臺(tái)州市初中數(shù)學(xué)圖形的相似真題匯編附答案

臺(tái)州市初中數(shù)學(xué)圖形的相似真題匯編附答案

一、選擇題

1.如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊_ABC中，D、E分別為AB,AC的中點(diǎn)，則，一ADE的面積是（）

A.6B.@C.述D.273

24

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得DE是AABC的中位線，由此可得AADE和AABC相似，且相似比為1:2,再根據(jù)相似

三角形的面積比等于相似比的平方，可求出AABC的面積.

【詳解】

等邊一ABC的邊長(zhǎng)為4,

?■?SABC=^X42=4V3>

點(diǎn)D,E分別是_ABC的邊AB,AC的中點(diǎn)，

」.DE是二ABC的中位線，

/.DE//BC,DE=—BC,AD=—AB,AE=—AC,

222

ADAEDE1

即Hn——=——=——=-,

ABACBC2

.'ADES-ABC,相似比為;，

故SADE:SABC=1：4,

即SADE=：SABC=；x4出=6,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握等邊三角形的面積公式、相似三角形的判定與性質(zhì)及中位線定理.

2.如圖，在x軸的上方，直角/BOA繞原點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).若NBOA的兩邊分別與函數(shù)

1?

>=一一、>=一的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則NOAB大小的變化趨勢(shì)為（）

XX

A.逐漸變小B.逐漸變大C.時(shí)大時(shí)小D.保持不變

【答案】D

【解析】

【分析】

BEOE10

如圖，作輔助線；首先證明△得至；設(shè)為（）為（）

BEOSAOFA,,U—OF=—AFBa,-a-,Ab,b7,

12

得到OE=aEB=一一，OF=b,AF=y,進(jìn)而得到〃〃=？，此為解決問(wèn)題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用三

ab

6

角函數(shù)的定義證明知tan/OAB=注為定值，即可解決問(wèn)題.

2

【詳解】

解：分別過(guò)B和A作BE_Lx軸于點(diǎn)E,AF_Lx軸于點(diǎn)F,

則△BEOSAOFA,

.BEOE

??一，

OFAF

12

設(shè)點(diǎn)為（）為（）（

Ba,----a--,Ab,—b

12

則一,

OE=-a,EB=-—a,OF=b,AF=b

可代入比例式求得a2b2=2.即/=后

；?ZOAB大小是一個(gè)定值，因此/OAB的大小保持不變.

故選D

【點(diǎn)睛】

該題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解

題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)來(lái)

分析、判斷、推理或解答.

3.如圖所示，在AABC中，NC=90。，AB=8,CD是AB邊上的中線，作CD的中垂線與CD交于

點(diǎn)E,與BC交于點(diǎn)F.若CF=x,tanA=y,則x與y之間滿足（）

4,4,8,8,

A.—y+4=XB.—y—4—Xc.-8=XD.—z-+8=X

yyyy

【答案】A

【解析】

【分析】

由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=!AB=AD=4,由等腰三角形的性質(zhì)得出/A=/ACD,

2

2j

得出tanZACD-.......=tanA=y，證明ACEGs△「￡（?,得出一-=--，得出y=—，求出/=,

CECEFEFEFE

4

得出r=FE2,再由勾股定理得出FE2=CF2-CE2=X2-4,即可得出答案.

y

【詳解】

解：如圖所示：

?.?在AABC中，ZC=90°,AB=8,CD是AB邊上的中線,

I

CD=-AB=AD=4,

2

ZA=ZACD,

EF垂直平分CD,

I

CE=-CD=2,ZCEF=ZCEG=90",

2

tanZACD=------=tanA=y,

CE

NACD+/FCE=/CFE+NFCE=90°,

NACD=NFCE,

△CEG^AFEC,

GE_CE

TE~~FE'

FE2=CF2-CE2=X2-4,

4

-=x2-4,

4

—T+4=x2,

y

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判

定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

k

4.如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為6,D為AB中點(diǎn)，0B交CD于點(diǎn)Q,(1是丫=一上一點(diǎn)，k的值

x

是()

C.16D.24

【答案】c

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)根據(jù)相似三角形得到8。：。。=1：2,再過(guò)點(diǎn)。作垂線，利用相似三角形的性質(zhì)求出。尸、

OF,進(jìn)而確定點(diǎn)。的坐標(biāo)，確定女的值.

