高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基本不等式（六大題型7個方向）（原卷版）

2.2基本不等式

【題型歸納目錄】

題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用

題型二：利用基本不等式比較大小

題型三：利用基本不等式證明不等式

題型四：利用基本不等式求最值

1、直接法求最值

2、常規(guī)湊配法求最值

3、消參法求最值

4、換元求最值

5、“1”的代換求最值

6、△法

7、條件等式求最值

題型五：利用基本不等式求解恒成立問題

題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用

【知識點梳理】

知識點一：基本不等式

1、對公式/+b222a6及土吆士疝的理解.

2

（1）成立的條件是不同的：前者只要求“力都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù);

（2）取等號的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號

2、由公式/+/22必和”^2而可以引申出常用的常用結(jié)論

2

①纟+巴42（a,6同號）；

ab

(g)—+—<-2(o,b異號)；

ah

(3)-p^-j-<4ab<<J"；，'(a>0,b>0)或ab4(^^了<(a>0,b>0)

---1—"———

ab

知識點詮釋：/+從42"可以變形為：產(chǎn)，審2癡可以變形為："4(等了.

a+b

知識點二：基本不等式而4的證明

2

方法一：幾何面積法

如圖，在正方形Z8CD中有四個全等的直角三角形.

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a、b,那么正方形的邊長為，力+&2.這樣，4個直角三角形的面積

的和是2",正方形/8CD的面積為/+/.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：

a-+b2>2ab.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即?6時，正方形EFGH縮為一個點,這時有

/+/=2ab.

得到結(jié)論：如果凡b￡R+,那么（當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時取等號“=”）

特別的，如果。>0,b>0,我們用五、折分別代替a、b,可得：

如果a>0,b>0,則a+b22而,（當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號

通常我們把上式寫作：如果a>0,b>0,，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號“=”）

2

方法二：代數(shù)法

a2+b2-2ab=（a-b）2>0,

當(dāng)"6時，（a-6）2>0；

當(dāng)a=b時，（a-b）2=0.

所以（/+/）*2",（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號

知識點詮釋：

特別的，如果。>0,b>0,我們用人、〃分別代替a、b,可得：

如果a>0,b>0,則a+b±2疝，（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號

通常我們把上式寫作：

如果4>0,b>0,4^b<—,（當(dāng)且僅當(dāng)0=6時取等號“=”）.

2

知識點三：基本不等式而《厘的幾何意義

2

如圖，是圓的直徑，點C是上的一點，AC=a,BC=b,過點C作。C丄交圓于點D,連

接力。、BD.

易證Rt\ACD~RtKDCB,那么CD2=CACB,即CO=疝.

這個圓的半徑為厘，它大于或等于C。，即*2丿1，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即a=6時，

22

等號成立.

知識點詮釋：

1、在數(shù)學(xué)中，我們稱"為。力的算術(shù)平均數(shù)，稱而為。力的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述

2

為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2、如果把竺2看作是正數(shù)內(nèi)6的等差中項，而看作是正數(shù)a力的等比中項，那么基本不等式可以敘

2

述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

知識點四：用基本不等式而《土吆求最大（?。┲?/p>

2

在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等.

①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；

②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；

③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.

知識點詮釋：

1、兩個不等式：0,+/22仍與土也2而成立的條件是不同的，前者要求a,b都是實數(shù)，后者要

2

求防b都是正數(shù).

2、兩個不等式：22辦與土史都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取"=”號

2

這句話的含義要有正確的理解.

3、基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮

使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各

項的“和''為定值，則“積”有最大值.

4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：

①各項都是正數(shù)；

②和（或積）為定值；

③各項能取得相等的值.

5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進行：

①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；

④寫出正確答案.

【典型例題】

題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用

例1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如

圖所示圖形，在等腰直角三角形A/IBC中，點O為斜邊的中點，點。為斜邊Z8上異于頂點的一個動點,

設(shè)=80=6,用該圖形能證明的不等式為（）.

