新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)訓(xùn)練2-2-4點(diǎn)到直線的距離

第二章平面解析幾何2.2直線及其方程2.2.4點(diǎn)到直線的距離課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.原點(diǎn)到直線x+2y5=0的距離為()A.1 B.3 C.2 D.5答案D解析d=|0+22.直線l通過(guò)兩直線7x+5y24=0和xy=0的交點(diǎn),并且點(diǎn)(5,1)到l的距離為10,則l的方程是()A.3x+y+4=0 B.3xy+4=0C.3xy4=0 D.x+3y4=0答案C解析由7x+5y∴直線7x+5y24=0和xy=0的交點(diǎn)為(2,2).①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y2=k(x2),即kxy+22k=0.∴點(diǎn)(5,1)到l的距離d=|5解得k=3,∴直線l的方程為3xy4=0.②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),l:x=2,不滿足題意.綜上所述,直線l的方程為3xy4=0.3.已知兩平行直線x+2y+m=0與2xny4=0之間的距離是5,若m>0,則m+n=()A.0 B.1 C.1 D.2答案B解析∵兩條直線平行,所以2n=12,解得∴直線2xny4=0?2x+4y4=0?x+2y2=0.又直線x+2y+m=0與直線x+2y2=0之間的距離是5,則|m+2|5=5,解得m=∴m+n=34=1.4.已知點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(1,0),則△ABC的面積等于()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析設(shè)AB邊上的高為h,則S△ABC=12|AB|·h|AB|=(3-1)AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到直線AB的距離,AB邊所在的直線方程為y-即x+y4=0.點(diǎn)C到直線x+y4=0的距離為|-1+0-4|2=52,因此,S△ABC5.直線l過(guò)點(diǎn)A(3,4),且與點(diǎn)B(3,2)的距離最遠(yuǎn),則直線l的方程為()A.3xy5=0 B.3xy+5=0C.3x+y+13=0 D.3x+y13=0答案D解析由題意知,當(dāng)l與AB垂直時(shí),符合要求,因?yàn)閗AB=4-所以直線l的斜率k=3.所以直線l的方程為y4=3(x3),即3x+y13=0.6.已知0<k<4,直線l1:kx2y2k+8=0和直線l2:2x+k2y4k24=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為()A.12 B.14 C.18答案C解析l1:k(x2)2y+8=0過(guò)定點(diǎn)(2,4),l2:k2(y4)=42x也過(guò)定點(diǎn)(2,4),如圖所示,點(diǎn)A(0,4k),B(2k2+2,0),S=12×2k2×4+(4k+4)×2×12=4k2k+8.當(dāng)k=18時(shí),7.直線4x3y+5=0與直線8x6y+5=0之間的距離為.

答案1解析直線8x6y+5=0化簡(jiǎn)為4x3y+52=0,則由兩條平行直線之間的距離公式得58.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4),且與原點(diǎn)的距離等于3的直線l的方程為.

