重難點(diǎn)專題47回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)十三大題型匯總（原卷版）

重難點(diǎn)專題47回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)十三大題型匯總題型1線性回歸方程 1題型2非線性之冪函數(shù)方程 6題型3非線性之指數(shù)函數(shù)方程 10題型4非線性之對數(shù)函數(shù)方程 15題型5殘差相關(guān)模型 22題型6獨(dú)立性檢驗(yàn) 26題型7回歸分析與二項(xiàng)分布 31題型8回歸分析與超幾何分布 35題型9回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn) 40題型10回歸分析與正態(tài)分布 45題型11獨(dú)立性檢驗(yàn)與正態(tài)分布 51題型12獨(dú)立性檢驗(yàn)與超幾何分布 56題型13獨(dú)立性檢驗(yàn)與二項(xiàng)分布 60題型1線性回歸方程解答線性回歸問題，應(yīng)通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對實(shí)際問題進(jìn)行分析.【例題1】（2023上·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5(1)請用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程y=(2)假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.①若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；②若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，2p-1，其中12<p參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1nxiy【變式1-1】1.（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測）2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權(quán).在申冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代號t123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y與t的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并回答y與t的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；(2)因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號不變），求y關(guān)于t的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值.附注：參考數(shù)據(jù)：t=16i=16ti=3.5，y=16i【變式1-1】2.（2022·甘肅·統(tǒng)考二模）人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結(jié)合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)打造的智能化教育生態(tài).為了解我國人工智能教育發(fā)展?fàn)顩r，通過中國互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺得到我國2015年－2020年人工智能教育市場規(guī)模統(tǒng)計(jì)圖.如圖所示，若用x表示年份代碼(2015年用1表示，2016年用2表示，依次類推)，用y表示市場規(guī)模(單位：億元)，試回答：(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個(gè)變量y與x相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)；(2)若y與x的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，試求y關(guān)于x的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模(精確到1億元).附：線性回歸方程y=bx相關(guān)系數(shù)r=參考數(shù)據(jù)：i=1【變式1-1】3.（2021·全國·高三階段練習(xí)）擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國民間游戲，數(shù)人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發(fā)出聲音的物體），鼓響時(shí)眾人開始傳花（順序不定），至鼓停止為止．此時(shí)花在誰手中（或其座位前），誰就上臺表演節(jié)目，某單位組織團(tuán)建活動(dòng)，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號x與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：x12345y22334（Ⅰ）女性人數(shù)y與組號x（組號變量x依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；參考公式：b（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，從10組中隨機(jī)抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有X組，求X的分布列與期望；（Ⅲ）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2，得2分的概率為0.8．記鼓聲停止后得分恰為n分的概率為an，求a【變式1-1】4.（2021·江蘇南通·二模）網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬?微信或支付寶支付等方式在線匯款，根據(jù)2019年中國消費(fèi)者信息研究，超過40%的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費(fèi)者也首次通過第三方APP?品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進(jìn)行購物，某天貓專營店統(tǒng)計(jì)了2020年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)yi和時(shí)間第xx12345y75849398100（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時(shí)間x之間的關(guān)系？若可用，估計(jì)8月10日到該專營店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計(jì)算r時(shí)精確到參考數(shù)據(jù)：4340≈65.88.附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n（2）運(yùn)用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機(jī)抽取7人，再從這7人中任取3人進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，求這3人取自不同天的概率.（3）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿100元可減10元；方案二，一次性購物金額超過800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為13，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折.