2023年高考數(shù)學(xué)試題分類解析 第十章 直線與圓 附答案解析

2023年高考數(shù)學(xué)試題分類解析【第十章直線與圓】

第三節(jié)直線與圓的位置關(guān)系

1.（2023全國甲卷理科8,文科9）已知雙曲線耳=1（。>0,6>0）的離心率為遙，其中一條漸近

線與圓（x—2y+（y-3）2=l交于兩點(diǎn)，則M同=（）

A.1BgC.正D.逑

5555

【解析】由e=J?，則￡■=丘戈■=1+1=5,解得2=2.

a~craa

所以雙曲線的一條漸近線為y=2x,則圓心（2,3）到漸近線的距離d=?泮曰=與,

所以弦長|/同=2〃2-4

故選D.

2.（2023全國乙卷理科22,文科22）在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸

建立極坐標(biāo)系，曲線q的極坐標(biāo)方程為0=2sin（；”^曲線（c為參數(shù)，

—兀<a<n、）.

2

（1）寫出G的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線y=x+機(jī)既與G沒有公共點(diǎn)，也與G沒有公共點(diǎn)，求加的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，注意xj的取值范圍；

（2）根據(jù)曲線G，G的方程，結(jié)合圖形通過平移直線夕=工+〃，分析相應(yīng)的臨界位置，結(jié)合點(diǎn)到直線的距

離公式運(yùn)算求解即可.

【解析】⑴因?yàn)橄?2sin6,即02=2psinO,可得/+必=2了，

整理得x2+（y-葉=1,表示以（0,1）為圓心，半徑為1的圓，

又因?yàn)閤=pcos=2sincos0=sin20,y=psind=2sin20=1-cos20，

且%則/，24,兀,則-=$詁28€[0,1],=l-cos20e[l,2],

1

故G:x2+（y-1）一=l,xe[0,1],ye[1,2].

⑵因?yàn)镚：|"2cosa（夕為參數(shù)，—<?<n：）,

[y=2sina2

整理得x2+V=4,表示圓心為o（o,o）,半徑為2,且位于第二象限的圓弧,

如圖所示，若直線y=x+/n過（1,1）,貝！|1=1+〃？，解得加=0；

|m|

若直線y=x+/n,即x-y+加=0與G相切，貝I〈也？，解得，"=2點(diǎn)\

m>0

若直線y=x+m與G，G均沒有公共點(diǎn)，則，”>2近或加<0,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-8,0）U（2夜,+8）.

3.（2023全國乙卷文科11）已知實(shí)數(shù)x，V滿足/+/—4x-2y-4=0,則的最大值是（）

A.1+逑B.4C.1+372D.7

2

【分析】解法一：令x-y=k,利用判別式法即可；解法二：通過整理得（x-2f+（夕-1）2=9,利用三

角換元法即可，解法三：整理出圓的方程，設(shè)x-y=左，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.

【解析】解法一：令x-y=k,則x=%+y,

代入原式化簡得2/+（2左一6）丁+公—4?-4=0,

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)九則420,即（2"6）2-4'2（/_4左_4）20,

化簡得％2-21740，解得1-3近弘41+3正，

故x-y的最大值是30+1.故選C.

解法二：x2+y2-4x-2y-4=0,^W（x-2）2+（jv-l）2=9,

2

令x=3cos6+2,y=3sinO+l,其中?！闧0,2兀],

cos(?+；

則x—歹=3cos。一3sin。+1=3>/2+1，

TTTT9TTTnT7TT

因?yàn)?G[0,2可，所以了彳’則。+二=2兀，即"7時(shí)''一，取得最大值3近+L故選C

4

解法三：由工2+歹2_41_2、_4=0可得(工―2)2+3_1)2=9,

設(shè)x-y=%,則圓心到直線x-y=左的距離"=與/43,

解得1-3應(yīng)4心1+3VL

故選C.

4.(2023新高考1卷6)過點(diǎn)(0,-2)與圓/+l/一以一1=0相切的兩條直線的夾角為1,則411。=()

A.1rVio

4

【解析】X2+/-4X-1=0=>(X-2)2+/=5,所以圓心為8(2,0),

記4(0,—2),設(shè)切點(diǎn)為憶N,如圖所示.

因?yàn)锳B=2g，BM=#＞，故/朋'=Ji，

cos4=cosNW8=^=￡'sin^=^

2AB2V222V2

---aay/5y/3y/l5

sina—2sin—cos——2x—^=x—■=-----.故選B.

222<22V24

5.(2023新高考II卷15)已知直線x—四+1=0與圓C:(X—1)2+_/=4交于45兩點(diǎn)，寫出滿足

Q

"S&ABC的勿的一個(gè)值

5

3

【解析】由題意可知，直線恒過點(diǎn)N(T,O),此點(diǎn)同時(shí)為圓。與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn).

1Q

又圓心C（l,o）,則4C=2,所以S、,BC=5X/Cx'卜帆|=1

Q111

解得歹8=±《，4=］或4=一^

n8H_81號(hào)1

所以滿足條件的點(diǎn)5可以為4,B，-，員，-