《數(shù)學分析》2021年考研考點歸納與考研真題

《數(shù)學分析》2021年考研考點歸納與考研真題

第1章極限與連續(xù)

1.1考點歸納

一、數(shù)列極限

1.定義

設同｝是一個數(shù)列，a-，對V￡>0,m正整數(shù)N,當，”工時，有k-d<"則稱｛an｝

收斂于a,則a稱為數(shù)列4的極限，記作巴.

(1)無窮小數(shù)列：期氏*

(2)無窮感列：翱一；

(3)發(fā)散數(shù)列：若;&：極限不存在，則稱4為發(fā)散數(shù)列；

(4)4收斂=4的任何子列都收斂.

2.崛

(1)唯一性

收斂數(shù)列｛an｝只有一個極限.

(2)有界性

若&｝收斂，則m正數(shù)M,對VnwN*有卜卜”.

(3)保號性

若隗周,=e咖(或<0)則對爾必敗磁或(a'w(。。)，三正數(shù)N,當n>N時有an

>2'(或2門<2').

(4)保不等式性

收斂數(shù)列｛an｝與｛bn｝.若m正數(shù)N。，當n>No時有an<bn,則

lima.工limb

l?er

(5)夾逼性

設｛an｝,｛bn｝都收斂于a,｛Cn｝滿足:m正數(shù)No,當n>No時有

44cli44

則｛Cn｝收斂,且

3.四則運算

{an},{bn}都收斂,則

(1)

lim(a.±bj=lim4二limbK

KK―

/

(2)

lim(。葭￡)=limalimi

AyAynt

t

(3)

lim(4+c)=limq?c,limcan-diman

J3-yQ**yR9yJC-y

/

a1加4

limZl=±22_

i'limc,,八TZ.謠則梗H畫、

(4)I(bn/O及IC*,).

4.單調(diào)有界定理

單調(diào)且有界的數(shù)列一定存在極限.

5.柯西收斂準則

{an}收斂O對vE>o,3正整數(shù)N,當n,m>N時有

二、函數(shù)

1.函數(shù)三要素

定義域值域?qū)▌t

2.隨

(1)有界性

若m正數(shù)M,對VXWD有

|/(小”

則稱f在D上有界.

(2)單調(diào)性

①單調(diào)遞增對VXl,X2GD.當Xl<X2時，f(Xl)<f(X2)；

②單調(diào)遞減對VXI,X2WD.當Xl<X2時，f(XI)>f(X2).

(3)奇偶性

D關于原點對稱

①奇函數(shù)f(-X)=-f(X),圖像關于原點對稱；

②偶函數(shù)f(-x)=f(x),圖像關于y軸對稱.

(4)周期性

若mT>0,對一切xwD,x+T￡D,有f(x+T)=f(x),稱T為函數(shù)f的周期，T

的最小值稱為最小正周期.

3.分類

(1)復合函數(shù)

形如y=f(g(x)),u=g(x)的函數(shù)稱為復合函數(shù)，對于每一個x,經(jīng)過中間變量u,

都得到唯一確定的y值，其中u=g(x)的值域不能超過y=f(u)的定義域.

(2)反函數(shù)

設函數(shù)f：D-f(D)是單射，則它存在逆映射釬'施魏r還,稱此映射廠:為函數(shù)f

的反函數(shù).

注：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關于直線y=X對稱.