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)。作。尸，垂足為F，

:.OA=AB=BC=OC=6,ZABC=ZOAB=90°=ZDAE,

Q。是AB的中點(diǎn)，

2

BD//OC,

\OCQ^\BDQ,

BQBD1

,,oeoc-2'

又「QF/iAB,

bOFO^NOAB,

.QFOFOQ22

…AB-OA-OB-2+T-3*

AB=6，

22

:.QF=6x—=4,(?F=6x—=4,

.-.(2(4,4),

點(diǎn)。在反比例函數(shù)的圖象上，

/.A:=4x4=16,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)和判定，利用相似三角形性質(zhì)求出點(diǎn)。

的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.如圖，在AABC中，DE//BC,EF//AB,則下列結(jié)論正確的是()

BFEFAEDEEFBF

B.-------------c—=----D.--------------

DBBCBCAB'ECFCABBC

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.由AADEs△ABC,可判斷A的正誤；由△CEFSaCAB,

可判定B錯(cuò)誤；由AADE?△￡4,可判定C正確；由△CEFs/^CAB,可判定D錯(cuò)誤.

【詳解】

解：如圖所示：

AZADE=ZB,ZAED=ZC,

△ADES^ABC,

,DE.=AD±_A—D.

"BCABDB'

答案A錯(cuò)舍去；

\'EF//AB,

:.△CEFs^CAB,

CFEFBF

—=—w--

BCABBC

，答案8舍去

VZADE=ZB,NCFE=/B,

：.NADE=NCFE,

又：NAED=NC,

：./\ADE?&EFC,

AEDE?

??-----=-------,C正確;

ECFC

又：EF〃AB,

：.ZCEF=Z4,NCFE=/B,

.?.△CEFs/\CAB,

?空=空=生*空

ABACBCBC'

，答案。錯(cuò)舍去；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊

延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似是解題的關(guān)鍵.

k

6.如圖，點(diǎn)A在雙曲線y——(x>0)上，過(guò)點(diǎn)A作ABJ_x軸，垂足為點(diǎn)B,分別以點(diǎn)。和點(diǎn)A

X

為圓心，大于』0A的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D,E兩點(diǎn)，作直線DE交x軸于點(diǎn)C,交y軸于

2

點(diǎn)F(0,2),連接AC.若AC=1,則k的值為()

一032「4垂>c2有+2

A.2B.——C.—D.—..........

2555

【答案】B

【解析】

分析：如圖，設(shè)OA交CF于K.利用面積法求出OA的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AB、OB

即可解決問(wèn)題；

詳解：如圖，設(shè)0A交CF于K.

由作圖可知，CF垂直平分線段0A,

AOC=CA=1,OK=AK,

在RSOFC中，CF=J。產(chǎn)+。。2=&,

1x22后

AAK=OK=—^=—!—,

V55

.?.OA=1^Z,

5

由可得

OFPCCF

~OB~~AB~~OA'

21V5

OBAB4Vs)

丁

.84

/.OB=—,AB=一,

55

32

k=—

25

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查作圖-復(fù)雜作圖，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，線段的垂直平分線的性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

7.如圖，在AABC中，DE//BC,8E和CD相交于點(diǎn)F,J.S^EFC=3S^FD,則5“田5AA8c的值為（）

A

A.1：3B.1：8C.1：9D.1：4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，易證△DEFsaCBF,同理可證AADES/V?8C,根據(jù)相似三角形面積比是對(duì)應(yīng)邊比例的

平方即可解答.

【詳解】

?；5AEFC=3SAOEF,

：.DF；FC=1：3（兩個(gè)三角形等高，面積之比就是底邊之比），

'JDE//BC,

：./\DEFs/\CBF,

：.DE：BC=DF：FC=1:3

同理

?'?SA4DE：SAABC=1:9,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比是對(duì)應(yīng)邊比例的平方.

A0

8.如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)0,則——=（).

