四川省達州外國語學校2023-2024學年高三9月月考（理科）數(shù)學試題

達州外國語學校高三上學期9月月考

理科數(shù)學試題

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是符合題目要求的）

1.設(shè)集合。={1,2,3,4,5,6},J={1,3,5},5={3,4,5},則q,（/lu8）=（）

A.{3,5}B.{2,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}

2.復(fù)數(shù)z=4+"三3/的虛部為（）

i-2

A.2zB.-2iC.2D.-2

3.已知命題P：V〃eN,2"-2不是素數(shù)，則可為（）

A.gN,2"-2是素數(shù)B.V〃eN,2"-2是素數(shù)

C.T”任N,2"-2是素數(shù)D.3neN,2"-2是素數(shù)

4.2023年“三月三”期間，廣西交通部門統(tǒng)計了2023年4月19日至4月25日的高速公路

車流量（單位：萬車次），并與2022年比較，得到同比增長率（同比增長率=（今年車流量

一去年同期車流量）+去年同期車流量xlOO%））數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，則下列結(jié)

302

論錯誤的是（）0%

2515%

0%

1

20

A.2023年4月19日至4月25日的高速公%

5

15

路車流量的極差為235%w

100'-

B.2023年4月19日至4月25日的高速公5-

路車流量的中位數(shù)為17-15%

19日20日21日22日23024日25日

C.2023年4月19日至4月21日的高速公■2023年4月19日至4月25日?同比增長率

高速公路車流量

路車流量的標準差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路車流量的標準差

D.2022年4月23日的高速公路車流量為20萬車次

x-2y<0

5.若實數(shù)x,y滿足卜x+y+4>0,則z=3x+2歹的最大值為（）

A.8B.6C.-D.——

6.數(shù)學與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時聽到的樂音一般來

說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復(fù)合音.如圖為某段

樂音的圖像，則該段樂音對應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（）

第1頁，共18頁

A.y=sinx+—sin2x4--sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3x

2323

.1,1,1rle

C.=smx+—COSZX+—cos3xD.N=COSX+QCOS2X+§COS3K

7.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工

智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別，數(shù)據(jù)分析、機器學習、服務(wù)器開發(fā)五個方向展開研究，且

每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共

有（）

A.480種B.360種C.240種D.120種

8.若函數(shù)y=cos"+^）（。>0）在區(qū)間上恰有唯一極值點，則0的取值范圍為

（）

-171（171（171（2

A-15MB-l?6jC-D.序于

9.通常人們用震級來描述地震的大小，地震震級是對地震本身大小的相對量度，用/表示,

強制性國家標準GB17740-1999《地震震級的規(guī)定》規(guī)定了我國地震震級的計算和使用要求,

即通過地震面波質(zhì)點運動最大值（//T）皿進行測定，計算公式如下

"=lg（Z/T）s+L661gA+3.5（其中』為震中距），已知某次某地發(fā)生了4.8級地震，測得

地震面波質(zhì)點運動最大值為0.01,則震中距大約為（）

A.58B.78C.98

10.如圖，平面四邊形/C8D中，AB1BC,ABLDA,

AB=AD=\,BC=6,現(xiàn)將沿48翻折，使點。移

動至點尸，SLPALAC,則三棱錐P-N8C的外接球的表面積

為（）

A.8萬B.6乃C.4nD.------n

3

11.已知P為雙曲線*-白=1（4>0,6>0）左支上的一點，雙曲線的左、右頂點分別為A、

B,直線8P交雙曲線的一條漸近線于點。，直線HP、4。的斜率為尢、&,若以48為直

徑的圓經(jīng)過點。，且2勺+&=0,則雙曲線的離心率為（）

A.-B.2C.72D.—

22

12.若函數(shù)“X）的定義域為R,且/'（2x+l）偶函數(shù)，/'（x-1）關(guān)于點（3,3）成中心對稱，則

第2頁，共18頁

F列說法正確的個數(shù)為()

①/(x)的一個周期為2②"22)=3

19

③/(X)的一條對稱軸為x=5④￡/(，)=57

f=l

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(x-l)(x+iy的展開式中，/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

14.若向量￡=(1,1),5=(1,2),BL(a-Ab)rh,則實數(shù)2的值為

15.已知正方體的棱長為4,點P在該正方

體的表面上運動，且R4=4應(yīng)，則點尸的軌跡長度

是.

