11.2與三角形有關(guān)的角1

第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角如下圖所示是我們常用的三角板,它們的三個角之和為多少度?想一想:任意三角形的三個內(nèi)角之和也為180度嗎?30+60+90=18045+45+90=180思考與探索三角形的三個內(nèi)角和是多少?你有什么辦法可以驗證呢?180°實踐操作已知：△ABC的三個內(nèi)角為∠A、∠B、∠C求證：∠A+∠B+∠C=180°21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長BC到D，于是CE∥BA(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).∴∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作∠1=∠A，證法一21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長BC到D，過C作CE∥BA，∴∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°證法二F21ECBA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作EF∥BC，∴∠B=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°證法三CBEA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∴∠B+∠C+∠BAC=180°證法四

在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。

為了證明三個角的和為1800,轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補,這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.思路總結(jié)(口答)下列各組角是同一個三角形的內(nèi)角嗎?為什么?（2）60°，40°，90°（3）30°，60°，50°（1）3°，150°，27°

（是）（不是）（不是）鞏固練習(xí)（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°

則∠C=.（2）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4則∠A=

∠B=

∠C=.

（3）一個三角形中最多有

個直角？為什么？（4）一個三角形中最多有

個鈍角？為什么？（5）一個三角形中至少有

個銳角？為什么？（6）任意一個三角形中,最大的一個角的度數(shù)至少為

.102°80°60°40°60°211應(yīng)用新知ABC在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形內(nèi)角和定理，得,

∠A

+∠B+

∠C=180°即∠A

+∠B+

90°=180°，所以∠A

+∠B=90°.例題講解1也就是說，

直角三角形的兩個銳角互余.由三角形內(nèi)角和定理可得：

有兩個角互余的三角形是直角三角形。

直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以寫成Rt△ABC.ABC已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A,BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù)。D解：設(shè)∠A＝x0，則∠ABC＝∠C＝2x0∴x＋2x＋2x＝180（三角形內(nèi)角和定理）解得x＝36∴∠C＝2×360＝720∴∠DBC＝1800－900－720（三角形內(nèi)角和定理）在△BDC中，∵∠BDC＝900(三角形高的定義）∴∠DBC＝180?例題講解2如圖,C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。求下面各題.（1）∠DAC＝_____∠DAB＝______∠EBC＝_______∠CAB＝______A(2)從C島看A、B兩島的視角∠C是多少?50°80°40°DBCE北北解：∵AD∥BE∴∠DAB﹢∠ABE＝180°∴∠ABE

＝180°－∠DAB

＝180°－80°＝100°

在△ABC中,∠C

＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－60°＝90°∴

∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30°＝100°﹣40°＝60°例題講解3DCE北A50°∟B40°北MN在△AMC中∠AMC=90°,∠MAC=50°解：過點C畫MN⊥AD分別交AD、BE于點M、N12例:如圖,C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。∴∠1=180°-90°-50°=40°∵AD∥BE∴∠AMC+∠BNC=180°∴∠BNC=90°同理得∠2=50°∴∠ACB=180°-∠1-∠2=180°-40°-50°=90°例題講解3BDCE北A

你能想出一個更簡捷的方法來求∠C的度數(shù)嗎？1250°40°解：過點C畫CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,F∵CF∥AD,又AD∥BE∴CF∥BE∴∠2＝∠CBE＝40°∴∠ACB＝∠1﹢∠2＝50°﹢40°＝90°例題講解3解：在△ACD中∠CAD＝30°∠D＝90°DABC∴∠ACD=180°-30°-90°=60°在△BCD中∠CBD=45°∠D＝90°∴∠BCD=180°-90°-45°=45°∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°鞏固練習(xí)1.如圖,從A處觀測C處時仰角∠CAD＝30°,從B處觀測C處時仰角∠CBD＝45°.從C處觀測A、B兩處時視角∠ACB是多少?2.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,則△ABC是()A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形3.一個三角形至少有（）

A、一個銳角B、兩個銳角

C、一個鈍角D、一個直角BB鞏固練習(xí)4.如圖△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠A＝70°,∠ADE＝50°,求∠BDC的度數(shù).ABCDE解:∵∠A＝70°

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵CD平分∠ACB鞏固練習(xí)1、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=∠B=∠C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？解:設(shè)∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根據(jù)題意得:解得∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°所以△ＡＢＣ是直角三角形拓展與思考2小結(jié)1、三角形的內(nèi)角和：三角形三個內(nèi)角之和為180°2、由三角形內(nèi)角和等于180°，可得出(1)直角三角形兩銳角互余；(2)一個三角形最多有一個直角或鈍角；(3)任意一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；(4)一個三角形中至少有一個角小于或等于60°11.2.2三角形的外角ABCD三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角．ABCDE看一看：算一算：若∠A＝55o，∠B=60o,試求∠ACB,∠ACD,∠CAE的度數(shù)．并說出你的理由．探究？圖中哪些角是三角形的內(nèi)角，哪些角是三角形的外角？⌒⌒⌒⌒⌒115°60°65°55°125°通過上題的計算，你發(fā)現(xiàn)∠ACD，∠

CAE與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請你試著用自己的語言說一說．求下列各圖中∠1的度數(shù)。30°

60°

1

35°

120°

145°

50°

1∠1=∠1=∠1=90o85o95o學(xué)一學(xué)例1:如圖，D是△ABC的BC邊上一點，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).問：（1）中為什么∠ADC＝∠B+∠BAD？（2）中求∠C的度數(shù)還有其他方法嗎？ABCD80°70°40o40o⌒練一練如圖，在直角△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠BCD＝35°，求∠A與∠EBC的度數(shù).ABCDE∟⌒35°⌒⌒試一試已知圖中∠A、∠B、∠C分別為80°，20°

，30°

，求∠1的度數(shù)B

321ACDE如圖，試計算∠BOC的度數(shù)．想一想90o30o20oABCOD⌒110°

∠ACD

∠A(<、>)；∠ACD

∠B(<、>)結(jié)論：三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。DACB>>你選什么？把圖中∠1、∠2、∠3按由大到小的順序排列B

321ACDE∠1∠