2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.隨著2022年北京冬奧會H漸臨近，我國冰雪運動發(fā)展進入快車道，取得了長足進步.在

此之前，北京冬奧組委曾面向全球征集2022年冬奧會會徽和冬殘奧會會徽設(shè)計方案，共

收到設(shè)計方案4506件，以下是部分參選作品，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的

是（）

2.已知關(guān)于x的一元二次方程/+妙1=0有兩個不相等的實數(shù)根，下列結(jié)論正確的是

（）

A.B.m>2C.D.m<2

3.將二次函數(shù)圖象y=2f向下平移1個單位長度，所得二次函數(shù)的解析式是（）

A.y=2r2+lB.y=2x2-1C.y=2（x-1）2D.y=2（x+1）2

4.在平面直角坐標系xQy中，下列函數(shù)的圖象上存在點尸（〃?，40）的是（）

A.y=—B.y=-x-1C.y=-x2-1D.y=-3x

x

5.用配方法解方程37-6x+2=0,將方程變?yōu)椋▁-%）2=工的形式，則機的值為（）

3

A.9B.-9C.ID.-1

6.南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六

十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與

寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列

方程為（）

A.J?-60x-864=0B.犬（x+60）=864

C.x2-60x+864=0D.x（x+30）=864

7.已知二次函數(shù)的y與x的部分對應(yīng)值如表:

X…-1013

y0-1.5-20

根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：

①二次函數(shù)丫=0?+版+?？筛膶憺閥=a(x-1)2-2的形式

②二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象開口向下

③關(guān)于x的一元二次方程0?+笈+。=-1.5的兩個根為0或2

④若y>0,則x>3

其中所有正確的結(jié)論為()

A.①④B.②③C.②④D.①③

8.老北京的老行當中有一行叫做“抓彩賣糖”：商販將高麗紙裁成許多小條，用磯水在上面

寫上糖的塊數(shù)，最少一塊，多的是三塊或五塊，再將枝條混合在一起.游戲時叫兒童隨

意抽取一張，然后放入水罐中浸濕，即出現(xiàn)白道兒，按照上面的白道兒數(shù)給糖.一個商

販準備了10張質(zhì)地均勻的紙條，其中能得到一塊糖的紙條有5張，能得到三塊塘的紙條

有3張，能得到五塊糖的紙條有2張.從中隨機抽取一張紙條，恰好是能得到三塊塘的

紙條的概率是()

A.J-B.WC.AD.A

101052

二、填空題(每小題3分，共24分)

9.己知關(guān)于尤的一元二次方程(2a-1)x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則。的取值

范圍是.

2

10.對于實數(shù)a,b,定義運算如下：a?b=(a+b)-(a-b)若(w+2)◎(m

-3)=24,則.

11.如圖，A,B兩點的坐標分別為A(3,0),B(0,如),將線段8A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

得到線段BC若點C恰好落在x軸的負半軸上，則旋轉(zhuǎn)角為°.

12.如圖，在RtZVLBC中，NBAC=90°,ZB=60°,△AB'C可以由△ABC繞點A順

時針旋轉(zhuǎn)90°得到（點8,與點8是對應(yīng)點，點C'與點C是對應(yīng)點），連接CC',則

ZCCB'的度數(shù)是.

13.已知電路AB由如圖所示的開關(guān)控制，閉合a,b,c,d,e五個開關(guān)中的任意兩個，則

使電路形成通路的概率是.

的增大而減小，該函數(shù)可以為

15.已知拋物線y=/-（相+1）x與x軸的一個交點的橫坐標大于1且小于2,則〃?的取值

范圍是

16.如圖，排球運動員站在點。處練習(xí)發(fā)球，將球從。點正上方2%的A處發(fā)出，把球看

成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式），=。（%-6）2+h.已

知球網(wǎng)與0點的水平距離為9m,高度為2.43祖,球場的邊界距。點的水平距離為18%若

球能越過球網(wǎng)，又不出邊界，則/?的取值范圍為

三、解答題（共52分）

17.(4分)用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)2?-18=0.

(2)(772-1)2-l+/n=0.

18.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程/-2履+必-1=0.

(1)不解方程，判斷此方程根的情況；

(2)若x=2是該方程的一個根，求代數(shù)式-2標+弘+5的值.

