廣東省東莞市黃江鎮(zhèn)2023-2024學年九年級上學期期中數學試題（含答案解析）

廣東省東莞市黃江鎮(zhèn)2023-2024學年九年級上學期期中數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.把一元二次方程--3x=l化為一般形式，則它的一次項系數和常數項分別為（）

A.1,—3B.3,-1C.-3,—1D.—3,1

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.已知二次函數y=g（尤-6y+3下列說法：①其圖像的開口向下；②其圖像的對稱軸

為直線下一6；③其圖像頂點坐標為（6,3）；④當尤＜6時，y隨尤的增大而減小.則

其中說法正確的有

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.某種芯片實現國產化后，經過兩次降價，每塊芯片單價由128元降為88元.若兩次

降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x,根據題意，可列方程

A.128（1-N）=88B.88（1+x）2=128

C.128（1-2x）=88D.128（1-x）2=88

5.如圖，在RtABC中，/&1C=9O。.將RtABC繞點C按逆時針方向旋轉47得到

及AA'3'C,點A在邊8'C上，則的大小為（）

6.二次函數y=--2x-2與坐標軸的交點個數是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.如圖所示，在一幅矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的邊框，制成一幅長為80c〃z,

寬為50c機的掛圖，設邊框的寬為xc%,如果風景畫的面積是2800c/,下列方程符合

題意的是（）

50cm

80cm

A.(50+x)(80+x)=2800B.(50+2x)(80+2x)=2800

C.(50-x)(80-x)=2800D.(50-2尤)(80-2x)=2800

8.把拋物線y=/先向左平移i個單位再向上平移i個單位，所得到拋物線的表達式為

()

A.y=x2+lB.y=(%+l)2+lC.y=(x-l)2-lD.y=(^+l)2-l

9.若A，X2是一元二次方程尤2-2無一3=0的兩個根，貝！|x；+考+再超的值是()

A.-7B.-1C.1D.7

10.已知二次函數y=ax2+6x+c(aw0)的圖象如圖所示，給出以下結論：@a+b+c<0；

②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0,其中正確的個數是()

二、填空題

11.若關于x的一元二次方程f+6x-c=0有一根為-2,則c的值為.

12.拋物線>=以2+法+°過點4(-1,6),3(3,6),則此拋物線的對稱軸是直線尤=_

13.若關于x方程W+S+b)x+6=。的一個根是3,那么另一個根是

14.如果方程近2+2x+1=0有兩個不等實數根，則實數上的取值范圍是.

15.若點尸。小-加+3)關于原點的對稱點Q在第三象限，那么根的取值范圍是

三、解答題

16.用合適的方法解下列方程:

⑴尤2-7X+12=0；

試卷第2頁，共4頁

⑵尤2+4X+1=0.

17.拋物線的圖像如圖所示，其中點A為頂點.

(1)寫出點A,B的坐標；

⑵求出拋物線的解析式.

18.如圖，將一個含30。角的三角板A3C繞點C順時針旋轉得到△￡￡>(?,點3、C、E共

(2)若AB=1,求BE的長.

19.已知相，"是方程/_2工一1=0的兩個根.求3裙_6m-7的值.

20.已知關于尤的一元二次方程N+(2A+3)x+N=0有兩個不相等的實數根x/,X2.

(1)求左的取值范圍;

11

(2)若丁+7=-1,求上的值.

21.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,C的坐標分別是(-2,-4),(0,-4),(1,-1),ABC

繞點。逆時針旋轉90。后得到44^G.

(1)畫出△4片a,并寫出點G的坐標;

⑵畫出,ABC關于原點。對稱的△AAQ.

22.如圖，已知二次函數y=^_4x+c的圖像與坐標軸交于點4-1,0)和點8(0,-5).

(2)已知該函數圖像的對稱軸上存在一點尸，使得AASP的周長最小.請求出點尸的坐

標；

(3)在(2)的條件下，在x軸上找一點使得A4PM是等腰三角形，請直接寫出所

有符合條件的點M的坐標.

23.正方形A3CD的邊長為5,E,尸分別是AB,8c邊上的點，且ZH)尸=45。.將DAE

繞點D逆時針旋轉90°,得到△naw.

(1)求證：EF=AE+CF-

(2)當AE=2時，求石尸的長.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】根據一元二次方程的一般式即可求出答案.

【詳解】解：化為一般式為：尤2-3元-1=0

???故一次項系數為-3,常數項為：-1

故選：C.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=Q力,c是常數且存0）,在

一般形式中辦2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項.其中。力,c分別叫二次項系數，一次項

系數，常數項.

