中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型練習(xí) 最值問(wèn)題中的構(gòu)造圓與隱形圓模型(解析版)

專題20最值問(wèn)題中的構(gòu)造圓與隱形圓模型

【模型展示】

隱形圓解決點(diǎn)圓最值

平面內(nèi)一定的D和。O上動(dòng)點(diǎn)M的連線中，當(dāng)連線過(guò)圓心O時(shí)，線段DM有最大值

和最小值。分以下情況討論：（設(shè)OD=d,。。的半徑為r）

1、點(diǎn)D在。O外時(shí)，d>r,如圖：

當(dāng)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DM出現(xiàn)最值，DM的最大值為d+r,DM的最小值

為d-r;

2、當(dāng)點(diǎn)D在。O上時(shí)，d=r,如圖：

特點(diǎn)

當(dāng)D、O、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段DM有最值；DM最大值為d+r,DM最小值為d-r=O（即

點(diǎn)D與點(diǎn)M重合）

3、當(dāng)點(diǎn)D在。O內(nèi)時(shí)，d<r,如圖

當(dāng)點(diǎn)D、0、M三點(diǎn)共線時(shí)，DM有最值；DM最大值為d+r,DM最小值為∣d-r∣=r-d;

點(diǎn)圓最值：平面內(nèi)一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題：

構(gòu)造圓解決點(diǎn)圓最值

一、定點(diǎn)定長(zhǎng)

1,O為定點(diǎn)，OA=OB,且長(zhǎng)度固定，那么O、A、B三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，動(dòng)點(diǎn)P

在圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，Q為圓外一定點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到OQ的連線上時(shí)，即：

P落到Pl處,O、PKQ三點(diǎn)共線時(shí)，PQ最小。

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在AABC中，ZACB=90o,AC=BC,AB=4cm,Cf）是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)

。出發(fā)，以相同的速度分別沿OC、OB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE

分別與CABC相交于G、H,則在點(diǎn)￡尸移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)度為（）

A.2B.πC.2πD.——π

2

【答案】D

【詳解】解：如圖，

*：CA=CB,N4C8=90。，AD=DBf

.?CD±AB,

???NAOE=NCoF=90。，CD=AD=DB,

在4ΛDEfi∣?CD尸中，

AD=CD

</ADE=NCDF,

DE=DF

MADE安ACDF(S4S),

：,/DAE=NDCF,

YNAED=NCEG,

：.NADE=NCGE=90。,

???A、C、G、。四點(diǎn)共圓，

???點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CzX

?.?48=4,AB=亞AC,

?*?AC=2.yp2?

：?0A=OC=母、

9

JDA=DC,OA=OC1

：.DO1.AC,

，NO。C=90。，

.?.點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為啊也=也π.

1802

故選：D.

2.如圖，AACB中，C4=CB=4,NACB=90。，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP,過(guò)點(diǎn)A作

AΛ∕L8P于當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

A

A.----πB.∕2πC.√3πD.2π

2λ

【答案】A

【詳解】解：設(shè)A8的中點(diǎn)為。，連接N0,如圖所示：

???N為的中點(diǎn)，。為48的中點(diǎn)，

：?NQ為卜HAM的中位線，

VAM±BP,

IQNLBN,

：?/QNB=90。,

???點(diǎn)N的路徑是以。5的中點(diǎn)。為圓心，^AB長(zhǎng)為半徑的圓交CB于。的”,

VCA=CB=4,NACB=90。，

.?.ΛB=√2CA=4√2.NQBD=45。,

.,.ZDOQ=90°,

Ql)為。。的5周長(zhǎng)，

A線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：9。TX4&=也兀，

180-2

故選:A.

3.如圖，在∕?ΔABC中，ZACB=RtN,AC=8cm,BC=3cm.。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接AO,過(guò)點(diǎn)C作CELAO于E,連接8E,在點(diǎn)。變化的過(guò)程中，線段5E的最小值是

()

E

A.1B.√3C.2D.√5

【答案】A

【分析】由乙4EC=90。知，點(diǎn)E在以AC為宜徑的。M的CN上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N）,

從而得BE最短時(shí)，即為連接與。M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E點(diǎn)），8E長(zhǎng)度的最小值B￡=

BM-ME'.

【詳解】如圖，

.?.E在以AC為直徑的M的CN上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N）,

.?.BE最短時(shí)，即為連接與0M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)e點(diǎn)），

在RtΔBCM中，BC-3cm,CM=^AC=4cm,則BM=√βC2+CM2=5cm-

ME1=MC=4cm,

.?.BE長(zhǎng)度的最小值BE=BM-ME=?cm,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度偏大,

解題時(shí)，注意輔助線的作法.