19.(5分)如圖，在△4BC中，/ACB=90°,AC=BC,。是AB邊上一點(點。與A,

B不重合)，連結(jié)CD,將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE交BC

于點F,連接8E.

(1)求證：△AGO四△BCE；

(2)當/BDE=25°時，求/BE尸的度數(shù).

20.(4分)已知二次函數(shù)y=/-4x+3.

(1)用配方法將y=?-4x+3化成產(chǎn)“(%-/?)2+%的形式;

(2)在平面直角坐標系xOy中畫出該函數(shù)的圖象；

次“憲法知識競答”活動中的成績的頻數(shù)分布表：

成績x70?7575Wx<8080Wx<8585Wx<9090Wx<9595WxW100

人數(shù)

班級

一班203780

二班015770

三班014771

四班m03752

（1）頻數(shù)分布表中，m=；

（2）從70<xV75中，隨機抽取2名學(xué)生，那么所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)

生的概率是多少？

22.（5分）某工廠設(shè)計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷，經(jīng)過調(diào)查，得到

如下數(shù)據(jù):

銷售單價X（元/件）???30405060???

每天銷售量y（件）???500400300200???

（D研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價x滿足一次函數(shù)關(guān)系，求出y與x的關(guān)系式；

（2）當?shù)匚飪r部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為

多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元？

23.（6分）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端

安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分.若

記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米.下面的表中記

錄了“與〃的五組數(shù)據(jù)：

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根據(jù)上述信息，解決以下問題：

（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示

h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為，“米，則，〃=；

（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得

游船能從水柱下方通過.如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中

間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米.已知游船頂棚寬度為3

米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）

至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

24.（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（xi,yi）,B（x2,"）在拋物線>=-』+（2a

-2）x-c^+la其中xi<x2.

（1）求拋物線的對稱軸（用含。的式子表示）；

（2）①當x="時，求y的值；

②若yi="=0,求xi的值（用含〃的式子表示）.

（3）若對于XI+%2<-4,都有yi<”，求”的取值范圍.

25.（7分）己知ZM4N=30°,點8為邊A何上一個定點，點P為線段AB上一個動點（不

與點A,B重合），點P關(guān)于直線AN的對稱點為點Q,連接AQ,8Q,點A關(guān)于直線BQ

的對稱點為點C,連接PQ,CP.

（1）如圖1,若點P為線段48的中點；

①直接寫出/AQB的度數(shù)；

②依題意補全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,若線段CP與BQ交于點￡>.

①設(shè)NBQP=a,求NCP。的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示線段DC,DQ,OP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

U

MBMB

圖1圖2

26.(7分)對于平面直角坐標系xOy中的圖形W,給出如下定義：點P是圖形W上任意一

點，若存在點Q,使得NOQP是直角，則稱點Q是圖形W的“直角點”.

7

6

5

??I?????.

23456789X

(1)已知點A(6,8),在點。1(0,8),。2(-4,2),03(8,4)中，是點A

的“直角點”；

(2)已知點8(-3,4),C(4,4),若點。是線段BC的“直角點”，求點Q的橫坐標

n的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，已知點。Ct,0),E(f+L0),以線段OE為邊在x軸上方作

正方形DEFG.若正方形。EFG上的所有點均為線段8C的“直角點”，直接寫出f的取

值范圍.

2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

（參考答案與詳解）

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.隨著2022年北京冬奧會日漸臨近，我國冰雪運動發(fā)展進入快車道，取得了長足進步.在

此之前，北京冬奧組委曾面向全球征集2022年冬奧會會徽和冬殘奧會會徽設(shè)計方案，共

收到設(shè)計方案4506件，以下是部分參選作品，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的

是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：4是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故本選項不符合題意；

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.故本選項符合題意；

D.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故本選項不合題意.

故選：C.

2.已知關(guān)于x的一元二次方程1=0有兩個不相等的實數(shù)根，下列結(jié)論正確的是

A.他#2B.m>2C.D.m<2

2

【分析】根據(jù)判別式的意義得到△="2-4X1X（〃L1）=（w-2）>0,即可求得相

羊2.

【解答】解：根據(jù)題意得△=川-4X1X（MJ-1）=（W-2）2>0,

解得〃?#2,

故選：A.