A.a+^,>（a>0,b>0）B.<\[ab（d>0,b>0）

(〃>0力>0)D.a2>2y[ab(a>0,6>0)

C啖

例2.（2023?上海寶山?高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）下列定理中，被稱為塞的基本不等式的是（）

A.如果〃>6,且那么

B.對任意的實數(shù)。和6,總有力+6222a6,且等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時成立

C.對任意的正實數(shù)。和b,總有早2J茄，且等號當(dāng)且僅當(dāng)a=6時成立

D.當(dāng)。>1,s>0時，as>1

例3.（2023?上海靜安?高一?？计谥校┙o出下列命題中，真命題的個數(shù)為（）

①已知O/ER,則2+曙2*/=2成立;

ab、ab

444

②已知XWR且XK0,則|工+」=|川+|二戶2』劉?|n=4成立；

xXX

③已知x$R,則6+2+/+2的最小值為2；

④已知a,b￡R,ab<0,則q=-(-2+=)?-2

=-2成立.

abab

A.1個B.2個C.3個D.4個

變式1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）下列使用均值不等式求最小值的過程，正確的是（）

若a,beR,貝心+曙2心b上a

A.=2

ahab

若xeR,,則由xH-------22J(x+1)---------1=1知,X+擊的最小值為1

B.

x+irx+i

C.若xGR,則xd—2-2,4-

D.若孫=1,貝1」工2+歹222|中|二2

變式2.（2023?高一課時練習(xí)）給出下面三個推導(dǎo)過程:

①?.%、6為正實數(shù)，...2+f22

ab

②?.ZWR,分0,：.-+a>2j--a=4；

aVa

③：x、yWR,9<0,=一(-*)+(-丄)4-2(-2=一2.

yxyXy%

其中正確的推導(dǎo)為（）

A.①②B.①③

D.①②③

【方法技巧與總結(jié)】

應(yīng)用基本不等式時的三個關(guān)注點

（1）一正數(shù)：指式子中的a,6均為正數(shù).

（2）二定值：只有M為定值時才能應(yīng)用基本不等式，因此有時需要構(gòu)造定值.

（3）三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值.

題型二：利用基本不等式比較大小

例4.（2023?高一課時練習(xí)）下列不等式正確的是（）

A.a+丄，2B.(-a)+(--)<-2

aa

、17

C.a~4—Q22D.(-a)2+(--)2<-2

a

例5.（2023?江蘇徐州?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若則下列不等式成立的是（）

/—ra+b.r-ra+b,

A.y/ah<----<a<bB.ci<yjab<----<b

22

-r~ra+b.D.a<"*"<y[ab<b

C.ylcib<a<----<b

22

例6.（2023?陜西寶雞?高二校考期中）已知a,beR,a'b,q+6=2,則（）

A.\<ab<a+hB.

ah<\<------

22

C.ab<a+b<1D.a1+b2,1

------<ab<\

22

變式3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若x,y滿/+/一刈=2,則（）

A.x+y<2B.x+y>-2y/2C.x2+y2<4D.x2+y2>2

變式4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若。>0,b>0,a+b=2,則下列不等式恒成立的是（）

A-ab2y/l.B.y[a+y/b4V2

21

C.—+—^3D.a2+h2>2

ab

變式5.（2023?山東青島?高一?？茧A段練習(xí)）若必>0,且a<6,則下列不等式一定成立的是（）

A.a2Vb2B.丄<4

ah

「ba、—a+br-r

C.—+—>2D.----->yjab

ab2

變式6.(2023?全國?高三專題練習(xí))如果OVaVbVl,P=^~,Q=國,M=4a+b>那么尸，0,

M的大小順序是()

A.P>Q>MB.M>P>Q

C.Q>M>PD.M>Q>P

【方法技巧與總結(jié)】

利用基本不等式比較大小

在利用基本不等式比較大小時，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項、配湊或變形.在拆

項、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為

“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能.

題型三：利用基本不等式證明不等式

ab

例7.（2023?全國?高一專題練習(xí)）己知Q>0,b>0,試比較五+斯與而+71的大?。?/p>

例8.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知Q>0,b>0fc>0,且a+b+c=l.求證：

例9.（2023?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)6,。均為正數(shù)，且Q+b+c=l,證明：

(l)a2+b2+c2>-；

變式7.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知a>0,6>0,且a+b=l,求證：++1*9.

