二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一：學(xué)習(xí)任務(wù)：.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.（難點(diǎn)）.理解和初步掌握賦值法及其應(yīng)用.（重點(diǎn)）二：學(xué)習(xí)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解和初步掌握賦值法及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.三：教學(xué)過理（一）教學(xué)情境引入：（。+by的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)C。，。，C2,…，。，…，。有很多有nnn n n趣的性質(zhì)，這節(jié)課就讓我們從不同的角度來研究一下吧.（二）基礎(chǔ)知識(shí)講解：?jiǎn)栴}1：你可以分別計(jì)算n=l,2,3,4,5,6時(shí)的二項(xiàng)式系數(shù)，并將通過合適列表呈現(xiàn)出來嗎？（ff+fi）1 1 2I（tf+A）5 1 331（“+婿 14641（a+b）5 1 5101051（"十孫,…I61520156I問題2：你發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律?知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)C(1)Cm=Cn—m,

nnCm+Cm-1=Cmnn n+1,=、 77T-1. 77T-1. ⑵即k<-2-時(shí)，C隨k的增加而增大；當(dāng)k>F時(shí)，C:隨k的增加而減小.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)CC2取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)C7和CT相等，n n n且同時(shí)取得最大值.3）（。+b*的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.（三）典型例題講解：類型1賦值法的應(yīng)用例1、求證：在3+與，，的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.分析：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C0+C2+C4+…，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為nnnCl+C3+C5H.由于(〃+b)n—COan+ClCln-lb+C2Q〃-2b24 卜C九歷中的Q,?？梢匀∪我釺OC\o"1-5"\h\znnn n n n n實(shí)數(shù)，因此我們可以通過對(duì)〃，h適當(dāng)賦值來得到上述兩個(gè)系數(shù)和.證明：在展開式(Q+b)n-Co。"+Clan-lb+C2Qn—2b24+Cnbn中,n n n n令〃=1,b=—l,貝I］得(1—l)〃=Co—Cl+C2+…+(—1“C>+…+(—nnn n n即C2o+C2+C4H )—(Ci+C3+C5H )=0.nnn n n n因止匕CO+C2+C4+i=C1+C3+C5+…，nnn n n n即在(Q+〃)〃的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.變式： 已知(1-2x)7=aQ+a]x+a^~\ 1-^x7.求：(l)Q]+%d k%；(2)a]+%+%+”(3)〃o+%+%+綜；(4)%1+%I+\a2\4 卜卬的值，[解]令x=l,則%+%+〃2+%+%+%+。6+。7=_1，令x=-1,則a-ax+a-a3+a-a5+a-a=^.(l)V6Zo=Co=l,*.ax+a2+a^-\ \-a1=—2.(2)由(①一②):2,得-1-37<2^^+^+^= 2 =-1094.(3)由(①+②):2,得-1+37囪+%+%+綜― 2 -1093?(4)法一：(1—2x)7 的展開式中，a0，a2, a4, a6 大于零，而 a1, a3, a5, a7不大于零，\Ia01+1aJ+1a?lH Ha71(ao+a2+a4+a6)—(a1+a3+a5+a7)=1093+1094—2187.法二:,「Ia0I+1a1I+1a21H 卜Ia7I是(1+2x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和.??Ia0I+Ia1I+1a2I+…+1a7I=37—2187.類題通法 二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法(1)對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c￡R,m,n￡N*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=1即可；對(duì)(ax+by)n(a,b￡R,n￡N*)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.(2)一般地，若f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),f(1)+f(―1)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+.= 2 ，f(1)—f(—1)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+.= 2 ［跟進(jìn)訓(xùn)練］1.設(shè)(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2H Ha2022?x2022(x￡R).(1)求a0+a1+a2H Ha2022的值；(2)求a1+a3+a5H Ha2021的值；⑶求Ia0IHIa1IHIa2IH HIa2022I的值；⑷a1H2a2H3a3H…H2022a2022的值.［解］⑴令x=1,得a0+a1+a2H +a2022=(—1)2022=1. ①⑵令x——1,得a0—a1+a2 a2021+a2022=32吵 ②①一②得2(a1+a3H +a2021)=1-32022,1-32022?)a1+a3+a5H +a2021= 2 ⑶VT+1=C2022(-2X)^=--C2022.(2')「，???a2k_1V0(k￡N*)，a2k>0(k￡N).?\Ia0+IaJ+la2+Ia31H +1a2022I=a0-a1+a2-a3+…-a2021+a2022=32022.,X2022(X(ER),(4)V(1—2x)2022=a0+a1x+a?x,X2022(X(ER),2022x2021a￡R)，令X=1得，4044=-4044(1-2x)2021=a1+2a2x+…2022x2021a￡R)，令X=1得，4044=.??a1+2a2+3a3+…+2022a2022=4044.類型2二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用3【例2】 已知f(X)=(??