3.將二次函數(shù)圖象y=2/向下平移1個單位長度，所得二次函數(shù)的解析式是（）

A.y=2x2+lB.y=2x2-1C.y=2（x-1）2D.y=2（x+l）2

【分析】原拋物線頂點坐標為（0,0）,平移后拋物線頂點坐標為（0,-1）,據(jù)此寫出

平移后拋物線解析式.

【解答】解：：拋物線y=2?的頂點坐標為（0,0）,向下平移1個單位長度的頂點坐標

為（0,-1）,

所得二次函數(shù)的解析式是y=2f-1.

故選:B.

4.在平面直角坐標系xOy中，下列函數(shù)的圖象上存在點P（m，n）（w>0,">0）的是（）

A.y——B.y=-x-1C.y--x2-1D.y--3x

x

【分析】由題意，圖象經(jīng)過第一象限的函數(shù)都是滿足條件的，由此判斷即可.

【解答】解：由題意，圖象經(jīng)過第一、三象限的函數(shù)是滿足條件的，

A、函數(shù)y=2的圖象在一、三象限，滿足條件；

x

B、函數(shù)y=-X-1的圖象經(jīng)過二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限，不滿足條件；

c、函數(shù)），=-W-1的圖象經(jīng)過三、四象限，不經(jīng)過第一象限，不滿足條件；

。、函數(shù)y=-3x的圖象經(jīng)過二、四象限，不經(jīng)過第一象限，不滿足條件；

故選：A.

5.用配方法解方程37-6x+2=0,將方程變?yōu)椋▁-M2=上的形式，則力的值為（）

3

A.9B.-9C.1D.-1

【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可求出"，的值.

【解答】解：方程37-6x+2=0,

變形得：/-2x=-2,

3

配方得：f-2x+l=工，即（X-1）2=工，

33

則m—1.

故選：C.

6.南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：''直田積八百六十四步，只云長闊共六

十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與

寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列

方程為()

A.%2-60x-864=0B.x(x+60)=864

C./-60x+864=0D.x(x+30)=864

【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為(60-x)步，根據(jù)

矩形田地的面積是864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???矩形田地的長為x步，矩形田地的長與寬的和是60步，

...矩形田地的寬為(60-%)步.

依題意得:x(60-x)=864,

整理得：?-60x+864=0.

故選：C.

7.已知二次函數(shù)y=a?+6x+c的y與x的部分對應(yīng)值如表:

X???-1013…

y.??0-1.5-20…

根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：

①二次函數(shù)y=or2+bx+c可改寫為y=a(x-1)2-2的形式

②二次函數(shù)y=or2+法+c的圖象開口向下

③關(guān)于x的一元二次方程a^+bx+c^-1.5的兩個根為0或2

④若y>0,則x>3

其中所有正確的結(jié)論為()

A.①④B.②③C.②④D.①③

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出頂點坐標，即可判斷①②；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與一元二次

方程的關(guān)系可判斷③；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以判斷④.

【解答】解：?.％=-1和x=3時的函數(shù)值相同，都是1,

拋物線的對稱軸為直線尸-1+3=1,

2

當x=l時，y=-2

???拋物線的頂點為(1,-2),

???二次函數(shù)y=ar2+bx+c可改寫為(%-1)2-2的形式，

所以①正確；

?由表格可知X=1時函數(shù)的值最小，

...拋物線的開口向上，

故②錯誤；

：x=0與x=2關(guān)于對稱軸對稱，

；.x=0時，y=-1.5,x=3時，y=-1.5,

關(guān)于x的一元二次方程0?+瓜+,=-1.5的兩個根為。或2,

故③正確；

；拋物線的開口向上，X=-1和》=3時，y=0,

.,.若y>0,貝!|x>3或x<-l,

故④錯誤；

綜上所述：其中正確的結(jié)論有①③.

故選：D.

8.老北京的老行當中有一行叫做“抓彩賣糖”：商販將高麗紙裁成許多小條，用磯水在上面

寫上糖的塊數(shù)，最少一塊，多的是三塊或五塊，再將枝條混合在一起.游戲時叫兒童隨

意抽取一張，然后放入水罐中浸濕，即出現(xiàn)白道兒，按照上面的白道兒數(shù)給糖.一個商

販準備了10張質(zhì)地均勻的紙條，其中能得到一塊糖的紙條有5張，能得到三塊塘的紙條

有3張，能得到五塊糖的紙條有2張.從中隨機抽取一張紙條，恰好是能得到三塊塘的

紙條的概率是（）

A.A.B.WC.—D.A

101052

【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：

①全部情況的總數(shù)；

②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.