變式8.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若正數(shù)〃，b,c滿足a+b+c=l.

⑴求ab+bc+ca的最大值；

（2）求證：—+—>1.

b+cC+Qa+h2

變式9.（2023?貴州黔西??？家荒＃┰O(shè)力，。均為正數(shù)，且a+b+c=l,證明：

(\)a2+b2+c2>-；

3

33

(2)a3c+ba+cb>ahc.

變式10.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知4>0,Z?>0,c>0,求證：-+^-+—>a-\-b+c.

abc

變式11.（2023?陜西西安?高二西安中學(xué)校考期中）均值不等式等2疝（4>0力>0）可以推廣成均值

>a+^>y[ab>"(a>0,b>0)

不等式鏈，在不等式證明和求最值中有廣泛的應(yīng)用，具體為:

21丄1

ah

a+b、2

（1）證明不等式丁,丁丁.

—I—

ab

（2）上面給出的均值不等式鏈是二元形式，其中/51?2空（0>0/>0）指的是兩個正數(shù)的平方平均

數(shù)不小它們的算數(shù)平均數(shù)，類比這個不等式給出對應(yīng)的三元形式，即三個正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的

算數(shù)平均數(shù)，并嘗試用分析法證明猜想.（〃個數(shù)的平方平均數(shù)為卜;+4+…d）

Vn

【方法技巧與總結(jié)】

利用基本不等式證明不等式時應(yīng)注意的問題

（1）注意基本不等式成立的條件；

（2）多次使用基本不等式，要注意等號能否成立；

（3）對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.

題型四：利用基本不等式求最值

1、直接法求最值

例10.（2023?上海楊浦?高二復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）已知外6eR,且/+9必=1，則/的最大值

是.

例11.（2023?新疆烏魯木齊?高一?？计谥校┮阎猘、b大于0,a+b-3,則ab的最大值是.

例12.（2023?甘肅蘭州?高二蘭州一中?？计谀┘褐?a+b=4,則而的最大值

為.

變式12.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若a>0,b>0,ab=4a+b+n,則ab的取值范圍是.

變式13.（2023?北京順義?高二北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)x,V滿足x+y=4,若

a》孫恒成立,寫出一個滿足條件的a值____________.

變式14.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正實數(shù)a,b滿足色+纟=1則効的最大值為_________.

45

變式15.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若正數(shù)見厶滿足姉=4,則〃+6的最小值是.

變式16.（2023?遼寧大連?高三大連中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知x+y=2,則2'+2,的最小

值為.

4

變式17.（2023?廣東佛山?高一統(tǒng)考期中）若x>0,則3x+-的最小值為；

x

2、常規(guī)湊配法求最值

亠亠4

變式18.（2023?高一課時練習(xí)）（1）當(dāng)x>3時，求歹=x+—的最小值；

x-3

（2）當(dāng)x>0時，求L+3X+6的最小值.

x+1

變式19.（2023?遼寧營口?高一校考階段練習(xí)）求解下列各題：

（1）求y=，+j+4（*<o）的最大值;

（2）求y=f卜>1）的最小值.

變式20.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值

/1xX2+X+\

(1)y=--------(x>0)；

x

變式21.（2023?全國?高一專題練習(xí)）（1）若x）＞0,且2x+8y-盯=0,求x+N的最小值；

（2）若-4〈冗＜1,求尸二2廿2的最大值.

2x-2

2r+l

變式22.（2023?河南潔河?高一潔河四高?？茧A段練習(xí)）（1）求不等式解集：二一21；

x-2

（2）設(shè)x20,求函數(shù)y=4+2）（x+3）的最小值.

X+1

變式23.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知。＞6,且0厶=8,則丄出-2的最小值是（）

a-b

A.6B.8C.14D.16

21

變式24.（2023?河北張家口?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）己知。＞1,〃＞0,且一：=則2〃+6的最小值

a-\b

為.

