重難點(diǎn)22 解三角形大題十四大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專題22解三角形大題十四大題型匯總（解析版）

題型1正余弦定理的應(yīng)用..........................................................1

題型2余弦定理求最值與取值范圍..................................................7

題型3正弦定理求最值與取值范圍.................................................12

題型4不對(duì)稱結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問題............................................19

題型5三角形中線問題...........................................................29

題型6三角形角平分線問題.......................................................35

題型7三角形高線垂線問題......................................................41

題型8普通多三角形問題........................................................48

題型9四邊形問題...............................................................55

題型10面積最值取值范圍問題...................................................61

題型11與三角函數(shù)結(jié)合..........................................................65

題型12三角形個(gè)數(shù)問題..........................................................72

題型13證明問題................................................................77

題型14實(shí)際應(yīng)用題..............................................................86

II

題型1正余弦定理的應(yīng)用

中卜劃重點(diǎn)

1.若式子含有a,b,c的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊"

2.面積和a,b,c2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理

【例題11(2022秋?新疆伊犁?高三?？茧A段練習(xí))已知a、b、c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角人

B、C的對(duì)邊，acosC+V3asinC-b—c=0.

⑴求A；

(2)若a=2,△ABC的面積為g,求b、c.

【答案】(l)4=g

(2)b=c=2

【分析】(1)在^ABC中，由acosC+V3asinC-b-c=0及正弦定理得到sin(4-勻=］

得出角A;

(2)由三角形面積公式結(jié)合余弦定理可得b=c=2.

【詳解】(1)根據(jù)正弦定理，acosC+V3asinC-h-c=0

變?yōu)閟in4cosc+V3sin?lsinC-sinB-sinf=0，即sinAcosC+V3sin/lsinC=sinB+sinC,

也艮［Isin4cosc4-V3sin/lsinC=sin(/+C)+sinC,

所以sin4cosc+x/3sin/lsinC=sin4cosc+cosAsinC+sinC.

整理，得V5sin力一cosA=1,即苧sin4-gcosH=|,所以sin(4—9=］力w(O,TT),

所以4一：二三，則4=弓.

oo3

(2)由A=JS^ABC=\bcs\v\A=V3,得be=4.

由余弦定理，得〃=除+定一IbeCOSA=(b+c)2-2bc-2bcC0SA,

則(b+c)2=a24-3Z)c=4+12=16,所以b+c=4.則b=c=2.

【變式1-1】1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知在△48C中，角48(的對(duì)邊分別為。也。，

向量沆=(sin4,sinB),元=(cosB,cos/),m-n=sin2c.

Q）求角C的大小;

(2)若sinA,sin&sinB成等差數(shù)歹Ij,且石？?(荏-彳？)=18,求C.

【答案】⑴三

(2)6

【分析】(1)由數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式可求出角C的大??；

(2)由已知條件結(jié)合正弦定理可得2c=a+b,由方■(AB-AC)=18,^CACB=18,

得防=36,然后利用余弦定理可求得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)殂?(sinA,sinB),元=(cosB,cosA),

所以沅-n=sin?lcosB+sinBcosA=sin(A+B),

因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B=IT-C,

所以sin(A+8)=sinC；所以沆?n=sinC,

因?yàn)殂?n=sin2C,所以sin2c=sinCt

所以2sinCcosC=sinC,

因?yàn)閟inC00,所以cosC=j,

因?yàn)镃6(O,TT),所以C=5,

(2)由sinA,sinC,sin8成等差數(shù)列，

可得2sinC=sinA+sinB,

由正弦定理得2c=a+b,

因?yàn)榉?(AB-AC)=18,所以方-CB=18,

所以abcosC=18，得ab=36,

由余弦定理得=a2+b2—2abcosC=(a+b)2—3ab,

所以=4c2—3x36,/=36,

所以c=6.

【變式1-1]2.（2023秋?上海嘉定?高三上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△4BC中，內(nèi)

角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C，若b=V2，內(nèi)角A,B（滿足sinA:sinB:sinC=2:1:V2.

⑴求a的值；

（2）求sin（2C-g）的值.

【答案】（1）2魚

⑵3同一1

I?16

【分析】（1）由正弦定理直接求解；

（2）先根據(jù)正弦定理求出邊長(zhǎng)，然后由余弦定理求解cosC,從而利用二倍角公式和兩角差

的正弦公式求解即可.

