提分練習(xí)：三角形的高、中線、角平分線的八種常見應(yīng)用

2/2《提分練習(xí)1三角形的高、中線、角平分線的八種常見應(yīng)用》典例剖析例如圖，已知AB⊥BD于點(diǎn)B，AC⊥CD于點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)E，則△ADE的邊DE上的高為_______，邊AE上的高為________.解題秘方：三角形的高、中線和角平分線是三角形中三種重要線段，它們的定義為我們提供了重要的線段或角的關(guān)系.本例中準(zhǔn)確掌握三角形高的定義中滿足的條件即可求得此題答案.答案：AB；DC分類訓(xùn)練應(yīng)用1三角形的高在求線段長(zhǎng)中的應(yīng)用一、解答題1.如圖，在△ABC中，AC=8，BC=4，高BD=3.試作出BC邊上的高AE，并求AE的長(zhǎng).應(yīng)用2三角形的高在求角的度數(shù)中的應(yīng)用二、填空題2.【2019·哈爾濱】在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為_______.應(yīng)用3三角形的高在求相關(guān)線段的比值中的應(yīng)用一、解答題3.如圖，在△ABC中，BC=4，AC=5，若BC邊上的高AD=4.求：（1）△ABC的面積及AC邊上的高BE的長(zhǎng)；（2）AD:BE的值.應(yīng)用4三角形的高在求相關(guān)線段和的問題中的應(yīng)用4.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，G.求證DE+DF=BG.應(yīng)用5三角形的中線在求線段長(zhǎng)中的應(yīng)用三、選擇題5.如圖，已知BE=CE，ED為△EBC的中線，BD=8，△AEC的周長(zhǎng)為24，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A.40B.46C.50D.56一、解答題6.如圖，△ABC的周長(zhǎng)是21cm，AB=AC，中線BD分△ABC為兩個(gè)三角形，且△ABD的周長(zhǎng)比△BCD的周長(zhǎng)大6cm.求AB，BC的長(zhǎng).應(yīng)用6三角形的中線與高在證明線段相等中的應(yīng)用7.如圖,△ABC中，D，E分別為BC，AD的中點(diǎn)，且=40，CM⊥AD于M.（1）=_______；（2）若AE=5，求CM的長(zhǎng)；（3）若BN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N，求證CM=BN.應(yīng)用7三角形的角平分線在解與平行線相關(guān)問題中的應(yīng)用8.如圖，AD是∠CAB的平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于點(diǎn)O.（1）DO是∠EDF的平分線嗎？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由.（2）若將“DO是∠EDF的平分線”與“AD是∠CAB的平分線”“DE∥AB”“DF∥AC”三個(gè)條件中的任一條件交換，所得說法正確嗎？若正確，請(qǐng)選擇一個(gè)證明.應(yīng)用8三角形的角平分線與高在求角的度數(shù)中的應(yīng)用9.如圖，在△ABC中，AD是角平分線，∠B=50°，∠C=70°.（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）若DE⊥AC于點(diǎn)E，求∠EDC的度數(shù).

參考答案1.答案：解：如圖，過點(diǎn)A作BC邊上的高線AE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵BC·AE=AC·BD,AC=8,BC=4,BD=3,∴×4·AE=×8×3.∴AE=6.2.答案：60°或10°點(diǎn)撥：分兩種情況：（1）如圖①，當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，∵∠B=30°，∴∠BCD=90°-30°=60°.（2）如圖②，當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=180°-30°-50°=100°.∴∠BCD=100°-90°=10°.綜上，∠BCD的度數(shù)為60°或10°.3.答案：（1）=BC·AD=×4×4=8.因?yàn)?AC·BE=×5×BE=8，所以BE=.（2）AD:BE=4:=.4.答案：證明：連接AD.∵，∴AC·BG=AB·DE+AC·DF.又∵AB=AC，∴DE+DF=BG.點(diǎn)撥：等面積法是數(shù)學(xué)中很重要的方法，而在涉及垂直的線段的關(guān)系時(shí)，常將線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系.5.答案：A點(diǎn)撥：∵△AEC的周長(zhǎng)為24，∴AE+CE+AC=24.又∵BE=CE，∴AE+BE+AC=AB+AC=24.∵ED為△EBC的中線，∴BC=2BD=2×8=16.∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=24+16=40.6.答案：∵BD是中線，∴AD=CD=AC.∵△ABD的周長(zhǎng)比△BCD的周長(zhǎng)大6cm，∴（AB+AD+BD）-（BD+CD+BC）=AB-BC=6cm.①∵△ABC的周長(zhǎng)是21cm，AB=AC，∴2AB+BC=21cm.②聯(lián)立①②，解得AB=9cm，BC=3cm.點(diǎn)撥：本題考查了三角形中線的性質(zhì)，結(jié)合圖形，將△ABD的周長(zhǎng)比△BCD的周長(zhǎng)大6cm轉(zhuǎn)化為AB-BC=6cm，即可求解.7.答案：（1）20（2）解：由題知===10.∵=AE·CM，∴×5·CM=10.∴CM=4.（3）證明：由題知==S△ABC.∵=AD·BN,=AD·CM，∴AD·BN=AD·CM.∴CM=BN.8.答案：（1）DO是∠EDF的平分線.證明：∵AD是∠CAB的平分線，∴∠EAD=∠FAD.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD.∴∠EDA=∠FDA.∴DO是∠EDF的平分線.（2）與三個(gè)條件中的任一條件交換，所得說法都正確.（選其中一種情況證明即可）①若和“AD是∠CAB的平分線”交換，證明過程與（1）中證明過程類似.②和“DE∥AB”交換.證明：∵DF∥AC，∴∠FDA=∠EAD.∵AD是∠CAB的平分線，∴∠EAD=∠FAD.∴∠FAD=∠FDA.∵DO是∠EDF的平分線，∴∠EDA=∠FDA.∴∠EDA=∠FAD.∴DE∥AB.③若和“DF∥AC”交換，證明過程與②類似.9.答案：（1）∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70