2.A

【分析】根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念逐個排查即可解答.軸對稱圖形的關鍵是尋

找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部

分重合.

【詳解】解：A、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；

B、該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

C、該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

D、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：A.

3.B

【分析】根據函數的解析式可知。=3＞0,所以函數的開口向上，故①不正確；根據解析式

可知函數的對稱軸為x=6,故②不正確；根據函數的頂點式可知函數的頂點為（6,3）,故

③正確；根據函數的圖像可知當尤＜6時，函數的圖像在對稱軸的左邊，y隨x增大而減小,

故④正確，綜上，即可得.

【詳解】解：：函數的解析式丫=:（》-6）2+3中的4=；＞0,

2z

.??函數的開口向上，

故①不正確；

:函數的對稱軸為戶6,

故②不正確；

:函數的頂點式可知函數的頂點為（6,3）,

答案第1頁，共13頁

故③正確；

?.?當尤＜6時，函數的圖像在對稱軸的左邊，y隨尤增大而減小，

故④正確，

綜上，只有③④正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是掌握二次函數的性質.

4.D

【分析】根據該藥品的原售價及經過兩次降價后的價格，即可得出關于x的一元二次方程,

此題得解.

【詳解】解:依題意得：128(1-x)2=88.

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方

程是解題的關鍵.

5.A

【分析】先根據旋轉的性質得出/A'=/BAC=90。，ZAG4,=47°,然后在直角△A(方中利

用直角三角形兩銳角互余求出AB'.

【詳解】解：在RtAABC中，/BAC=90。，將RtAABC繞點C按逆時針方向旋轉48。得到必

△ABC',

ZA，=Z.BAC=90°,ZAC4,=47°,

.-.ZS,=90°-ZAC4,=43°.

故選A.

【點睛】本題考查了轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段

的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了直角三角形兩銳角互余的性質.

6.D

【分析】畫出二次函數y=x2—2x—2的圖像，根據圖像進行解答.

【詳解】先審題，二次函數與坐標軸的交點，有兩種情況.第一與y軸的交點，即尤=0的時

候，求得y=-2,這是一個交點.第二與尤軸的交點，即y=0,就是求二次方程無2—2x—2

=0的解，求得兩解.因此，可解得有3個交點.

【點睛】本題考查了二次函數圖像與坐標軸交點的求法，令尤=0和j=0分別解2個方程是

本題的解題關鍵.

答案第2頁，共13頁

7.D

【分析】根據圖求出風景畫的長、寬，再利用矩形的面積公式即可得出答案.

【詳解】由題意得：風景畫的長為：(8。-2x)57,寬為：(50-2x)cm

利用矩形的面積公式得：(8。-2x)(50-2x)=2800

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的幾何應用，依據題意求出風景畫的長、寬是解題關鍵.

8.B

【分析】直接利用二次函數平移規(guī)律得出平移后解析式.

【詳解】解：將拋物線y=f先向左平移1個單位再向上平移1個單位，得到的拋物線的函數

表達式為y=(x+iy+1.

故選：B.

【點睛】本題考查函數圖像的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，并用

規(guī)律求函數解析式.理解和掌握函數圖像平移的規(guī)律是解題的關鍵.

9.D

hr

【分析】利用兩根之和為玉+尤2=-一，兩根之積為國％=—，計算即可.

aa

【詳解】解：：4、々是一元二次方程/一2尤-3=0的兩個根，

再+x2=2,x[x2=-3,

???片+君+西兄2=(%+%2)2―F%2=4—(—3)=7,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，解題的關鍵是掌握根與系數的關系的公式.

10.B

【分析】①據當X=1時圖象在X軸下方，得出yVO,即a+b+c<0判斷即可；

②據當x=-l時圖象在x軸上方，得出y>0,即a-b+c>0判斷即可；

③據對稱軸X=-=<1,得出2a+b>0進行判斷；

2a

④由圖象開口向上判斷出a>0,由對稱軸在y軸右側得出b<0,由拋物線與y軸交于負半

軸，c<0判斷即可.

【詳解】解：①當x=l時圖象在x軸下方時，y<0,

答案第3頁，共13頁

即a+b+c<0,①正確；

②當x=-l時圖象在x軸上方，y>0,

即a-b+c>0,②錯誤；

③由拋物線的開口向上知a>0,

Vx=<1,

la

.*.2a+b>0,③錯誤；

④：圖象開口向上，

:對稱軸在y軸右側

.*.b<0,

???拋物線與y軸交于負半軸，

.".c<0,

/.abc>0,④正確，

,正確的結論有2個；

故選：B.