【解答】解：?.?共有10張質(zhì)地均勻的紙條，能得到三塊塘的紙條有3張,

從中隨機抽取一張紙條，恰好是能得到三塊塘的紙條的概率是且；

10

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共24分）

9.已知關(guān)于x的一元二次方程/+(2a-1)x+J=O有兩個不相等的實數(shù)根，則。的取值

范圍是?<1.

4-

【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到(2a-1)2-4a2>0,然后解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得△=(2a-1)2-4a2>0,

解得a<l,

4

所以“的取值范圍是

4

故答案為：“<」.

4

10.對于實數(shù)a,b,定義運算如下：a?h=(a+h)2-(a-h)2.若(w+2)◎(m

-3)=24,則m=-3或4.

【分析】利用新定義得到[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)產(chǎn)=24,整理得到

(2巾-1)2-49=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：根據(jù)題意得[(m+2)+(zn-3)]2-[(m+2)-(/n-3)]~=24,

(2m-1)2-49=0,

(2m-1+7)(2m-1-7)=0,

2%-1+7=0或2〃？-1-7=0,

所以mi=-3,m2—4.

故答案為-3或4.

11.如圖，4,B兩點的坐標分別為A(3,0),8(0,通)，將線段54繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

得到線段BC若點C恰好落在x軸的負半軸上，則旋轉(zhuǎn)角為120°.

【分析】由A(3,0),B(0,M),得出。4=3,OB=M，利用tan/OAB求出NQ4B

=30°,得出N2CO=30°,最后利用三角形內(nèi)角和求出答案.

【解答】解：：A(3,0),B(0,M),

；Q=3,0B=M，

.?.tan/0AB=P^=2^_,

OA3

，NOAB=30°,

NBCO=30°,

NA6c=180°-30°-30°=120°.

故答案為120°.

12.如圖，在RtAuABC中，ZBAC=90a,NB=60°,△AB'C'可以由△ABC繞點月順

時針旋轉(zhuǎn)90°得到（點夕與點B是對應(yīng)點，點C'與點C是對應(yīng)點），連接CC',則

ZCC'B'的度數(shù)是15°.

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出NAC8=90°-60°=30°,由于AAB'C由△ABC

繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC'=AC,ZCAB'=ZCAB=

90°,ZAC'B'=30°,則△ACC'為等腰直角三角形，得到NAC'C=45°,然后

利用/CC'B'=/AC'C-ZAC夕計算即可.

【解答】解：,.?/BAC=90°,ZB=60°,

4cB=90°-60°=30°,

C由aABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，

：.AC=AC,ZCAB'=/CAB=90°,ZAC'B'=30°,

：./\ACC'為等腰直角三角形，

AZAC'C=45°,

：.ZCCB'=NAC'C-ZACB'=45°-30°=15°.

故答案為15°.

13.已知電路AB由如圖所示的開關(guān)控制，閉合a,b,c,d,e五個開關(guān)中的任意兩個，則

B

【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與使電路形成

通路的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：列表得：

(me)(b,e)(c,e)(d,e)-

(a,d)(b,d)(c,d)-(e,d)

(a,c)(〃，c)-(d,c)(e,c)

(mb)-(c,b)(d,b)(e,b)

-Qb,a)(c,a)Qd,a)(e,a)

一共有20種等可能的結(jié)果，使電路形成通路的有12種情況,

???使電路形成通路的概率是：」2=3.

205

故答案為：1.

5

14.一個函數(shù)滿足過點（0,1）,且當x>0時，y隨x的增大而減小，該函數(shù)可以為V=-

x+1,（不唯一）.

【分析】若函數(shù)為一次函數(shù)時，當x>0,），隨x增大而減小，說明&<0,只要滿足％<0

的值即可，把（0,1）代入解析式可得函數(shù)解析式.

【解答】解：???當x>0時，y隨x的增大而減小，

：.k<0,

可設(shè)％=-1,

?.,過點（0,1）,

二設(shè)函數(shù)解析式為〉=依+〃awo）,

將上=-1,（0,1）代入得6=1,

；.y=-x+1,

故答案為y=-x+1（答案不唯一，需滿足k<0即可）.

