浙江省2023-2024學(xué)年高一年級上冊12月綜合測試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

浙江省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月綜合測試數(shù)學(xué)

模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.集合｛"力｝的真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.若3x+2〉0,則夕的否定為（）

A>l,x2-3x+2<0B<1,x2-3x+2<0

CVxW1,x?—3x+2W0DVx>1,%2—3x+240

3.若。>0,b>0,貝+621”是“27^21”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓弧所對的圓心角a的弧度數(shù)為

()

7171

A.3B.2c.GD.2

2sina-cosa

5.已知尸(L3)為角a終邊上一點(diǎn)，貝|sina+2cosa()

A.-7B.1C.2D.3

6.若加<",P〈q,且(p-m)(p-〃)<0,(q—m)(g-〃)<0,貝|j()

Am<p<n<qBp<m<q<n

Qm<p<q<nDp<m<n<q

'3X1,

<log]XX>P

7.已知函數(shù)於)=13則函數(shù)y=/(l—x)的大致圖象是()

A.B.

c.

—+3ab

8.已知關(guān)于,則b的最小值是（）

D.3百

A.2B.272C.3

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知〃b>0,

,（兀-3）4=71-3

A.

1

a〃=-6b

C.

71V37171

sin—+6Z

——<a<—則tan（7r+a）的值可能是（）

10.已知2，且22,

百

A.-V3B.3C.3D.百

11.已知定義在R上的偶函數(shù)"X）滿足"2-x）+“x）=°,則下列命題成立的是（）

/（“）的圖象關(guān)于直線1=1對稱B."A。

A.

函數(shù)/（x-1）為偶函數(shù)D.函數(shù)/（x+1）為奇函數(shù)

C.

函數(shù)/（x）=lnx,已知實(shí)數(shù)加>0,

12.〃>0,且加片“，則下列命題正確的是（）

A.若=則相+心2

若|/（加）,則1（機(jī)<〃

B.

存在機(jī)>",使得/O/Q"）

C.

m+n）/（加）+/（〃）

2

D.2恒成立

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（其中第16題第一空2分，第二空3分）

13.已知幕函數(shù)/%）=（加一1）*"的圖象過點(diǎn)"（2"）,則。=.

14.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三

角形的斜邊.現(xiàn)將兩個全等的直角三角形拼接成一個矩形，若其中一個三角形“弦”的長度為4,則

該矩形周長的最大值為.

,,,17

,,log/+log/=——

15.已知實(shí)數(shù)且4,貝|lnb-41皿=.

-2|x|-l,X<0

16.已知函數(shù)llgx-l,x>0,則函數(shù)/（x）的零點(diǎn)為；若關(guān)于x的方程

［/（X）］+的。）+1-3療=0有5個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17已知集合幺={.2（》48},8=3|加-14x44"，

（1）若機(jī)=1,求/C3；

⑵若/=求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.在平面直角坐標(biāo)系苫仆中，角。以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它的終邊與單位圓/+/=1交

于第二象限內(nèi)的點(diǎn)尸（見"）.

2sin（%+a）+cosa

n=—cos—+cr+2cosa

⑴若5,求tana及U）的值；

7

sina+cosa=—

⑵若13,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

19.某園林建設(shè)公司計(jì)劃購買一批機(jī)器投入施工.據(jù)分析，這批機(jī)器可獲得的利潤了（單位：萬

元）與運(yùn)轉(zhuǎn)時間無（單位：年）的函數(shù)關(guān)系式為〉=f2+14x-4（X<13,且xeN*）

（1）當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？

（2）當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時，這批機(jī)器的年平均利潤最大？

20.函數(shù)八"J一意裝是定義在（T1）上的奇函數(shù)，且kJ10

⑴求/（x）的解析式；

（2）利用單調(diào)性的定義證明了6）在（T［）上為增函數(shù)；

⑶解不等式/（x7）+/（2x）<°?

21.已知函數(shù)"x）=（x-2）（2-），aeR.

（1）當(dāng)。=1時，解關(guān)于x的方程/（x）=°；

（2）當(dāng)x23時，恒有/（x）Nl,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（3）解關(guān)于x的不等式/㈤川.

22.設(shè)a，b，meR,若滿足（。-⑼？<（6.機(jī)了，則稱a比b更接近比.