某顧客計(jì)劃在此專營店購買1000元的商品，請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠題型2非線性之冪函數(shù)方程冪函數(shù)型回歸模型的處理方法：冪函數(shù)型y=axn（n為常數(shù)，a，x，y均取正值），兩邊取常用對數(shù)1gy=1g（axn），即lgy=nlgx+lga，令y′=1gy，x′=1gx，原方程變?yōu)閥′=nx′+lga，然后按線型回歸模型求出n，lga.【例題2】（2021上·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谀閹椭l(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量y（單位：gm3）與樣本對原點(diǎn)的距離x（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)理的值．（表中uixyuiiiii697.900.21600.1414.1226.13-(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷y=a+bx與y=(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：①建立y關(guān)于x的回歸方程；②樣本對原點(diǎn)的距離x=20附：對于一組數(shù)據(jù)t1,s1,t2,s【變式2-1】1.（2023上·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽．參考數(shù)據(jù)t=iti17500.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1)，(1)賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現(xiàn)用y=a+bx作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；((2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為23，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變量X【變式2-1】2.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：mg），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）.iiii29.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇y=cxd作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=cxd兩邊取對數(shù)，得lny=lnc+(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布N～0.48,0.032，那這種抗體藥物的有效率附：①對于一組數(shù)據(jù)ui,vii=1,2,?,10，其回歸直線②若隨機(jī)變量Z~Nμ,σ2，則有③取e≈2.7【變式2-1】3.（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在正常生產(chǎn)條件下，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為化肥的有效利用率近似服從正態(tài)分布N(0.54,0.02(1)假設(shè)生產(chǎn)條件正常，記X表示化肥的有效利用率，求P((2)課題組為研究每畝化肥施用量與某農(nóng)作物畝產(chǎn)量之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中每畝化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百公斤）

參考數(shù)據(jù)：iiiiiiii65091.552.51478.630.5151546.5ti=lnxi，zi=ln（i）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值.(附：①對于一組數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1，2，3，…，②若隨機(jī)變量X～N(μ,【變式2-1】4.（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論技術(shù)方法的醫(yī)藥體系，長期呵護(hù)著我們的健康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻(xiàn).某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某味中藥的藥用量x（單位：克）與藥物功效y（單位：藥物功效單位）之間具有關(guān)系y=10(1)估計(jì)該味中藥的最佳用量與功效；(2)對一批含有這昧中藥的合成藥物進(jìn)行檢測，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)差為2，估計(jì)這批合成藥的藥物功效y的平均值.題型3非線性之指數(shù)函數(shù)方程1.直接設(shè)指數(shù)求解；2.取對數(shù)化簡，再設(shè)對數(shù)求解【例題3】（2023·全國·模擬預(yù)測）一座城市的夜間經(jīng)濟(jì)不僅有助于拉動(dòng)本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時(shí)間，帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費(fèi)水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標(biāo)．?dāng)?shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟(jì)的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），其中2017—2022年對應(yīng)的年份代碼依次為1~6．年份代碼x123456中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模y/20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函數(shù)模型y=a?bx擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x(2)某傳媒公司預(yù)測2023年中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場規(guī)模將達(dá)到48.1萬億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預(yù)測2023年中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場規(guī)模，若兩個(gè)預(yù)測規(guī)模誤差不超過1萬億元，則認(rèn)為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數(shù)據(jù)：viee1.163.36673.28217.251.162.83其中vi參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【變式3-1】1.（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額x（單位：億元）對年盈利額y（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額xi和年盈利額yi(i=1,2,?,10)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：y=α+βx2；y=eλx+xyuviiiiii(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合度更好？(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）附：相關(guān)系數(shù)r回歸直線y=bx+a【變式3-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測）近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當(dāng)然也影響著我們的旅游習(xí)慣，鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念．