【點睛】本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數y=ax2+bx+c系數符號由

拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定是解題的關鍵.

11.-8

【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系數的值.

【詳解】解：把x=-2代入方程有：4-12-c=0

c=-8.

故答案為：-8.

【點睛】此題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系數的值.

12.1

【分析】本題考查的是二次函數的圖象和性質，先根據點A（T6）,3（3,6）的縱坐標相等可

知兩點關于拋物線的對稱軸對稱，再根據中點坐標公式求出對稱軸直線即可，根據題意得出

兩點關于拋物線的對稱軸對稱是解題的關鍵.

【詳解】解：：點A（T6）,現3,6）的縱坐標相等,

.??兩點關于拋物線的對稱軸對稱，

答案第4頁，共13頁

.,?拋物線的對稱軸為：直線X=—^-=1,

2

故答案為：1.

13.2

【分析】設方程的另一個根是"3由根與系數的關系兩根之積等于6,即3機=6,然后求解

即可.牢記“一元二次方程加+云+。=0(。叫的兩根之和等于-：，兩根之積等于亍,是解

題的關鍵.

【詳解】解：設方程的另一個根是北

根據題意得：3m=6,解得：m=2,

方程的另一個根是2.

故答案為：2.

14.左<1且上片0

【分析】本題考查了一元二次方程加+6x+c=0(aw0)的根的判別式A=62-4oc：當A〉。，

方程有兩個不相等的實數根；當A=0,方程有兩個相等的實數根；當A<0,方程沒有實數

根.也考查了一元二次方程的定義.根據一元二次方程依2+法+。=0(。#0)的根的判別式

^=b2-4ac,由題意得人力0且A>0,即22-4X^X1>0,然后求出兩個不等式的公共部分

即可.

【詳解】解：???方程區(qū)2+2》+1=0有兩個不等實數根，

.?.左/0且A=2z-4x左xl=4-4上>0

解得左<1且左片0,

故答案為：左<1且人力0.

15.0<m<3

【分析】由題意知點尸必在第一象限，根據第一象限的坐標特征，可列出關于根的一元一

次不等式組，解不等式組即可求得加的取值范圍.

【詳解】???點尸(m,-m+3)關于原點的對稱點。在第三象限

二?點尸(m,-m+3)在第一象限

則(f-mm>+03>0

解不等式組得：0〈根<3

答案第5頁，共13頁

故答案為：0<加<3

【點睛】本題考查了兩點關于原點對稱的性質，點在各個象限的坐標特征，解一元一次不等

式組，掌握這些知識是解決本題的關鍵.

16.(1)玉=3,x2=4

(2)%=—2—A/3,/=—2+A/3

【分析】(1)運用因式分解法解一元二次方程即可；掌握運用因式分解法解一元二次方程是

解題的關鍵；

(2)先配方，然后運用直接開平方即可解答；掌握配方法是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：%2一7%+12=0

(x-3)(x-4)=0,

尤―3=0或％-4=0,

%=3,4=4；

(2)解：X2+4x+l=0

%?+4%=—1f

/+4%+4=-1+4,

(x+2『=3,

尤+2=土幣)>

玉=-2->/3,=-2+-\/3.

17.(1)42,-4),5(0,4)

(2)y=2(x-2)2-4

【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標、待定系數法求二次函數解析式等知識,

解題關鍵是通過圖像獲得所需信息.

(1)觀察圖像，即可確定點A,8的坐標；

(2)設拋物線的解析式為y=a(x-2)2-4利用待定系數法求解即可.

【詳解】(1)解：根據圖像可知，42,-4),8(0,4)；

答案第6頁，共13頁

(2)設拋物線的解析式為y=a(x-2)2-4,

將點W。，4)代入，

可得4a-4=4,解得4=2,

所以拋物線的解析式為y=2(%-2)2-4.

18.(1)150

⑵2+6

【分析】本題主要考查了旋轉的性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理等知識，

理解并掌握旋轉的性質是解題關鍵.

(1)根據點3、C、E共線，/ACB=30。，由/ACE=180。-NACB即可求得答案；

(2)首先根據“直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得AC=2,再根據

勾股定理解得BC=JAC?-AB?=6,然后根據旋轉的性質可得CE=C4=2,即可獲得答

案.

【詳解】(1)解：：點B、C、E共線，ZACB=30°,

：.ZACE=180°-ZACB=150°,即旋轉角=150。.

