新高考數(shù)學復(fù)習 不等關(guān)系及基本不等式（教師版）

專題51不等關(guān)系及基本不等式

一、題型選講

題型一、不等式的性質(zhì)

例1、(2020屆山東省泰安市高三上期末)已知a,O,c,d均為實數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若a>b,c>d,則

B.若ab>U,bc-ad>0,則￡一旦>0

ab

C.若a>b,c>d,則。一〃>》一c

..J,八rtIQb

D.右a>b,c>d>0,則一>—

dc

【答案】BC

【解析】若。>0>〃，0>c>d,則公><",故A錯；

若">(),bc-ad>Q,則如二㈣>0,化簡得纟一色>0,故B對；

abab

若c>d,則一d>-c,又a>b,則。一1>人一。，故C對；

若〃=一1,b=-2rc=2,d=l,則二=一1,-=-1,二=纟=一1,故D錯；

acac

故選：BC.

例2、(2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考)設(shè)。>1>人>一1,人/0,則下列不等式中恒成立的是

()

1111

A.一<7B.—>丁C.a>b~7D.a9">

abab

【答案】CD

【解析】當a=2"=-丄，滿足條件.但丄〈丄不成立，故A錯誤，

2ab

當a>b>0時，丄〈丄，故B錯誤，

ab

\>b>-\,b^Q,,-.0<h2<b則a>〃，故C正確,

a>l>b>-\,:.a+b>0,a-b>0,:.a2-b2=(a+&)(<?-/?)>0,故D正確.

故選:CD.

例3、己知a>h>0,ceR,則下列不等式中正確的有()

,,,,1111

A.a~>b~B.ac'>bc'C.—>—D.------>------

aba-ba+b

【答案】ABD

【解析】對于A,a>h>0,：,a2>b2故A正確;

對于B,Qc2>0*a>h>(}：,ac~>be2?故B正確；

對于C,a>b>0,「.一<一,故C錯誤；

ah

對于D,a>b>0,.\a+b>a—h>0,--—>---,故D正確.

a-ba+h

題型二、不等式的應(yīng)用

例4、已知。>0,b>0,且/+/=2,則下列不等式中一定成立的是()

A.ab<\B.丄+丄<2C.Iga+lgbNOD.a+h<2

ab

【答案】AD

【解析】=1,(?+Z?)2=a2+b2+lab<2(a2+b2)=4^a+b<2,：.A,〃都成立.

乂"1a=—,b=YZ時，—I—>2,此時B不成立.

22ab

又：lga+lg人=lgab<0,不成立.

例5、十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家

哈利奧特首次使用“〈”和符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若實

數(shù)a>6,則下列不等式不一定成立的是()

2。11

a+。

->B成a22-<-

A.bi-匕[).b

。

2。

【答案】ACD

【解析】當。=-11=-2時，滿足。>人it匕時巴=丄<1,故A正確；

b2

2厶22>2

因為2姉=3—份2>0,所以/+〃>2姉，所以即時〈竺生

22

所以"4":一定成立,故B不正確；

2

當。=11=一1時，滿足。>匕，^01-+-=-1-1=-2<2,故C正確;

ab

當。=1,力=一1時，滿足〃>力，此時一=1>—=-1,故￡）正確.

ab

例6、.設(shè)a>0,b>。，則下面不等式中恒成立的是（）

A.a2+h2+1>a+bB.^a—k^>y[a-y[b

—+7aba+h

ab

【答案】ABC

(1V(1V1

【解析】對于A,。2+〃2+1一(。+〃)=。2一。+〃2一人+1=a——+b——+—>0,

、2)\2丿2

所以〃2+人2+i>〃+〃，故A正確；

對于B,當。<力時，>0,日-&<0,所以之8-亞,

當〃之〃時，“心―"+協(xié)）=1一1+21]-闿:+b=a-b+24（a-b）b+bNa，

即振二詞2厶一揚，當且僅當。=b時取等號，故B正確；

對于C,?/tz>0,Z?>0,

當且僅當4=之時取等號，故C正確;

/,1。bao\ba.