【詳解】（1）由號(hào)=號(hào)得當(dāng)=3所以5=2,解得a=2V2.

s\nAsinBsmBby/2

（2）由=—^―=—■及sinAsinB:sinC=2:1:&得a:b:c=2:1：V2,

sin/4sinBsinC

所以c=岳=2,由余弦定理得cose=修=表涯=:,

所以sinC=V1—cos2C=J1—（J=￥,所以sin2c=2sinCcosC=2x，x：=學(xué)，

cos2C=2cos2C-1=2x2—1=L所以sin（2C--）=sin2Ccos--cos2Csin-

168k6,66

3\[7V3113同一1

=-----X------------X-=-------------.

828216

【變式1-1]3.（2023秋?廣東揭陽?高三普寧市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在4ABC中，設(shè)A,

B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C,且滿足bcosA-acosB=a+c.

Q）求角B；

（2）若b=5,AABC的內(nèi)切圓半徑r=f,求^ABC的面積.

【答案】（1）8=g

【分析】（1）由余弦定理得到a?+c2-b2=-ac,進(jìn)而求出cosB=-1,求出B=詈；

(2)由余弦定理和三角形面積公式求出ac=弓,從而得到答案.

【詳解】(1)因?yàn)閎cosA—acosB=Q+c,

rhA?法?一?工田4日入b2+c2-a2a2+c2-Z?2

由余弦XE理得b--------a--------=a+c,

2bc2ac

22

即Q2+c—b=—ac,

又BE(0,Tl),

所以B=g

2

(2)由余弦定理得：a?+產(chǎn)-25=-ac,則M+c=25-acf

由三角形面積公式，1(a+b+c)-r=^acsinB,BPa+c=2ac-5,

22

貝(JQ24-c4-2ac=4(ac)—20ac+25z

所以25—ac+2ac=4(ac)2—20ac+25,解得ac=—,

4

所以SA48C=1XTXT=4T-

【變式1-1]4.(2023秋?湖北武漢?高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)^ABC的內(nèi)角

4,B,C所對(duì)的邊分別為a,0c,且2acosB=2c-b.

Q)求角4；

(2)若a=7,且44BC的內(nèi)切圓半徑r=遍，求4ABC的面積S.

【答案】⑴/

(2)1073.

【分析】(D利用正弦定理和三角恒等變換求出cos4,即可求力；

(2)利用余弦定理和三角形的面積公式求出反，即可求面積.

【詳解】(1)由正弦定理得：2sinAcosB=2sinC—sinB,

即2sinAcosB=2sinQ4+B)—sinB,

即2sinAcosB=2sin4cosB+2cosAsinB-sinB,

即2cos4sinB=sinB.

因?yàn)锽E(0,n),所以sinB中0,所以cos4=

因?yàn)?G(0,Tt),

所以A=]

(2)△48c面積S=^bcsinA=：(Q+b+c)rr

代入Q=7,r=和A=,整理得：be=2(b+c)+14①,

由余弦定理：M=爐+c2-2bccosA，得：h2+c2-be=49,

即(b+c)2—3bc=49②，

①②聯(lián)立可得：(三)2-3bc=49,解得：be=40或兒=0(舍去)，

所以S=|besinA=|X40Xy=10>/3.

【變式1-1]5.(2021秋?北京?高三景山學(xué)校?？计谥?在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊

分別為a,瓦c,若(b+c—a)(sinZ+sinB—sinC)=csin力且b=2.

(1)求角B的大??；

(2)在①西，歷，6成等差數(shù)列，②a,b,c成等差數(shù)列，③。2/2,02成等差數(shù)列，這三個(gè)條件中

任選一個(gè)作為已知條件，求4ABC的面積S.(如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答

計(jì)分)

【答案】⑴三

⑵百

【分析】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理和余弦定理，化簡(jiǎn)得到cos8=i,即可求得B的值；

22

(2)對(duì)于條件①：利用等差中項(xiàng)結(jié)合基本不等式可得b<等，再根據(jù)a?+c-b=ac,

可得a=c，利用面積公式即可得結(jié)果；對(duì)于條件②③:利用等差中項(xiàng)，根據(jù)a2+c2-=砒，

求得△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，結(jié)合三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)?b+c—Q)(sin4+sinB—sinC)=csinA,

22

由正弦定理的(b+c-a)(a+b-c)=acz整理得Q24-c-h=ac,

所以8$8=吆薩=黑=]

又因?yàn)锽6(O,TT),所以8=*

(2)選擇條件①:因?yàn)閬喚笪宄傻炔顢?shù)列，所以2萌=依+代，

由基本不等式(胃)2<等,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，

所以2①=V?+Vc<J2(a+c),所以b<等,

又由a?+c2-b2=ac,即爐=a2c2-ac,可得a?+c2—ac<(^)2,

整理得3a2+3c2—6ac<0,即(a—c)2<0,所以a=c,

又因?yàn)?=g,且8=2,所以△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以SAABC=jacsinB=|x2x2Xy=V3.