4.如圖，RtZVLBC中，ABJLBC,AB=S,BC=6,P是AfiC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足

NPAB=NPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）

【答案】D

【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得NAPB=90。，取AB的中點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，AB為直徑作圓,

連接。尸；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得OP=OA=O8=gAB=4;根據(jù)圓的對(duì)稱性，

得點(diǎn)P在以AB為直徑的0。上，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點(diǎn)。、點(diǎn)P、點(diǎn)C

三點(diǎn)共線時(shí)，PC最?。焊鶕?jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得0C，通過(guò)線段和差計(jì)算即可得到答案.

【詳解】ZABC=90°,

.?.ZABP+ZPBC=90°,

NPAB=ZPBC,

ZBAP+ZABP=90°?

.-.ZAPB=90°,

取AB的中點(diǎn)O,以點(diǎn)0為圓心，A8為直徑作圓，連接。P,

A

-.OP=OA=OB=-AB=A

.?.點(diǎn)P在以AB為直徑的。上，連接OC交（。于點(diǎn)以

當(dāng)點(diǎn)。、點(diǎn)R點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小

在RtA>8CO中，

NOBC=90°,BC=6,OB=4,

.-.OC=BOr+BC2=√42+62=2√13，

.?.PC=OC-OP=2岳-4

.?.「。最小值為2加-4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)：解

題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而

完成求解.

5.如圖，0的半徑是太，P是。上一動(dòng)點(diǎn)，A是-O內(nèi)部一點(diǎn)，且AO=G,則下列

說(shuō)法正確的是（）

①相的最小值為后-√L②心的最大值為灰+石；③當(dāng)NO4P=90。時(shí)，△物。是等腰直

角三角形；④4∕?0面積最大為∣.

A.①@④B.①②④C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】分析知當(dāng)A在線段P。上時(shí)，刑取最小值，A在PO延長(zhǎng)線上時(shí)，附取最大值，可

以判斷①②是否正確；當(dāng)NoAP=90。時(shí)，根據(jù)勾股定理求出A尸的長(zhǎng)度，可以判斷③是否正

確；作出A點(diǎn)的軌跡圓，知當(dāng)OA_LP。時(shí)，三角形附。面積取最大值，通過(guò)計(jì)算判斷④是

否正確即可.

【詳解】解：由題意知，當(dāng)A在線段Po上時(shí)，〃取最小值，A在PO延長(zhǎng)線上時(shí)，必取最

大值，

的最小值為#-G，出的最大值為幾+6，

故①②正確；

當(dāng)NoAP=90。時(shí)，根據(jù)勾股定理得：AP="@-（可=6,

即AP=O4,三角形以。為等腰直角三角形，

故③正確；

作出A點(diǎn)軌跡圓如下：

知當(dāng)OAJ_P。時(shí)，三角形附。面積取最大值，最大值為：lx。XG=述,

22

故④錯(cuò)誤，

綜上所述，正確的序號(hào)為：①②③，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、線段最值等知識(shí)點(diǎn)，借助圓的性質(zhì)判斷出線段的

最值是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，菱形ABCO邊長(zhǎng)為4,/4=60。，M是AO邊的中點(diǎn)，N是4B邊上一動(dòng)點(diǎn)，將4AMN

沿MN所在的直線翻折得到AA，MM連接4C,則AC的最小值是（）

A.2GB.√3+lC.2√7-2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，在折疊過(guò)程中A，在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)A，C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、A?C三點(diǎn)共線，得出A，的位置，過(guò)

點(diǎn)M作MHlDC于點(diǎn)H,再利用含30。的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長(zhǎng),

進(jìn)而求出A'C的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖所示，:MA，是定值，AC長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A，在MC上.

過(guò)點(diǎn)M作MHXDC于點(diǎn)H,

：在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，ZMAN=60o,M為AD的中點(diǎn)，

Λ2MD=AD=CD=4,NHDM=NMAN=60。，

.?.MD=2,ZHMD=30o,

HD=TMD=I,

HM=yjDM2-DH2=G，CH=CD+DH=5,

?'?MC=y∣CH2+MH2=2√7>

ΛAfC=MC-MA,=2√7-2；

故選：C.

NB

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)

健是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，突破點(diǎn)是正確尋找點(diǎn)A，的位置.

3

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=：x-3分別與X軸、y軸相交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)E、F

4

分別是正方形OACQ的邊。￡＞、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且DE=A/，過(guò)原點(diǎn)。作OH_LEF,垂足

為H,連接HA、HB,則一44B面積的最大值為（）

A.6+5√2B.12C.6+3√2D.三千絲

【答案】D

【分析】先證明ON=CN,再證點(diǎn)”在以O(shè)N直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)H在QM的延長(zhǎng)線上

時(shí)，點(diǎn)H到48的距離最大，由相似三角形的性質(zhì)可求MK,KQ的長(zhǎng)，由三角形的面積公

式可求解.