在國家有條不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某鄉(xiāng)村抓住機(jī)遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚重的民族文化，開展鄉(xiāng)村旅游．通過文旅度假項(xiàng)目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．該村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對應(yīng)六款不同價(jià)位的旅游套票，相應(yīng)的價(jià)格x與購買人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表．旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅套票型號ABCDEF價(jià)格x/元394958677786經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點(diǎn)繪圖，發(fā)現(xiàn)價(jià)格x與購買人數(shù)y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=axba>0,b>0，即lny=blnx附：①可能用到的數(shù)據(jù)：i=16viwi=75.3②對于一組數(shù)據(jù)v1,w2，v2,w2，…，(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程．(2)按照相關(guān)部門的指標(biāo)測定，當(dāng)套票價(jià)格x∈49,81時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”．現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意一款的可能性相等．若三人買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量【變式3-1】3.（2023上·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）為傳承和發(fā)揚(yáng)淄博陶瓷，某陶瓷公司計(jì)劃加大研發(fā)力度．為確定下一年度投資計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金xi（億元）與年銷售額yi（億元）的關(guān)系．該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①y=α+βx2，②y=eλx現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1，2，?，12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．令uxyiiuv20667702004604.20iiii3125000215000.30814(1)設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（計(jì)算過程中保留到0.001，最后結(jié)果精確到0.01）；(3)為進(jìn)一步了解人們對新款式瓷器喜愛程度（分為“比較喜歡”和“不太喜歡”）是否跟年齡（分為“小于30歲”和“不小于30歲”）有關(guān)，公司從該地區(qū)隨機(jī)抽取600人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：比較喜歡不太喜歡合計(jì)年齡小于30歲200100300年齡不小于30歲150150300合計(jì)350250600根據(jù)小概率α=0.001附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi-②χ2=nα0.150.10.050.0250.010.001x2.0722.7063.8415.0246.63510.828③參考數(shù)據(jù)：308=4×77．【變式3-1】4.（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考期中）當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近6年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：年份201720182019202020212022編號x123456企業(yè)總數(shù)量y（單位：百個(gè)）5078124121137352(1)若用模型y=aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出(2)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進(jìn)行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為12，甲勝丙的概率為13，乙勝丙的概率為35，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“參考數(shù)據(jù)：i=16參考公式：對于一組數(shù)據(jù)xi,yi題型4非線性之對數(shù)函數(shù)方程1.直接設(shè)對數(shù)求解；2.對指數(shù)型取對數(shù)【例題4】（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.某機(jī)場自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個(gè)服務(wù)環(huán)節(jié)，運(yùn)行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)xi與該機(jī)場飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率yi（ixytiiii2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中ti=(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=bx+a與y=clnx-2012+d(2)已知2023年該機(jī)場飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預(yù)測值作為2023年該機(jī)場飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值，且2023年該機(jī)場飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值分別為80%和75（i）現(xiàn)從2023年在該機(jī)場起飛的航班中隨機(jī)抽取一個(gè)，求該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機(jī)場準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.附：（1）對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.30，ln11≈2.40，【變式4-1】1.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀(jì)以來第18個(gè)指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進(jìn)數(shù)字鄉(xiāng)村建設(shè)，推進(jìn)智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當(dāng)中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計(jì)了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yi(1)利用散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx和y(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表：xyωiiii9.430.323666.6439.266其中令ωi=lnxi，ω=110i=1(3)規(guī)定：觀看人次大于等于120萬人次的主播為優(yōu)秀主播，從這10名主播中隨機(jī)抽取3名，記其中優(yōu)秀主播的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)和公式：ln2≈0.69，附：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，【變式4-1】2.