16.對于數(shù)列｛4｝,定義4=q+2/+…+2”4為數(shù)列｛4｝的“加權(quán)和”,已知某數(shù)列｛q｝的

“加權(quán)和”4,=〃2田，記數(shù)列｛%+8｝的前〃項和為小若4n對任意的“wN?恒成立,

則實數(shù)p的取值范圍為

三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(-)必考題：第17至21題，每小題12分，共60分.

.…cosAcosC

17.在“鳥。中，——=----

2b-ac

(1)求角C的大小.

⑵若a=3,的面積為66，。為48的中點，求CO的長.

18.現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.

(1)求張同學至少取到1道乙類題的概率;

(II)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學答對甲類題的概率都是3:

4

答對每道乙類題的概率都是］,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學答對題的個數(shù),

求X的分布列和數(shù)學期望.

19.如圖，在四面體/8CZ)中,MBDQBCD均為等邊三角

第3頁，共18頁

形，AB=2,點E為ZC的中點，NEBD=45°.

(1)證明：直線。平面Z8C：

⑵設(shè)點F在加上，犯求二面角。-"-尸的余弦值.

20.已知橢圓C:7V=l(a>b>0)的左右焦點分別是耳，網(wǎng),點P在橢圓C上，以P耳

為直徑的圓E:/+1-；)=、過點用.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知4,5是橢圓C上兩個不同的動點，以線段48為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O,是否存

在以點。為圓心的定圓與N8相切？若存在，求出定圓的方程，若不存在，說明理由.

21.已知函數(shù)/(》)=(加+，)lnx+：-x,(其中常數(shù)機>0)

⑴當加=2時，求〃力的極大值；

(2)當〃?e[3,+8)時，曲線》=/")上總存在相異兩點以士,/(占))、。(&,/伍))，使得曲線

y=/(x)在點P、。處的切線互相平行，求西+X2的取值范圍.

(二)選做題：請在22,23題中任選一題作答，如果多答，則按所答的第一題計分.

0,fx=2+2cos0

22.在平面直角坐標系中，曲線4：/一丁=2,曲線C,的參數(shù)方程為。.°

(6為參數(shù)).以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線￡、C2的極坐標方程；

(2)在極坐標系中，射線?！昱c曲線G,G分別交于A、B兩點(異于極點0),定點A/(3,0),

求AM48的面積

23.己知正實數(shù)滿足2x+y=l

(1)解關(guān)于x的不等式2(x+y)+|x-y區(qū)g；

(2)證明：>36.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)集合的交集補集運算.

第4頁，共18頁

【詳解】由"={1,3,5},5={3,4,5},得ZU8={1,3,4,5},

所以［?。8)={2,6},

故選：B

2.D

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡出z,即可得出虛部.

【詳解】解:

i-2(/-2)(/+2)-5

故虛部為-2.

故選：D.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念.

3.D

【分析】由全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.

【詳解】命題P為全稱量詞命題，該命題的否定為Y淚〃eN,2"-2是素數(shù).

故選：D.

4.C

【分析】通過計算得到選項AB正確：觀察數(shù)據(jù)的波動情況，得到選項C錯誤；設(shè)2022年

4月23日的高速公路車流量為x萬車次，則二，x100%=10%,解得》=20,故D正確.

X

【詳解】對于A：由題圖知，2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的極差為

25-2=23,故A正確；

對于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的中位數(shù)為17,故B正確；

對于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路車流量波動更大，故C錯誤；

對于D：2023年4月23日的高速公路車流量為22萬車次，同比增長率為10%,設(shè)2022年

4月23日的高速公路車流量為x萬車次，則二，x100%=10%,解得》=2(),故D正確.

X

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)約束條件，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再作直線/：3x+2y=0平移求

解.

【詳解工作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，

第5頁，共18頁

其中Z'5(2,1),

作直線/：3x+2y=0,平移直線/,

當其經(jīng)過點8(2,1)時，z有最大值8,

故選：A.