選條件②：由a,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c,

又由a?+c2-b2=ac,整理得(等/=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,即a=c,

因?yàn)锽=；，且b=2,所以△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以SAA8c=IacsinB=|x2x2Xy=V3.

選條件③：由a?,b2,c2成等差數(shù)列，所以2b2=a2+c2,

又由a?+c2-b2=ac,整理得a?+—a；c=ac,可得(a—c)2=0,即a=c,

因?yàn)锽=T,且b=2,所以△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以SM8C=jacsinB=|x2x2Xy=V3.

題型2余弦定理求最值與取值范圍

C，*

!劃重點(diǎn)

”齊次對(duì)稱結(jié)構(gòu)"余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

【例題2](2023秋?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知a,b,c為^ABC的三個(gè)內(nèi)

角A,B,C的對(duì)邊，且滿足：aCOSB+V3asinB-b-c=0

Q)求角力；

⑵若△ABC的外接圓半徑為竽，求△4BC的周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(1乂=5

(2)6

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，從而求得4

(2)利用正弦定理求得a，利用余弦定理和基本不等式求得匕+c的最大值，進(jìn)而求得△4BC

的周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】(1)由已知可得：sinAcosB+V5sinAsinB=sinB+sinf

=sinB+sin(Z+B)=sinB+sim4cos8+sin8cos4,

由于sin8>0,則有1=V3sin/1一cosA=2sin(4一]=sin(4-=J

又0<4<IT,則有一]V力一]<?，所以有4-7=7=>^=7.

OOOOOo

(2)由正弦定理可知：-、=2R=畔，則由4=三na=2,

sinX33

又有余弦定理可知：M=爐+/-2bcCOSA=>4=b24-c2-be,

由于匕2+c2>2bc,則有4=b2c2—be>2bc-be=be,即兒<4,

2222

又4=b+c-he=(64-c)—3bc,即(b+c)=4+3bc<4+3x4=16z

從而b+c<4(當(dāng)b=c=2等號(hào)成立)，

則a+b+cW6,故^ABC的周長(zhǎng)的最大值為6.

【變式2-1]1.(2024?陜西寶雞??？家荒?在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,已知2acos4-cosB+bcos2A=V3c—b.

⑴求角A;

(2)若小ABC的面積為1,求a的最小值.

【答案】(1)4=g

O

(2)76-V2

【分析】(1)由題設(shè)恒等式利用正弦定理將邊化為正弦，再逆用和角公式合并化簡(jiǎn)，即可

求得角A.

(2)先根據(jù)面積公式求出be=4,再代入余弦定理公式，結(jié)合基本不等式求得Q的最小值.

【詳解](1)由已知2acosA-cosB+&(1+cos2X)=V3c,2acosA-cosB+2bcos2A=V3c,

由正弦定理2sin4cos4?cosB+2sin^cos2y4=V3sinC,

所以2cos4(sinA?cosB+sinBeosA)=V3sinC,即2cos4sin(A+B)=V3sinC,

又C6(0,7T),所以COSi4=4,解得/=E

(2)由題gbesinA=1，得be=4,

又a?=b2+c2—2bccosA=h24-c2—4V3>2bc—4V3=8—4國(guó)(b=c時(shí)取)

所以，a>V8-4V3=V6-V2

即a的最小值是瓶-V2,b=c=2時(shí)取等號(hào).

【變式2-1]2.(2023秋?河北?高三校聯(lián)考期末)在△ABC中，角人B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分

別為a、b、c,且2aCOSC-V3feCOSC=V3cCOSB.

Q)求C的值.

⑵若△ABC的面積為1,求△ABC的周長(zhǎng)的最小值.

【答案】Q)C=,

O

(2)4+V6-V2

【分析】(1)由正弦定理及誘導(dǎo)公式求出結(jié)果；

(2)由三角形面積公式、余弦定理及基本不等式求得結(jié)果.