（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某劇場的座位數(shù)量是固定的，管理人員統(tǒng)計(jì)了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價(jià)xi（單位：元）和上座率yi（上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值）的數(shù)據(jù)，其中(1)由散點(diǎn)圖判斷y=bx+a與y=(2)根據(jù)（1）所求的回歸方程，預(yù)測票價(jià)為多少時(shí)，劇場的門票收入最多．參考數(shù)據(jù)：x=240,y=0.5，i=15xi2=365000，i=15xiyi參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,u2【變式4-1】3.（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）秋天的第一杯奶茶是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達(dá)州一位當(dāng)?shù)孛窬?，民警用“秋天的第一杯奶茶”順利救下一名女孩，由此而火爆全網(wǎng).后來很多人開始在秋天里買一杯奶茶送給自己在意的人.某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代碼x1234567杯數(shù)y4152226293132(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果保留1位小數(shù)），并根據(jù)建立的回歸方程，試預(yù)測要到哪一天售出的奶茶才能超過35杯？(3)若每天售出至少25杯即可盈利，則從第一天至第七天中任選三天，記隨機(jī)變量X表示盈利的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.參考公式和數(shù)據(jù)：其中u回歸直線方程y=byuiiie22.71.2759235.113.28.2【變式4-1】4.（2022上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)校考期末）某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），t為入住天數(shù)（單位：天），以頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖．x100150200300450t9065453020(1)若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記ξ為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布列；(2)令z=lnx，由散點(diǎn)圖判斷y=bx+a與(3)根據(jù)第（2）問所求的回歸方程，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，100天銷售額L最大？（100天銷售額L＝100×入住率×收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x）參考數(shù)據(jù)：b=i=1nxiyi-nx?yi=1nxi2-n【變式4-1】5.（2023下·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）中醫(yī)藥在抗擊新冠肺炎疫情中，發(fā)揮了重要作用.中藥可以起到改善平常上呼吸道的癥狀，同時(shí)可以起到抑制病毒繁殖的效果就可以達(dá)到治療新型冠狀病毒肺炎的作用.某地種植藥材收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益．根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的藥材的箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：x34679y6.577.588.2y與x可用回歸方程y=blgx+(1)若農(nóng)戶賣出的該藥材的價(jià)格為500元/箱，試預(yù)測該藥材10箱的利潤是多少元；（利潤=售價(jià)-成本）(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，4月份的連續(xù)20天中農(nóng)戶每天為甲地可配送的藥材的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖，用這20天的情況來估計(jì)相應(yīng)的概率.(i)通過頻率分布直方圖計(jì)算農(nóng)戶每天平均可配送的藥材的箱數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）；(ii)一個(gè)運(yùn)輸戶擬購置3輛小貨車專門運(yùn)輸農(nóng)戶為甲地配送的該藥材，一輛貨車每天只能運(yùn)營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該藥材，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利400元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元．試計(jì)算此項(xiàng)業(yè)務(wù)每天的利潤平均值的大?。畢⒖紨?shù)據(jù)：設(shè)t=tyii0.737.440.530.15參考公式：對于一組數(shù)據(jù)ui,vi乘估計(jì)分別為β=i=1題型5殘差相關(guān)模型殘差計(jì)算思路如下∶先求出回歸方程y=bx+a（b，a直接套公式即可），然后把表格中每一個(gè)x值通過方程算出對應(yīng)的每一個(gè)y值，最后與表格中的y值對應(yīng)相減即可。數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異yi-yi是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱ei=yi-殘差計(jì)算公式∶實(shí)際觀察值與估計(jì)值（擬合值）之間的差。殘差平方和：i【例題5】（2023上·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）云南省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布《全省旅游業(yè)發(fā)展情況（2015-2022年）》報(bào)告，其中2015年至2022年游客總?cè)藬?shù)y（單位：億人次）的數(shù)據(jù)如下表：年份20152016201720182019202020212022年份代號x12345678游客總?cè)藬?shù)y3.34.35.76.98.15.36.58.4為了預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)，根據(jù)2015年至2022年游客總?cè)藬?shù)y的數(shù)據(jù)建立線性回歸模型一，得到回歸方程l1：y=0.556x+3.56，但由于受到2020年疫情影響，估計(jì)預(yù)測不準(zhǔn)確，若用2015年至2019(1)根據(jù)l1和l2預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)（預(yù)測數(shù)據(jù)精確到(2)為了檢驗(yàn)兩種模型的預(yù)測效果，對兩種模型作殘差分析得到：模型一：總偏差平方和i=18y模型二：總偏差平方和i=15y用R2來比較模型一與模型二的擬合效果（R2精確到(3)根據(jù)2020年至2022年游客總?cè)藬?shù)y的數(shù)據(jù)建立線性回歸模型三，求回歸方程l3，并根據(jù)l3預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)（預(yù)測數(shù)據(jù)精確到0.1參考公式：R2=1-i=1nyi【變式5-1】1.（2023下·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下季度的前期廣告投人計(jì)劃，收集了近6個(gè)月廣告投入量x（單位：萬元）和收益y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：月份123456廣告投入量24681012收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y=bx+a