6.A

【分析】由圖像可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，得出A,B為奇函數(shù)，再根

據(jù)函數(shù)圖像中判斷出A對，B錯：由圖像得"0)=0,判斷出C,D錯誤，即可

得出答案.

【詳解】對于A,函數(shù)y=〃x)=sinx+gsin2x+；sin3x,

因為/(-x)=-sinx-gsin2x-；sin3x=-/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，

又個］=農(nóng)+1+必=_1+逑＞o,故A正確；

1,4)22623

對于B,函數(shù)夕=/(X)=sinx-；sin2x-；sin3x,

因為/(-x)=-sinx+；sin2x+；sin3x=-/'(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，

故B錯誤;

函數(shù)y=/(x)=sinx+；cos2x+；cos3x

對于C,

因為/(°)=1+:=230,故C錯誤;

236

對于D,

/(0)=1+1+1=^0,故D錯誤,

故選：A.

第6頁，共18頁

7.B

【解析】將人臉識別方向的人數(shù)分成：有2人、有1人兩種情況進行分類討論，結(jié)合捆綁計

算出不同的分配方法數(shù).

【詳解】當人臉識別方向有2人時，有=120種，當人臉識別方向有1人時，有C，：=240

種，.?.共有360種.

故選：B

【點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象特征，根據(jù)整體法即可列出不等式滿足的關(guān)系進行求解.

?、，，(兀八、K(con兀兀、

【詳解】當工￡一彳,。，cox+—e\---,

\ZJo\2o07

由于》=8$(0*+仁)(0>0)在區(qū)間15,0)上恰有唯一極值點，故滿足一兀<-苧+已<0,

解得,

故選：C

9.C

【分析】由題意，"=4.8,(4T濡=0.01,代入式子可得△“10小，結(jié)合選項估計，即得

解

【詳解】由題意,M=4.8,(M)皿=0.01

代入必=1g(//T)H+1.661gA+3.5

可得4.8=lg0.01+l.661gA+3.5

.-.1.661gA=4.8-3.5+2=3.3

33

IgA=—?1.988

1.66

.1.A?10L988<102=100

因此震中距/是接近100但小于100的數(shù)

結(jié)合選項，震中距大約為98

故選：C

10.C

【分析】由題意可得P4J■面/8C,可知P/L8C,因為4BJ.BC,則8c立面P48,于是

第7頁，共18頁

8cLp8.由此推出三棱錐P-/8C外接球球心是PC的中點，進而算出CP=2,外接球半

徑為1,得出結(jié)果.

【詳解】解：由。/_L/8,翻折后得到尸又P4LAC,

則尸41面Z8C,可知產(chǎn)/工8c.

又因為28C,則面尸”8,于是8c，尸8,

因此三棱錐P-ABC外接球球心是PC的中點.

計算可知CP=2,則外接球半徑為1,從而外接球表面積為4*

【點睛】本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論

證能力、運算求解能力及創(chuàng)新意識，屬于中檔題.

11.D

212

【分析】設(shè)點。（私〃），可得出與，利用圓的幾何性質(zhì)可得與B=一不，由

m—a"a傷

k1L2

2勺+&=O=-r=J，即可得出勺的值，由此可求得雙曲線的離心率.

與2/

222

【詳解】設(shè)點人"?,〃），則±-4=1,即有＜—耳，①

a2b2m2-aa~

由”（一0,0）、8（凡0）以及以AB為直徑的圓經(jīng)過點?？芍狝QLPB,

所以《力力=Tnkx-7~，

k?

又左]二,kpB—,所以，

m+am-a

由題意知2,+%2=0n_?=J，所以一??=」一x/一=一~-=②

?2幺k2m-am+am-a''2

由①和②得［=2，由c2=a2+b2=得e=￡==^~.

a122aU2

故選：D.