【詳解】(1)由已知2acosC-V3bcosC=V3ccosB

得2sinAcosC=V3sinBcosC+V3sinCcos^,

即2sinAcosC==V5sin(B+C),

因?yàn)?+B+C=TT,所以sin(B+C)=sin(TT-4)=sin4,

所以2sinAcosC=V3sirii4,

?.71為△ABC內(nèi)角，

「.sin4h0,

/.cosC=—0<C<n,

2z

?r11

..C=-6.

(2)-SAABC=iabsinC=1,C屋，

則ab=4.

且=。2+墳_2abcOSC=Q2+墳—4A/3>2ab-4A/3=8—4>/3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，即a=b=2時(shí)，等號(hào)成立.

.'.a+b+cN2y]ab+y/8—4>/3=4+>JB-4V3=4+V6-V2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，取等號(hào).

「.△ABC周長(zhǎng)最小值為44-V6—V2.

【變式2-1]3.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試)在

△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(2a-b)cosC=ccosB,求

(1)求角C；

(2)若c=2,求4ABC的面積的最大值.

【答案】(DC=j

(2)73

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化，即可求解，

(2)由余弦定理結(jié)合不等式即可求解ab的最值，由面積公式即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?2a—b)cosC=ccosB，由正弦定理可得(2sinA—sinB)cosC=sinCcosB,

所以2sin4cosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinX

因?yàn)锳e(0,n),所以sinA*0,

所以cosC=i,因?yàn)镃e(0,n),所以C=g；

(2)因?yàn)閏?=a2+b2—2abcosC,所以4=a2+b2—ab>ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取

等號(hào)，

所以“ABC=Ia^sinC=^-ab<V3,

當(dāng)a=b時(shí)SMBC取最大值為6?

【變式2-1]4.(2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模)在^ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別是a,

b，。?已知tanB+tanC=鬻?

Q)求角B；

⑵若^ABC是鈍角三角形，且a=c+2,求邊c的取值范圍.

【答案】⑴三

⑵(0,2)

【分析】(1)由商數(shù)關(guān)系及和角正弦公式、三角形內(nèi)角關(guān)系化簡(jiǎn)整理得cosB=i,即可確定

角的大小；

(2)根據(jù)已知有4為鈍角，應(yīng)用余弦定理及已知條件求c的范圍即可.

八￥41/r\4c,4c2sirM|isinficosC+cosBsinC2sin4

【詳解】(1)tanB+tanC=后則m—

cosBcosCcosC

又sinBcosC+cosFsinf=sin4,則一—=且sin4>0,可得cos8=-,

'cosBcosCcosC21

由86(O,TT),故8=2

(2)由a>c,即4>C,又4/BC是鈍角三角形且B=T,故/為鈍角，

a2>b24-c2

則/=Q2+〃—QC=>0<c<2,故cE(0,2).

a=c+2

題型3正弦定理求最值與取值范圍

印我重點(diǎn)

采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通

常采用這種方法；

【例題31(2023秋?河南洛陽?高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))在△ABC中，內(nèi)角

A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c且si/B+sin2c-siMA=sinBsinC.

(1)求角A；

(2)若a=473,求^ABC周長(zhǎng)的范圍.

【答案】Q)A=T

(2)(873,12>/3]

【分析】(1)利用正弦定理的邊角互化，然后用余弦定理求解；

(2)用正弦定理將三角形的周長(zhǎng)用三角函數(shù)值來表示，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】(1)-.-sin2B+sin2c—sin2/!=sinBsinC,由正弦定理得/+c2—a2=be,

由余弦定理得cosA=|."：AG(0.n),

2bc2

：.A=-；

3，

(2)由(1)知A=/又已知Q=4V3,由正弦定理得：

?「，-==，-=8,

sin4sinBsinC

=8sinB,c=8sinC,

b+c=8sinB+8sinC=8[sinB+sin—8)]=8V3QcosB+當(dāng)sin3)=8V3sin(B+

9-

由0<8<?02<8+?<自，于懸<5訪(8+941,

36662\6/

故4百<b+c<873,于是88<Q+b+cW12A/3,

ABC周長(zhǎng)的范圍是(88,12V3].

【變式3-1]1.(2023秋?山西運(yùn)城?高三統(tǒng)考階段練習(xí))在①/+02-a?=誓acsinB;

②sir？B+sin2c-si/a=sinBsinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.