【詳解】解：如下圖，連接A。，交EF于M連接0C,取ON的中點(diǎn)M,連接MH,過(guò)點(diǎn)

M作MQ_LAB于。，交Ao于點(diǎn)、K,作MP_L04與點(diǎn)P,

點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)點(diǎn)(0,-3),

.?.O8=3,OA=4,

-AB=^OB2+OA2=716+9=5?

???四邊形AeoO是正方形，

ΛODIIAC,AO=AC=OD=AfOC=4正，NCoA=45。，

：.AEDN=ZNAFi/DEN=NAFN,

又YDE=AF,

.?ΛDEN^^AFN(ASA),

JDN=AN,EN=NF,

???點(diǎn)N是AQ的中點(diǎn)，即點(diǎn)N是。。的中點(diǎn)，

?,.ON=Ne=2桓,

OHLEF.

：.NoHN=90。,

???點(diǎn)”在以O(shè)N直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

工當(dāng)點(diǎn)H在QM的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)，到AB的距離最大,

Y點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，

???OM=MN=0

VMP±OP,NCoA=45。，

OP=MP=↑,

.?AP=3f

,：ZOAB+ZOBA=90°=ZOAB+ZAKQ,

/.NAKQ=NABO=NMKP,

又???/AOB=/MPK=90。,

JXMPKSS,

.MP_PK_MK

??拓―/一布，

.1PKMK

**4--3Γ,

：?MK=PK=-,

44

??AK—-，

4

VZAKQ=ZABOfZOAB=ZKAQf

：.XNKQsXaBO,

.AK=KQ

??花一麗’

9

?'?4_KQ,

~5~~Γ

27

/.KQ=-,

20

52713

??加=KQ+例K丁獷~5

???點(diǎn)〃到AB的最大距離為w+及,

.?.ZXZMB面積的最大值=1x5x（=+應(yīng)）=13+5及,

252

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查」'勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出MQ的長(zhǎng).

二、填空題

8.如圖，長(zhǎng)方形ABCQ中，Aβ=2√3,BC=I,點(diǎn)E是QC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△BEC沿直線

BE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，則點(diǎn)。到點(diǎn)F的最短距離為.

【答案】2

【分析】由題意易得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)8為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓弧，連接BQ,然

后根據(jù)隱圓問(wèn)題可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)8為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓弧，

連接BZ）,交圓弧于點(diǎn)H,如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)、”重合時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)尸的距離為最短,

：四邊形A8C。是矩形，AB=2。8C=2,

DC=AB=2√3,ZBCD=90°,

?>?BD=-JBC?CD。=4>

.*?DH=BD-BH=4-2=2,即點(diǎn)。到點(diǎn)尸的最短距離為2；

故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查隱圓問(wèn)題，矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析得出點(diǎn)F的

運(yùn)動(dòng)軌跡.

9.如圖，RrZkABC中，ZACB=90o,NeAB=60。，AB=4,點(diǎn)尸是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

C作直線記的垂線，垂足為Q,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

【詳解】'：AQLCQ,

：.NAQC=90。，

.?.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)的軌跡是以AC為直徑的半圓匕路徑是120

度的弧長(zhǎng)，

在RtAABC中，VAB=4,ZB=30o,

：.AC=-AB=I,

2

10.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=S,AB=IO,。是AC上一點(diǎn)，且CO=3,E是

BC邊上一點(diǎn),將△OCE沿OE折疊,使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處,連接BF,則BF的最小值為.

A

【答案】3√5-3**-3+3√5

【分析】先由折疊判斷出廠的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以。為圓心，CO的長(zhǎng)度為半徑的圓，當(dāng)從。、

尸共線且尸在8、。之間時(shí)8尸最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)80、8尸的長(zhǎng)度即

可.

【詳解】解：由折疊知，尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以。為圓心，CQ的長(zhǎng)度為半徑的圓，如圖所

可知，當(dāng)點(diǎn)B、。、F共線，且尸在5、。之間時(shí)，BF取最小值，

?.'NC=90°,AC=S,AB=IO,

.?.8C=6,

在RfABCO中，由勾股定理得：BD=√CZ)2+βC2=√32+62=3√5.

?*.BF=BD-DF=36-3，

故答案為：3\[5-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最

值問(wèn)題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出廠點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵.

11.如圖，在銳角AABC中，A8=2,AC=R,NABC=60。.力是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，S.ZADB

=30。，則CD的最小值是

，D

【答案】3-√3??-√3+3

【分析】作于”，證明△AC”為等腰直角三角形，求得BC=石+1,在BC上截取

Bo=AB=2,則AOAB為等邊三角形，以。為圓心，2為半徑作Θ0,根據(jù)/458=30。，可得

點(diǎn)Z)在OO上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)，CD最小，其最小值為OO的直徑減去8C的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，作A〃_LBC"于“，

.".BH=-AB=I,

2

AH=y∣AB2-BH2=√22-l2=√3?

