《第2課時 垂線》示范教學(xué)設(shè)計【初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊】

第五章相交線與平行線5.1相交線第2課時垂線一、教學(xué)目標(biāo)1．理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；2．理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離；3．掌握垂線的兩個性質(zhì).二、教學(xué)重點及難點重點：垂線的性質(zhì)．難點：垂線兩個性質(zhì)的理解與應(yīng)用，垂線的畫法．三、教學(xué)用具多媒體課件.四、相關(guān)資源《用量角器、三角尺、折紙的方法畫垂線》動畫，《探究垂線段的性質(zhì)》動畫，《垂線知識結(jié)構(gòu)圖》圖片等.五、教學(xué)過程【課堂導(dǎo)入】前面我們學(xué)習(xí)了兩條相交直線所成的角，如果兩條直線相交成特殊角直角時，這兩條直線有怎樣特殊的位置關(guān)系呢？日常生活中有沒有這方面的實例呢？下面我們就來研究這個問題.直線AB與CD相交于點O，將CD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（如圖）.AB、CD這兩條直線有怎樣特殊的位置關(guān)系呢？設(shè)計意圖：在課題引入中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章新知識的興趣，調(diào)動其積極性．【新知講解】1．垂線的概念.當(dāng)兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，我們就說這兩條直線互相垂直.當(dāng)兩條直線互相垂直時，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如圖，CD叫AB的垂線，AB也叫CD的垂線，直線AB，CD互相垂直，記作AB⊥CD，垂足為O.推理過程：（如上圖）∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°（垂直定義）.反之，∵∠AOC=90°（已知），∴AB⊥CD（垂直定義）請同學(xué)舉出日常生活中，兩條直線互相垂直的實例.設(shè)計意圖：通過推理過程，了解垂線的概念.2．垂線的畫法.探究：（1）用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？（2）經(jīng)過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？（3）經(jīng)過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？畫法：讓三角板的一條直角邊與已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使其另一條直角邊經(jīng)過已知點，沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.注意：如過一點畫射線或線段的垂線，是指畫它們所在直線的垂線，垂足有時在延長線上.3．垂線的性質(zhì).垂線的性質(zhì)有哪些呢，我們一起來探究下.學(xué)生總結(jié).經(jīng)過一點（已知直線上或直線外），能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線，即性質(zhì)1過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.探究：如圖，連接直線l外一點P與直線l上各點B，A1，A2，A3，…，其中PB⊥l（我們稱PB為點P到直線l的垂線段）.比較線段PB，PA1，PA2，PA3，…的長短，這些線段中，哪一條最短？性質(zhì)2連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.設(shè)計意圖：通過觀看動畫，歸納出垂線的性質(zhì).4．點到直線的距離.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.5．總結(jié).垂線的性質(zhì)：①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.設(shè)計意圖：通過總結(jié)，加深學(xué)生對垂線的性質(zhì)以及點到直線的距離的理解.【典型例題】例1如圖，直線AB與D相交于點O，E⊥AB于點O，∠EOD：∠DOB＝3:1，則∠COE度數(shù)為___________.分析：∠EOD：∠DOB＝3:1∴∠DOB＝∠BOE＝×90°＝22.5°又∵∠AOC＝∠DOB∠COE＝∠AOE＋∠AOC∴∠COE＝90°＋22.5°＝112.5°所以∠COE度數(shù)為112.5°例2如圖，有A，B，C，D四個村莊，政府準(zhǔn)備修建一個蓄水池.（1）不考慮其他問題，請你畫圖確定蓄水池H的位置，使它到四個村莊的距離和最短；（2）若要把河水引入蓄水池，怎樣開渠最短？說明根據(jù).解：（1）連接AD，BC交點為H，則點H為蓄水池的位置.（2）過點H作HG⊥EF，垂足為G，如圖，則沿HG開渠距離最短，根據(jù)為“垂線段最短”例3如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，設(shè)（1）試說明斜邊BC是最長的邊；（2）化簡|a－b|＋|c－a|＋|b＋c－a|.解：（1）因為CA⊥AB，CB與AB不垂直，所以，CA＜因為BA⊥AC，BC與AC不垂直，所以BA＜所以，斜邊BC是最長的邊.（2）a＞b，c＜a，b＋c＞a，|a－b|＋|c－a|＋|b＋c－a|＝a－b＋a－c＋b＋c－a＝a設(shè)計意圖：通過例題，使學(xué)生進一步掌握垂線的性質(zhì).【隨堂練習(xí)】1．點到直線的距離是指（）A.直線外一點到這條直線的垂線的長度B.直線外一點到這條直線上的任一點的距離C.直線外一點到這條直線的垂線D.直線外一點到這條直線的垂線段的長度答案：D設(shè)計意圖：通過練習(xí)，鞏固點到直線的距離的意義.2．如圖，在三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5，點P是線段AB上的一動點，則線段CP的最小值是__________.答案：設(shè)計意圖：通過練習(xí)，進一步掌握垂線的性質(zhì)，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.3．如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別是C，D，那么以下線段大小的比較必定成立的是（）A.CD﹥AD B.AC﹤BC C.BC﹥BD D.CD﹤BD答案：A.4．如圖所示，一輛汽車在直線型的公路AB上由A向B行駛，M,N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊.（1）設(shè)汽車行駛到點P位置時，離村莊M最近，行駛到點Q位置時，離村莊N最近，請你在AB上分別畫出P，Q兩點的位置.（2）請你在AB上畫出點S的位置，使汽車行駛到點S時，離村莊M和村莊N的距離的和最小.解：（1）如圖：（2）如圖：設(shè)計意圖：本題是對垂線進一步進行鞏固，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線，掌握垂線的性質(zhì).六、課堂小結(jié)當(dāng)兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線.在同一平面內(nèi)，有且只有一條直線與已知直線垂直.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.設(shè)計意圖:發(fā)揮學(xué)