在44BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,.

Q)求角A;

(2)若a=4A/3,求^ABC周長(zhǎng)的范圍.

【答案】(1)4=5

(2)873<a+b+c<12V5

【分析】(1)正弦定理結(jié)合余弦定理求解即可；

(2)先根據(jù)正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角表示，結(jié)合輔助角公式計(jì)算值域即可得出周長(zhǎng)范圍.

【詳解】(1)選擇①：因?yàn)闋t+c2-a2=醇csinB,

由余弦定理可得2bccos/l=+acsinB,

所以結(jié)合正弦定理可得百sinBcosA=sinAsinB.

因?yàn)锽e(O,TT),則sinB>0,

所以75cosA=sinA,即tanA=V3,

因?yàn)锳e(O,TT),所以A=~;

選擇②:因?yàn)閟in’B+sin2c-sin，=sinFsinC,

由正弦定理得塊+/-M=736c,

由余弦定理得COS4=號(hào)W=i.

2bc2

因?yàn)?G(0刀)，所以力=三；

(2)由(1)知4=*又已知。=4百，由正弦定理得：

?號(hào)■==&

sm4sinBsmC

：.b=8sinB,c=8sinC,

.?b+c=8sinB+8sinC=8[sinB+sin(學(xué)-B)]=8[sinB+|sinB+ycosfi]

r-flV3,\

=8V31-cosB+—sinB1

=8&sin(8+?

-.0<B<—,

3

.'g<sin(8+')w1,

.1.4V3<b+c<8V3,

.,.8V3<a+b+c<12V3.

【變式3-1]2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在銳角△力BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,已知a=2百且COSC+(COSB-V3sinB)COS4=0.

Q)求角A的大??；

(2)若b=2或,求^ABC的面積；

(3)求b+c的取值范圍.

【答案】(1乂=5

(2)V3+3

(3)(6,473]

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；

(2)先利用余弦定理求得c=V2+V6,進(jìn)而可求面積；

(3)利用正弦定理邊化角,結(jié)合三角恒等變換可得6+c=4V3sin(B+習(xí)，結(jié)合正弦函數(shù)

的有界性運(yùn)算求解.

【詳解】(1)因?yàn)閏osC+(cosB-V3sinB)cosyl=一cos(A+3)+(cosB-V3sinB)cos?l=

sinB(sin/—V5cosA)=0,

且48E(。()，貝(JsinB工0,可得sinA—V3coSi4=0,

整理得tan。=V3,所以A=去

(2)由余弦定理a2=&24-c2—2bccosA,即12=84-c2—2x2y/2cx；,

解得c=V2+乃或c=V2-V6(舍去)，

所以△ABC的面積SMBC=jbcsinA=|x2A/2X(A/2+A/6)x=V3+3.

(3)由正弦定理號(hào)=4=三=等=4,可得b=4sinF,c=4sinC,

sm4s\nBsinC受

2

則b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(4+8)=4sinB+2sinB+2A/3COSB

=6sin8+2V3cosF=4V3sin(8+：),

0<B<-?"

因?yàn)椤?BC為銳角三角形，且4=],貝！J0<2"B<n，解得&<B<2,

32

則g<~,可得當(dāng)<sin(B+

貝!|b+c=4V3sin(B+媒6(6,4g],

所以b+c的取值范圍為(6,4網(wǎng).

【變式3-1]3.(2023秋廣東?高三統(tǒng)考階段練習(xí))在44BC中，角4,B,C所對(duì)的邊分

別為a，b，c，tanc=鬻鬻.

Q)求角c的大小;

(2)若仆ABC是銳角三角形，且其面積為百，求邊c的取值范圍.

【答案】(l)c=2

(2)[2,V6)

【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正余弦函數(shù)和差角公式化簡(jiǎn)即可；

（2）由（1）知4+8=日，又△4BC是銳角三角形，可得]<4<,根據(jù)且其面積為小可

得。2=焉靛，再設(shè)y=siMsinB，根據(jù)角度關(guān)系化簡(jiǎn)可得y=]sin（24-]+：,再根據(jù)

?<4<；求解即可.

oZ

siM+sinBsinA+sinB

【詳解】（1）因?yàn)閠anC=，則森=

COSA+COSBCOSi4+COSB

所以sinCcos力+sinCcos^=cosCsinA+cosCsinB,

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,

彳導(dǎo)sin(C—A)=sin(B-C).

