傅里葉變換和系統(tǒng)的頻譜分析第四章

傅里葉變換和系統(tǒng)的頻譜分析第四章4.1 信號分解為正交函數(shù)4.2 傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜(傅里葉變換)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)4.7 周期信號的傅里葉變換4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析4.9 取樣定理4/2/202424.1信號分解為正交函數(shù)矢量的分量和矢量的分解平面矢量分解圖空間中的矢量分解圖4/2/20243正交信號空間設(shè)n個函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足下列特性：——常數(shù)則稱此函數(shù)集為正交函數(shù)集，這n個構(gòu)成一個n維正交信號空間。任意一個代表信號的函數(shù)f(t)，在區(qū)間內(nèi)可以用組成信號空間的這n個正交函數(shù)的線性組合來近似。4.1信號分解為正交函數(shù)信號的分量和信號的分解4/2/20244在使近似式的均方誤差最小條件下，可求得均方誤差4.1信號分解為正交函數(shù)信號的分量和信號的分解若令趨于無限大，的極限等于零則此正交函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。（定義1）——代表函數(shù)和間的相似程度或相關(guān)程度4/2/20245滿足等式i為任意整數(shù)則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。如果在正交函數(shù)集外,不存在函數(shù)，其中4.1信號分解為正交函數(shù)信號的分量和信號的分解完備正交函數(shù)集

（定義2）4/2/20246完備---有兩層意思：1.如果在區(qū)間內(nèi)與正交，則必屬于這個正交集。2.若與正交，但中不包含，則此集不完備。4.1信號分解為正交函數(shù)信號的分量和信號的分解即：函數(shù)f(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)可展開成完備正交函數(shù)空間中的無窮級數(shù)。4/2/20247如果在區(qū)間內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集滿足則稱為正交函數(shù)集。4.1信號分解為正交函數(shù)信號的分量和信號的分解復(fù)變函數(shù)的正交特性若復(fù)變函數(shù)集是完備的，則4/2/20248周期信號f(t)在區(qū)間(t0,t0+T)可以展開成在完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的無窮級數(shù)就分別稱為“三角型傅里葉級數(shù)”或“指數(shù)型傅里葉級數(shù)”，統(tǒng)稱傅立葉級數(shù)。

1822年法國數(shù)學(xué)家傅里葉（1768－1830）在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開為三角函數(shù)的無窮級數(shù)的原理。4.2傅里葉級數(shù)4/2/202494.2傅里葉級數(shù)Dirichlet條件：(1)在一個周期內(nèi)絕對可積； (2)在一個周期內(nèi)只有有限個有限值的不連續(xù)點；(3)在一個周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值。1829年，Dirichlet給出了補充，只有當(dāng)周期信號f(t)滿足Dirichlet條件時，才能展開為傅立葉級數(shù)。(電子技術(shù)中的周期信號大都滿足條件。)4/2/202410三角函數(shù)集是完備正交函數(shù)集4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)Sin0=0不包含在三角函數(shù)集中!4/2/2024114.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)傅里葉系數(shù)：4/2/2024124.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/2024134.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角形傅里葉級數(shù)4/2/202414例：將下圖所示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)解：4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/2024154.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202416所以，所示信號的傅里葉展開式為：思考：取多少次諧波才能有效表示這個信號？？？均方誤差為考慮時，本例中：4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/2024174.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202418吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續(xù)點附近出現(xiàn)起伏，起伏頻率隨諧波分量增加而增加，起伏峰值不隨諧波分量增加而減少，起伏峰值有9%的超量。4/2/202419吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因

時間信號的跳變破壞了信號的收斂性，使得在間斷點處傅里葉級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。