CH=^AC2-AH2=^(√6)2-(√3)2=√3，

.??△AC”為等腰直角三角形，

/.ZACB=45o,

BC=CH+BH=G+1，

在BC上截取BO=AB=2,則4OAB為等邊三角形，

以。為圓心，2為半徑作。。，

,//408=30。，

點(diǎn)。在。。上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)DB經(jīng)過(guò)圓心。時(shí)，CD最小，

最小值為4-(6+1)=3-石.

故答案為：3—?/?.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和

性質(zhì)，圓周角定理.解題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)。在。。上運(yùn)動(dòng).

12.如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(6,0),8(0,6),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2√2.M為

線段4C的中點(diǎn)，連接O",當(dāng)。M取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【答案】(4,4)

【分析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)C在半徑為2√Σ的。8上.在X軸上取。C=0A=6,連接CD,

易證明OM是AACC的中位線，即得出OM=TCf>,即當(dāng)OM最大時(shí)，Cz)最大，由O,B,

C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在。B的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)勾股定理求出8。的長(zhǎng)，從而

可求出CD的長(zhǎng)，最后即可求出OM的最大值.

【詳解】解：如圖，：點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2√2,

,C在ΘB上，且半徑為2√∑,

.?0M=^CD,

即當(dāng)OM最大時(shí)，CQ最大，而O,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在。B的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM

最大，

V0B=0D=6,ZBOD=90o,

BD=6√2，

??.CD=6√2+2√2=8近，且C(2,8),

Λ(9Λ∕=yCD=4√2-即OM的最大值為4人，

是AC的中點(diǎn)，則M(4,4),

故答案為：（4,4）.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí).確定OM為最大值

時(shí)點(diǎn)C的位置是解題關(guān)鍵，也是難點(diǎn).

13.如圖，在矩形ABCZ）中，AB=6,8C=8,點(diǎn)E、尸分別是邊AB、Be上的動(dòng)點(diǎn)，且￡尸=4,

點(diǎn)G是E尸的中點(diǎn)，AG、CG,則四邊形AGC。面積的最小值為.

An----------------------------------∣D

【答案】38

【分析】首先連接4C,過(guò)8作8”J_AC于H,當(dāng)G在上時(shí)，三角形ACG面積取最小值，

此時(shí)四邊形AGCC面積取最小值，再連接BG,知3G=2,得到G點(diǎn)軌跡圓，該軌跡與8,

交點(diǎn)即為所求最小值時(shí)的G點(diǎn)，利用面積法求出8"、GH的長(zhǎng)，代入三角形面積公式求解

即可.

【詳解】解：連接AC，過(guò)B作8“，AC于”，

當(dāng)G在84上時(shí)，^ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCO面積取最小值，

四邊形AGCr）面積=三角形ACG面積+三角形As面積，

即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24.

連接BG,由G是EF中點(diǎn)，EF=4知，

BG=2,

故G在以8為圓心，BG為半役的圓弧匕圓弧交8〃于G',此時(shí)四邊形AGCD面積取最

小值，如圖所示，

AD

由勾股定理得：AC=IO,

"：^ACBH=^ABBC,

.?.BH=4.8,

.?.G'H=2.8,

即四邊形AGCD面積的最小值=LXloX2.8+24=38.

2

故答案為:38.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用直角三

角形斜邊的宜線等于斜邊的一半確定出G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

14.如圖，AABC為。。的內(nèi)接等邊三角形，BC=I2,點(diǎn)D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，BELoD于E,

當(dāng)點(diǎn)。由點(diǎn)8沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，線段4E的最大值是一.

【答案】2√2T+2√3??2√3+2√2T

【分析】連接5。，取8。中點(diǎn)M,連接ME,求得ME=IOB,點(diǎn)E在以M為圓心，以!OB

22

為半徑的圓上，求得當(dāng)A、M、E共線且點(diǎn)E在AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，AE最大，求解即可.

【詳解】解：連接80,取8。中點(diǎn)M,連接ME,如下圖：

VBELOD,M為Bo中點(diǎn)、

：.ME=-OB

2

點(diǎn)E在以M為圓心，以為半徑的圓上

二當(dāng)A、M、E共線且點(diǎn)E在AΛ∕的延長(zhǎng)線上時(shí)，AEhkk

延長(zhǎng)B。交AC于點(diǎn)”，如上圖：

,/∕?ABC為O。的內(nèi)接等邊三角形

垂宜平分AC,AC=BC=12

：.AH=CH=-AC=6

2

：.BH=6也,OB=WBH=

.?.CM=；OB=2。M∕∕=4√3

?*?AM=y∣AH2+MH2=2√2T

；?AE的最大值為2√ΣΓ+2√3

故答案為：2√ΣT+2√J

【點(diǎn)睛】此題考查了圓與內(nèi)接正三角形的性質(zhì)，涉及了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角

形外心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用性質(zhì)確定出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡.