⑴設(shè)2石比?+1更接近0,求x的取值范圍；

x+y-2m,

---------<—1

⑵判斷“x-y”是“X比y更接近％”的什么條件，并說明理由;

x+3

XW拒,y=

(3)設(shè)x>°且x+1,試判斷工與歹哪一個更接近百.

1.A

【分析】利用集合元素個數(shù)即可求出集合｛。1｝共有0mb色｝三個真子集.

【詳解】根據(jù)題意可知集合｛"，｝中有3個元素，所以共有22T=3個，

即有°，｛。｝，抄｝三個真子集.

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用存在量詞命題的否定求解即可.

【詳解】命題-3x+2>°是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，

所以命題2的否定為Vx>l，/-3x+240.

故選.D

3.A

根據(jù)充分必要條件的定義判斷，注意基本不等式的應(yīng)用

即在“>0,6>°的情況下，判斷兩個命題4+621=2而21和2疝="+.

b=—2y[ab=—<1

【詳解】解：取。=1，9,滿足“+6N1,但3，充分性不滿足；反過來，

a+622新21成立，故必要性成立.

故選：A.

4.C

【分析】畫圖設(shè)外接圓半徑，-2,利用正三角形性質(zhì)可得圓弧長/=26,再由弧度制定義可得

a=V3

【詳解】不妨設(shè)正03c的外接圓半徑廠=2,圓心為°,

取8C的中點(diǎn)為。，連接/D，℃,易知。在/。上，且/℃3=30。，AD1BC.如下圖所示:

BD

在RtzXOCZ）中，0D2℃1,所以CD=5BC=26；

依題意可知該圓弧長l=BC=26

所以圓心角r2

故選：C

5.B

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tana=3,再利用齊次化將弦化切進(jìn)行求解.

2sina-cosa_2tana-l_5

【詳解】0°'3）為角a終邊上一點(diǎn)，故tana=3,故sina+2cosa-tana+2一二一.

故選：B

6.C

【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出p和加、〃的關(guān)系以及夕和加、〃的關(guān)系，結(jié)合p<g即可求

解.

【詳解】因?yàn)?/p>

所以加和“一個大于P,一個小于

因?yàn)橘?lt;〃，所以根<P<〃，

因?yàn)?

所以小和”一個大于力一個小于夕，

因?yàn)榧?lt;〃，所以機(jī)<?<〃，

因?yàn)閜<q,

所以機(jī)

故選：C.

7.D

【分析】由/(X)得到/(I-X)的解析式，根據(jù)函數(shù)的特殊點(diǎn)和正負(fù)判斷即可.

3x,x<]

=log產(chǎn)尤>1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),(JI3,

'3,x,x>0

“1_丫\=1%(

所以函數(shù))[3,

當(dāng)x=0時，?=火1)=3,即y=/(l—x)的圖象過點(diǎn)(0,3),排除A；

當(dāng)x=-2時，y=/(3)=—1,即y=#l—x)的圖象過點(diǎn)(-2,-1),排除B；

1-x>1,/(I-x)=logi(l-x)<0

當(dāng)、<。時，3,排除C,

故選：D.

8.A

八7n—?—=3—F3ab

【分析】由一元二次不等式解集可知0>°力>°,且滿足。b，將6化簡變形可得

—+3ab=4a+b—la=—,b=1—+3ab

b,利用基本不等式即可求得當(dāng)2時6的最小值是2.

【詳解】由一元二次不等式加中一3x+1<0的解集為(凡人)可得加>0,

〃+b=—>0

<m

ab=—>0—+—=3

利用韋達(dá)定理可得〔m,即可得。+6=3詔，且b

a,3ab-b八7cY,,

—F3cib----------F3ub=3Q-1+Q+b7=4Q+b—1

所以可得bb.

_—___a—_b—]

當(dāng)且僅當(dāng)a一臺，即一2'一時等號成立;

—+3ab

即6的最小值是2.

故選：A

9.ABD

【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算公式分別判斷各選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)：由兀-3>0,得-3)=無一3,八選項(xiàng)正確;

-f-l+2x-

212.=a0b°=1

B選項(xiàng):B選項(xiàng)正確;

_巴1

an=_

C選項(xiàng)：VF,c選項(xiàng)錯誤;

2<7_1_1A

4廬Q33a3=-6a'I=一6。喳=

.I--3bJ-6b

D選項(xiàng):D選項(xiàng)正確;

故選：ABD.

