四章節(jié)互換定價

四章節(jié)互換定價四章節(jié)互換定價1四章節(jié)互換定價2四章節(jié)互換定價3例1.一年支付一次利息的4年期利率互換。固定利率支付方發(fā)行付息頻率為1的一個4年期固定利率債券＋發(fā)債收入投資一個4年期的浮動利率債券1.與債券組合的等價關(guān)系例1.一年支付一次利息的4年期利率互換。固定利率支付方發(fā)行42.與FRA的等價關(guān)系

利率互換也可看成一系列的遠期利率協(xié)議的組合：

固定利率支付方等同于購買了多個遠期利率協(xié)議。不同的是遠期利率協(xié)議在貸款初期支付利息差，而利率互換在貸款期結(jié)束支付利息差。對于例1中的利率互換，可以看成有4個一年期的遠期利率協(xié)議組成，其中第一合約的延展期是0。2.與FRA的等價關(guān)系利率互換也可看成一系列的5這樣，第一次支付的浮動利率已知，而未來幾次的浮動利率支付根據(jù)無套利定價原理，通過FRA市場的相應(yīng)期限的協(xié)議利率即遠期利率可以獲得。如例1中：5.00???5.4465.4465.4465.446a.利率互換5.00???5.005.255.55.75b.四個遠期利率協(xié)議2.與FRA的等價關(guān)系這樣，第一次支付的浮動利率已知，而未來幾次的浮動利率支付根據(jù)6假設(shè)互換不存在違約風(fēng)險（一）運用債券組合給利率互換定價考慮一個2003年9月1日生效的三年期的利率互換，名義本金是1億美元。B公司同意支付給A公司年利率為5％的利息，同時A公司同意支付給B公司6個月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。

LIBOR5%A公司

B公司

第二節(jié).利率互換定價的計算方法假設(shè)互換不存在違約風(fēng)險A公司B公司第二節(jié).利率互換7

表4.1利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表（百萬美元）

日期

LIBOR(5%)收到的浮動利息

支付的固定利息

凈現(xiàn)金流

2003.9.14.202004.3.14.80+2.10－2.50－0.402004.9.15.30+2.40－2.50－0.102005.3.15.50+2.65－2.50＋0.152005.9.15.60+2.75－2.50＋0.252006.3.15.90+2.80－2.50＋0.302006.9.16.40+2.95－2.50＋0.45表4.1利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表（百萬8利率互換的分解上述利率互換可以看成是兩個債券頭寸的組合，分解成：1、B公司按6個月LIBOR的利率借給A公司1億美元。

2、A公司按5%的年利率借給B公司1億美元。換個角度看，就是B公司向A公司購買了一份1億美元的浮動利率（LIBOR）債券，同時向A公司出售了一份1億美元的固定利率（5％的年利率，每半年付息一次）債券。

利率互換的分解上述利率互換可以看成是兩個債券頭寸的組合，分解9（一）運用債券組合定價1.浮動利率債券的價值：復(fù)習(xí)1.

未來發(fā)生的任何一個現(xiàn)金流其合理的折現(xiàn)利率應(yīng)該是即期利率，根據(jù)即期利率與遠期利率的關(guān)系，每年記一次利息的4年后的1元錢應(yīng)該相當(dāng)于現(xiàn)在的：其中Ri是i年期即期利率（一）運用債券組合定價1.浮動利率債券的價值：其中Ri是i10復(fù)習(xí)2.根據(jù)無套利定價原理，遠期利率協(xié)議的協(xié)議利率應(yīng)該使得合約的初始價值為0,即協(xié)議利率應(yīng)該等于未來浮動利率的期望值，故，我們可以將協(xié)議利率看做未來浮動利率的預(yù)期，即將未來支付的浮動利息用協(xié)議利率乘以本金來代替。而這個協(xié)議利率就是遠期利率。復(fù)習(xí)2.根據(jù)無套利定價原理，遠期利率協(xié)議的協(xié)議利率應(yīng)該使得11因此，對于例1中的4年期浮動利率債券，假設(shè)面值為1元，其未來利息支付依次是：設(shè)每年的折現(xiàn)因子為：因此，對于例1中的4年期浮動利率債券，假設(shè)面值為1元，其未來12由此，浮動利率債券當(dāng)前的價值為：因此，在任何利息支付日支付利息后，浮動利率債券的價值為1,故浮動利率債券一般按面值發(fā)行。由此，浮動利率債券當(dāng)前的價值為：因此，在任何利息支付日支付利13（一）運用債券組合定價定義