答案x=3或7x+24y75=0解析(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),原點(diǎn)到直線l:x=3的距離等于3,滿足題意.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y4=k(x+3),即kxy+3k+4=0.原點(diǎn)到直線l的距離d=|3k解得k=724.直線l的方程為7x+24y75=0綜上可知,直線l的方程為x=3或7x+24y75=0.9.平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2),B(3,4),C(0,6).(1)求BC邊上的高所在的直線方程;(2)求△ABC的面積.解(1)直線BC的斜率kBC=6-則BC邊上高所在直線斜率k=32則BC邊上的高所在的直線方程為y2=32(x+1),即3x+2y1=0(2)BC的方程為y=23x+6,即2x3y+18=0點(diǎn)A到直線BC的距離d=|=101313,|BC|=則△ABC的面積S=12|BC|d=12×10.已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,且點(diǎn)P(4,3)到直線l的距離為32,求直線l的方程.解由題意知,若截距為0,可設(shè)直線l的方程為y=kx,由題意知|4k-3解得k=-12±3142,直線l的方程為y=-12+3142若截距不為0,設(shè)所求直線l的方程為x+ya=0,由題意知|4+3-a|2=32,解得a=1或a=13,直線l的方程為x+y1=0或綜上所述,所求直線l的方程為y=-12+314y=-12-3142x,x+y1=0或關(guān)鍵能力提升練11.已知直線過(guò)兩直線xy+1=0和x+y1=0的交點(diǎn),且原點(diǎn)到該直線的距離等于1,這樣的直線共有()A.0條 B.1條 C.2條 D.3條答案B解析聯(lián)立x∴兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),由交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1可知,只有1條直線符合條件.12.點(diǎn)P(sinθ,3cosθ)到直線x+y+8=0的距離的最小值為()A.4 B.23 C.32 D.52答案C解析點(diǎn)P(sinθ,3cosθ)到直線x+y+8=0的距離為d=|sinθ+3cosθ+8|1+1=2sinθ+π3+82≥-2+82=32.所以當(dāng)sinθ+π313.設(shè)直線l1:x+3y7=0與直線l2:xy+1=0的交點(diǎn)為P,則P到直線l:x+ay+2a=0的距離最大值為()A.10 B.4 C.32 D.11答案A解析聯(lián)立x解得x=1,y=2.可得P(1,2).直線l:x+ay+2a=0化為x+2+a(y1)=0,因此直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(2,1).P到直線l:x+ay+2a=0的距離最大值為|PQ|=(1+2故選A.14.已知直線l1:mx+2y4m=0(m>0)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l1與直線l2:3x+3y1=0間的距離為()A.423 BC.22或2 D.答案A解析∵直線l1:mx+2y4m=0(m>0)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,∴m+4m=m+42,m=2.∴直線l即3x+3y9=0.故直線l1與直線l2:3x+3y1=0間的距離為|-1-(-9)|15.若直線l1:ax+y1=0與直線l2:x+ay+1=0平行,則兩條平行直線之間的距離為()A.1 B.2 C.2 D.22答案B解析直線l1:ax+y1=0與直線l2:x+ay+1=0平行,則a21=0,解得a=±1.當(dāng)a=1時(shí),直線l1:xy+1=0與直線l2:xy+1=0重合,故舍去.當(dāng)a=1時(shí),直線l1:x+y1=0與直線l2:x+y+1=0平行.故兩條平行直線之間的距離d=|-1故選B.16.已知兩條平行直線l1,l2分別過(guò)點(diǎn)P(1,1),Q(0,1),當(dāng)l1,l2間的距離最大時(shí),直線l1的方程為.

答案x+2y3=0解析由題意可得,l1,l2間的距離最大時(shí),PQ和這兩條直線都垂直.由于PQ的斜率為1+11-0=2,故直線l1的斜率為12,故它的方程是y1=12(x1),化簡(jiǎn)為x+217.已知直線過(guò)兩直線x3y+1=0和3x+y3=0的交點(diǎn),且原點(diǎn)到該直線的距離為12,則該直線的方程為.答案x=12或x3y+1=解析聯(lián)立x-3y+1=0,3①當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線的斜率不存在時(shí),其方程為x=12,原點(diǎn)(0,0)到直線x=12的距離為12②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線的方程為y32=kx-12,即kxy12k+32=0,由于原點(diǎn)(0,0)到方程為kxy12k+解得k=33,故所求直線的方程為x3y+1=018.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,1),B(7,5),C(4,7),求角A的平分線的方程.解設(shè)P(x,y)為角A的平分線上任一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線AB與到直線AC的距離相等,由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為y-即4x3y13=0,直線AC的方程為y-即3x+4y16=0.所以由點(diǎn)到直線的距離公式,得|4即|4x3y13|=|3x+4y16|,即4x3y13=±(3x+4y16),整理得x7y+3=0或7x+y29=0.易知x7y+3=0是角A的外角平分線的方程,7x+y29=0是角A的平分線的方程.19.如圖,△ABC中,頂點(diǎn)A(1,2),BC邊所在直線的方程為x+3y+1=0,AB邊的中點(diǎn)D(0,1).(1)求AB邊所在直線的方程;(2)若|AC|=|BC|,求AC邊所在直線的方程.解(1)∵AB邊的中點(diǎn)為D(0,1),∴AB邊所在直線的方程為x-即xy+1=0.(2)∵|AC|=|BC|,∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線x+y1=0上,由x即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,1),又點(diǎn)A(1,2),∴AC邊所在直線的方程為x-即3x+y5=0.學(xué)科素養(yǎng)拔高練20.(多選)S=直線lsinθmx+cosθny=1,m,n為正常數(shù),θ∈[0,2π),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A.當(dāng)θ=π4時(shí),S中直線的斜率為B.S中所有直線均經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)C.當(dāng)m≥n時(shí),S中的兩條平行直線之間的距離的最小值為2nD.S中的所有直線可覆蓋整個(gè)直角坐標(biāo)平面答案ABD解析當(dāng)θ=π4時(shí),sinθ=cosθ,S中直線的斜率為nm,故A根據(jù)sinθmx+cosθny=1,可知S當(dāng)m≥n時(shí),S中的兩條平行直線間的距離為d=2sin2θm2+cos2(0,0)不滿足方程,∴S中的所有直線不可覆蓋整個(gè)平面,D不正確.21.已知P為等腰△ABC的底邊BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥AC于點(diǎn)N,證明:|PM|+|PN|為定值.證明以BC