10.BC

sin—+?I=cosa=——--<a<—

【分析】由12J2,結(jié)合22分情況討論即可求解.

sin仔+/=cosa="

【詳解】由題意得(2)2tan（兀+a）=tana

7171

——<a<—

因?yàn)?2

71八

——<a<0cosa=^sina=-二,

當(dāng)2時,因?yàn)?,所以2,

sina

tana=

此時cosa故B項(xiàng)正確;

八兀c°sa￡=

0<a<一

當(dāng)2時，因?yàn)?,所以2,

sinaV3

tancc=-------=—

此時COSa3,故c項(xiàng)正確.

故選：BC.

11.BD

【分析】由/Q-x)+/(x)=°及奇偶性可得函數(shù)的周期性與對稱性，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/G)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)"x)關(guān)于了軸對稱，且"2-X)=/(X-2),又/(2-X)+/(X)=0,

所以/(x-2)+/(x)=0,且“x-2)=-/卜)=-[-/(x+2)]=/(x+2),

所以函數(shù)/(X)關(guān)于點(diǎn)(一1°)中心對稱，且周期為4,

所以函數(shù)"x）關(guān)于（1,0）對稱，A選項(xiàng)錯誤;

/（3）=/（T）=°,B選項(xiàng)正確；

f（xT）由/（X）向右平移一個單位得到，則,GT）關(guān)于點(diǎn)（°，°）對稱，為奇函數(shù)，C選項(xiàng)錯誤;

/（x+1）由/（x）向左平移一個單位得至ij,則/（x+1）關(guān)于點(diǎn)（°，°）對稱，為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確；

故選：BD.

12.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B,C選項(xiàng)，結(jié)合基本不等式可判斷A,D選

項(xiàng).

【詳解】由/（x）=Ex,可知函數(shù)/（x）在（°，+"）上單調(diào)遞增，

若小:H/,⑹，則/⑺一（〃），即I—"In；可得?。?

A選項(xiàng)：m+n>l4mn,當(dāng)且僅當(dāng)加="時等號成立，又根片"，則m+〃>2,A選項(xiàng)錯誤;

B選項(xiàng)：mn=\,m^n,則0〈機(jī)<1<〃或°<〃<1（加，B選項(xiàng)錯誤；

C選項(xiàng)：若心”,貝112nl>2",則/G）>/（2"）恒成立，

C選項(xiàng)錯誤；

=H/（〃）Jn=+ln\nV^

D選項(xiàng)：由I2J2,22,

m+n、/—m+n/—1m+n/—

---->7mn---->7mnIn----->1In7mn

又2,當(dāng)且僅當(dāng)初二〃時成立，又冽所以2，貝!J2，即

Am+ny>/(m)+/(〃)

I2J2,D選項(xiàng)正確；

故選：D.

13.4

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義可得=2,再根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)"（2"）,可得

【詳解】由函數(shù)"x）=（，"T）x'"為塞函數(shù)，得加一1=0,即加=2,

所以/Ox2,

又函數(shù)/（x）過點(diǎn)M（2,a）,

則"=/（2）=2?=4,

故答案為.4

14.8叵

【分析】確定/+〃=42=16,矩形周長為2（0+6）,根據(jù)均值不等式計(jì)算得到答案.

【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為。，b,則/+〃=42=i6,

矩形周長為2（“+“）,

（a+b）=/+b?+2abWa?+廿+/+/=2.2+廿）=32〃+人<

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=20時等號成立，

故周長的最大值為8a.

故答案為.80

15.0

Inbln〃17Inb

------1------=一——=44

【分析】通過換底公式可得In。Inb4,可得Ina，即可得解.

log/+log/=—

【詳解】由4,換成以e為底，

In6Ina17

------1------=----

可得In（2Inb4,

InbI17

t------tH———

設(shè)Ina，貝ijt4,

解得'=4或‘一心

In/71

t=----->I

又b>a>\,InZ)>Ina>0,貝q\na,

所以％=4,即lnb=4lnq即lnb-4lnQ=0,

故答案為.0

16.x=-l-0和x=10

【分析】結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)令/3=°即可解得了（X）的兩個零點(diǎn)為x=-l-逝和x=10,畫出