故答案為：150；

(2)解：,:?B90?,ZACS=30°,AB=1,

：.AC=2AB=2,

BC=VAC2-AB2=73，

又ABC繞點C順時針旋轉得到AEDC,

：.CE=CA=2,

：.BE=CE+BC=2+43.

19.-4

【分析】將"z代人方程--2x-1=0可得病-2根=1,然后再對3m2-6”7-7變形得到

3(m2-2m)-7,然后整體代人即可解答；掌握一元二次的解以及代數式的靈活變形是解題

的關鍵.

【詳解】解：是方程--2%-1=0的一個根，

答案第7頁，共13頁

nr—2m—1=0,BPm2—2m=1,

3m2-6m—1=3(w?—2a)-7=3x1—7=-A-.

3

20.(1)k>-(2)k=3.

4

【分析】(1)根據方程的系數結合根的判別式△>(),即可得出關于左的不等式，解之即可得

出左的取值范圍；

2

(2)根據根與系數的關系可得出x/+x2=-24-3,xIX2=k,結合上+工=-1即可得出關于

X]x2

上的分式方程，解之經檢驗即可得出結論.

【詳解】(1);關于尤的一元二次方程N+(24+3)x+%2=0有兩個不相等的實數根，

；.△=(2/+3)2-4k2>0,

3

解得：Q-=；

4

(2)Xi>&是方程N+(24+3)x+N=0的實數根，

.".xi+x2=-2k-3,xiX2=k2,

解得：ki=3,fe=-1>

經檢驗，k!=3,左2=-1都是原分式方程的根，

又,：k>-—,

4

k=3.

【點睛】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：(1)牢記“當A>0時,

方程有兩個不相等的實數根”；

(2)根據根與系數的關系結合'+1找出關于左的分式方程.

龍]x2

21.(1)圖見解析，G(l,l)

(2)圖見解析

【分析】此題考查旋轉畫圖，中心對稱作圖，

(1)根據旋轉的性質確定A、崗、G，然后順次連接即可畫出圖形，最后寫出C1的坐標;

根據旋轉的性質是解題的關鍵；

答案第8頁，共13頁

(2)根據中心對稱的性質確定4、與、G，然后順次連接即可畫出圖形.掌握中心對稱的

性質是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：如圖：△Age即為所求；點點C1的坐標為(u).

(2)解：如圖：與C?即為所求.

22.(1)y=x2-4.r-5；(2)點尸的坐標為(2,-3)；(3)四(5,0)或(一1一3四,0)或(30-1,0)

或(2,0).

【分析】(1)利用待定系數法求解函數解析式即可；

(2)先求解拋物線與x軸的另一個交點的坐標，由AC兩點關于關于對稱軸對稱，連接3c

交對稱軸與尸點，則AABP的周長最短，再求解BC的解析式即可得到答案；

(3)先求解AP的長度，分別以A尸為圓心，AP為半徑畫弧，得到與x軸的交點符合題意，

作AP的垂直平分線與x軸的交點也符合題意，從而可得答案.

【詳解】解：(1)根據題意，把點4T0)和點8(0,-5)代入函數解析式.得

0=a-(-l)2-4x(-l)+c

-5=a-02-4x0+c

a=l

解得

c=-5'

二次函數的表達式為y=Y-4x-5；

(2)令y=0,得二次函數y=/-4x-5的圖象與x軸的另一個交點坐標C(5,0)；

由于尸是對稱軸尤=2上一點，

連接A8，由于=后,

答案第9頁，共13頁

要使AAB尸的周長最小，只要上4+尸3最?。?/p>

由于點A與點C關于對稱軸x=2對稱,連接BC交對稱軸于點P,

則R4+PB=3P+PC=3C,根據兩點之間，線段最短，可得上4+PB的最小值為5C；

因而5C與對稱軸x=2的交點尸就是所求的點；

設直線BC的解析式為y=kx+b,

b=-5k=l

根據題意可得0=5』解得

b=-5

所以直線BC的解析式為y=%-5；

x=2x=2

因此直線3C與對稱軸1=2的交點坐標是方程組〈的解，解得

y=x—5y=-3'

所求的點P的坐標為(2,-3)；

(3)4(-1,0),尸(2,-3)*

AP=^/(-1-2)2+(0+3)2=3近,

以A為圓心，AP為半徑畫弧，交無軸于監(jiān),加2，

OMX=OA+AMl=OA+AP=l+3>f2,OM2=AM2-OA=AP-OA=3y/2-l,

答案第10頁，共13頁

.-.Mjf-l-3"0）,此（3拒-10）,

以尸為圓心，AP為半徑，交九軸于加3，

由等腰三角形的三線合一得到：4