D0

1c2石,21

A.—B.—C.一D.-

3532

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知條件易證△ADEZ4BAF,從而進(jìn)一步得AAODSAEAD.運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

?.,四邊形ABCD是正方形

；.AE=BF,AD=AB,ZEAD=ZB=90°

.".△ADE^ABAF

ZADE=ZBAF,ZAED=ZBFA

ZDAO+ZFAB=90°,ZFAB+ZBFA=90°,

AZDAO=ZBFA,

.,.ZDAO=ZAED

AAAOD^AEAD

*AO_AE_1

??---

DOAD2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì).

9.如圖，在RtAABC中，NACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,如果AC=3,AB=6,那么AD的值為（）

AD

373

D.3^/3

F

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

解：：RtAABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,

/.△ACD^AABC,

AAC：AB=AD：AC,

3

VAC=3,AB=6,.\AD=—.故選A.

2

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

10.如圖，在RtZVLBC中，NACB=90°,于點(diǎn)D,CD=2,BD=1,則AD的長(zhǎng)

是（）

A.1.B.72c.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由在RSABC中，NACB=90。，CD±AB,根據(jù)同角的余角相等，可得/ACD=NB,又由NCDB=N

ACB=90。，可證得AACDs^CBD,然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案.

【詳解】

?.?在RtAABC中,NACB=90°,CD±AB,

.\ZCDB=ZACB=90°,

ZACD+ZBCD=90°,ZBCD+ZB=90°,

NACD=NB,

.?.△ACDs/xCBD,

.ADCD

"'CD~~BD，

VCD=2,BD=1,

.AD2

..---=一，

2I

.\AD=4.

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于證得△ACDs/\CBD.

11.如圖，AB〃GH〃CD,點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G,AB=2,CD=3,則GH長(zhǎng)為（）

A.1B.1.2C.2D.2.5

【答案】B

【解析】

【分析】

q-r/口-A、“H/口GHCHGHBH

由AB〃GH〃CD可得：ACGHsACAB、^BGH^/\BDC,進(jìn)而得：——=——、——=——，然

ABBCCDBC

后兩式相加即可.

【詳解】

GHCHGHCH

解：■:AB〃GH,△CGHco/\CAB,----=，即-----=----(1)>

ABBC2BC

….GHBHGHBH

?CD//GH,?./^BGH^^ABDC<?>----------,即nn----------(2)，

CDBC3BC

z-xz-szgGHGHCHBH6

①+②，得：——+——=——+——=1,解得：G”=-=1.2.

23BCBC5

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

12.如圖，已知點(diǎn)A（4,0）,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)。，A）,過(guò)P、

。兩點(diǎn)的二次函數(shù)yi和過(guò)P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)yz的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為B、C,

射線OB與AC相交于點(diǎn)D.當(dāng)。D=AD=3時(shí)，這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于（）

【解析】

【分析】

【詳解】

過(guò)B作BF_LOA于F,過(guò)D作DE_LOA于E,過(guò)C作CM_LOA于M,

VBFXOA,DEXOA,CMXOA,

，BF〃DE〃CM.

VOD=AD=3,DE±OA,

I

.,.OE=EA=-OA=2.

2

由勾股定理得：DE=6

設(shè)P(2x,0),根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出OF=PF=x,

：BF〃DE〃CM,

AAOBF^AODE,AACM^AADE.

.BFOFCM_AMBFxCM2-x

即不=聯(lián)環(huán)=丁'‘解得:BF坐"回爐

''DE-OE'DE一AE

BF+CM=戈.

故選A.

13.如圖，在正方形ABCD中，AB=3,點(diǎn)M在CO的邊上，且DW=1，AAEM與

關(guān)于AM所在直線對(duì)稱，將按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。得到AA3尸，連接EF，則

cosNEFC的值是（）

A.口歷6

B.—V13C.—V15D.

65652517

【答案】A

【解析】

【分析】

過(guò)點(diǎn)E作“G//AD，交AB于H,交CD于G,作EN_L8c于N,首先證明一AE”^EMG,則

FHAF1

有一二=7「=彳，設(shè)MG=x,則EH=3x,DG=AH=l+x,在RtAEH中利用勾

MGEM3

股定理求出x的值，進(jìn)而可求E〃,5N,CG,EN的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求FN,再利用勾股定理求出EF

的長(zhǎng)度，最后利用cosNEFC=—即可求解.