對于D,?>0,Z?>0,:Aa+b}\-+-=2+—+—>2+2J------=4,

'\ab)abNab

114

/.-+->——，當且僅當〃=b時取等號，故D錯誤.

aba+b

例7、已知。>0,Z?>0,且/+〃=],則()

A.tz+Z?<^2B.—<2a~h<2

22

C.log2V^+log2Vfo>--ID.a-h>-l

【答案】ABD

【解析】/+。222〃反.?.2（/+。2）之（4+。）2,.（4+6）242,

又二?！?bW0,故A正確；

?>0.b>0,且<?+。2=1，o<a<1,0<<1,-1<?-Z?<1,<r-b<2,故B正確；

2

a2-b2>-b2>-l,故D正確；

。等價Jlog,Vcib2——,即—log-,cib>——,log,cibN—1,

134I?1

等價于。匕2—，但當a=^,b=一時，滿足條件a>0，b>0^S.a2+b2=l，ab=——<—,故C錯誤;

255252

二、達標訓練

1、在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有()

[17T

A.f(x)=x2+—B./(x)=cosxd-------(0<x<—)

xcosx2

r2+44

C.C(x)=i,D.f(x)=3X4-——2

yjx+33

【答案】AD

【解析】對于選項A：.?.由基本不等式可得當且僅當即了=1或兀=一1時,

廠x~

等號成立，故選項A正確；

11

對于選項B：<0<x<一,.'OVcosx<1,由基本不等式可得cosxd-------->2,當且僅當cosx=-------,

2cosXcosX

即COSX=1時，等號成立，但是COS1取不到1,所以等號不能成立，故選項B不正確；

2/2勺1[

對于選項C：由基本不等式可得/(?=?：+=1++=42+3+)2,當且僅當

Jf+3Jf+3V7+3

即爐=—2時，等號成立，顯然不可能取到，故選項C不正確;

444

對于選項D：...由基本不等式可得/(x)=3*+]—222j3v?三一2=2,當且僅當3*=3，即

x=/og；2時，等號成立，故選項D正確.

2、(2020屆山東省濰坊市高三上期中)若xNy,則下列不等式中正確的是()

A.2X>2yB.^-^->y[xyC.x1>y2D.x2+y2>2xy

【答案】AD

【解析】對A,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當有2*22'，故A正確:

對B,當x<O,y<O,x>y時，戶)之而不成立，故B錯誤;

對C,當ONxNy時，/之丫2不成立，故c錯誤;

對D,?.?%2+卜2-2個=(工一丁)22。成立，從而有+y222個成立，故D正確;

故選:AD.

3、(2020屆山東省九校高三上學期聯(lián)考)下列結(jié)論正確的是()

1<1V<1V

A.VxeR,x+—>2B.若a<b<3則［—>—

尤I。丿【。丿

C.若x(x-2)<0,則log2xe(0,l)D.若a>0,b>Q,a+b<\,則0<"4丄

【答案】BD

【解析】當x<0時，x+丄為負數(shù)，所以A不正確；

X

若。<6<()，則丄<丄<0,考慮函數(shù)/(幻=/在R上單調(diào)遞增，

ba

所以/■(1)>/(!)，即(丄)3>d)3,所以B正確；

ahab

若x(x—2)<0,則0<x<2,log2xe(-oo/)，所以C不正確；

1

若a>(),b>0,a+b<l,根據(jù)基本不等式有必4等,0<"4(等尸-

4-

所以D正確.

故選:BD

4、下列四個條件中，。是q的允，條件的是()

A.p:a>b,q:a2>b2B.p.a>\,q：丄<1

a

C.p:tanx=l,q:x=—D.q-x>1

42

【答案】BD

【解析】因為a=0力=一1時，a2<b2^所以。不能推出q，P不是q的充分條件，A錯;

因為。>1=丄-1=j<0=丄<1，所以〃是q的充分條件，B對；

aaa

jr

因為tanx=lnx=如r+-,&eZ,所以。不能推出°,。不是°的充分條件，C錯；

4

因為log^vOnlogjUogilnx〉1，所以〃是。的充分條件，D對.

222

5、下列說法正確的是()

A.若Gb,c>d,則B.ac2>he2?則辦厶

C.若a>b>0,則—>bT—D.若則-CJab

ha2

【答案】BC

【解析】取。=1,〃=。，c=2,d=。，則。-c<Z?-d,A錯誤；

ac1>be2?cwO，故/>(),則〃>。，B正確；

a>b>G,故丄>丄>0,故Q+丄