3、消參法求最值

變式25.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）若x〉4,y〉l,且k=12+x+4y,則工+歹的最小值是（）

A.5B.8C.13D.16

變式26.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知x＞0）＞0,h+2x-y=10,則x+y的最小值為（）

A.2應(yīng)-1B.2竝C.472D.4后-1

變式27.（2023?江蘇蘇州?高二?？茧A段練習(xí)）已知x＞l,”0,且3y（l-x）=x+8,則x-3y的最小

值為.

變式28.（2023?天津和平?高二統(tǒng)考期末）已知＜/+y=］（x,yeR）,則/+3/的最小值是.

變式29.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知孫＞0,Rx2+2xy=l,則幺+/的最小值為.

4、換元求最值

XV

變式30.（2023?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)是正實數(shù)，且工+，=1,則一^+丄彳的最大值是________.

x+2y+l

21

變式31.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正數(shù)x、V滿足x+2歹=1,則^—尸+—丁的最小值為.

變式32.（2023?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若實數(shù)。，6滿足力一4〃=4,則/+湖的最小值

為.

變式33.（2023?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a,6,c均為正實數(shù)，

ab+ac=4,則*+亠+——的最小值是_________.

ab+ca+b+c

變式34.（2。23?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)x一為正實數(shù)，若2宀+2所（則2宀的最小值

是（）

A.4B.3C.2D.1

12

變式35.（2023?四川巴中?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知x>y>0且4x+3y=l,則；^——+—丁的最小值

2x-yx+2y

為（）

A.10B.9C.8D.7

5、“1”的代換求最值

1Q

變式36.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正實數(shù)機，〃滿足丄+±=4,則8〃?+"的最小值

mn

為.

變式37.（2023?陜西渭南?高二白水縣白水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x>0）>0,且2x+y=l,則丄+丄

xy

的最小值為.

變式38.（2023?廣東東莞?高三?？茧A段練習(xí)）已知x>0,y>0且x+2y=孫，則x+2y的最小值

是.

變式39.（2023?福建泉州?高一統(tǒng)考期中）已知兩個正實數(shù)滿足x+y=I,則町士的最小值是_____.

xy

21

變式40.（2023?天津濱海新?高一校考期中）已知%>04>0,且一+—=2,則R+3y的最小值

xy

為.

變式41.（2023?山東濟南?高二濟南外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知若正數(shù)〃、b滿足。+6=1,則

]+為的最小值為-

a+2

變式42.（2023?四川?校聯(lián)考一模）已知正數(shù)x,y滿足x+y=5,則一二+一二的最小值是_____.

x+2y+2

13

變式43.（2023?陜西渭南?高二?？茧A段練習(xí)）已知XJER'且滿足一+—=1,則x+3y的最小值

xy

為.

變式44.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=3,則一^的最大值為.

19

變式45.（2023,全國?高一■專題練習(xí)）已知a+h+c=1f其中a,b,c>0,則一■F------的最小值為

aD+c

2Q

變式46.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若o<"4,則一+—的最小值是________.

a4-a

6、△法

變式47.（2023?湖南衡陽?衡陽市八中校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)XJ,滿足丁+盯+3/=3,則x+y的

最大值為（）

A3>AT6VHy/3+15/3+3

A.-----oD?------Lrz?-------Dn.-------

111133

變式48.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知a>0,b>0,滿足3/〃-2/_3〃+9=0,則亞+2的最小

ah

值是（）

A.2屈B.4>/3C.4>/6D.6萬

7、條件等式求最值

變式49.（2023?江蘇鹽城?高一校聯(lián)考期中）已知x>0,y>0,且x+2y=l.

（1）求孫的最大值；

（2）求2+丄的最小值.

xy

變式50.（2023?浙江臺州?高一校聯(lián)考期中）（1）已知2<a<3,l<b<4,求2a+6的取值范圍；

（2）已知正數(shù)x,y滿足x+2夕=2.

（i）求孫的最大值；

21.