12.C

【分析】由題意,根據(jù)函數(shù)的對稱性,可得/（1）=/（1+x）,/（2-[=6-/（2+x）,且

第8頁，共18頁

/(2)=3,根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可判①的正誤；根據(jù)周期性的應(yīng)用，可判②的正誤；根

據(jù)函數(shù)的軸對稱性的性質(zhì)，可判③的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，進行分組求和，根據(jù)函數(shù)的

對稱性，可得〃1)+〃3)=6,/(2)+/(4)=6,可判④的正誤.

【詳解】因為/(2x+l)偶函數(shù)，所以〃l-2x)=〃l+2x),貝4(l-x)=/(l+x),即函數(shù)/(X)

關(guān)于直線x=l成軸對稱，

因為函數(shù)/(x)的圖象是由函數(shù)/(x-1)的圖象向左平移1個單位，所以函數(shù)/(x)關(guān)于點

(2,3)成中心對稱，則/(2-x)=6-/(2+x),且"2)=3,

對于①，/(x+2)=6-/(2-x)=6-/(1-(x-1))=6-/(1+x-l)=6-/(x),

/(x+4)=/(2+x+2)=6-/(2-x-2)=6-/(-x)=6-/(l-(x+l))

=6-/(l+x+l)=/(2-x)=/(l+l-x)=/(l-l+x)=/(x),則函數(shù)/(x)的周期T=4,故

①錯誤；

對于②，/(22)=/(2+4x5)=〃2)=3,故②正確；

對于③，/(5+x)=/(l+x+4)=/(l+x)=/(l-x)=/(l-x+4)=/(5-x),故③正確；

對于④，/(1)=/(2-1)=6-/(2+1),則/(1)+/(3)=6,

/(4)=/(0)=〃1-1)=/(1+1)=〃2)=3,貝ij42)+/(4)=6,

由19+4=4……3,則

19

Z/(i)=/0)+/(2)+…+/(19)=4(/(1)+〃2)+/(3)+〃4))+/07)+/(18)+/(19)

i=l

=4x(6+6)+/,⑴+/(2)+/(3)=48+6+3=57,故④正確.

故選：C.

13.9

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求出d的系數(shù).

【詳解】(x-l)(x+l)6的展開式中，X、的系數(shù)為優(yōu)-。：=9,

故答案為：9.

第9頁，共18頁

【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求得實數(shù)力的值.

【詳解】解：???向量萬=(1,1),3=(1,2),且0-亦)

二.伍-焉)石=&石-篇2=(1+2)-5/=0,

則實數(shù)4=13,

3

故答案為：~.

【點睛】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.6兀

【分析】由已知可判斷點尸可能在平面4與。2內(nèi)，可能在平面5CC￡內(nèi)，可能在平面

DCGA內(nèi).先求解當點尸在平面44GA內(nèi)時，可推得點p的軌跡為以點4為圓心，4為半

徑的圓與正方形44GA邊界及其內(nèi)部的交線.然后根據(jù)扇形的弧長公式，即可得出當點尸在

平面內(nèi)時，點p的軌跡長度是2兀，進而得出答案.

【詳解】因為"=4近＞4,所以點P可能在平面44GA內(nèi)，可能在平面5CC4內(nèi)，可能

在平面OCG2內(nèi).

當點p在平面481GA內(nèi)時，

由平面44GA，/fu平面4B|GR,可知14,4尸，

所以尸才=4/；+4P2,所以4P2=PA2_AAI=9④)?-甲=16,

所以點p到4的距離為4,

所以點尸的軌跡為以點4為圓心，4為半徑的圓與正方形44GA邊界及其內(nèi)部的交線.

7T

如上圖，ZD^B,=-,4耳=4,

則麗的長/=段4=2兀，

第10頁，共18頁

所以，當點尸在平面4片G。內(nèi)0寸，點P的軌跡長度是2兀.

同理可得，當點尸在平面8CG耳內(nèi)時?，點尸的軌跡長度也是27t.

當點尸在平面。cq&時，點尸的軌跡長度也是27t.

綜上所述，點尸的軌跡長度為2兀+2兀+2兀=6兀.

故答案為：67r.

「127一

⑹[一?工

【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得4+2出+...+2"2%+2"一&=".2叫從而〃22時，

2n

al+2a2+-+2"-a?_i=(n-l)-2,相減求得a,=2w+2,進而求得7；的表達式，利用

對任意的〃eN,恒成立，列出不等式組，即可求得答案.