EF

【詳解】

過(guò)點(diǎn)E作“G//4D，交AB于H,交CD于G,作ENLBC于N,則NAHG=NMGE=90。,

?..四邊形ABCD是正方形，

AD=AB=3,ZABC=AC=AD=90°,

.,.四邊形AHGD,BHEN,ENCG都是矩形.

由折疊可得，ZAEM=N。=90°,AE=AD=3,DM=EM=1,

ZAEH+ZMEG=ZEMG+ZMEG=90°,

:.ZAEH=/EMG，

:.^AEH_EMG,

EHAE1

"MG~EM~3'

設(shè)MG=x,則E”=3x,DG=AH=\+x

在RfAEH中,

AH2+EH2=AE2，

/.(1+X)2+(3X)2=32,

4

解得犬=g或x=一1(舍去)'

/.EH=BN=—CG=CD-DG=EN=-.

5f5

?.BF=DM=I

17

1.FN=BF+BN=—.

5

在RtAEFN中，

由勾股定理得，EF=[EM+FN?二岳，

cosAEFC=—=—V13.

EF65

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，能夠

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.AC2=AD*ABB.CD2=AD?BDC.BC2^BD?ABD.CD?AD=AC?BC

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根據(jù)射影定理來(lái)分析、判斷，結(jié)合三角形的面積公式問(wèn)題即可解決.

【詳解】

解：如圖，

VZACB=90\CD是AB邊上的高，

.,?由射影定理得：AC2=AD?AB,BC2=BD?AB,

CD2=AD?BD；

CDBC

：.一=一：

ADAC

；.CD?AC=AD-BC,

/.A,B,C正確，D不正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題主要考查了射影定理及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用射影定理來(lái)分析、判斷、推理或

解答.

15.如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于（）.

A.平移變換B.相似變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對(duì)稱變換

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)放大鏡成像的特點(diǎn)，結(jié)合各變換的特點(diǎn)即可得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬

于相似變換.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出.

16.要做甲、乙兩個(gè)形狀相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三邊的長(zhǎng)分別為50cm、

60cm、80cm,乙三角形框架的一邊長(zhǎng)為20cm,則符合條件的乙三角形框架共有（）.

A.1種B.2種C.3利1D.4種

【答案】C

【解析】

試題分析：根據(jù)相似圖形的定義，可由三角形相似，那么它們邊長(zhǎng)的比相同，均為5：6：8,乙

那個(gè)20cm的邊可以當(dāng)最短邊，最長(zhǎng)邊和中間大小的邊.

故選：C.

點(diǎn)睛：本題考查的是相似形的定義，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=4,BD=6,P是BD上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF〃AC,與平

行四邊形的兩條邊分別交于點(diǎn)E、F,設(shè)BP=x,EF=y,則能反映y與x之間關(guān)系的圖象是（）

【答案】c

【解析】

【分析】

【詳解】

圖象是函數(shù)關(guān)系的直觀表現(xiàn)，因此須先求出函數(shù)關(guān)系式.分兩段求：當(dāng)P在B0上和P在0D上,

分別求出兩函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式的性質(zhì)即可得出函數(shù)圖象.

解：設(shè)AC與BD交于。點(diǎn)，

當(dāng)P在B。上時(shí),

：EF〃AC,

第嘿即瀉

4

-x;

3

”，+

當(dāng)P在OD上時(shí)，有.一DP-=——EF即BrI上y=-6---x

DOAC43

18.（2016山西?。捙c長(zhǎng)的比是避二1（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)臧著豐

2

富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形

ABCD,分別取AD、8c的中點(diǎn)E、F,連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)G；作GHLAD,交4D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFG"D.矩形DCGH

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)DF=GF求得CG的長(zhǎng)，最后根據(jù)CG與

CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形.

【詳解】

解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則CD=2,CF=1

在直角三角形DCF中，Z)F=712+22=75

:.FG=y