4.2 課時2 排列數(shù)的應用

.2課時2排列數(shù)的應用【學習目標】1.進一步加深對排列概念的理解.(抽象概括)2.掌握幾種有限制條件的排列問題的處理方法,能應用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題.(邏輯推理、數(shù)學運算)【自主預習】預學憶思1.怎樣判斷一個問題是否為排列問題?【答案】關(guān)鍵是看它有無順序,有順序的是排列問題,否則不是.2.解簡單的排列應用題的基本思想是什么?【答案】將實際問題轉(zhuǎn)化為排列問題,然后利用排列數(shù)公式求解.3.解簡單的排列應用題的方法有哪些?【答案】特殊優(yōu)先安排,相鄰捆綁,間隔插空,正難則反,等價轉(zhuǎn)化等方法.自學檢測1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)2,3,4與3,4,2為同一個排列.()(2)從n個人中選出2個,分別從事兩項不同的工作,若選派的種數(shù)為72,則n的值為8.()(3)甲、乙、丙三名同學排成一排,不同的排列方法有3種.()(4)1位老師和5位同學站成一排照相,老師不站在兩端的排法種數(shù)為480.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.用1,2,3,4這4個數(shù)字可組成()個沒有重復數(shù)字的三位數(shù).A.24 B.12 C.81 D.64【答案】A【解析】由題意,從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列,共可寫出A43=24(個)3.用數(shù)字1,2,3組成允許有重復數(shù)字的兩位數(shù),其個數(shù)為.

【答案】9【解析】若取相同的數(shù)字,有3種方法;若取不同的數(shù)字,有A32=6(種)方法.一共有9種方法,所以一共可以組成94.由1,2,3,4,5,6六個數(shù)字可組成多少個三位數(shù)?其中沒有重復數(shù)字的三位數(shù)有多少個?【解析】由1,2,3,4,5,6六個數(shù)字可組成的三位數(shù)的個數(shù)為6×6×6=216.其中沒有重復數(shù)字的三位數(shù),相當于從六個不同的元素中任取三個元素的排列問題,因而這樣的三位數(shù)共有A63=6×5×4=120(個【合作探究】探究1：排隊、排節(jié)目問題情境設(shè)置在冬奧會招募志愿者活動中,甲、乙等5人報名參加了A,B,C三個項目的志愿者工作,因工作需要,每個項目僅需1名志愿者.問題1:若甲不能參加A,B項目,乙不能參加B,C項目,甲,乙都參加,則有幾種方法?【答案】若甲,乙都參加,則甲只能參加C項目,乙只能參加A項目,B項目由其他三人中任意一人參加,此時有3種方法.問題2:若甲、乙都不參加,則有多少種方法?【答案】若甲、乙都不參加,則有A33=6(種)問題3:若甲不能參加A,B項目,乙不能參加B,C項目,則共有多少種不同的志愿者分配方案?【答案】若甲,乙都參加,則甲只能參加C項目,乙只能參加A項目,B項目由其他三人中任意一人參加,此時有3種方法;若甲參加,乙不參加,則甲只能參加C項目,A,B項目由其他三人中的兩人參加,此時有A32=6(種)若乙參加,甲不參加,則乙只能參加A項目,B,C項目由其他三人中的兩人參加,此時有A32=6(種)若甲、乙都不參加,則有A33=6(種)根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,共有3+6+6+6=21(種)方法.問題4:根據(jù)上述問題,歸納解簡單排列應用題的方法.【答案】解簡單的排列應用題,首先必須認真分析題意,看能否把問題歸結(jié)為排列問題,即是否有順序.如果是的話,再進一步分析,這里n個不同的元素指的是什么,以及從n個不同的元素中任取m個元素的每一種排列對應的是什么事情,然后才能運用排列數(shù)公式求解.新知生成排隊、排節(jié)目問題的解題策略(1)合理歸類,要將題目大致歸類,常見的類型有特殊元素、特殊位置、相鄰問題、不相鄰問題等,再針對每一類采用相應的方法解題.(2)恰當結(jié)合,排列問題的解決離不開兩個計數(shù)原理的應用,解題過程中要恰當結(jié)合兩個計數(shù)原理.(3)正難則反,這是一個基本的數(shù)學思想,巧妙應用排除法可起到事半功倍的效果.新知運用例1有7名學生,其中3名男生,4名女生,在下列不同條件下,求不同的排法種數(shù).(1)選5人排成一排;(2)全體站成一排,男生互不相鄰;(3)全體站成一排,其中甲不站在最左邊,也不站在最右邊;(4)全體站成一排,其中甲不站在最左邊,乙不站在最右邊;(5)男生順序已定,女生順序不定;(6)站成三排,前排2名同學,中間排3名同學,后排2名同學,其中甲站在中間排的中間位置;(7)7名同學站成一排,其中甲、乙相鄰,但都不與丙相鄰;(8)7名同學坐圓桌吃飯,其中甲、乙相鄰.方法指導(1)利用部分排列即可求解;(2)因為男生互不相鄰,故使用插空法求解即可;(3)利用特殊元素或位置優(yōu)先排列的方法求解;(4)利用分類別排列或用全排列數(shù)減去不符合題意的排列數(shù)即可求解;(5)利用排列消序即可求解;(6)利用特殊元素優(yōu)先排列并結(jié)合剩余人全排列即可求解;(7)利用插空法結(jié)合捆綁法即可求解;(8)利用捆綁法并結(jié)合排列消序即可求解.