【詳解】由題意可得a,+2%+...++2-'a?=n-2向，

2

,“22時，a]+2a2+---+2"-a?_l=(n-1)-2",

兩式相減可得：2"%,=〃.2向―(〃T).2”,

化為=2〃+2,

”=1時，4=2°=4,滿足上式，

故a,,=2n+2,neN,

_八八、〃(4+2〃+2)〃(〃+1)/八n(n+1)

故[=〃]+出+…+〃〃+P(1+2H--F〃)=-----------+p----——=n(n+3)+p----——,

???]《4對任意的」￡小恒成立,

?{T4<T5128+10/7<40+15/7

**[7；<7；，'[54+21pK40+15p'

127F127-

解得一--即夕￡一~,

■127'

故答案為：---

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)列新定義可得％+2〃2+...+2〃一2%+2”%=〃.2向，從而〃22

時，％+24+-??+2〃-24I=5—1).2〃，相減求得可，從而可求得[的表達式，因此解答的

第11頁，共18頁

AM

關(guān)鍵就在于將T?<TS對任意的〃€N'恒成立轉(zhuǎn)化為解的問題.

17.（l）y

⑵卑

2

【分析】（1）首先利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導公式得到cosC,

即可得解；

（2）首先由面積公式求出6,再由。為N8的中點，得至I」方=g（0+而），最后根據(jù)數(shù)量

積的運算律計算可得；

【詳解】（1）解：因為誓'所以ccos4=（2b-a）cosC,

2b-ac

由正弦定理可得sinCcosA=(2sinB-sin)cosC,

即sinCcosA+sinAcosC=2sin8cosC

即sin(C+^)=2sin5cosC,

即sin(1一8)=2sin8cosC,

即sin8=2sinBcosC,又sin8〉0,所以cosC=—,

2

因為。￡（0,乃），所以。二q

（2）解：因為/處=!〃從沿。=6百，BP-x3ftx—=6A/3,所以b=8,

222

又。為N8的中點，所以函=g（B+礪），

---21

所以8=7CB+2CA-

97

82+32+2x3x8x-

24

所以西卜孚；

18.（I）|（ID見解析

6

【分析】（I）從10道試題中取出3個的所有可能結(jié)果數(shù)有C3張同學至少取到1道乙類題

的對立事件是：張同學取到的全為甲類題，代入古典概率的求解公式即可求解

（II）先判斷隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,根據(jù)題意求出隨機變量的各個取值

第12頁，共18頁

的概率，即可求解分布列及期望值

【詳解】解：（/）設(shè)事件/="張同學至少取到1道乙類題”

則；?=張同學至少取到的全為甲類題

￡L5

:.P(A)=1-P(J)=1-=

6

（〃）X的所有可能取值為0,1,2,3

。）=強|）。?令?缶高

尸(X=l)V28

125

57

P(X=2)=?(—-)2+C\

-55555125

P(X=3)@(|Y)嗯

X的分布列為

X0123

4285736

P

125T25125125

?八4,28f57、36r

EX=0x----F1x----F2x---F3x---=2

125125125125

【點睛】本題主要考查了古典概型及計算公式，互斥事件、離散型隨機變量的分布列及期望

值的求解，考查了運用概率知識解決實際問題的能力.

19.（1）證明見解析；

用而

【分析】（1）證明ABEQ為以8。為底邊的等腰三角形，進而證明OELBE,OE1/C再根

據(jù)判定定理即可證明結(jié)論；

（2）以方，而，麗的方向分別為x/，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即

可.

【詳解】（1）證明：因為“BDqBCD均為等邊三角形,

所以D4=DC,B4=BC.

因為點E為/C的中點，

所以。E_LXC,5EJ./C,

第13頁，共18頁

2

所以，DE=BE=

所以，ABED為以8。為底邊的等腰三角形，

因為NE5Z)=45。，

所以N￡)E8=90",即。E18E,

因為4。(13后=瓦/。,8￡匚平面工8(^,

所以O(shè)E1平面/8C.