15.已知拋物線）?=/-（優(yōu)+1）尤與x軸的一個交點的橫坐標大于1且小于2,則機的取值

范圍是0<m<l.

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出二次函數(shù)與x軸兩個交點的坐標，根據(jù)坐標大于1且小于2

確定m的取值范圍即可.

【解答】解：令-（w+1）x=0,

解得：x=0,x'=m+\,

.,.拋物線與x軸的兩個交點為(0,0)和(m+i,0),

?.?其中一個交點的橫坐標大于1且小于2,

.\1<777+1<2,

即0＜小＜1,

故答案為：0V加＜1.

16.如圖，排球運動員站在點。處練習(xí)發(fā)球，將球從。點正上方2機的A處發(fā)出，把球看

成點，其運行的高度y(相)與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(%-6)2+h.B

知球網(wǎng)與0點的水平距離為9m,高度為2.43〃?,球場的邊界距。點的水平距離為18〃?.若

【分析】把點A坐標代入y=a(x-6)2+〃得了==也(％-6)2+/?,由題意得：當x=9

36

時，y＞2.43,當x=18時，yWO,即可求解.

【解答】解：點A(0,2),將點A的坐標代入拋物線表達式得：2=a(0-6)2+h,

解得：a=2lh,

36

???拋物線的表達式為y=2*(x-6)2+h,

36

由題意得：當x=9時，(x-6)2+//=三*(9-6)2+/J＞2.43.

3636

解得：心期；

75

當x=18時，(%-6)2+/z=.idl(18-6)2+/z^0,

3636

解得：人》B,

3

故九的取值范圍是〃》區(qū).

3

故答案為：

3

三、解答題（共52分）

17.（4分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）2?-18=0.

（2）Cm-1）2-l+/w=0.

【分析】（1）利用直接開平方法求解比較簡便；

（2）利用因式分解法求解比較簡便.

【解答】解：（1）移項，得2?=18,

所以f=9,

所以x=±3.

所以xi=3,X2—-3.

（2）（m-1）2+（m-1）=0,

（/w-1）（m-1+1）=0.

???加（m-1）=0.

或m-1=0.

/?/m=0,62=1?

18.（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程2日+必-1=0.

（1）不解方程，判斷此方程根的情況：

（2）若x=2是該方程的一個根，求代數(shù)式-2F+8Z+5的值.

【分析】（1）利用根的判別式A=U-4“c判斷即可.

（2）將x=2代入一元二次方程--2fcc+F-1=0,整理得必-4A=-3,再將-2/+8k+5

變形為-2（必-4%）+5,代入求值即可.

【解答】解：（1）：△=廬-4ac=（-2k）2-4（必-1）=4必-4必+4=4>0,

此一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.

（2）將x=2代入一元二次方程f-2H+必-1=0,

得4-4Z+F-1=0,

整理得F-4k=-3,

-2F+8Z+5

=-2（&2-必）+5

=-2X（-3）+5

=11.

19.(5分)如圖，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,。是AB邊上一點(點。與4,

B不重合)，連結(jié)CC,將線段CQ繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)。E交BC

于點F,連接BE.

(1)求證：AACD^ABCE；

(2)當NBDE=25°時，求NBEF的度數(shù).

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8=CE,Z￡)CE=90°=NACB,由“SAS”可證△ACO

名△BCE,可得BE=4￡),ZCBE=ZCAD=45°,可得結(jié)論；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】(1)證明：：將線段CO繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,

：.CD=CE,NDCE=90°=NACB,

工NACD=NBCE,

VZACB=90°,AC=BC,

."C4B=NC8A=45°,

在△4C￡>和△BCE中，

'AC=BC

?ZACD=ZBCE?

CD=CE

.?.△AC。名△BCE(SAS),

(2)解：VAACD^ABCE,

：.ZCBE=ZCAD=^5°,

NABE=/ABC+NCBE=90°,

VZBD￡=25°,

:*NBEF=65°.

20.(4分)已知二次函數(shù)y=/-4x+3.

(1)用配方法將-4X+3化成y—a(x-h)~+k的形式；

(2)在平面直角坐標系xOy中畫出該函數(shù)的圖象；

(3)當0WxW3時，v的取值范圍是-lWyW3.

【分析】(1)運用配方法把一般式化為頂點式；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象的畫法畫出二次函數(shù)圖象即可;

(3)運用數(shù)形結(jié)合思想解答即可.