三、函數(shù)極限

1.概念

(1)函數(shù)f在點X0的極限

f定義在U°(xo；S1)±,A為定數(shù).對V,若m正數(shù)b(<6'),當0<|x-xo|

<b時有|f(x)-A|<￡,則稱函數(shù)f在點xo的極限為A,記作

崛w,昉二H

(2)函數(shù)f在x趨于8時的極限

f定義在［a,+oo)上，A為定數(shù).對V￡>0,若m正數(shù)N(2a),使得當x>N時有

|/(力

則稱函數(shù)f在x趨于8時的極限為A,記作

小癡句;-,T

(3)左極限

f定義在[xo,xo+n)上，A為定數(shù).對V給定的￡>0，總m8>0,當05-x<6時，

有

則稱A為f在點xo的左極限，記為

:如！1L.峙%::二:

(4)右極限

f定義在(XO-n,xo]±,A為定數(shù).對V給定的￡>0,總三6>0,當<3時,

有

就稱A為f在點xo的右極限，記為

Ml=/

f

(5)

Um，(力=,4=limf(/=lim/(x)=A

X—4Xi4Jg

2.1轆

(1)唯一性；

(2)有界性；

(3)保號性；

(4)保不等式性；

(5)夾逼性.

注：函數(shù)極限性質(zhì)同數(shù)列極限性質(zhì)類似.

3.歸結原則

f定義在上，型::他次存在o對任何含于「口浮、且以xo為極限的數(shù)列，

沒浮都存在且相等.

4.單調(diào)有界定理

f為定義在「'二上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限黑其”:存在.

5.相網(wǎng)準則

f定義在J上，既網(wǎng)請存在=VS>0,3正數(shù)電6'),使得對/w1%；㈤，

6.兩個重要極限

lin/'11'=1及山n(1+—)=e

1-0X3?*\X/

7.無窮小量與無窮大量

(1)無窮小

①丫7：時的無窮小，得您,河；

②—工時的無窮小，得楚W加金.

(2)無窮小的性質(zhì)

若f(x)為無窮小量,g(x)為有界量，則它們的積f(x)g(x)也為無窮小量.

(3)無窮大

f（x）定義在U0（XO）±.對V給定的正數(shù)M,總m正數(shù)6（或正數(shù)X）,只要°小

（或?qū)?gt;X）,總有|f（x）|>M,則稱f為當xr壬或（xr8）時的無窮大.

8.相關無窮小的定義

（1）高、低階無窮小

1油以包=0

若jg（x）,則稱X-X0時f為g的高階無窮小量（或稱g為f的低階無窮小量），

記作

（2）同階無窮小

f和g定義U。（xo）上，若m正數(shù)K和L,滿足

*糕卜

則稱f與g為當x-xo時的同階無窮小量.

（3）等價無窮小

若Tg（x），則稱f與g是當x-xo時的等價無窮小量，記作

/(x)-g(xXx-xb)

注：常用的等價無窮小

sin.v?,v.kin.i?.v,arrsiii.v-.v,I-cos.v?(x4))

ln(I+.v)~x(x*0)

e*-I-x(.r>0)

(I+.r)*-I-av(A>0)

9.漸近線

設曲線y=f(x)

(1)斜漸近線y=kx+b

￡=lim§

b=

IT，

(2)垂直漸近線

若’(或者左、右極限趨于無窮)，則垂直漸近線為X=X。.

(3)水平漸近線

若泡您福=拗（或者xtt），則水平漸近線為y=b.

四、函數(shù)的連續(xù)性

1.概念

(1)連續(xù)的定義

f(x)定義在U(X0)上，若

=/(.v(l)

則f在點X0連續(xù).

2.崛

(1)有界性；

(2)保號性；

(3)四則運算.

3.間斷點

(1)定義

函數(shù)f(x)在點xo處不連續(xù)，則稱點xo為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點或間斷點.如果xo

是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限■,源吸右極限外中都存在，則xo稱為函數(shù)f(x)的第

一類間斷點.不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.

(2)類型

①第一類間斷點

a.可去間斷點在間斷點處函數(shù)左右極限相等.

b.跳躍間斷點在間斷點處函數(shù)左右極限不相等.

②第二類間斷點

a.無窮間斷點在間斷點處函數(shù)極限為無窮大(無窮小).

b.振蕩間斷點在間斷點處函數(shù)值在一個區(qū)間變化.

4.定理

(1)最值定理

f為閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，則f在［a,b］上有最