PB的方程為＞,=2Λ-2X-∣X2?

zrO

11

y7

4-X--^,%l+%2

由

得

8除X=

2

117

y=--^

4X-8y=管，

_×l+×2

,‘即

故直線(xiàn)AB的方程為＞,-∣xf=噲詈?(x-xι),化簡(jiǎn)得y=??-需?,即y=*+2,故直線(xiàn)

AB過(guò)定點(diǎn)(0,2).

②由①知:直線(xiàn)AB的斜率為ZAB=；,

⑴當(dāng)直線(xiàn)PC的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)AB的方程為y=2,

ΛPCLAB,.'.ZPCA=ZPCB;

(ii)當(dāng)直線(xiàn)PC的斜率存在時(shí),P(f,-2),C(0,2),直線(xiàn)PC的斜率APC=H=],癡用c=JX

C-U?4

-4

;=-1,故PCLAB,NPCA=NPCB.

綜上所述,NPCA=ZPCB得證.

6.解⑴因?yàn)闄E圓C：W+，=l(a?>0)過(guò)點(diǎn)。(-2,0),所以。=2,又2c=2√3,≡Pc=√^,所以

廬=∕-￠2=4-3=1,所以橢圓C的方程為9+)2=1.

(2)存在常數(shù)2=2,滿(mǎn)足題意.

理由如下：

顯然直線(xiàn)/的斜率存在且不為0,設(shè)直線(xiàn)/:y=6x+4),

'y=k(x+4),

聯(lián)立%2消去y并整理,得(1+4Λ2)Λ2+32∕ΓX+64F-4=0,

匕+y2=ι,

∕=(32F)2-4(1+4F)(64M-4)>0,得0<?2<?.

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設(shè)P(XIJI),Q(X2J2),則71孫?"),所以九1+X2=-<2"IRX2=6M彳,直線(xiàn)PT:y-y∣=紅乜&/

1+4/c1+4/cxrx2

川