第05講 橢圓 高頻考點(diǎn)精練（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁(yè)第05講橢圓(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·四川·眉山中學(xué)高二期中（文））橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【詳解】由題知，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上，且焦點(diǎn)相同，所以，解得（經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意），故選：C.2．（2022·江蘇·無(wú)錫市第一中學(xué)高二期中）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，則的值是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，焦點(diǎn)在軸上，，，，．故選：B3．（2022·湖南師大附中高二期中）曲線與曲線（且）的（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．離心率相等【答案】C【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為的橢圓．曲線（且）表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為的橢圓．故選：C.4．（2022·天津河北·高二期中）若橢圓上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為5，則它到左焦點(diǎn)的距離為（

）A．31 B．15 C．7 D．1【答案】C【詳解】橢圓中，，記橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，則，由橢圓的定義可知：，所以，故選：C.5．（2022·山東青島·高二期中）在平面上，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和為，若，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．線段 B．兩條射線 C．橢圓 D．不存在【答案】D【詳解】由題意可知，,所以點(diǎn)的軌跡為不存在.故選：D.6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【詳解】法一：由題意，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．法二：設(shè)，，由焦半徑公式可得：，故，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為9.故選：C．7．（2022·河南·駐馬店市第二高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知、是橢圓：的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓半徑（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．8．（2022·浙江·長(zhǎng)興縣教育研究中心高二期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；當(dāng)平面不垂直于圓錐軸時(shí)得到的截面可能是橢圓．若用周長(zhǎng)為的矩形截某圓錐得到橢圓，且橢圓與矩形的四邊恰好相切．設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿(mǎn)足題意的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【點(diǎn)睛】∵用周長(zhǎng)為28的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓，且與矩形ABCD的四邊相切，∴4（a＋b）＝28，即a＋b＝7，對(duì)于A，a＝6，b＝8，不滿(mǎn)足a＞b＞0，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，a＝8，b＝6，a＋b＝14≠7，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，a＝4，b＝3，滿(mǎn)足a＋b＝7，故C正確，對(duì)于D，a＝3，b＝4，不滿(mǎn)足a＞b＞0，故D錯(cuò)誤．故選：C．二、多選題9．（2022·江蘇· 高二期中）若橢圓上的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 D．的離心率為【答案】AB【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得或（舍），所以橢圓的方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率.故選：AB.10．（2022·云南·昆明一中高二期中）已知橢圓，，是橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn).下列說(shuō)法中正確的是（

）A．橢圓離心率為 B．的最大值為3C． D．【答案】ABCD【詳解】A：由知，則，所以，故A正確；B：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為，故B正確；C：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為0，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，為等邊三角形，，所以，故C正確；D：由橢圓的定義知，，故D正確.故選：ABCD.11．（2022·廣西·桂平市潯州高級(jí)中學(xué)高二期中）已知橢圓的離心率為，則的值可能為（

）A． B． C．5 D．25【答案】BC【詳解】可化為.當(dāng)時(shí)，，橢圓的離心率為，解得；當(dāng)時(shí)，，橢圓的離心率為，解得.故選：BC.12．（2022·廣東潮州·高二期末）方程表示的曲線為C，下列正確的命題是（

）A．曲線C可以是圓 B．若，則曲線C為橢圓C．若曲線C為雙曲線，則或 D．若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則【答案】ACD【詳解】A.若曲線C是圓，則，解得，故正確；B.若曲線C為橢圓，則，解得且，故錯(cuò)誤；C.若曲線C為雙曲線，則，解得或，故正確；D.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，解得，故正確；故選：ACD三、填空題13．（2022·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高二期中（文））若點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，，為左右焦點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由已知，，因此，，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，，是等邊三角形，，此時(shí)到軸距離等于．故答案為：．14．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.【答案】或##或【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，，此時(shí)，，解得；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，，此時(shí)，，解得.綜上所述，或.故答案為：或.15．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二期中）設(shè)，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為_(kāi)______.【答案】4【詳解】∵，；∴，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則①，②，由①2﹣②得，∴．故答案為：4．16．（2022·山西·高二期中）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____．【答案】【詳解】由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以.設(shè)，則，所以，，.故答案為：四、解答題17．（2022·遼寧·大連市第二十三中學(xué)高二期中）分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，；(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）①當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以此時(shí)橢圓方程為；②當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，不符合要求；所以橢圓方程為.（2）①當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以此時(shí)橢圓方程為；②當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以此時(shí)橢圓方程為，所以橢圓方程為或.18．（2022·山東青島·高二期中）已知橢圓C：，，分別為其左?右焦點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，離心率，過(guò)作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn).(1)求線段AB的長(zhǎng)；(2)求的周長(zhǎng)和面積.【答案】(1)；(2)的周長(zhǎng)為，面積為.【詳解】（1）∵橢圓的短軸長(zhǎng)為2，∴，又∵，∴，∴橢圓C的方程為：，，，設(shè)，，直線l的方程為：，由，可得，所以，，所以；（2）由于，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，所以的周長(zhǎng)為，因?yàn)榈街本€l：的距離為，所以的面積.B能力提升19．（2022·安徽·馬鞍山二中高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.(1)求橢圓的方程.(2)若過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)闄E圓離心率為，焦距，則解得，所以橢圓方程為.（2）已知橢圓方程，左焦點(diǎn)為，若傾斜角為，則斜率為，過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則聯(lián)立方程組得，，所以，所以.所以的面積為.20．（2022·天津一中高二期中）已知橢圓：的離心率為，且短軸長(zhǎng)等于雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，在圓：上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，求直線的方程..【答案】(1