xyi=1i=17301464.24364(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型擬合？并說明理由；(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．（i）剔除異常數(shù)據(jù)后求出（1）中所選模型的回歸方程；（ii）若廣告投入量x=18時(shí)，（1附：對于一組數(shù)據(jù)x1,y1【變式5-1】2.（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元）與某類商品銷售額（單位：億元）的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第n年12345678910居民年收入x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值.iiiii379.6391247.624568.9m(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.以此推斷，y與x(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的值與樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01(3)根據(jù)（2）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，計(jì)算第1個(gè)樣本點(diǎn)32.2,25.0對應(yīng)的殘差（精確到0.01）；并判斷若剔除這個(gè)樣本點(diǎn)再進(jìn)行回歸分析，b的值將變大還是變小？（不必說明理由，直接判斷即可）.附：樣本xi,y2.297≈1.516，b=i【變式5-1】3.（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┲袊伯a(chǎn)黨第二十次全國代表大會上的報(bào)告中提到，新時(shí)代十年我國經(jīng)濟(jì)實(shí)力實(shí)現(xiàn)歷史性躍升，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長到114萬億元，我國經(jīng)濟(jì)總量穩(wěn)居世界第二位.建立年份編號為解釋變量，地區(qū)生產(chǎn)總值為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，現(xiàn)就2012-2016某市的地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)計(jì)如下：年份20122013201420152016年份編號12345地區(qū)生產(chǎn)總值（億元）2.83.13.94.65.6(1)求出回歸方程，并計(jì)算2016年地區(qū)生產(chǎn)總值的殘差；(2)隨著我國打贏了人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，該市2017-2022的地區(qū)生產(chǎn)總值持續(xù)增長，現(xiàn)對這11年的數(shù)據(jù)有三種經(jīng)驗(yàn)回歸模型y=1.017x+1.200、y=3.816x-1.645、y=0.107x2+2.365，它們的R(3)若2012-2022該市的人口數(shù)（單位：百萬）與年份編號的回歸模型為y=0.2x+1.2，結(jié)合（2參考公式：b=i=1【變式5-1】4.（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）2021年，黨中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，也就是我們現(xiàn)在所稱的“雙減”政策.某地為了檢測雙減的落實(shí)情況，從某高中選了6名同學(xué)，檢測課外學(xué)習(xí)時(shí)長（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.學(xué)生序號123456學(xué)習(xí)時(shí)長/分220180210220200230(1)若從被抽中的6名同學(xué)中隨機(jī)抽出2名，則抽出的2名同學(xué)課外學(xué)習(xí)時(shí)長都不小于210分鐘的概率；(2)下表是某班統(tǒng)計(jì)了本班同學(xué)2022年1-7月份的人均月課外勞動(dòng)時(shí)間（單位：小時(shí)），并建立了人均月課外勞動(dòng)時(shí)間y關(guān)于月份x的線性回歸方程y=bx+4，月份x1234567人均月勞動(dòng)時(shí)間y89m12n1922由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知i=1（i）求m，n的值；（ii）求該班6月份人均月勞動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的殘差值（殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測值之差）.附：y=bx+a題型6獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟（1）根據(jù)實(shí)際問題的需要確定允許推斷“事件A與B有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k.（2）利用公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算隨機(jī)變量χ2.【例題6】（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）“村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂感，讓每個(gè)人盡情享受著足球帶來的快樂.某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生20女生15合計(jì)100附：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有99.5(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門.據(jù)統(tǒng)計(jì)，這兩名男生進(jìn)球的概率均為23，這名女生進(jìn)球的概率為12，每人射門一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)X【變式6-1】1.（2023·全國·模擬預(yù)測）中秋節(jié)起源于我國，是我國的傳統(tǒng)節(jié)日之一，吃月餅是中秋節(jié)的重要習(xí)俗．某超市為了解月餅銷售情況，隨機(jī)調(diào)研了某日來店購買月餅的200位顧客，并將調(diào)研結(jié)果整理如下：年齡購買袋裝月餅購買禮盒月餅50歲及以上8020不超過50歲6040(1)根據(jù)已知條件，試判斷是否有99%(2)假設(shè)A表示事件“在該超市購買月餅禮盒贈送玉兔望月掛件”，B表示事件“顧客在該超市購買月餅禮盒”，P(A)>0附：K2=n參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【變式6-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測）某平臺為了解當(dāng)代大學(xué)生對“網(wǎng)絡(luò)公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中4道題目回答即可．