:互換合約中分解出的固定利率債券的價值。

:互換合約中分解出的浮動利率債券的價值。那么，對B公司而言，這個互換的價值就是：（4.1）（一）運用債券組合定價定義14為了說明公式（4.1）的運用，定義：距第i次現(xiàn)金流交換的時間（1≤i≤n）。

L：利率互換合約中的名義本金額。：到期日為ti的零息票債券利率：支付日支付的固定利息額。那么，固定利率債券的價值為（一）運用債券組合定價為了說明公式（4.1）的運用，定義（一）運用債券組合定價15接著考慮浮動利率債券的價值。根據(jù)浮動利率債券的性質(zhì)，在緊接浮動利率債券支付利息的那一刻，浮動利率債券的價值為其本金L。假設(shè)利息下一支付日應(yīng)支付的浮動利息額為（這是已知的），那么在下一次利息支付前的一刻，浮動利率債券的價值為。在我們的定義中，距下一次利息支付日還有的時間，那么今天浮動利率債券的價值應(yīng)該為：

根據(jù)公式（4.1），我們就可以得到互換的價值（一）運用債券組合定價接著考慮浮動利率債券的價值。根據(jù)浮動利率債券的性質(zhì)，在緊接浮16

例4.1假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機構(gòu)支付6個月期的LIBOR，同時收取8％的年利率（半年計一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有1.25年的期限。3個月、9個月和15個月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利率）分別為10％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6個月LIBOR為10.2％（半年計一次復(fù)利）。

在這個例子中萬，萬，因此

例4.1假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機構(gòu)支付6個月期的L17因此，利率互換的價值為：98.87－102.51＝－$427萬利率互換中固定利率一般選擇使互換初始價值為0的那個利率，在利率互換的有效期內(nèi)，它的價值有可能是負的，也有可能是正的。這和遠期合約十分相似，因此利率互換也可以看成遠期合約的組合。（一）運用債券組合定價因此，利率互換的價值為：（一）運用債券組合定價18（二）運用遠期利率協(xié)議定價遠期利率協(xié)議（FRA）是這樣一筆合約，合約里事先確定將來某一時間一筆借款的利率。不過在FRA執(zhí)行的時候，支付的只是市場利率與合約協(xié)定利率的利差。

只要知道利率的期限結(jié)構(gòu)，我們就可以計算出FRA對應(yīng)的遠期利率和FRA的價值，具體步驟如下：1.計算遠期利率。2.確定現(xiàn)金流。3.將現(xiàn)金流貼現(xiàn)。（二）運用遠期利率協(xié)議定價遠期利率協(xié)議（FRA）是這樣一筆合19例4.2我們再看例4.1中的情形。3個月后要交換的現(xiàn)金流是已知的，金融機構(gòu)是用10.2％的年利率換入8％年利率。所以這筆交換對金融機構(gòu)的價值是：為了計算9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值，我們必須先計算從現(xiàn)在開始3個月到9個月的遠期利率。根據(jù)遠期利率的計算公式3個月到9個月的遠期利率為

例4.2我們再看例4.1中的情形。3個月后要交換的現(xiàn)金流是2010.75％的連續(xù)復(fù)利對應(yīng)的每半年計一次復(fù)利的利率為

所以，9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為：同樣，為了計算15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值，我們必須先計算從現(xiàn)在開始9個月到15個月的遠期利率。10.75％的連續(xù)復(fù)利對應(yīng)的每半年計一次復(fù)利的利率為2111.75％的連續(xù)復(fù)利對應(yīng)的每半年計一次復(fù)利的利率為所以，15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為那么，作為遠期利率協(xié)議的組合，這筆利率互換的價值為

-107-141-179=-427萬美元這個結(jié)果與運用債券組合定出的利率互換價值一致。

11.75％的連續(xù)復(fù)利對應(yīng)的每半年計一次復(fù)利的利率為22啟示任意時刻互換的定價需要用到利率期限結(jié)構(gòu)，浮動利率債券的定價同樣也要用到利率期限結(jié)構(gòu)，因此利率期限結(jié)構(gòu)建模在固定收益證券定價和利率衍生品定價中至關(guān)重要。而利率互換市場的發(fā)展可以為利率期限結(jié)構(gòu)建模提供市場化數(shù)據(jù)。啟示任意時刻互換的定價需要用到利率期限結(jié)構(gòu)，浮動利率債券的定23第三節(jié)、貨幣互換的定價

（一）運用債券組合給貨幣互換定價

在沒有違約風(fēng)險的條件下，貨幣互換一樣也可以分解成債券的組合，不過不是浮動利率債券和固定利率債券的組合，而是一份外幣債券和一份本幣債券的組合。假設(shè)A公司和B公司在2003年10月1日簽訂了一份5年期的貨幣互換協(xié)議。