所以。-4=8-?；?。-4=口一伊一。）（不成立，舍去）,

從而2c=4+B,又4+B+C=n,所以C=去

0V4vU

(2)由(1)知4+B=李，又4ABC是銳角三角形，則2n2得?<a<5.

30<--A<-62

32

因?yàn)镾MBC=\abs\x\C=y-s'；；：；，=SsinAsinB=V3,

所以c2=-2—.

sin/lsmB

設(shè)y=siMsinB,因?yàn)锽=*—A,

所以y=sinAsin(4一A)=sinA(*osA+gsirvi)

=-sin2i4+---cos2A=-sin(2A

4442\6/4

因?yàn)閾{<A<^,則？<2^4-<Y/所以ye

從而c2=[4,6),即ce[2,V6),

所以邊c的取值范圍是[2,萌).

【變式3-1]4.（2023秋?云南昆明?高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_學(xué)考試）MBC的

內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ccosA-acosB+c=0

⑴求A；

(2)若a=6,求4ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】(1)4=5

(2)(12,6+6V2]

【分析】(1)利用正弦定理進(jìn)行邊換角結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可得到答案；

(2)利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和輔助角公式得b+c=6V2sin(8+9,再利用正弦型函數(shù)

的值域即可得到周長(zhǎng)范圍.

【詳解】(1)因?yàn)閏cosA—acosB+c=0,

根據(jù)正弦定理得sinCcosA—sinAcosB+sinC=0.

又sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cos/lsin^,

所以sinCcos4+cosAsinB=(sinC+sinB)cos4=0.

因?yàn)?B,Ce(0,n),

所以sinC+sinB>0,所以cos4=0.

所以A=今

(2)由(1)可知，=6,所以b+c=6sinB+6sinC.

sinA

由4=：,得B+C=],貝!JsinC=cosB,

則b+c=6sinB+6cosB=6>/2sin(B+：).

因?yàn)锽6M)?所以B+詈),sin(B+《G(y.l],

則b+cG(6,6/],故^ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(12,6+6V2].

【變式3-1]5.(2024秋?山東臨沂?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)

邊分別為a,b,c,sinA=V2sinC.

（1）若B=2,求tanA;

（2）求C的最大值.

【答案】（l）tanA=V6+V3

（2）;

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和利用三角恒等變換可得tana=V6+V3,

（2）利用正弦定理由大邊對(duì)大角可限定C6（0.2）,再根據(jù)三角函數(shù)值域即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）根據(jù)題意可知，若AABC^B=,貝必+C=手，即C=與一4;

又sinA=V2sinC,所以sirU=&sin償-4）,

即sirt4=Visingcos4—acosgsin4,整理可得號(hào)^sinA=彳cosA；

解得tanA==V6+V3

所以tan4=V6+V3

（2）由正弦定理可知a=42c,顯然Q>c,所以c不是最大邊，

即角C不是最大角，因此可知Ce（0,2）；

又sinA=V2sinC<1可得sinC<^=y,解得。<CS：；

所以C的最大值為去

4

【變式3-1]6.（2023秋?浙江?高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在4ABC中，角4B、

。所對(duì)的邊分別為a、b、c,且滿足asinCcosB+bsiMcosC=ya.

Q）求角力；

（2）若△ABC為銳角三角形，求4SWB-4sinBsinC的取值范圍.

【答案】（1）4=]或4=g

（2）（-1,2）

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和差公式求解可得；

(2)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，根據(jù)銳角三角形性質(zhì)求得B的范圍，再由正弦函數(shù)性質(zhì)

可得.

【詳解】(1);asinCcosB+bsinAcosC=ya,

???sinAsinecosB+sinBsin4cosc=^s\nA,

vAG(0,n),sin4>0,

V3

???sinCcosB+sinficosC=—

V3

???sin(B+C)=sin(n-A)=smA=—

???4=普=5

(2)???△ABC是銳角三角形A

!jy4sin2B-4sinBsinC

.2../2TI\

=4smB-4sm^sin―

=2sin2B_2V3sinBcos5=1-cos2B-V3sin2B=1-2sin(28+%),

???△ABC是銳角三角形，-2,即BWG，

B<3K62)

3+9轉(zhuǎn)),

???sin(28+9

2

?1-4sinF-4sinBsinC的取值范圍為(-1,2).