/2+3X2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).［思路點(diǎn)撥］求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，利用性質(zhì)知展開式中中間項(xiàng)(或中間兩項(xiàng))是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，必須將x，y的系數(shù)均考慮進(jìn)去，包括“+”“一”號(hào).［解］令X=1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)=(1+3)n=4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n-2n=992.??(2n)2-2n-992=0，??(2n+31)(2n-32)=0，??2n=-31(舍去)或2n=32，??n=5.(1)由于n=5為奇數(shù)，，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們分別是2T3=C2(X3)3(3X2)2=90X6，22T4=C3(x3)2(3x2)3=270x3.一一-一二⑵展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C53r?x3(5+2r)假設(shè)Tr+1項(xiàng)系數(shù)最大，ICr3rNC?t?3r-1,則有〈5 5[Cr3rNCr+1?3r+1,5! 5! (5-r)!r!義^?(6—r)!(r—1)!，5! > 5! [(5—r)!r!?(4—r)!(r+1)!*，79???2Wr<2,Vr￡N*,,??r=4.???展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=C5x3(3x2)4=405x個(gè).類題通法1.求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.2．求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行判斷,一般采用列不等式組,解不等式的方法求得．3.求(a+bx)n(”,b￡R)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,4，…，An+1,且第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用E"1：92,解出r，即得系數(shù)的最大項(xiàng)?［Ar＋1NAr,［跟進(jìn)訓(xùn)練］2.已知(x+2x)n的展開式中前3項(xiàng)的系數(shù)為等差數(shù)列.(1)求展開式中含x2的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

［解］［解］(1)?.?已知卜4的展開式中前3項(xiàng)的系數(shù)為等差數(shù)列而(x+2X]n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cn?2-r?xn-2r,故T=C0Xn=Xn,T=C1??X?Xn-2=n-Xn-2,1n2n2 2T=C2?J.Xn-4=”,"11?Xn-4,3n4 8nn（n-1）.?.2X==14 , ,解得n=8或n=1（舍去）.28??.n=8, Tr+1=C8?J?X8-2r，令8-2r=2,求得r=3,可得展開式中含X2的項(xiàng)為C3?8-X2=7x2.（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，Tr+1=C8?2;?X8-2r,Cr?J-NCr+1?---C82「C8 2r+1CrCr?1三Cr—1?—C82LC8 2r-1求得r=2或r=3,故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為C2?；?X4=7x4,或C3?8-X2=7X2.即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為7x4或7x2.類型3利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或求余數(shù)【例3】題目見課本35頁第9題,答案見教參39頁類題通法1．利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的基本思路利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式,其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除,只需證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除．因此,一般先將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式,再展開,此時(shí)常采用“配湊法”“消去法”,結(jié)合整除的有關(guān)知識(shí)來處理．2．利用二項(xiàng)式定理求余數(shù)的注意點(diǎn)求余數(shù)時(shí),要注意余數(shù)的范圍,即余數(shù)大于零且小于除數(shù)．利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意進(jìn)行轉(zhuǎn)化．四、當(dāng)堂達(dá)標(biāo).在(1+x)Mn￡^二)的二項(xiàng)展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n=()TOC\o"1-5"\h\zA．8 B．9C．10 D．11C［由題意(1+X)n展開式中，X5的系數(shù)就是第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),因?yàn)橹挥兴嵌?xiàng)式系數(shù)中最大的，所以n=10.］.在(a+b)n的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=()．4 B．5．6 D．7［在(a+b)n的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式共有7項(xiàng)，I.n=6.］.已知(ax+1)n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為32,則n等于.［二項(xiàng)式系數(shù)之和為Cn+Cn+…+C；=2n=32,所以n=5.］.(1+x)n(3-x)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1024,則n的值為.9［由題意知(1+1)n(3—1)=1024,即2n+1=1024,故n=9.］.在(a-b)10的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最小項(xiàng)是 .-252a5b5［在(a—b)10的二項(xiàng)展開式中，