（ii）求一+一的最小值.

xy

變式51.（2023?河北石家莊?高一校考期中）（1）已知0<x<g，求尸;x（l-2x）的最大值

4

（2）已知了<3，求^=^+2x的最大值

x-3

13

（3）已知x〉0，y>0,且x+y=4,求一+一的最小值

%y

變式52.（2023?湖北?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）己知為正實數(shù)，且內(nèi)=」.

a+b

⑴求而的最大值；

（2）是否存在使得丄+』的值為指？并說明理由.

ab

變式53.（2023?全國?高一專題練習(xí)）（1）已知且4x+y-盯=0,求工+歹的最小值.

（2）已知x/cR*,且4x+y-xy=0,求孫的最小值.

變式54.（2023?江西九江?統(tǒng)考一模）已知。也c均為正實數(shù)，且/+/+《2=2.

（1）求。+6+。的最大值;

111

⑵求-------1--------1-----的--最小值.

a+hh+cc+a

【方法技巧與總結(jié)】

利用基本不等式求代數(shù)式的最值

（1）利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代

數(shù)式的最大值或最小值.

（2）若是求和式的最小值，通?；ɑ蚶茫┓e為定值：若是求積的最大值，通?；ɑ蚶茫┖蜑?/p>

定值，解答技巧都是恰當(dāng)變形、合理拆分項或配湊因式.

題型五：利用基本不等式求解恒成立問題

例13.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知不等式（x+砂對任意正實數(shù)蒼丁恒成立，則正實數(shù)

。的最小值為（）

A.2B.4C.6D.9

21

例14.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若對工>0,>>0,有（x+2y）,（一+—）之機恒成立，則川的取值范圍

“y

是（）

A.w<4B.m>4

C.〃?<0D.w<8

例15.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若對任意x>0,工3+5產(chǎn)+4%20?恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.a>5B.5<a<9C.a<5D.a<9

變式55.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若不等式幺/+3對任意正數(shù)〃力恒成立，則實數(shù)x的

最大值為（）

A.72B.2C.y/3D.1

變式56.⑵23.全國?高一專題練習(xí)）已知正數(shù)。，6滿足卜戶，若不等式吋+欄+2b2m

恒成立，則，"的最大值為（）

93C.應(yīng)D.^2

A.-B.-

424

49

變式57.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知若二+”^21恒成立，則人的最大值為（）

abz+1

A.4B.5C.24D.25

變式58.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知實數(shù)小N滿足x+y-v=0,且肛>0,若不等式

4x+9y—20恒成立，則實數(shù)f的最大值為（）

A.9B.12C.16D.25

變式59.（2023?全國?高一專題練習(xí)）己知正實數(shù)x,y滿足2x+3y-杪=0,若3x+2yNf恒成立，則實

數(shù)f的取值范圍是（）

A.r<25B./<25C.fW24D.^>24

41

變式60.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若正數(shù)滿足x+N=l,且不等式一-+一一加之0恒成立，則實

x+1y

數(shù)〃?的最大值為（）

4427「149

A.—B.—C.-D.一

7532

【方法技巧與總結(jié)】

利用基本不等式求解恒成立問題，通常通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值

題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用

例16.（2023?江蘇揚州?高一?？茧A段練習(xí)）已知。、b、c、d為正實數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）

并指出等號成立條件，然后解（3）中的實際問題.

（1）請根據(jù)基本不等式。+6N2j%（a,beR+）,證明：a+b+^+d>^a-b-c-d；

（2）請利用（1）的結(jié)論，證明："+,爲標T7；

（3）如圖，將邊長為0.5米的正方形硬紙板，在它的四個角各減去一個小正方形后，折成一個無蓋紙盒.如

果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應(yīng)為多少米？

例17.（2023?廣東深圳?高三深圳市建文外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（1）己知正實數(shù)a,b,c滿足

a2+b2=2c2,求￡+：的最小值；

ab

（2）某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用

的化工產(chǎn)品，已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）

之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值

為100元.該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

例18.（2023?福建莆田?高三莆田二中校考開學(xué)考試）近日，隨著暑期來臨，莆田市政府積極制定政策，

決定政企聯(lián)動，決定為某制衣在暑假期間加班追產(chǎn)提供x（xe（0,2可）（萬元）的專項補貼.某制衣在收到莆

田市政府x（萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到f=（x+3）（萬件）.同時某制衣生產(chǎn)t（萬件）產(chǎn)品需要投入成

本為（7f+q+3x）（萬元），并以每件（8+8）元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金額+政

tt

府專項補貼-成本.