題型4不對(duì)稱結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問題

L

卦塾重點(diǎn)

巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

【例題4】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在①2sin4-sinB=2sinCcosB,②(a+c)(sirt4-

sinC)=sinB(a—b),③=^c^asinA+bsinB—csinC)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

到下面的問題中并作答.

問題：在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且—.

⑴求角C;

(2)若c=2,求2a-6的取值范圍.

【答案】(*

⑵(-2,4)

【分析】(1)選①利用三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式求出C==,選②利用正弦定

理和余弦定理求出C=/選③利用面積公式和余弦定理求出C=/

(2)利用正弦定理得a=sinAb=#sinB,再利用兩角差的正弦公式以及角的范圍計(jì)

算求得結(jié)果.

【詳解】(1)若選①：2sin4—sinB=2sinCcosB,

則2sin(8+C)-sinB=2sinCcosB,

..2sinBcosC+2cosBsinC—sinB=2sinCcosB

/.2sinBcosC—sinB=0

<BG(0,n),sinBH0,

..cosC=1,'."CG(O,TC),/.C=

若選②：(a+c)(sin4—sinC)=sin￡(a—b),

由正弦定理得(Q+c)(a-c)=b(a-b),

.'.a2+b2-c2=ab,

222

.「a+b-c1

.-COSC=--------------=-,

2ab2

E(O,TT)f.-.C=,

若選③：S“BC=gc(QsinA+bsinB—csinC),

貝《QbsinC=|c(czsirii4+bsinB-csinC)；

由正弦定理得gabc=1c(a2+62-c2),

/./.a2b2—c2=ab,

a2+b2_c21

..cosC--------------——

Zab2

.C6(0,n),..C=,

(2)由正弦定理得-、=白=￡=竽，

sm4sinBsmC3

a=誓sinA,b=竽sinB,

貝?。?Q—b=竽sinZ—竽sinB=^?sini4一竽sin(A+1),

=2V3sin>4—2cosA=4sin(A—，

-Ae(°-T)，4一。nTT,sin(DW，l),

6'2.

「.2Q—bG(—2,4).

【變式4-1】1.(2023秋遼寧沈陽高三沈陽市第一二。中學(xué)?？茧A段練習(xí))在448。中，

amc分別是角48,C所對(duì)的邊,已知a=lfm=(1,-73),n=(sinA,COSA),且沆1n.

(1)若4ABC的面積為乎,求b+c的值；

(2)求c-2b的取值范圍.

【答案】(1)2

(2)(-2,1)

【分析】(1)根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0求解可得4=/再根據(jù)三角形面積公式與余弦定理

求解即可；

(2)由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得c-2b=-2cosc，再根據(jù)三角函數(shù)取值范圍求解即

可.

【詳解】(1)由沆1元可得sin4-V3COS/1=0，故sin4=6cos4，顯然4豐］，故tanA=V3.

又0<4<Tl,故A=1

由三角形面積公式可得S-BC=^bcsinA=2bc=號(hào)，故be=1.

由余弦定理可得M=b2+c2—2bccosA=(b+c)2—3bc=1，即(b+c)：=4,故b+c=2.

(2)由(1)4=2,故=——=--=-T=,故c=W^sinC,b=空^sinB.

11

\j\/3'入SingsinesinA\f333

+&,26.「4V3.2\[3./,n\4>/3.

故c—2nb=——sinC-------sinBn=——sin(Bn+-------sinBn

333k3/3

2V3/IV3\4V3

=—z--sinB+—cosB.......-sinF

3\22J3

>/34V3

=—sinF+cosB------sinB

33

=cosB—y/3smB=2cos(8+；)=2cos(8+4)=-2cosC.

因?yàn)?=g,故0<CV—,故——<cosC<1,-2<-2cosC<1.

故c-2b的取值范圍為(-2,1)

【變式4-1]2.(2023秋廣東深圳?高三深圳市建文外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知△ABC

的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且gac?cosB=fe2-(a-c)2.

⑴求cosB的值；

(2)求心的最小值.

a4+c，

【答案】(l)cosB=q

⑵|.

【分析】(1)根據(jù)已知等式結(jié)合余弦定理可求出cosB的值；

(2)由(1)可得/=a2+C?-色c,代入白化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得其最小值.

【詳解】(1)因?yàn)椤阠-cosB=b2-(a-c)2,

所以(QC-cosB=爐-Q2—+2ac,

由余弦定理得垓=a2+c2—2accosBb2—a2—c2=—2accosB,

所以[ac-cosB=-2accosB+lac,解得cosB=1.

