微積分-不定積分-教案-課件

第五章

不定積分1第五章

不定積分1例第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定積分又稱反導數(shù),它是求導運算的逆運算.

本章所講的內容就是導數(shù)的逆運算。2例第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定精品資料3精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結一節(jié)課的重點的難點，你是否會認為老師的教學方法需要改進？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學問無顏見爹娘……”“太陽當空照，花兒對我笑，小鳥說早早早……”44原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否存在？(2)是否唯一？因此初等函數(shù)在其定義域內都有原函數(shù)

。(但原函數(shù)不一定是初等函數(shù))

5原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)唯一性？6唯一性？6任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量記為定義

7任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量記為定義7例1求解解例2求8例1求解解例2求8由不定積分的定義，可知結論：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.或或9由不定積分的定義，可知結論：微分運算與求不定積分的運算是互逆實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？二、基本積分表10實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？二、基本積分表10基本積分表

(k是常數(shù));說明：11基本積分表(k是常數(shù));說明：11基本積分表

(k是常數(shù));12基本積分表(k是常數(shù));12基本積分表

13基本積分表13例3求積分解根據(jù)積分公式（2）14例3求積分解根據(jù)積分公式（2）14例4設曲線通過點(1,3),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(1,3)所求曲線方程為-2-1O12x-2-112

yy

x2+2y

x2(1,3)

．15例4設曲線通過點(1,3),且其上任一點處的切線斜率證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）第二節(jié)不定積分的運算法則16證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）第二節(jié)例1例2例3直接積分法17例1例2例3直接積分法17例4例518例4例518例8例9例1019例8例9例1019問題？第三節(jié)換元積分法一、第一類換元法(湊微分法)湊微分20問題？第三節(jié)換元積分法一、第一類換元法(湊微分法)湊微

湊微分法的關鍵是“湊”,湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同.21湊微分法的關鍵是“湊”,湊的目的是把被積函例1例2

運用d(x+k)=dx22例1例2運用d(x+k)=dx22例3

運用d(ax+b)=adx23例3運用d(ax+b)=adx2例4

運用d(x2)=2xdx24例4運用d(x2)=2xdx24(1)根據(jù)被積函數(shù)復合函數(shù)的特點和基本積分公式的形式,依據(jù)恒等變形的原則,把dx湊成d

(x).如

(2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個新的微分d

(x).如“湊微分”的方法有:方法1較簡單,而方法2則需一定的技巧,請同學們務必記牢以下常見的湊微分公式！25(1)根據(jù)被積函數(shù)復合函數(shù)的特點和基本積分公式的形式,(2)常用湊微分公式：等等.26常用湊微分公式：等等.26例5例6例727例5例6例727例7例828例7例828例9例1029例9例1029練習一30練習306.7.8.316.7.8.31例11另：例12類似地，32例11另：例12類似地，32例13練習說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.33例13練習說明當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分例14例15或解34例14例15或解34例16例17例1835例16例17例1835例19解法1解法2解法336例19解法1解法2解法336例2037例2037解例21

設求.令38解例21設第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達式做適當?shù)奈⒎肿冃?，拼湊出合適的微分因子。39第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當?shù)剡x取二、第二類換元法回代,得

問題解決方法“根式替換”40二、第二類換元法回代,得問題解決方法“根式替換”40稱為第二換元法回代41稱為第二換元法回代41例1解“根式替換”42例1解“根式替換”42例2解43例2解43指數(shù)替換44指數(shù)替換44例5

求解令注意：根式替換與指數(shù)替換可以結合使用45例5求解令注意：根式替換與指數(shù)替換可以結合使用45例4解三角替換正弦替換46例4解三角替換正弦替換46例5解正切替換47例5解正切替換47例6解正割替換48例6解正割替換48說明：以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有可令可令可令

但是否一定采用三角代換并不是絕對的,有時可靈活采用別的方法.注意：所作代換的單調性。對三角代換而言，掌握著取單調區(qū)間即可。49說明：以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規(guī)律例7解或解：倒數(shù)代換50例7解或解：倒數(shù)代換50例8解或解：（練習）51例8解或解：（練習）51若被積函數(shù)包含根式可考慮如下替換：52若被積函數(shù)包含根式可考慮如下替換：525353基本積分表

54基本積分表545555例9例1056例9例1056例11例1257例11例1257湊微分分部積分公式問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.第四節(jié)分部積分法分部積分的過程：

58湊微分分部積分公式問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.第

在兩個被積函數(shù)中選擇一個先積出來，使得原來的較難積出的不定積分轉移為另一個比較容易積出的不定積分，這種新的積分技巧，被稱為“分部積分法”。分部積分法中先積函數(shù)（v′(x)

）的選擇，一般可以遵照“指三冪對反”的先積原則，也就是排在前面的函數(shù)，作為v′（與dx湊微分后成dv）為好。59在兩個被積函數(shù)中選擇一個先積出來，使得原來的例1注積分更難進行.例260例1注積分更難進行.例260例3例4分部積分法可多次使用.61例3例4分部積分法可多次使用.61練習總結若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))62練習總結若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余例663例663例7例864例7例864例9例10練習65例9例10練習65例1166例1166所以例1267所以例1267例13解68例13解68例13分部積分法與換元法結合:

解69例13分部積分法與換元法結合:解69例1470例1470解例15由題意,71解例15由題意,71說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加

C)72說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)思考與練習1.下述運算錯在哪里?應如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應為0.求此積分的正確作法是用換元法.73思考與練習1.下述運算錯在哪里?應如何改正?得0=第五節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分74第五節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分74假定分子與分母之間沒有公因式有理函數(shù)是真分式；有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例要點將有理函數(shù)化為部分分式之和.以下只考慮真分式的積分.

75假定分子與分母之間沒有公因式有理函數(shù)是真分式；有理函數(shù)是假分將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現(xiàn)下面四種可能：7676（1）分母中若有因式，則分解后有有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為77（1）分母中若有因式，則分解后（2）分母中若有因式，其中則分解后有特殊地：分解后為78（2）分母中若有因式真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例179真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例179代入特殊值來確定系數(shù)例280代入特殊值來確定系數(shù)例280例381例381真分式可分為以下四種類型的分式之和：

這四類分式均可積分,且原函數(shù)為初等函數(shù).因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

82真分式可分為以下四種類型的分式之和：這四類分式均可積分,且四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項積分83四種典型部分分式的積分:變分子為再分項積分83例4例584例4例584例6例785例6例785例8.

求解:

原式思考:如何求提示:變形方法同例8,并利用遞推公式。86例8.求解:原式思考:如何求提示:變形方法同例8,注意以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對一個具體問題而言，未必是最簡捷的方法，應首先考慮用其它的簡便方法。如使用湊微分法比較簡單基本思路盡量使分母簡單——降冪、拆項、同乘等化部分分式，寫成分項積分可考慮引入變量代換87注意以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對如使例8靈活運用其它方法：例988例8靈活運用其它方法：例988二、三角函數(shù)有理式的積分萬能代換公式：化為有理函數(shù)的積分.

89二、三角函數(shù)有理式的積