4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)N=5N=15N=50N=5004/2/202420若給定的函數(shù)f(t)具有某些特點，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零，從而使傅里葉系數(shù)的計算簡化。f(t)為偶函數(shù)4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202421偶函數(shù)信號的傅里葉級數(shù)展開式中只含有直流項與余弦項。4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202422f(t)為奇函數(shù)奇對稱信號的傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦項。4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202423f(t)為奇諧函數(shù)(半波鏡像信號)f(t)為偶諧函數(shù)(半波重疊信號)偶諧信號只含有正弦與余弦的偶次諧波分量和直流分量，而無奇次諧波分量。奇諧信號只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流和偶次諧波分量。4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202424例：正弦交流信號經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如圖所示，求其傅里葉級數(shù)展開形式。解(1)全波整流信號信號為偶函數(shù)，又是偶諧函數(shù)4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/2024254.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/2024264.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202427解(2)半波整流信號4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202428周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為三角型傅里葉級數(shù)4/2/202429復(fù)指數(shù)函數(shù)集是完備正交函數(shù)集4.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為指數(shù)型傅里葉級數(shù)4/2/2024304.2傅里葉級數(shù)周期信號展開為指數(shù)型傅里葉級數(shù)傅里葉系數(shù)：4/2/2024314.2傅里葉級數(shù)從三角型傅里葉級數(shù)推導(dǎo)出指數(shù)形式4/2/2024324.2傅里葉級數(shù)從三角型傅里葉級數(shù)推導(dǎo)出指數(shù)形式若f(t)為實函數(shù)4/2/2024334.2傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式4/2/202434例試計算圖示周期矩形脈沖信號f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。解:因此，f

(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為4.2傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式4/2/202435例求Fn解:

根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的定義可得4.2傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式4/2/2024364.2傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)總結(jié)4/2/202437從功率的角度來考察周期信號時域和頻域特性間的關(guān)系4.3周期信號的頻譜周期信號的功率直流功率諧波功率

物理意義：任意周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。4/2/202438例

求f

(t)的功率。解：1)2)4.3周期信號的頻譜周期信號的功率4/2/202439頻譜的概念或通過研究傅里葉系數(shù)An、Fn

和

來研究信號的特性，它們是頻率的函數(shù)，反映了組成信號各頻率分量的幅度、相位的分布情況，稱為頻譜函數(shù)。4.3周期信號的頻譜周期信號的頻譜4/2/202440單邊幅度譜和雙邊幅度譜4.3周期信號的頻譜周期信號的頻譜4/2/2024414.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜周期性矩形脈沖的頻譜是離散的，僅含有的分量，其相鄰兩譜線的間隔是，脈沖周期T越長，譜線間隔越小。周期矩形脈沖信號的頻譜()4/2/202442周期矩形脈沖信號的頻帶寬度(帶寬，)周期矩形信號的譜線幅度按的規(guī)律變化。在處，即處，包絡(luò)為零，其相應(yīng)的譜線亦等于零。周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，但其信號能量主要集中在第一個零點以內(nèi)。在允許一定失真條件下，只需傳送頻率較低的那些分量就足夠表達(dá)原信號。4.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202443物理意義：在信號的有效帶寬內(nèi)，集中了信號絕大部分諧波分量。若信號丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會對信號產(chǎn)生明顯影響。當(dāng)信號通過系統(tǒng)時，信號與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”4.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜通常把稱為周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度或有效帶寬，簡稱帶寬。4/2/202444周期矩形脈沖信號的脈沖寬度與帶寬、幅度頻譜的關(guān)系結(jié)論：脈沖寬度越窄，有效帶寬越寬，高頻分量越多。即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用的頻帶越寬。4.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202445周期矩形脈沖信號頻譜中周期與譜線密度的關(guān)系4.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202446非周期信號結(jié)論：當(dāng)不變，T增大，譜線間隔減小，譜線逐漸密集，幅度減小。

連續(xù)頻率，幅度4.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202447周期信號頻譜的特點離散性——譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間的間隔為。這種頻譜常稱為離散頻譜。收斂性——各頻譜線的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當(dāng)諧波次數(shù)無限增高時，譜線的高度也無限減小。諧波性——譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。4.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜若信號時域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號時域波形變化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。4/2/202448例：計算圖示信號頻譜在第一個零點內(nèi)各分量的功率占總功率的百分比解：傅里葉系數(shù)：第一個過零點在n=5第一個過零點內(nèi)功率：有：4.3周期信號的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202449求其傅里葉級數(shù)。例：單位沖激函數(shù)的間隔為T，用符號