第三節(jié)、貨幣互換的定價（一）運用債券組合給貨幣互換定價24如圖4.5所示，合約規(guī)定A公司每年向B公司支付11％的英鎊利息并向B公司收取8％的美元利息。本金分別是1500萬美元和1000萬英鎊。A公司的現(xiàn)金流如表4.4所示。A公司持有的互換頭寸可以看成是一份年利率為8％的美元債券多頭頭寸和一份年利率為11％的英鎊債券空頭頭寸的組合。

11%的英鎊利息

8%的美元利息

圖4.5A公司和B公司的貨幣互換流程圖

A公司B公司如圖4.5所示，合約規(guī)定A公司每年向B公司支付11％的英鎊利25

表4.4貨幣互換中A公司的現(xiàn)金流量表（百萬）

日期

美元現(xiàn)金流

英鎊現(xiàn)金流

2003.10.1－15.00＋10.002004.10.1+1.20－1.102005.10.1+1.20－1.102006.10.1+1.20－1.102007.10.1+1.20－1.102008.10.1+16.20－11.10表4.4貨幣互換中A公司的現(xiàn)金流量表（百萬）26如果我們定義為貨幣互換的價值，那么對收入本幣、付出外幣的那一方：其中是用外幣表示的從互換中分解出來的外幣債券的價值；是從互換中分解出來的本幣債券的價值；是即期匯率（直接標價法）。對付出本幣、收入外幣的那一方：

如果我們定義為貨幣互換的價值，那么對收入本幣、付出外幣27例4.3假設(shè)在美國和日本LIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是4％而在美國是9％（都是連續(xù)復(fù)利），某一金融機構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利率為5％，同時付出美元，利率為9％。兩種貨幣的本金分別為1000萬美元和120000萬日元。這筆互換還有3年的期限，即期匯率為1美元＝110日元。例4.3假設(shè)在美國和日本LIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日28如果以美元為本幣，那么貨幣互換的價值為：如果該金融機構(gòu)是支付日元收入美元，則貨幣互換對它的價值為－129.17萬美元。

如果以美元為本幣，那么29（二）運用遠期組合給貨幣互換定價貨幣互換還可以分解成一系列遠期合約的組合，貨幣互換中的每一次支付都可以用一筆遠期外匯協(xié)議的現(xiàn)金流來代替。因此只要能夠計算貨幣互換中分解出來的每筆遠期外匯協(xié)議的價值，就可以知道對應(yīng)的貨幣互換的價值。

（二）運用遠期組合給貨幣互換定價貨幣互換還可以分解成一系列遠30我們看例4.3，即期匯率為1美元＝110日元，或者是1日元＝0.009091美元。因為美元和日元的年利差為5％，根據(jù)，一年期、兩年期和三年期的遠期匯率分別為我們看例4.3，即期匯率為1美元＝110日元，或者是1日元＝31與貨幣互換等價的三份遠期合約的價值分別為：與最終的本金交換等價的遠期合約的價值為

所以這筆互換的的價值為，和運用債券組合定價的結(jié)果一致。與貨幣互換等價的三份遠期合約的價值分別為：32第四節(jié)、互換的違約風(fēng)險上面的利率互換和貨幣互換中都沒有考慮違約風(fēng)險，因此其浮動利率為LIBOR，但更多的情況下，根據(jù)對方違約風(fēng)險的大小，浮動利率為LIBOR加一定的基點。也是由于違約風(fēng)險，折現(xiàn)因子也不再是無風(fēng)險的即期利率，并且由于利率支付方不同，違約風(fēng)險不同，雙方的折現(xiàn)因子可能也不相同。如何定價？？第四節(jié)、互換的違約風(fēng)險上面的利率互換和貨幣互換中都沒有考慮違33對于浮動利率支付方，其對應(yīng)的浮動利率債券在任何付息日的價值仍然為面值，因為其折現(xiàn)因子和浮動利息中的信用利差是相同的。對于固定利率支付方，其固定利率的折現(xiàn)因子需要根據(jù)固定利率支付方的信用評級來評定，可能與浮動利率不一樣，因此定價公式有所改變。第四節(jié)、互換的違約風(fēng)險對于浮動利率支付方，其對應(yīng)的浮動利率債券在任何付息日的價值仍34金融機構(gòu)通常會通過簽訂兩份相互抵消的互換合約來規(guī)避利率風(fēng)險。但這種方式不能對沖互換的信用風(fēng)險。當(dāng)互換合約對金融機構(gòu)