微積分-不定積分-教案-課件

第五章

不定積分1第五章

不定積分1例第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定積分又稱反導(dǎo)數(shù),它是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算.

本章所講的內(nèi)容就是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。2例第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定精品資料3精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒(méi)有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽(yáng)曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒(méi)有學(xué)問(wèn)無(wú)顏見(jiàn)爹娘……”“太陽(yáng)當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥(niǎo)說(shuō)早早早……”44原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1)原函數(shù)是否存在？(2)是否唯一？因此初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)

。(但原函數(shù)不一定是初等函數(shù))

5原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1)唯一性？6唯一性？6任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為定義

7任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為定義7例1求解解例2求8例1求解解例2求8由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.或或9由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？二、基本積分表10實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？二、基本積分表10基本積分表

(k是常數(shù));說(shuō)明：11基本積分表(k是常數(shù));說(shuō)明：11基本積分表

(k是常數(shù));12基本積分表(k是常數(shù));12基本積分表

13基本積分表13例3求積分解根據(jù)積分公式（2）14例3求積分解根據(jù)積分公式（2）14例4設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)(1,3)所求曲線方程為-2-1O12x-2-112

yy

x2+2y

x2(1,3)

．15例4設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）第二節(jié)不定積分的運(yùn)算法則16證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）第二節(jié)例1例2例3直接積分法17例1例2例3直接積分法17例4例518例4例518例8例9例1019例8例9例1019問(wèn)題？第三節(jié)換元積分法一、第一類換元法(湊微分法)湊微分20問(wèn)題？第三節(jié)換元積分法一、第一類換元法(湊微分法)湊微

湊微分法的關(guān)鍵是“湊”,湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同.21湊微分法的關(guān)鍵是“湊”,湊的目的是把被積函例1例2

運(yùn)用d(x+k)=dx22例1例2運(yùn)用d(x+k)=dx22例3

運(yùn)用d(ax+b)=adx23例3運(yùn)用d(ax+b)=adx2例4

運(yùn)用d(x2)=2xdx24例4運(yùn)用d(x2)=2xdx24(1)根據(jù)被積函數(shù)復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式,依據(jù)恒等變形的原則,把dx湊成d

(x).如

(2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個(gè)新的微分d

(x).如“湊微分”的方法有:方法1較簡(jiǎn)單,而方法2則需一定的技巧,請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必記牢以下常見(jiàn)的湊微分公式！25(1)根據(jù)被積函數(shù)復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式,(2)常用湊微分公式：等等.26常用湊微分公式：等等.26例5例6例727例5例6例727例7例828例7例828例9例1029例9例1029練習(xí)一30練習(xí)306.7.8.316.7.8.31例11另：例12類似地，32例11另：例12類似地，32例13練習(xí)說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.33例13練習(xí)說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分例14例15或解34例14例15或解34例16例17例1835例16例17例1835例19解法1解法2解法336例19解法1解法2解法336例2037例2037解例21

設(shè)求.令38解例21設(shè)第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過(guò)如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒(méi)有一般的規(guī)律可循，只能具體問(wèn)題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對(duì)被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃危礈惓龊线m的微分因子。39第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過(guò)如何適當(dāng)?shù)剡x取二、第二類換元法回代,得

問(wèn)題解決方法“根式替換”40二、第二類換元法回代,得問(wèn)題解決方法“根式替換”40稱為第二換元法回代41稱為第二換元法回代41例1解“根式替換”42例1解“根式替換”42例2解43例2解43指數(shù)替換44指數(shù)替換44例5

求解令注意：根式替換與指數(shù)替換可以結(jié)合使用45例5求解令注意：根式替換與指數(shù)替換可以結(jié)合使用45例4解三角替換正弦替換46例4解三角替換正弦替換46例5解正切替換47例5解正切替換47例6解正割替換48例6解正割替換48說(shuō)明：以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令

但是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的,有時(shí)可靈活采用別的方法.注意：所作代換的單調(diào)性。對(duì)三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。49說(shuō)明：以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規(guī)律例7解或解：倒數(shù)代換50例7解或解：倒數(shù)代換50例8解或解：（練習(xí)）51例8解或解：（練習(xí)）51若被積函數(shù)包含根式可考慮如下替換：52若被積函數(shù)包含根式可考慮如下替換：525353基本積分表

54基本積分表545555例9例1056例9例1056例11例1257例11例1257湊微分分部積分公式問(wèn)題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.第四節(jié)分部積分法分部積分的過(guò)程：

58湊微分分部積分公式問(wèn)題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.第

在兩個(gè)被積函數(shù)中選擇一個(gè)先積出來(lái)，使得原來(lái)的較難積出的不定積分轉(zhuǎn)移為另一個(gè)比較容易積出的不定積分，這種新的積分技巧，被稱為“分部積分法”。分部積分法中先積函數(shù)（v′(x)

）的選擇，一般可以遵照“指三冪對(duì)反”的先積原則，也就是排在前面的函數(shù)，作為v′（與dx湊微分后成dv）為好。59在兩個(gè)被積函數(shù)中選擇一個(gè)先積出來(lái)，使得原來(lái)的例1注積分更難進(jìn)行.例260例1注積分更難進(jìn)行.例260例3例4分部積分法可多次使用.61例3例4分部積分法可多次使用.61練習(xí)總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))62練習(xí)總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余例663例663例7例864例7例864例9例10練習(xí)65例9例10練習(xí)65例1166例1166所以例1267所以例1267例13解68例13解68例13分部積分法與換元法結(jié)合:

解69例13分部積分法與換元法結(jié)合:解69例1470例1470解例15由題意,71解例15由題意,71說(shuō)明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡(jiǎn)積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加

C)72說(shuō)明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡(jiǎn)積分;2)思考與練習(xí)1.下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里?應(yīng)如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用換元法.73思考與練習(xí)1.下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里?應(yīng)如何改正?得0=第五節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分74第五節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分74假定分子與分母之間沒(méi)有公因式有理函數(shù)是真分式；有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例要點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.以下只考慮真分式的積分.

75假定分子與分母之間沒(méi)有公因式有理函數(shù)是真分式；有理函數(shù)是假分將分母作因式分解，按照多項(xiàng)式的性質(zhì)得知，得到的因式只可能出現(xiàn)下面四種可能：7676（1）分母中若有因式，則分解后有有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為77（1）分母中若有因式，則分解后（2）分母中若有因式，其中則分解后有特殊地：分解后為78（2）分母中若有因式真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例179真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例179代入特殊值來(lái)確定系數(shù)例280代入特殊值來(lái)確定系數(shù)例280例381例381真分式可分為以下四種類型的分式之和：

這四類分式均可積分,且原函數(shù)為初等函數(shù).因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

82真分式可分為以下四種類型的分式之和：這四類分式均可積分,且四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分83四種典型部分分式的積分:變分子為再分項(xiàng)積分83例4例584例4例584例6例785例6例785例8.

求解:

原式思考:如何求提示:變形方法同例8,并利用遞推公式。86例8.求解:原式思考:如何求提示:變形方法同例8,注意以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題而言，未必是最簡(jiǎn)捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡(jiǎn)便方法。如使用湊微分法比較簡(jiǎn)單基本思路盡量使分母簡(jiǎn)單——降冪、拆項(xiàng)、同乘等化部分分式，寫成分項(xiàng)積分可考慮引入變量代換87注意以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對(duì)如使例8靈活運(yùn)用其它方法：例988例8靈活運(yùn)用其它方法：例988二、三角函數(shù)有理式的積分萬(wàn)能代換公式：化為有理函數(shù)的積分.

89二、三角函數(shù)有理式的積