函數(shù)圖象，利用換元法以及數(shù)形結(jié)合將方程根的問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于，的方程”+加+1-3/=°有兩

個不相等的實(shí)根九4且滿足4c（-2,-1],芍>-1；再由一元二次方程根的分布即可求得實(shí)數(shù)優(yōu)的

取值范圍.

f(x)=x2+2x-l

【詳解】根據(jù)題意可得當(dāng)工40時,

,解得x=-l-血或X=-l+0（舍）；

當(dāng)x＞。時，/（'g,于，）,解得x=l°,

所以可得函數(shù)/（X）的零點(diǎn)為x=T-&和x=10；

當(dāng)"-2或f＞-l時，函數(shù)〉=，與函數(shù)/（X）有兩個交點(diǎn)，

當(dāng)，＜-2時，函數(shù)＞=?與函數(shù)/CO有一個交點(diǎn)；

若關(guān)于尤的方程［“切+硒"）+1加2=。有$個不同的實(shí)數(shù)根，

則方程/+儂+1-3加2=0有兩個不相等的實(shí)根4出,且滿足…（々-I"=-2或"-1；

__5

若’2=-2可得3加2+2加—5=0,解得叫=1,""一5；

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)嗎=1時，方程r+機(jī)f+1-3機(jī)2=0即為/+/一2=0,解得4=1山=一2,不合題意;

5{_U__

當(dāng)丐二行時，關(guān)于，的方程可化為獷-5"22=0,解得"一5'’2一一2，不合題意；

所以可知方程/+加+1-3療=°有兩個不相等的實(shí)根。也需滿足且f2＞T；

若4e（-2,-l）,

A=_4(1—3加2)>0

(-1)2一加+1—3加2<0

252

(—2)—2m+1—3m2>0—<m<—\—<m<1

故，解得3或3

_2

若仆I可得3/+吁2=0,即/=T或囑=§；

檢驗(yàn)當(dāng)啊=T時，關(guān)于：的方程可化為產(chǎn)--2=0,此時4=-1，4=2>-1,滿足題意;

2,1

加4=-0A=—1,——〉一1

當(dāng)3時，關(guān)于，的方程可化為獷+2/-1=0,此時3滿足題意；

512

—<m<—I—<m<\

綜上可知，實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為3或3,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是I3」13人

故尤=-1-力和x=10

方法點(diǎn)睛：求解方程根的嵌套問題時，經(jīng)常利用換元法將方程轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)圖象利用根的分

布情況得出參數(shù)滿足的條件即可求得參數(shù)取值范圍.

17.⑴/n8={x|2W4}

（2）2<m<3

【分析】（1）將機(jī)=1代入可得8={幻°'”44},由交集運(yùn)算即可求得出結(jié)果;

（2）根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求得2

［詳解］(1)由心=1可得臺二任^^彳^今，

由/={x|2Wx<8}可得"nB={x|2WxV4}；

J/w-1<2

(2)若4gB可得卜加28,解得2V7〃W3,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是24冽43.

_3H

18.(1)4.10

⑵I1313；

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式化簡可得解;

(2)根據(jù)三角函數(shù)定義式列方程，解方程.

【詳解】(1)由已知角。的終邊與單位圓/+/=1交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)尸(加'“),

n

.tana=一

則sina=〃,cosa=加,m,m+n=1f且加<0,

3h~~r4

由5,得5,

3

n53

tana=—=--=——

m_44

則5,

2sin(?+a)+cosa_-2sina+cosa_-2tana+1

一sina+2cosa-tana+2

cos—+a+2cosa

12

再由誘導(dǎo)公式可得

77

sina+cosa=——m+n=—

(2)由13,得13,加

4960

22(m+nf=m2+n2+2mn=1+2mn=----mn=-------

又加+〃=1,貝Q169,解得169,

z、222cI120289

(n-m)=m+n-2mn=1-\-----=------

所以I)169169,

17

n-m=一

所以13,

512

m=----n=一

所以13,13

尸T噌

即

19.(1)當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤，最大利潤為45

(2)當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)2年時，這批機(jī)器的年平均利潤最大

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得最大利潤；

(2)根據(jù)基本不等式可得年平均利潤的最大值.