為了調(diào)查當(dāng)代大學(xué)生對④、⑥、⑧、⑩四道選答題的答題情況，從同濟(jì)大學(xué)在④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)20303020(1)從這100名學(xué)生中任選3名，求他們選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量之和為5的概率；(2)從這100名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；(3)學(xué)校還調(diào)查了這100位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：（規(guī)定同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人）性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性8女性25總計(jì)100請完成上述2×2列聯(lián)表，并計(jì)算回答是否有95%的把握認(rèn)為“公序良俗”參考公式：χ2=n附表：α0.100.050.0100.001x2.7063.8416.63510.828【變式6-1】3.（2023下·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識競賽，其中男生250人．為了了解該校學(xué)生在數(shù)學(xué)知識競賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間．將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若樣本中屬于“高分選手”的男生有10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生女生合計(jì)參考公式：K2=nP0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【變式6-1】4.（2023上·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興，體育強(qiáng)國是新時(shí)期我國體育工作改革和發(fā)展的目標(biāo)與任務(wù)，銀川某學(xué)校體育老師決定檢驗(yàn)高三學(xué)生的1km水平，隨機(jī)抽取了100位學(xué)生進(jìn)行測試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評價(jià)指標(biāo)，按60,70，70,80，80,90，90,(1)求a的值，并估計(jì)評價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本評價(jià)指標(biāo)的平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），若平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值小于1，則認(rèn)為學(xué)生1km水平有顯著穩(wěn)定性；否則不認(rèn)為有顯著穩(wěn)定性，請依數(shù)據(jù)給出答案；(3)在選取的100位學(xué)員中，其中男生人數(shù)與女生人數(shù)相同，若規(guī)定評價(jià)指標(biāo)不低于80為優(yōu)秀，低于80為良好，經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生中有40個(gè)學(xué)員評價(jià)指標(biāo)為優(yōu)秀，請列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“評價(jià)指標(biāo)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”附：K2=nP0.100.050.010k2.7063.8416.635題型7回歸分析與二項(xiàng)分布【例題7】（2023下·海南海口·高三統(tǒng)考期中）為促進(jìn)全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足人民群眾的健身和健康需求，國家相關(guān)部門制定發(fā)布了《全民健身計(jì)劃（2021—2025年）》.相關(guān)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了我國2018年至2022年（2018年的年份序號為1，依此類推）健身人群數(shù)量（即有健身習(xí)慣的人數(shù)，單位：百萬），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

(1)若每年健身人群中放棄健身習(xí)慣的人數(shù)忽略不計(jì)，從2022年的健身人群中隨機(jī)抽取5人，設(shè)其中從2018年開始就有健身習(xí)慣的人數(shù)為X，求E((2)由圖可知，我國健身人群數(shù)量與年份序號線性相關(guān)，請用相關(guān)系數(shù)加以說明.附：相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi-xyi-y【變式7-1】1.（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某公司是一家集無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)．該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種類型的無人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為23和1(1)該公司分別收集了甲型無人運(yùn)輸機(jī)在5個(gè)不同的地點(diǎn)測試的兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)xi，yi（地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)5甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)x24568甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)y34445試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（若r>0.75(2)操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無人機(jī)的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進(jìn)行操作．方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值．附：參考公式及數(shù)據(jù)：r=i=1【變式7-1】2.（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）純電動(dòng)汽車、混合電動(dòng)汽車及燃料電池電動(dòng)汽車均為新能源汽車，近幾年某地區(qū)新能源汽車保有量呈快速增長的態(tài)勢，下表為2018~2022年該地區(qū)新能源汽車及純電動(dòng)汽車的保有量（單位：萬輛），其中2018~2022年對應(yīng)的年份編號依次為1~5：年份編號x12345該地區(qū)新能源汽車保有量y1.52.63.44.97.8該地區(qū)純電動(dòng)汽車保有量z1.32.12.84.06.4(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=a?bx擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1(2)從表中數(shù)據(jù)可以看出2018~2022年，該地區(qū)新能源汽車保有量中純電動(dòng)汽車保有量占比均超過80%，說明純電動(dòng)汽車一直是新能源汽車的主流產(chǎn)品．若甲、乙、丙3人從2018~2022年中各隨機(jī)選取1個(gè)年份（可以重復(fù)選?。