15.如圖，矩形ABCD中，AB=S,BC=12,以。為圓心，4為半徑作。Q,E為。。上一動(dòng)

點(diǎn)，連接AE,以AE為直角邊作RfAAEF,使/EAF=90。，tanNAE尸=g,則點(diǎn)尸與點(diǎn)C的

最小距離為.

【答案】4λ∕10--

【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)G,連接FG,FC,GC,由△杉IGS∕?E4O,推出尸G：DE=

44

AF：A￡=1：3,因?yàn)?。E=4,可得FG=；,推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心；為半徑

33

的圓，再利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，取48的中點(diǎn)G,連接尸G.FC.GC.

'：NEAF=90°,tanZAEF=

3

?af-1

*'A￡^3*

?.?A3=8,AG=GB,

,?AG=GB=4,

VAD=12,

.AG41

,,AD-12-3,

.AFAG

??瓦一而‘

???四邊形ABCQ是矩形，

/.NBA。=NB=NE4/=9()。，

：.AFAG=AEAD,

Λ?MG^?EAD,

ΛFG:DE=AF:AE=I:3,

VDE=4,

4

AFG=",

3

4

???點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心H為半徑的圓，

2222

,**GC=√GB+BC=√4+12=4√10，

C.FC>GC-FG,

ΛFC≥4√iθ-p

.?.C77的最小值為4√∏J-y.

故答案為：4Λ∕10——.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

16.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸在射線BC上，則WPD的最小值為

【答案】避二?

2

Pj)nF

【分析】在AP上取點(diǎn)E,連接DE,使NADE=NAPD,由aADE-AAPD,可得一=——，

APAD

PD

當(dāng)DE最小時(shí)，二的值最小，作AABE的外接圓。O,連接OD,OE,利用勾股定理及

PA

三角形三邊關(guān)系可得答案.

【詳解】解：如圖，在AP上取點(diǎn)E,連接。E,AADE=AAPD,

`:XADEs[?APD,

.ADDE

??--=-----，

APPD

.PDDE

??=，

APAD

???。后最小時(shí)，PD夫的值最小，

PA

作AABE的外接圓。0,連接。Q,0E,

則OE=OA=OB=I,

在Rr△A。。中,C>D=√(9A2+AD2=√l2+22=√5-

DE>OD-OE=√5-1,

；?OE的最小值為石-1,

誓的最小值=叵」，

PA2

故答案為：避二L

2

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋

找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問(wèn)題，屬于中考填空壓軸題.

三、解答題

17.如圖一，等邊AABC中，AB=6,P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PDA.BC,PELAC,求。E的最小

值.

圖—

【答案】DE=Z9

2

【分析】由題意易得NPEC=N尸DC=90。，所以P、D、C、E四點(diǎn)共圓，又因?yàn)镹EOr)=I20。,

所以當(dāng)直徑最小時(shí)，弦OE的值最小.

【詳解】解：VPDVBC,PELAC,

：.NPEC=NPDC=90。,

，四邊形PDCE對(duì)角互補(bǔ)，

：.P.。、C、E四點(diǎn)共圓，如圖2.

EOD=2ΛECD=?2Qo,

要使得QE最小，則要使圓的半徑最小，故直徑PC最小，則當(dāng)CPLAB時(shí)，PC最短,

'?'?ABC是等邊三角形，

?.NB=60"P=3,

CP=?j3BP=3y∕3,

"：ADOP=W,

9

DE=IOD-sinZDOP=-.

2

圖二

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的基本性

質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.問(wèn)題背景如圖（1）,AABC為等腰直角三角形，ZBΛC=90o,直線/繞著點(diǎn)A順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，過(guò)B,C兩點(diǎn)分別向直線/作垂線BZXCE,垂足為。，E,此時(shí)△A3?？梢杂伞鰿4E

通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。ㄈ∽钚⌒D(zhuǎn)角度）.

嘗試應(yīng)用如圖（2）,AABC為等邊三角形，直線/繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，D、E為直線/上

兩點(diǎn)，ZBDA=ZΛEC=60o.△48?？梢杂伞鰿AE通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到嗎？若可以，請(qǐng)指出

旋轉(zhuǎn)中心。的位置并說(shuō)明理由；

拓展創(chuàng)新如圖（3）在問(wèn)題背景的條件下，若AB=2,連接OC,直接寫出CC的長(zhǎng)的取值范

圍.