【解答】解：(1)y=/-4x+3=(x-2)2-1；

(2)這個二次函數(shù)的圖象如圖：

故答案為-lWyW3.

21.12月4日是全國法制宣傳日.下面是某校九年級四個班的學(xué)生(各班人數(shù)相同)在一

次“憲法知識競答”活動中的成績的頻數(shù)分布表：

成績X70?7575Wx<8080Wx<8585?9090?9595<xW100

人數(shù)

班級

一班203780

二班015770

三班014771

四班m03752

(1)頻數(shù)分布表中，m—3

(2)從70WxV75中，隨機抽取2名學(xué)生，那么所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)

生的概率是多少？

【分析】（1）先求出九年級一班的學(xué)生為20人，各班人數(shù)相同，即可得出答案；

（2）畫樹狀圖，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）???九年級一班的學(xué)生為:2+0+3+7+8+0=20（人）,各班人數(shù)相同,

"=20-（0+3+7+5+2）=3,

故答案為：3；

（2）一班有2人，分別記為A、B；四班有3人，分別記為C、D、￡；

畫樹狀圖如圖：

ABCDE

/yV

BCDEACDEABDEABCEABCD

共有20個等可能的結(jié)果，所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)生的結(jié)果有14個,

所抽取的學(xué)生中，至少有1人是一班學(xué)生的概率為」段=二.

2010

22.（5分）某工廠設(shè)計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷，經(jīng)過調(diào)查，得到

如下數(shù)據(jù)：

銷售單價X（元/件）???30405060???

每天銷售量y（件）???500400300200…

（1）研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價x滿足一次函數(shù)關(guān)系，求出y與x的關(guān)系式；

（2）當?shù)匚飪r部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為

多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元？

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得：

（2）根據(jù)“總利潤=單件利潤X銷售量”可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得.

【解答】解：（1）設(shè)y=^+b,

40k+b=400

k=-10

解得:

b=800

貝I」y=-10x+800；

(2)根據(jù)題意，得：(x-20)(-Wx+800)=8000,

整理，得：/-]00計2400=0,

解得：xi=40,X2=60,

???銷售單價最高不能超過45元/件，

/?x=40,

答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元.

23.（6分）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端

安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分.若

記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為/?米.下面的表中記

錄了，/與/?的五組數(shù)據(jù)：

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根據(jù)上述信息，解決以下問題：

（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示

〃與d函數(shù)關(guān)系的圖象；

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為，〃米，則片1.5；

（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得

游船能從水柱下方通過.如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中

間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米.已知游船頂棚寬度為3

米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）

至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

圖1圖2

【分析】（1）建立坐標系，描點.用平滑的曲線連接即可：

（2）觀察圖象即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點式，求解原拋物線

的解析式；設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可.

【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點為原點，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐

標系，如圖1所示：

（2）根據(jù)題意可知，該拋物線的對稱軸為x=2,此時最高，

即"7=1.5,

故答案為：1.5.

（3）根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：h=a（d-2）2+1.5,

將（0,0.5）代入人=。（4-2）2+15得〃=-工

4

二拋物線的解析式為：/?=-L/2+d+o5,

4

設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：h=-ld2+d+0.5+m,

4

由題意可知，當橫坐標為2+3=工時，縱坐標的值大于2+0.5=25

22

-Ax（工）2+工+0.5+/G2.5,

422

解得

...水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.6米，

--.0.5+1.6=2.1（米），

...公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到2.1米才能符合要求.

24.（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（xi,yi）,B（x2,”）在拋物線y=-』+（2a

-2）%-a2+2a上，其中x\<x2.

（1）求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；

（2）①當x=a時，求y的值；

②若yi=y2=0,求xi的值（用含。的式子表示）.

(3)若對于XI+A2V-4,都有yiV”，求。的取值范圍.

【分析】(1)拋物線的對稱軸》=--上，計算即可；

2a

(2)①將x=q代入y=-7+(2。-2)x-『+24,計算即可；②若yi=*=O,則-/+

(2。-2)x-/+2a=0,解方程并根據(jù)x】Vx2,即可得出加的值.