T(t)表示周期單位沖激序列：解：

T(t)是周期函數(shù)，求其傅里葉級數(shù)：4.3周期信號的頻譜周期單位沖激序列的頻譜4/2/202450FS4.3周期信號的頻譜周期單位沖激序列的頻譜可見，周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)中只包含位于

=0,Ω,2Ω,,nΩ,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T。4/2/202451頻譜密度函數(shù)4.4非周期信號的頻譜傅里葉變換4/2/202452此時，為了表明幅度間的相對差別，有必要引入一個新的量——“頻譜密度函數(shù)”設(shè)周期信號4.4非周期信號的頻譜傅里葉變換則4/2/2024534.4非周期信號的頻譜傅里葉變換4/2/202454頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別（1）周期信號的頻譜為離散的， 非周期信號的頻譜密度為連續(xù)的。（2）周期信號的頻譜為Fn的分布，表示每個諧波分量的復(fù)振幅；非周期信號的頻譜為TFn的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。

兩者關(guān)系：4.4非周期信號的頻譜傅里葉變換時域非周期<->頻域連續(xù)時域周期<->頻域離散4/2/2024554.4非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉反變換4/2/2024564.4非周期信號的頻譜傅里葉變換模相位實部虛部非周期信號可以分解為無數(shù)個虛指數(shù)信號的線性組合，這些信號的頻率是連續(xù)的，幅度為無窮小。4/2/202457例試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜密度函數(shù)。解：非周期矩形脈沖信號f(t)的時域表示式為由傅里葉正變換定義式，可得

4.4非周期信號的頻譜傅里葉變換非常重要的公式！信號在時域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù)4/2/2024581t0f(t)4.4非周期信號的頻譜常用信號的傅里葉變換單邊指數(shù)信號4/2/2024594.4非周期信號的頻譜常用信號的傅里葉變換001t0f(t)4/2/202460f(t)0t4.4非周期信號的頻譜常用信號的傅里葉變換0雙邊指數(shù)信號4/2/202461物理意義：在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。因此，這種頻譜常稱為“均勻譜”或“白色譜”

4.4非周期信號的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位沖激函數(shù)時域內(nèi)的無限窄<->頻域內(nèi)的無限寬4/2/2024624.4非周期信號的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換時域內(nèi)的無限寬<->頻域內(nèi)的無限窄4/2/2024634.4非周期信號的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜4/2/2024644.4非周期信號的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換符號函數(shù)的頻譜sgn函數(shù)不滿足絕對可積條件，但它可以看作是奇雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)α→0時的極限。4/2/2024654.4非周期信號的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換4/2/2024664.4非周期信號的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位階躍信號4/2/202467傅里葉變換的性質(zhì)線性奇偶性對稱性尺度變換時移特性卷積定理時域微分和積分頻域微分和積分4.5傅里葉變換的性質(zhì)4/2/202468說明：和信號的頻譜等于各個單獨信號的頻譜之和。4.5傅里葉變換的性質(zhì) 線性線性例：4/2/202469奇偶性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 奇偶性4/2/202470時域?qū)嵟?lt;->頻域?qū)嵟紩r域?qū)嵠?lt;->頻域虛奇4.5傅里葉變換的性質(zhì) 奇偶性4/2/202471例：求取樣函數(shù)Sa(t)的頻譜函數(shù).解：已知根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)即4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對稱性對稱性4/2/202472根據(jù)傅里葉變換的對稱性質(zhì)，則有即4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對稱性4/2/202473例：求函數(shù)t-1

的頻譜函數(shù).解：已知可得則4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對稱性4/2/2024744.5傅里葉變換的性質(zhì) 對稱性4/2/202475尺度變換4.5傅里葉變換的性質(zhì) 尺度變換4/2/2024764.5傅里葉變換的性質(zhì) 尺度變換4/2/202477時移特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時移特性4/2/2024784.5傅里葉變換的性質(zhì) 時移加尺度變換4/2/202479例：求下列所示三脈沖信號的頻譜。解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時移特性4/2/202480其頻譜如下：4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時移特性4/2/202481頻移特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 頻移特性4/2/2024824.5傅里葉變換的性質(zhì) 頻移特性4/2/202483卷積定理4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理

卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，在通信系統(tǒng)和信號處理中占有重要地位，應(yīng)用最廣。4/2/202484例:已知余弦脈沖信號解：利用卷積定理求其頻譜。把余弦脈沖信號看成是矩形脈沖信號Ｇ(t)與周期余弦信號相乘。4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理4/2/202485時域頻域4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理4/2/202486微分特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 微分特性4/2/202487積分特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/202488例：求下列截平斜變信號的頻譜解：利用積分特性求y(t)的頻譜Y(jω)已知：y(t)的導(dǎo)數(shù)是矩形脈沖信號f(t)求導(dǎo)數(shù)4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/202489根據(jù)積分特性求出y(t)的頻譜Y

(jω)時移時移4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/202490解(a)：(b)：例：求圖所示信號的傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/2024914.5傅里葉變換的性質(zhì) 綜合運用4/2/2024924.5傅里葉變換的性質(zhì) 綜合運用4/2/202493小結(jié)：非周期信號和周期信號一樣，可以分解成許多不同頻率的虛指數(shù)分量。由于非周期信號的周期趨于無限大，基波頻率趨于無限小，于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量。由于非周期信號的周期趨于無限大，因此它所包含的各頻率分量的幅度趨于零。非周期信號的頻譜用頻譜密度來表示。周期信號其頻譜為離散譜（傅里葉系數(shù)）,非周期信號其頻譜為連續(xù)譜（傅里葉變換）周期信號與非周期信號，傅里葉系數(shù)與傅里葉變換，離散譜與連續(xù)譜，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化并統(tǒng)一起來。4.5傅里葉變換的性質(zhì)4/2/202494一般非周期信號（能量信號）的Parseval定理4.7周期信號的傅里葉變換時域和頻域的能量關(guān)系4/2/202495Parseval定理：非周期信號在時域中求得的信號能量等于在頻域中求得的信號能量。4.7周期信號的傅里葉變換時域和頻域的能量關(guān)系4/2/202496周期信號非周期信號周期無窮大求和變求積分周期信號不滿足絕對可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對可積條件就成為不必要的限制，也就有周期信號的傅里葉變換。目的：把周期信號與非周期信號的分析方法統(tǒng)一起來，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。4.7周期信號的傅里葉變換周期信號的頻譜傅里葉級數(shù)傅里葉變換FSFTFTFS4/2/2024974.7周期信號的傅里葉變換常見周期信號的傅里葉變換虛指數(shù)信號

同理:

虛指數(shù)信號的頻譜密度4/2/202498余弦信號及其頻譜密度4.7周期信號的傅里葉變換常見周期信號的傅里葉變換4/2/202499正弦信號及其頻譜密度4.7周期信號的傅里葉變換常見周期信號的傅里葉變換4/2/2024100令周期信號f(t)的周期為T，角頻率為Ω=2

f4.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換表示在無窮小的頻帶范圍內(nèi)（即諧頻點）取得了無限大的頻譜密度值。4/2/20241014.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換例：求周期為T，寬度為τ的矩形脈沖信號PT(t)的頻譜密度函數(shù)解：PT(t)的的傅里葉系數(shù)：4/2/2024102代入到上式中，得周期矩形脈沖的傅里葉變換由位于的沖激函數(shù)所組成。周期矩形脈沖的傅里葉變換是頻譜密度，其在的幅度是：4.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換4/2/2024103求傅里葉變換。例：單位沖激函數(shù)的間隔為T，用符號

T(t)表示周期單位沖激序列：4.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換解：可見，周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)中只包含位于