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)中心為8C邊的中點(diǎn)O,旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針,旋轉(zhuǎn)角度為90。；（2）可以,

旋轉(zhuǎn)中心為為等邊AABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)。，理由見(jiàn)解析；（3）√5-l≤CD≤√5+1

【分析】問(wèn)題背景（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定即可；

嘗試應(yīng)用（2）首先通過(guò)證明AAB。和△CAE全等說(shuō)明點(diǎn)A和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C和點(diǎn)4對(duì)應(yīng),

從而作AB和AC的垂宜平分線，其交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)；

拓展創(chuàng)新（3）首先確定出O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，分別討論出Co

最長(zhǎng)和最短時(shí)的情況，并結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?jiǎn)栴}背景（1）如圖所示，作AO_L8C,交BC于點(diǎn)0,

由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：NAoC=90。，OA=OC,

；.點(diǎn)A是由點(diǎn)C繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

同理可得，點(diǎn)8是由點(diǎn)A繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

點(diǎn)。是由點(diǎn)E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

；.△48?？梢杂伞鰿AE通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到,旋轉(zhuǎn)中心為BC邊的中點(diǎn)O,旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?，

旋轉(zhuǎn)角度為90。；

嘗試應(yīng)用（2）：ZXABC為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBΛC=60o,

,.?ZDAC=ZDAB+ZBAC=ZAEC+ZEAC,NBAC=NAEC=60。，

ZDAB=ZECA,

在AA8O和ACAE中，

ΛBDA.=AAEC

■NDAB=ZECA

AB=CA

：.△ABDgACAE（AAS）,

的A、B、Q三點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為△CAE的C、A、E三點(diǎn)，

則4C、48分別視作兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，

此時(shí)，如圖所示，作AC和AB的垂直平分線交于點(diǎn)0,

；ZXABC為等邊三角形，

.?.由等邊三角形的性質(zhì)可知，OC=OA=08,NAOC=I20。，

AABO可以由△CAE通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到，旋轉(zhuǎn)中心為為等邊△48C三邊垂直平分線的交

點(diǎn)。；

E

Λ

拓展創(chuàng)新(3)由(1)知，在直線/旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，總有NAo5=90。,

二點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡為以A8為直徑的圓，

如圖，取AB的中點(diǎn)尸，連接CP,交。尸于點(diǎn)。，

則當(dāng)點(diǎn)。在CP的延長(zhǎng)線時(shí)，Cn的長(zhǎng)度最大，

當(dāng)點(diǎn)。與Q點(diǎn)重合時(shí)，CQ的長(zhǎng)度最小，即CQ的長(zhǎng)度，

,:AB=AC,AB=2,

.,.AP=l,AC=I,

在放ZiAPC中，CP=y∣AP2+AC2=y∕5^

由圓的性質(zhì)，PD=AP=I,

：.PD=PQ=I,

：.CD=CP+PD=y[5+\,CQ=CP-PQ=y[5-?,

二CD的長(zhǎng)的取值范圍為：√5-l≤CD≤√5+l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)三要素的確定，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要涉及等腰直角三角形和等

邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定出

動(dòng)點(diǎn)的軌跡，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在矩形ABC力中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E,尸分別是邊CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且N4FE

=90°

(1)證明：4ABFsAFCE;

(2)當(dāng)OE取何值時(shí)，/AED最大.

【答案】（I）見(jiàn)解析；（2）y

【分析】（1）根據(jù)題意可得NB=NC=90。，ZAFB=ZFEC,即可得出結(jié)論：

（2）取AE的中點(diǎn)O,連接。OF,根據(jù)/4FE=NAOE=90。，得出4、D、E、尸四點(diǎn)

共圓，當(dāng)G）O與8C相切時(shí)，/AF。的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：（1）證明：?；四邊形ABCD是矩形，

ΛZB=ZC=90o,

,/ZAFE=90°,

ZAFB+ZEFC=90o,"：NEFC+NFEC=9。。,

：.NAFB=NFEC,

.?.△A8尸S△/CE.

（2）取AE的中點(diǎn)O,連接?！辏?、OF.

JOA=OD=OE=OF,

...A、D、E、F四點(diǎn)共圓，

ZAED^ZAFD,

.?.當(dāng)。。與BC相切時(shí)，NAfD的值最大,

.?.8F=CF=4,

,.?XABFsXFCE,

.ABBF

???e一-?，

4EC

.?.EC=-,

3

Q1∩

???DE=DC-CE=6--=-

33f

，當(dāng)￡）E=Tn寸，NAEc）的值最大.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，根據(jù)題意得出。。與8C相切時(shí),

ZAFD的值最大是解題的關(guān)鍵.

20.已知，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形。4BC,M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn),

使0點(diǎn)落在O'處.