【解析】(1)從7人中選5人排列,不同的排法種數(shù)為A75=(2)先排女生,有A44種排法,再在女生之間及兩端的5個空位中任選3個空位排男生,有A53種排法,故不同的排法種數(shù)為(3)(法一)先排甲,有5種排法,其余6人有A66種排法,故不同的排法種數(shù)為5×A6(法二)左、右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人,有A62種排法,其他位置有A55種排法,故不同的排法種數(shù)為(4)(法一)分兩類:第一類,甲在最右邊,有A66種排法;第二類,甲不在最右邊,甲可從除去兩端的位置后剩下的5個中任選1個,有A51種排法,而乙可排在除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個中任選1個,有A51種排法,其余人全排列,有A55種排法(法二)7名學生全排列,有A77種排法,其中當甲在最左邊時,有A66種排法,當乙在最右邊時,有A66種排法,甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形,有A55種排法,故不同的排法種數(shù)為A(5)7名學生站成一排,有A77種排法,其中3名男生的排法有A33種,由于男生順序已定,女生順序不定,故不同的排法種數(shù)為(6)首先把甲放在中間排的中間位置,則問題可以看作剩余6人的全排列,故不同的排法種數(shù)為A66=(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人,有A44種排法,由于甲、乙相鄰,故再把甲、乙排好,有A22種排法,最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個空隙中,有A52種排法(8)將甲、乙看作一個整體,相當于6名學生坐圓桌吃飯,有A55種排法,甲、乙兩人可交換位置,故不同的排法種數(shù)為A5【方法總結(jié)】(1)排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位置”問題,有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位置上或某個位置上不排某些元素,解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置.(2)在實際排列問題中,某些元素要求必須相鄰時,可以先將這些元素看作一個整體,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序,這種方法稱為“捆綁法”,即“相鄰元素捆綁法”.(3)某些元素要求不相鄰時,可以先安排其他元素,再將這些不相鄰元素插入相應空檔,這種方法稱為“插空法”,即“不相鄰元素插空法”.鞏固訓練現(xiàn)有5名男生,4名女生排成一排.(1)若從中選出3人排成一排,則有多少種排法?(2)若男生甲不站排頭,女生乙不站排尾,則有多少種不同排法?(3)若要求女生必須站在一起,則有多少種不同排法?(4)若4名女生互不相鄰,則有多少種不同排法?【解析】(1)只要從9名學生中任選3名排列即可,所以共有A93=9×8×7=504(種)(2)將排法分成兩類:一類是甲站在排尾,其余的可全排列,有A88種排法;另一類是甲既不站排尾又不站排頭,有A71種排法,乙不站排尾而站余下的7個位置中的一個,有A71種排法,其余人全排列,于是這一類有A由分類加法計數(shù)原理知,共有A88+A71·A71·A(3)女生必須站在一起,是女生的全排列問題,有A44種排法,全體女生視為一個元素與其他男生全排列有A由分步乘法計數(shù)原理知,共有A44·A66=17280((4)分兩步:第一步,男生的全排列有A55種排法;第二步,男生排好后,男生之間有4個空,加上男生排列的兩端共6個空,女生在這6個空中排列,有A由分步乘法計數(shù)原理知,共有A55·A64=43200(探究2：有關(guān)數(shù)字的排列問題情境設(shè)置問題1:偶數(shù)的個位數(shù)字有何特征?從1,2,3,4,5中任取兩個不同數(shù)字能組成多少個不同的偶數(shù)?【答案】偶數(shù)的個位數(shù)字一定能被2整除.先從2,4中任取一個數(shù)字排在個位,共2種不同的排列,再從剩余數(shù)字中任取一個數(shù)字排在十位,共4種排法,故從1,2,3,4,5中任取兩個數(shù)字能組成2×4=8(個)不同的偶數(shù).問題2:在一個三位數(shù)中,位于百位的數(shù)字x能是0嗎?如果在0~9這十個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù),如何排才能使百位數(shù)字不為0?【答案】在一個三位數(shù)中,百位數(shù)字不能為0,在具體排數(shù)時,從元素0的角度出發(fā),①若選0,則可先將0排在十位或個位的一個位置,其余數(shù)字可排百位、個位(或十位)位置.②若不選0,則從9個數(shù)字中任取三個數(shù)字排百位,十位與個位位置;從“位置”角度出發(fā),可先從1~9這9個數(shù)字中任取一個數(shù)字排百位,然后再從剩余9個數(shù)字中任取兩個數(shù)字排十位與個位位置.新知生成數(shù)字排列問題的求解策略(1)首位數(shù)字不為0.