=0,Ω,2Ω,,nΩ,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T

T(t)是周期函數(shù)，其傅里葉級數(shù)：4/2/2024104求

T(t)的傅里葉變換。可見，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于

=0,Ω,2Ω,，nΩ,頻率處的沖激函數(shù)，其強度大小相等，均等于Ω

。4.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換4/2/2024105FTFS0t

-2T–T0T2Tt

0t4.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換FT4/2/20241064.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換4/2/2024107例4.7周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換4/2/20241084.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)本節(jié)只研究零狀態(tài)響應(yīng)時域分析法即將分解為無限個之疊加。即零狀態(tài)響應(yīng)分解為所有被激勵加權(quán)的之疊加。時域方法缺點：計算復(fù)雜。4/2/2024109虛指數(shù)信號ejwt(-

<t<

)通過連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)其中4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024110任意非周期信號通過連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若信號f(t)的傅里葉變換存在，則可由虛指數(shù)信號ejwt(-

<t<

)的線性組合表示，即由系統(tǒng)的線性時不變特性，可推出信號f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024111任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)由積分特性由均勻性即Yzs

(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024112幅度響應(yīng)相位響應(yīng)LTI系統(tǒng)把頻譜為F(jw)

的輸入改變成頻譜為H(jw)F(jw)的響應(yīng)，改變的規(guī)律完全由H(jw)決定。Yzs

(jw)=H(jw)F(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念H(jw)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性

H(jw)稱為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，定義為4/2/2024113結(jié)論：(1)在線性時不變系統(tǒng)的分析中，無論時域、頻域的方法都可按信號分解、求響應(yīng)再疊加的原則來處理，實質(zhì)相同。(2)頻域分析法與時域分析法不同處在于信號分解的單元函數(shù)不同。Fourier變換的時域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。物理意義：4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024114解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得例已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024115例已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(e-t-e-2t)ε(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解：利用H(jw)與h(t)的關(guān)系4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024116頻域電路模型時域電路模型（RC低通網(wǎng)絡(luò)）頻域阻抗4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024117例圖示RC電路系統(tǒng)，激勵電壓源為f(t)，輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓，電路的起始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和沖激響應(yīng)h(t)。解：RC電路的頻域模型如圖，由Fourier反變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為由電路的基本原理有4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024118RC電路系統(tǒng)的幅度響應(yīng)隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|不斷減小，說明信號的頻率越高，信號通過該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。低通濾波器4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024119利用傅里葉分析方法求解線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024120例

已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f

'(t)+4

f(t)，系統(tǒng)的輸入激勵f(t)=e-3tε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。解：由于輸入激勵f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)的頻譜函數(shù)Yzs(jw)為4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024121例：如圖所示系統(tǒng)，已知條件如下，求輸出響應(yīng)。解:(1)先求x(t)的傅里葉變換，已知4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/20241224.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024123連續(xù)周期信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)的頻域分析將周期為T的周期信號f(t)用Fourier級數(shù)展開為利用虛指數(shù)信號ejnΩt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)為4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為4/2/2024124例：某LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)如圖，求f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)時的系統(tǒng)響應(yīng)。解法（1）：設(shè)輸出y(t)→Yn4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024125解法（2）：用傅里葉變換法4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024126直流基波二次諧波直流基波二次諧波4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/20241274.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

優(yōu)點：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號頻譜的改變，解釋激勵與響應(yīng)時域波形的差異，物理概念清楚。

不足： （1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍需按時域方法求解。（2）若激勵信號不存在傅里葉變換，則無法利用頻域分析法。（3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復(fù)雜。解決方法：采用拉普拉斯變換系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)4/2/2024128無失真：系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵相比，波形無任何變化，即：僅在幅度因子或出現(xiàn)時間上有變化，稱信號在傳輸過程中無失真。失真：系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵波形不相同，稱信號在傳輸過程中產(chǎn)生了失真。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024129信號失真原因4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024130線性系統(tǒng)的幅度失真與相位失真都不產(chǎn)生新的頻率分量。非線性系統(tǒng)：由于非線性特性對所傳輸信號產(chǎn)生非線性失真。非線性失真可能產(chǎn)生新的頻率分量。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024131信號的失真有正反兩方面：如果有意識地利用系統(tǒng)進行波形變換，則要求信號經(jīng)系統(tǒng)必然產(chǎn)生失真。如果要進行原信號的傳輸，則要求傳輸過程中信號失真最小，即要研究無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024132線性系統(tǒng)無失真條件波形無改變則稱為無失真實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑧?yīng)滿足的條件4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024133信號通過系統(tǒng)時，諧波的相移與其頻率成正比。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏攷挓o限大4/2/2024134例：基波二次諧波為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時間，以保證不產(chǎn)生相位失真，應(yīng)有4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024135群時延概念4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024136特定波形的形成實際應(yīng)用中，有意識地利用系統(tǒng)引起失真來形成某種特定波形。這時，系統(tǒng)傳輸函數(shù)則應(yīng)根據(jù)所需要求進行設(shè)計。例：利用沖激信號作用于系統(tǒng)產(chǎn)生某種特定的波形的方法。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/2/2024137理想濾波器的頻率響應(yīng)濾波器是指能使信號的一部分頻率通過(無失真?zhèn)鬏?，而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。