(2)解：由(1)依iDELBE,DEJ.AC,BELAC,

所以，以成，而，麗的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖,

所以,0(0,0,正),/(0,0,0),C(-6,0,0),8(0,72,0)

因為叫皿所以小岑，斗

設(shè)平面ZCF的一個法向量為7=(X,NZ),

信近3五門

V2xH------yH---------z=0

AFn=044

則一，即令z=l得〃=(0,-3,1),

C/方=0

，2x+——v+---z=0

44

因為平面ACD的一個法向量為m=(0,1,0),

/----\tnn-3-3A/10

所以,\cos(下H2I,〃h)l=i一i「二］=—T=1°=-，---

第14頁，共18頁

所以，二面角。-/C-F的余弦值為亞.

10

->-）

20.⑴三+匕=1

42

,,4

⑵存在，/+_/=§

【分析】（1）對于圓E令歹=。得。、片、工的坐標，且OE〃貨，由2a=|產(chǎn)用+附磯求出a

可得橢圓C的方程；

（2）設(shè)，（芭,必），B（x2,y2）,當25斜率存在時,直線45的方程為八年+m與橢圓方程聯(lián)

立，由韋達定理代入列.麗=0的坐標運算得3〃/=4。+公），再代入原點。到48的距離

為d；當AB斜率不存在時由題意知歸|=|M|求出圓心。到AB的距離可得答案

【詳解】（1）對于4:/+,-￡|-=*,令y=0,得》=±夜，

所以c=近,6（-&,0），F(xiàn)小區(qū)0）,

圓心為因為OE〃桃，所以P（啦,1）,

所以2a=戶川+戶周=4,所以。=2,

所以橢圓C的方程為：—+^=1；

42

（2）設(shè),&,乂）,8卜2,%），

當斜率存在時，直線Z8的方程為尸=h+，”，

x2y2

?T+T=,7肖去V得（1+2左2）x?+4左wx+2m2-4=0,

y=kx-^-m

A=16*2m2-4（l+2k2）（2m2-4）,

=8（止+2-叫>0,

-4km2m2-4

再+X）=-2，X,Xj=------，

-1+2-12i+2左2

因為以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點。，所以次.痂=0,

xtx2+y2y2=xtx2+（fcv,+W）（AX2+w）=0,

2

（1+左2）X|X2+（x,+x2）+/M=0,

第15頁，共18頁

-4km

+加2=o,

EM江1+242

化簡得：3m2=4（1+公）,

原點。到AB的星巨離為d=二爰，

9->

當Z8斜率不存在時由題意知：|芭|=|必|,9+左=1,

42

2

圓心。到/B的距離〃=|占|=耳,

綜上所述，存在以O(shè)為圓心的定圓與直線相切，定圓的方程為/+/=：

53

21.(1)—In2——

(2)(*)

【分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)/（X）的單調(diào)性，即可求得函數(shù)/（X）的極大值;

1

（2）由/"（X1）=/"（X2）（X］、占＞0且國力工2）可得出再+々=〃？+—X,x,利用基本不等

m2

44

式可得出國+々＞京工對加式3,y）恒成立，求出京工在加43,y）時的最大值，即可得

mm

出演+々的取值范圍.

【詳解】（1）解：當陽=2時，/（x）=glnx+J-x,該函數(shù)的定義域為（0,+司,

當0＜x＜；或x〉2時，/z（x）＜0；當g＜x＜2時，/f（x）＞0,

所以，函數(shù)?。┰冢?,3）和（2,+8）上單調(diào)遞減，在區(qū)2）單調(diào)遞減

2

S4

故函數(shù)“X）的極大值為/（2）=；ln2-j

1m+-1

（2）解：因為/（x）=m+—inx+x~x,則/"(x)=—包

m

由題意，可得/'（七）=/'（々）（々、%＞0且再**2）,

1

…掰+一i陽+—1

即m1

mH——3

須m

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因為玉片々，由不等式性質(zhì)可得<（2產(chǎn)）恒成立，

又不、々、〃?>0,所以，西+*2<（加n玉+x2Uy對〃??3,”）恒成立，

m

令g（m）=〃2+'（加23）,則gr