(2)若所選數(shù)字中含有0,則可先排0,即“元素分析法”.(3)若排列的是特殊數(shù)字,如偶數(shù),則先排個位數(shù)字,即“位置分析法”.(4)此類問題往往需要分類,可依據(jù)特殊元素、特殊位置分類.新知運用例2用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的:(1)六位奇數(shù)?(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)?(3)不大于4310的四位偶數(shù)?【解析】(1)(法一)從特殊位置入手(直接法):第一步,排個位,從1,3,5三個數(shù)字中選1個,有A31種排法;第二步,排十萬位,有A41種排法;第三步,排其他位,有A44種排法.故可以組成無重復數(shù)字的六位奇數(shù)共有(法二)從特殊元素入手(直接法):0不在兩端有A41種排法;從1,3,5中任選一個排在個位上,有A31種排法;其他數(shù)字全排列有A44種排法.故可以組成無重復數(shù)字的六位奇數(shù)共有(2)(法一:排除法)6個數(shù)字的全排列有A66個;0在十萬位上的排列有A55個;5在個位上的排列有A55個;0在十萬位上且5在個位上的排列有A44個.故符合題意的六位數(shù)共有A66(法二:直接法)個位上不排5,有A51種排法.但十萬位上數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同,因此,需分兩類:第一類,當個位上排0時,有A55種排法;第二類,當個位上不排0時,有A41·A41·A44種排法.故符合題意的六位數(shù)共有A5(3)(法一:直接法)①當千位上排1,3時,有A21·A31·A42種排法;②當千位上排2時,有A21·A42種排法;③當千位上排4時,形如40□□,42□□的各有A31種排法,形如41□□的有A31·A21種排法,形如43□□的只有4310和4302這2個數(shù).故共有A21·A31·(法二:排除法)四位偶數(shù)中,①0在個位的有A53個;②0在十位和百位的有A21·A21·A42個;③不含0的有A21·A43個.故四位偶數(shù)有A53+A21·A21·A42+A21·A43=156(個).其中形如5□□□的有A31·A42個,形如45□□的有A21·A31個,形如435□的有A21個,形如432□的有1個,形如431□而大于4310的只有【變式探究1】若本例中條件不變,能組成多少個被5整除的五位數(shù)?【解析】個位上的數(shù)字必須是0或5.若個位上是0,則有A54個;若個位上是5,不含0,則有A44個;若含0,但0不作首位,則0的位置有A31種排法,其余各位有A43種排法,故共有A54+A【變式探究2】若本例條件不變,能組成的所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列{an},則240135是第幾項?【解析】由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0,首位數(shù)字為1有A55個數(shù),首位數(shù)字為2,萬位上為0,1,3中的一個有3A44個數(shù),所以240135的項數(shù)是A55+3A44+1【變式探究3】若用0,1,3,5,7這五個數(shù)字,則可以組成多少個沒有重復數(shù)字且5不在十位位置上的五位數(shù)?【解析】本題可分兩類:第一類,因為0在十位位置上,這時,5不在十位位置上,所以五位數(shù)的個數(shù)為A44=24;第二類,因為0不在十位位置上,這時,5不能排在十位位置上,所以,十位位置上只能排1,3,7之一,有A31=3(種).又因為0不能排在萬位位置上,所以,萬位位置上只能排5或1,3,7被選作十位上的數(shù)字后余下的兩個數(shù)字之一,有A31=3(種).十位、萬位上的數(shù)字選定后,其余三個數(shù)字全排列即可,有A33=6(種).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,第二類中所求五位數(shù)的個數(shù)為A31·A31·A33【方法總結(jié)】數(shù)字排列問題常見的解題方法:(1)“兩優(yōu)先排法”:特殊元素優(yōu)先排列,特殊位置優(yōu)先填充.如“0”不排“首位”.(2)“分類討論法”:按照某一標準將排列分成幾類,然后按照分類加法計數(shù)原理進行,要注意以下兩點:一是分類標準必須恰當;二是分類過程要做到不重不漏.(3)“排除法”:全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù).(4)“位置分析法”:按位置逐步討論,把要求數(shù)字的每個數(shù)位排好.鞏固訓練用1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個?能被5整除的有多少個?(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個?【解析】(1)偶數(shù)的個位數(shù)只能是2,4,6,有A31種排法,其他位上有A由分步乘法計數(shù)原理知,這些四位數(shù)中偶數(shù)共有A31A63能被5整除的數(shù)個位必須是5,故有A63=120(個(2)當最高位上是7時,大于6500的有A63當最高位上是