(3)由題意得出用<-2,則只需討論xiV。-1的情況，分兩種情況：①當。2-1時，

又有兩種情況：x\<x2<a-1,xiV。-1Vx2,分別結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及X1+X2V-4計，

算即可；②當〃V-1時，令xi=。-1,X2=-2,此時XI+X2<-4,但yi>y2,不符合

題意.

【解答】解：(1)拋物線的對稱軸為直線X=-21里31=4-1；

-2

(2)①當/=〃時，y=-n2+(2a-2)a-

=-cr+la2-2a-a2+2a

=0；

②當y\=zy2=0時，-/+(2tz-2)x-?2+2a=0,

-(2〃-2)x+a2-2〃=0,

(x-〃+2)(x-a)=0,

Vxi<X2,

Axl—ci-2；

(3)方法一、①當-1時，

X\<X2?x\+x2<-4,

：.x\<-2,只需討論xiV〃-1的情況.

若x\<x2<a-1,

時，y隨著x的增大而增大，

，yiV”，符合題意；

若尤1V。-1<X2,

???〃-12-2,

：.2(4-1)2-4,

Vxi+x2<-4,

AXI+X2<2(。-1).

Axi<2(?-1)-xi.

x=2（a-1）-JQ時，yi="，x<a-1時，y隨著x的增大而增大，

'.y\<y2,符合題意.

②當“<-1時，令xi=〃-1,X2=-2,此時xi+x2<-4,但yi>”，不符合題意;

綜上所述，”的取值范圍是

方法二、

yi-yz--xi2+(2a-2)x\+%22-(2a-2)xi—(A2-xi)(%2+xi)+(2a-2)(xi-%2)

=(xi-X2)(2a-2-xi-xi)<0,

Vla-2>XI+JC2,

.".XI+X2<-4,

.\2?-2>-4,

-I.

25.（7分）已知NM4N=30°,點B為邊4何上一個定點，點P為線段AB上一個動點（不

與點A,8重合），點尸關(guān)于直線AN的對稱點為點Q,連接AQ,8Q,點A關(guān)于直線3Q

的對稱點為點C，連接PQ,CP.

（1）如圖1,若點P為線段A8的中點；

①直接寫出NAQB的度數(shù)；

②依題意補全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,若線段CP與BQ交于點D

①設(shè)N8QP=a,求/CPQ的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

②用等式表示線段OC,DQ,OP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）①證明PQ=?4=PB,可得結(jié)論.

②圖形如圖所示：結(jié)論：PC=MPA.證明NAPC=90°,可得結(jié)論.

(2)①如圖2中，連接BC,CQ.證明8,P,Q,C四點共圓，推出NCPB=NCQB=

ZAQB,由NAPC+/CPB=180°,推出NB4Q+NP￡?Q=180°,推出NPQQ=120°,

推出/￡>QP+/OPQ=60°,可得結(jié)論.

②如圖2-1中，結(jié)論：CD=DP+DQ.連接AO,在AO上取一點T,使得DT=DP.利

用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：(1)①?./,。關(guān)于AN對稱，

：.AP=AQ,NB4N=NQAN=30°,

.??△APQ是等邊三角形，

Z.PQ=PA,

:點P為線段AB的中點，

：.PB=PA,

：.PQ=PA=PB,

：.ZA2B=90°.

理由：：乙4。8=90°,4,C關(guān)于8。對稱,

：.AQ=QC,

：.PQ=QC=AQ,

：.ZCPA=60°,

?*..B±L=tan60°.

PA

:.PC=MPA.

(2)①如圖2中，連接8C,CQ.

圖2

YA,C關(guān)于B。對稱,

：.BC=BA,CQ=AQ,

,:BQ=BQ,

：./\BQC^BQA(SSS),

：.ZBCQ=ZBAQ=60°,ZBQC=ZBQAf

VZAPQ=60°,

：.ZBPQ=nO0,

???N8PQ+NBCQ=18(r,

???&P,。，C四點共圓，

???ZCPB=ZCQB=NAQB,

VZAPC+ZCPB=180°,

以。+/尸。。=180°,

：.ZPDQ=\20°,

：.ZDQP+ZDPQ=60Q,

：.ZCPQ=60°-a.

②如圖2-1中，結(jié)論：CD=DP+DQ.

理由：連接AQ,在AO上取一點T,使得OT=QP.

圖2-1

ZPAQ+ZPDQ=\SO°,

??.A,P,D,。四點共圓，

：.ZPDT=ZPQA=60°,

?：