圖①圖②

⑴如圖①，當(dāng)NaW=30。時(shí),求點(diǎn)。'的坐標(biāo)；

⑵如圖②，連接C。'，當(dāng)CAM時(shí).

①求點(diǎn)AZ的坐標(biāo);

②連接0B,求AAOM與AoB重疊部分的面積;

（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段OC（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段O,C的取值范圍.

【答案】（1）0130,3卜

⑵①/（3,0）,②

(3)6√2-6?CO^6.

【分析】（1）如圖，連接Oa交AM于Q,過(guò)O'作的八OC于N,由對(duì)折可得：

AO=AO6,OM=OM,?OAM30??。'如W,證明？OAoii60?,VoAO是等邊三角形，可

得？OtoN30?,再利用三角函數(shù)可得答案；

（2）①利用平行線的性質(zhì)證明OM=OM=CM=3,從而可得答案；②如圖，連接。8,交

AΛ∕于。，交AO'于R過(guò)。作QA交AO'于2過(guò)。E,OC于E,再分別求解

2。,。幺P的坐標(biāo)，利用函數(shù)解析式與三角形的面積公式可得答案；

（3）如圖，由對(duì)折可得AO=Aoq則O'在以A為圓心，A。為半徑的OB上運(yùn)動(dòng)，與。，8不

重合，連接AC,交08TQ,當(dāng)。,?！陰牛汉蠒r(shí)，CO'取得最小值，從而可得答案.

(1)

解：如圖，連接Og交AM于Q,過(guò)O'作帥AOC于M

由對(duì)折可得：AO=AO^6,OM=OM,?OAM30??O?M,

?OOiaAM,OQ=OQ,

\?OAOii60?,VOAo是等邊三角形，

?OOC=AO=6,

Q?AOM90?,

\?OMQ90?30?60?,

QAΛ∕ΛOO￠.

\?O的N30?,

?<9JV=√32?V=3√3,

(2)

①Q(mào)AM〃比，

??AMO?^ICOVAMOMCPC,而？AMo?AMO^

?2Molc?MCO,

?MO^MC,

?OM=0^1=CM=3,

?M(3,0).

②如圖，連接。8,交A用于。，交AO'于P,過(guò)。作Q?！?。4,交AO'于。，過(guò)OELOC于

E,

Λ∩∩,∏

由①得:tanZAMO=——=2=tan/O'CE=—

OMCE

設(shè)CE=x,則ME=3-x,O￠E=2x,

?32=(3-X)2+(2X)2,

解得：X=*(不符合題意的根舍去)

?O^E=2x=-,OE=6-X=—

55

\。鬻片，而A(O⑼,

2412

設(shè)Aey為y=依+6,yi∣J-y?+6=-

3

解得：一

3

AOr為y=--x+6,

4

同理可得：AM^y=-2x+6,OB為y=x,

Tv=-2x+6X=2、

\>,解得:y=2'即0z(20,

ty=χ

36咚即。射

所以∕=2,yD=--?2

同理可得：嘴方

O=型

7

M與從08重疊部分的面積為:

SS_U,K八30_33

SVAMO，-SVAQP-］包B6-~~~

(3)

如圖，山對(duì)折可得AO=AeX

二。'在以A為圓心，4。為半價(jià)的OB卜.運(yùn)動(dòng)，與。,B不重合,

連接AC，交OB于。,

當(dāng)Q,0?重合時(shí)，CO’取得最小值，

此時(shí)AC=√62+62=6√2,AQ=AO=6,

?Co￠=60-6,

所以C。'的取值范圍為：6√2-6?CO￠6.

【點(diǎn)睛】木題考查的是正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，一次函數(shù)

的幾何應(yīng)用，圓的基本性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決幾何圖

形面枳問(wèn)題，利用圓的基本性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度的最小值是解本題的關(guān)鍵.

21.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的G)O,點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從8向

A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P,0,。三點(diǎn)處于同一條直線

時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).

(1)求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度；

⑵若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CM的最大值.

2

【答案】(1)：乃

⑵萬(wàn)+1.

【分析】(1)如圖，設(shè)？CO。a,結(jié)合題意可得：?BOP2a,結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解

a=60?,再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)解：如圖，取08的中點(diǎn)N,連接NM,NC,MC,過(guò)N作NKj_BC于K,過(guò)。作OE，BC

于E,證明M在以N為圓心，半徑為I的圓N上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)C,MM三點(diǎn)共線時(shí)，CM

最大，從而可得答案.

(1)

解：如圖，設(shè)？CoQ%結(jié)合題意可得：?BOPZz,

ABC為等邊三角形，

360°

\?BOC--=120?,

3

\?BOQ120?明

而P,O,Q三點(diǎn)共線，

\?BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：α=60o,

八一-山…,“日d60”22

??。運(yùn)動(dòng)的息長(zhǎng)度為：?=~P?