（1）求某制衣暑假期間，加班追產(chǎn)所獲收益y（萬元）關(guān)于政府補貼x（萬元）的表達式；

（2）莆田市政府的專項補貼為多少萬元時，某制衣暑假期間加班追產(chǎn)所獲收益>（萬元）最大？

變式61.（2023?高一單元測試）某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25

元，年銷售8萬件.

（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該

商品每件定價最多為多少元？

（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)

整，并提高定價到x元.公司擬投入-600）萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投

0

入1萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷

售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.

變式62.（2023?高一課時練習(xí)）某住宅小區(qū)為了營造一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個八邊

形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形N88和MG//構(gòu)成面積為200米2的十字形

區(qū)域，且計劃在正方形仞VPK上建一座花壇，其造價為4200元/米2,在四個相同的矩形上（圖中的陰影部

分）鋪花崗巖路面，其造價為210元/米2,并在四個三角形空地上鋪草坪，其造價為80元/米2.

（1）設(shè)4。的長為x米，試寫岀總造價。（單位：元）關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）問：當(dāng)x取何值時，總造價最少？求出這個最小值.

變式63.（2023?新疆烏魯木齊?高一校考期末）（1）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，求這個

矩形菜園的最大面積.

（2）用籬笆圍一個面積為64m2的矩形菜園，求所用籬笆的最短值.

變式64.（2023?全國?高一專題練習(xí)）汽車在隧道內(nèi)行駛時，安全車距d（單位：m）正比于車速v（單

位：km/h）的平方與車身長/（單位：m）的積，且安全車距不得小于半個車身長.當(dāng)車速為70km/h時;

安全車距為19.6個車身長.

（1）求汽車在隧道內(nèi)行駛時的安全車距d與車速v之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）某救災(zāi)車隊共有10輛同一型號的貨車，車身長為10m,當(dāng)速度為多少時該車隊通過（第一輛車頭進

隧道起，到最后一輛車尾離開隧道止，且無其它車插隊）長度為800m的隧道用時最短？

【方法技巧與總結(jié)】

利用基本不等式解決實際問題的步驟

解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識（函數(shù)及不等式性

質(zhì)等）解決問題.用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：

（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).

（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.

（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.

（4）正確寫出答案.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023,全國?高一專題練習(xí)）已知。>0,b>0,a+2b=4,則ab的最大值是（）

A.72B.2C.4D.3

2.（2023?高一課時練習(xí)）設(shè)則下列各式中正確的是（）

A.x>^^>4xy>yB.y>x；)>yfxy>x

C.x>>y>4xyD.y>^^->^xy>x

3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知x>y>0,則三士。的最小值是（）

xy-y

A.2+V3B.y/5+2

c.2V2+2D.2

4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品.實驗一：小明

將5克的祛碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將20克的祛碼放在右盤,

取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品（）

A.大于20克B.小于20克

C.大于等于20克D.小于等于20克

14

5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正數(shù)xj滿足x+y=l叫+不7的最小值為（)

59

A.B.2C.D.6

32

12

6.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正實數(shù)'J滿足一+—=1,則2k-2%-歹的最小值為（）

%y

A.2B.4C.8D.9

7.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知。，匕為正實數(shù)，且"+2。+6=6,則下列選項錯誤的是（）

A.仍的最大值為2B.+6的最小值為4

C.6的最小值為3D.」二+丄的最小值為農(nóng)

a+lb+22

8.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知。>0/>0,則下列命題錯誤的是（）

A.若風(fēng)”1,則丄+丄N2

ab

19

B.若。+6=4,則一+7的最小值為4

ab

C