理想低通

理想高通

理想帶通

理想帶阻4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024138理想低通濾波器的頻域特性為截止頻率(Cutofffrequency)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024139理想低通濾波器的沖激響應(yīng)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024140理想低通濾波器的沖激響應(yīng)

分析：1)h(t)的波形是一個取樣函數(shù)，不同于輸入信號d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng)，而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。

減小失真方法：增加理想低通截頻wc。

h(t)的主瓣寬度為2p/wc，wc越小，失真越大。當(dāng)wc

時，理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，

h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024141理想低通濾波器的沖激響應(yīng)

分析：2)h(t)主峰出現(xiàn)時刻t=td

比輸入信號d(t)作用時刻t=0延遲了一段時間td

。td是理想低通濾波器相位響應(yīng)的斜率。3)h(t)在t<0的區(qū)間也存在輸出，可見理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因而它是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024142取樣、取樣信號的概念取樣

利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列的離散樣值fs(t)=f(t)?s(t)的過程。經(jīng)抽取后的一系列的離散信號fs(t)

。取樣信號fs(t)與取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t是完全不同的兩個含義。取樣也稱為“采樣”或“抽樣”。取樣信號

4.9取樣定理基本概念4/2/2024143實現(xiàn)取樣的原理及框圖取樣原理：連續(xù)信號經(jīng)取樣成取樣信號，再經(jīng)量化、編碼變成數(shù)字信號。將這種數(shù)字信號經(jīng)傳輸，進行上述逆過程，就可恢復(fù)出原連續(xù)信號。取樣量化編碼連續(xù)信號f(t)取樣信號數(shù)字信號fs(t)取樣脈沖s(t)4.9取樣定理基本概念4/2/2024144思考：1.取樣信號fs(t)的傅里葉變換什么樣？它和未經(jīng)取樣的原連續(xù)信號f(t)的傅里葉變換有什么聯(lián)系？2.連續(xù)信號被取樣后，它是否保留了原信號f(t)的全部信息？3.在什么條件下，可從取樣信號fs(t)中無失真地恢復(fù)出原連續(xù)信號f(t)？4.9取樣定理基本概念4/2/20241454.9取樣定理基本概念……沖激取樣(理想取樣）取樣脈沖s(t)是沖激序列……矩形脈沖取樣(自然取樣）取樣脈沖s(t)是矩形4/2/2024146設(shè)連續(xù)信號取樣脈沖信號取樣后信號采用均勻取樣，取樣周期為Ts，取樣頻率為：取樣過程：取樣脈沖序列s(t)與連續(xù)信號f(t)相乘。即：4.9取樣定理取樣信號的傅里葉變換取樣信號的傅里葉變換4/2/2024147s(t)是周期信號，其傅里葉變換其中是s(t)的傅里葉系數(shù)根據(jù)頻域卷積定理：化簡4.9取樣定理取樣信號的傅里葉變換4/2/2024148沖激取樣(理想取樣）若取樣脈沖s(t)是沖激序列頻譜頻譜…………4.9取樣定理取樣信號的傅里葉變換4/2/2024149得到?jīng)_激取樣信號的頻譜：頻譜……4.9取樣定理取樣信號的傅里葉變換4/2/2024150結(jié)論：信號在時域