(2)由(1)知cosB=1,所以爐=a2+c2-^ac,

所以u(píng)2=Q°Z++°C2一5*=1~CLC

rn^a2+c2a2+c2a2+c2

因?yàn)閍2+c222ac今生4[當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，

a-5

所以慈=1一晶21一I=I，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)等號(hào)成立，

所以的最小值為|.

【變式4-1]3.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知△力BC內(nèi)

角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,且c=2(a-bcosC).

Q)求角B的大??；

(2)若^ABC為銳角三角形，求學(xué)的取值范圍.

【答案】Q)B=g

⑵加

【分析】(1)利用余弦定理化簡(jiǎn)得ac=a?-爐+,2,代入cosB=亨金即可求出角B的

2ac

大??；(2)通過正弦定理，用B表示出各個(gè)邊，因?yàn)椤?BC為銳角三角形，求出？<4<；,

0Z

根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求出取值范圍.

【詳解】(1)由余弦定理cosC=貯=，所以3=。-bx吟聲,

2ab22ab

化簡(jiǎn)得ac=a2-b2+c2,所以cosB=。二二"：=受="

2ac2ac2

又BG(o.n),所以B=*

(2)由(1)4+。=71-8=?,因?yàn)?48。為銳角三角形，所以，？<4<15<。<3.

3OZbZ

由正弦定理可得：亭=辿2怨Me=9(sin2/1+sin2C)

b"s】n"B3

因?yàn)閟iMA4-sin2C=sin2/!+sin2得—/)=；(1-cos2X)+；(1—cos詈—24))

=1+|[cos(；—2/)—cos24]=1cos2A+ysin24—cos2/]=1+|sin(24—，)又

(<4<,所以汴24-*<譙<1+：sin(2A-加*

因此siMA+sin2c的取值范圍是信|

所以展的取值范圍是(I，2].

【變式4-1]4.(2023秋?河北保定?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)在4ABC中，角A,B,C的對(duì)

邊分別為a,6,c,若叱=等寫

csinA-sinB

Q)求角4的大??；

(2)若。為8c上一點(diǎn),￡BAD=LCAD,AD=3,求4b+c的最小值.

【答案】Q)A=g

⑵27

【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合余弦定理求得正確答案.

(2)利用三角形的面積公式列方程，結(jié)合基本不等式求得4b+c的最小值.

【詳解】(1)依題意，拶=黑罌，

由正弦定理得婦=^-,a2-b2=bc+c2,

ca-b

c2+h2-a2=—be,所以cos/="二。=--<0,

2bc2

所以力是鈍角，所以4=y.

(2)/.BAD=/.CAD=-A=-,

''23

S〉A(chǔ)BC=S&ABD+S'ACD，所以;besiny=-3-sin24--3-sin^,

即be=3(c+b),學(xué)=-4-1=1

becbf

所以4b+c=(4b+c)(|+目=15+產(chǎn)+B215+2J嚕卷=27,

12b_3c

~=~^,c=2b=9時(shí)等號(hào)成立.

{be=3(c+b)

【變式4-1]5.(2023秋?河北秦皇島?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)記aABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊

分別為a,b,c,面積為S,已知爐=+abcosC.

(1)求2的值；

(2)若BC邊上的中線|4D|=1,求△力BC周長(zhǎng)的最小值.

【答案】⑴g

(2)273

【分析】(1)根據(jù)三角形面積公式及正弦定理化簡(jiǎn)〃=雪+abcosC,可得tan4=V3,

即可求出力的值；

(2)先根據(jù)4。為BC邊上的中線得到2而=而+無，即/+°2+尻=4,根據(jù)不等式求

出0<bcW3,以及b+c=，4+be和a=V4-2bc,可得a+b+c=V4-2bc+

V4+6F(0<be<I),再根據(jù)函數(shù)關(guān)系即可求出最值.

【詳解】(1)?,■△4BC面積為S,

S=-afasinC,且=—S+abcosC,

23

得=JabsinC+abcosC,

b=—asinC+acosC,

由正弦定理得：sinB=ysin/lsinC+sin4cosc,

sin(i4+C)=ysin/lsinC+sin4cosc,

sinAcosC=父sin/sinC+sirt4cosc,

3

V3

cosA=—sirii4(sinCw0)

:.tan/1=V3(cos/4H0),

ji

v0<4<7T,A=-.