1oU3

(2)

解：如圖，取OB的中點(diǎn)N,連接NM,NC,MC,過(guò)N作NKLBCTK過(guò)。作OE_LBC

于E,

A

M為P8的中點(diǎn),

NM=-OP=\,

2

???M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng),

???當(dāng)CN,M三點(diǎn)共線時(shí)，CM最大,

Q2BOC120?,OBOC,

\?OBC30?,

11/3

?NK=-BN=—，BK=旺,

222

同理可得：BE=5則BC=2√5,

?C^=2√3--,

22

?CM=CN+NM=√7+l,

,CM的最大值為：√7+l.

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，弧與圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì),

勾股定理的應(yīng)用，熟練的構(gòu)造輔助圓，再求解線段的最大值是解本題的關(guān)鍵.

22.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在直線AZ）右側(cè)，且AE=I,以O(shè)E為邊作正方形DEFG,

射線。F與邊8C交于點(diǎn)例，連接ME,MG.

①如圖2,當(dāng)G,C,M三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)N,求-的值;

EM7

②如圖3,取4力中點(diǎn)P,連接尸凡求P尸長(zhǎng)度的最大值.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）04；②2行+&

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得。E=。GNEDM=NGOM=45。，公共邊DM,即可

證明DEMaDGM,即可得ME=MG；

（2）①先證明點(diǎn)E在AB上，進(jìn)而求得，DAESKEBN求得BN,根據(jù)NF//DG可得

NMFS-GMD,乂ME=MG,進(jìn)而即可求得一的值；②連接BD,BF,證明“4)ESa雙年',

MN

求出相似比，進(jìn)而可得點(diǎn)尸在以8為圓心夜為半徑的圓Ir一運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求

最值即可.

(1)

,四邊形OEFG是正方形

.?.NEDF=NGDF=45o,GD=GE

二ZEDM=NGDM=45°

DM=DM

：.3DEM叁DGM

：.ME=MG

(2)

①如圖2,當(dāng)G,C,歷三點(diǎn)共線時(shí)，

四邊形ABCD,EDFG是正方形

.'.ZADC=ZEDG=9Go,AD=CD,ED=GD,ZDEF=90°

ZADE=NCGD

AADEmACDG

:.ADAE=ZDCG

G,C,M三點(diǎn)共線時(shí)，

.?.NDCG=NoCB=90°

NDAE=90°

r.E在線段AB上

ZDEF=90°

乂NEDA+ZDAE=NDAE+ZNEB=90°

.?.ZEDA=NNEB

又NA=NB

.?.ADEs,BEN

.AEADDE

正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4,AE=I

.?.BE=AB-ΛE=4-1=3,f>E=√AD2÷AE2=√42+l2=√Γ7

3

NB=詈

4

/r?3

.?.flv=三旦絲A.

AE14

317

??.GN=BC+CG-BN=N——=—

44

O1

.?NF=EF-EN=y∕∏--y∕∏=-y∕∏

44

四邊形OEFG是正方形

.?.EF//DGfDG=DE=后

.?.DMGSFMN

,NF_NM

'~DG~HG

口”NFMN

即---=---------

DGGN-MN

MN

--MN

4

17

解得MN二.

：,MG=GN-MN=----------=—

4205

由（1）可知EΛ∕=GW

17

EMGMT4z1

MNMNqT

20

②連接應(yīng)）,即"如圖,

G

四邊形ABCQ,EOFG是正方形

ZAOB=ZEDF=45o,DB=-JlAD，DF=-JlDE

DFDBr-

..ZADE=ZBDF，—≈-=√2

DEAD

ADEjBDF

.AEad1

"EB^OB^√2

AE=X

BF=丘

即點(diǎn)F在以8為圓心0為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，

E點(diǎn)在A0的右側(cè)，則當(dāng)PF經(jīng)過(guò)點(diǎn)3時(shí)，PF取得最大值

最大值為PB+B尸

P為Ao的中點(diǎn)，則AP=；Ao=2

RtPAB中，PIi=√22+42=2√5

???PB+BF=2√5+√2

即P尸的最大值為2?+√Σ

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握相似三角

形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

23.已知等腰直角ΔABC與A4DE有公共頂點(diǎn)A,ΛBAC=ZDAE=90',AB=AC=8,

AD=AE^4.現(xiàn)將ΔADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)B,A,。在同一直線上時(shí)，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，求班■的長(zhǎng)；

Λ

圖①

(2)如圖②，連接BE,OC.點(diǎn)G為ZJC的中點(diǎn),連接AG交BE于點(diǎn)尸，求證：AGrBE；

圖②

(3)如圖③，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，以B尸為直角邊構(gòu)造等腰RtΔF8N,連接CN,在AADE繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)5N最小時(shí),直接寫出ΔBCN的面積