【詳解】⑴由k3+1&4=-(一)2+45,E3,

可知當(dāng)x=7時，＞取最大值為45,

即當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤，最大利潤為45；

y-x2+14x-4

s=—=-=------x-------+--1--4=-X+-J+14

(2)由已知可得年平均利潤xxXx<13,

X+3

s=-+14<-2V4+14=10

則X

4

x———

當(dāng)且僅當(dāng)X,即X=2時，等號成立，

即當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)2年時，這批機(jī)器的年平均利潤最大.

/(x)=7^T，xe(T」)

20.(1)1+x

(2)證明見解析；

⑶°4

【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義以及函數(shù)值I10可求得。=1,6=°可得解析式;

（2）根據(jù)單調(diào)性定義按照取值、作差、變形定號、下結(jié)論等步驟證明即可;

（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合定義域得出不等關(guān)系即可解得不等式解集為°4

f（x_-ax+b

【詳解】⑴對于Vx?T,l）,都有所以八町_1+/

彳（x_ax+b

又函數(shù),"一1+/是定義在（一1/）上的奇函數(shù)，

-ax+bax+b

2f(}=^-

所以/(—x)=一/(%),即1+X1+x2,可得6=°,所以x1+-；

1

33

——a——

1010

，解得。=1;

f（\x

因此/（X）的解析式為/（x町一=]+',xe(-l,l)

項(xiàng)_%=尤](1+X；)—.2(1+尤；)=

/(網(wǎng))-/(%)=

1+%；1+X；(1+$2)(]+%；)（1+石訓(xùn)+君）,

則

因?yàn)椋,4W（T,1）,且再<X2,所以再一/<°，中2<1,即1一中2>0

（陽一、）（1-工仔2）<0

可得（1+x0（1+xD,所以/（%）-/（%）<。,即/（再）</仁）；

所以/（X）在（T，l）上為增函數(shù)；

（3）將不等式/（xT）+/（2x）<0轉(zhuǎn)化為/（xT）<-/（2x）,

又了3是定義在（T1）上的奇函數(shù)，所以可得/（xT）</（-2x）,

x—1<—lx

<-1<X-1<1]

_i<<7Y<<10<X<—

再根據(jù)（2）中的結(jié)論可知〔"I,解得3.

即不等式/（x7）+/（2x）<°的解集為I。3）.

21.⑴》=2或x=0；

⑵P；

（3）答案見解析；

【分析】（1）將。=1代入即可解出方程/（'）=°的根為8=2或x=0；

f（、a<\T----|,XG[3,+co）

（2）將不等式J（x）-i恒成立問題轉(zhuǎn)化為I、-2人山，再利用函數(shù)單調(diào)性即可

得。<7滿足題意；

（3）對參數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合不等式即可求得其解集.

【詳解】⑴當(dāng)。=1時，方程/（*）=°即為"X）=（A2）（2、-1）=0,

解得x=2或x=°；

（2）當(dāng)工23時，不等式/（x）21可化為“-x-2,

a<\T---—|,xe[3,+co）

依題意可知，需滿足IX-2（,

___1_

由于函數(shù)了=2、在[3，+°°）上單調(diào)遞增，函數(shù),一一口在13，+0°）上單調(diào)遞增；

V=2工一一—海上、a<（2x一一—=23一一—=7

所以函數(shù)‘x-2在□+叼上單調(diào)遞增，因此Ix-2人M3-2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是（一°°，7］；

（3）由/（少0可得（》-2）（2，-40,

①當(dāng)時，可得2、-。＞0,不等式等價為x-220,此時不等式解集為2+°°）；

②當(dāng)0＜。＜4時,方程（a2）（2-）=0有兩根,^x1=2,x2=log2a）且2＞皿。；

此時不等式解集為Z+oo）u（-oo,log2a］

③當(dāng)。=4時，方程G—2）（7-。）=°僅有一根，即》=2,此時不等式解集為R；

④當(dāng)。＞4時，方程（“-2）（2"-。）=°有兩根,即再=2,%=1嗎。，且2＜1咆。；

此時不等式解集為P°g2%+°°）口（一應(yīng)2］；

22.

（2）充分不必要條件，理由見解析；

⑶了更接近G

【分析】（1）依據(jù)定義列出不等式，結(jié)合一元二次不等式解法即可求得X的取值范圍；

（2）根據(jù)已知條件分別判斷充分性和必要性是否成立即可得出結(jié)論；

（3）由x＞°且"6"一