浫〉綕M足y-z>0.8的年份的個(gè)數(shù)為X參考數(shù)據(jù)：viee1.51.2522.621.11.511.4其中vi=ln參考公式：對一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，?，【變式7-1】3.（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進(jìn)制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域，由有關(guān)高校結(jié)合自身辦學(xué)特色，合理安排招生．強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．(1)某研究機(jī)構(gòu)為了更好地服務(wù)于高三學(xué)生，隨機(jī)抽取了某校5名高三學(xué)生，對其記憶力測試指標(biāo)x和分析判斷力測試指標(biāo)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到下表數(shù)據(jù)：x79101113y34567請用線性相關(guān)系數(shù)判斷該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系是否可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（精確到0.01）(2)現(xiàn)有甲、乙兩所高校的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目，某考生參加每門科目考試是否通過相互獨(dú)立．若該考生報(bào)考甲高校，每門筆試科目通過的概率均為35；該考生報(bào)考乙高校，每門筆試科目通過的概率依次為m?，?1參考數(shù)據(jù)：i=15xi2參考公式：線性相關(guān)系數(shù)：r=i=1【變式7-1】4.（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考一模）防疫抗疫，人人有責(zé)．隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢越來越嚴(yán)峻，防疫物資需求量急增．下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬元）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：月份x12345訂單yyyyyy(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并估計(jì)該廠6月份的訂單金額；(2)已知甲從該口罩廠隨機(jī)購買了4箱口罩，該口罩廠質(zhì)檢過程中發(fā)現(xiàn)該批口罩的合格率為34，不合格產(chǎn)品需要更換．用X表示甲需要更換口罩的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X參考數(shù)據(jù)：i=1參考公式：回歸直線的方程是y=bx題型8回歸分析與超幾何分布【例題8】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（°C47891412新增感就診人數(shù)y（位）yyyyyy參考數(shù)據(jù)：i6y(1)已知第一天新增感冒就的學(xué)生中有4位男生，從第一天多增的感冒就診的學(xué)生中隨機(jī)取2位，其中男生人數(shù)記為X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率為56，求隨機(jī)變量X(2)已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=1617，請用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15【變式8-1】1.（2023·江蘇南通·二模）我國風(fēng)云系列衛(wèi)星可以檢測氣象和國土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量x(單位:dm)與遙測雨量y(單位:dm)的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下:樣本號i12345678910人工測雨量x5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.235遙測雨量y5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49x0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計(jì)算得i(1)求該地區(qū)汛期遙測雨量y與人工測雨量x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若r≥0.75，則認(rèn)為兩個(gè)變量有較強(qiáng)的線性相關(guān)性(2)規(guī)定：數(shù)組(xi,yi)滿足xi-yi<0.1為“Ⅰ類誤差”，滿足0.1≤xi-yi<0.3為“Ⅱ類誤差”，滿足xi-yi≥0.3為“Ⅲ類誤差”.為進(jìn)一步研究該地區(qū)水文研究人員，從“Ⅰ附：相關(guān)系數(shù)r=【變式8-1】2.（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）MCN即多頻道網(wǎng)絡(luò)，是一種新的網(wǎng)紅經(jīng)濟(jì)運(yùn)行模式，這種模式將不同類型和內(nèi)容的PGC（專業(yè)生產(chǎn)內(nèi)容）聯(lián)合起來，在資本有力支持下，保障內(nèi)容的持續(xù)輸出，從而最終實(shí)現(xiàn)商業(yè)的穩(wěn)定變現(xiàn)，在中國以直播電商、短視頻為代表的新興網(wǎng)紅經(jīng)濟(jì)的崛起，使MCN機(jī)構(gòu)的服務(wù)需求持續(xù)增長．?dāng)?shù)據(jù)顯示，近年來中國MCN市場規(guī)模迅速擴(kuò)大．下表為2018年—2022年中國MCN市場規(guī)模（單位：百億元），其中2018年—2022年對應(yīng)的代碼依次為1-5．年份代碼x12345中國MCN市場規(guī)模y1.121.682.453.354.32(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=a?bx擬合y與x(2)從2018年-2022年中國MCN市場規(guī)模中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)據(jù)，記這3個(gè)數(shù)據(jù)中與y的差的絕對值小于1的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)：yvii2.580.8446.8315.99其中vi=lnyi參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，【變式8-1】3.（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2018年以來，某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書活動(dòng)”.下表是對2018年以來近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：年份20182019202020212022年份代碼x12345年借閱量y（冊）yy3692142（參考數(shù)據(jù)：i=1(1)在所統(tǒng)計(jì)的5個(gè)年借閱量中任選2個(gè)，記其中低于平均值的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX(2)通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①y=35x-47和②y=5x2+【變式8-1】4.（2022·四川成都·石室中學(xué)?？级＃?020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動(dòng)開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號的實(shí)時(shí)開通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號覆蓋的可能性，在持續(xù)高風(fēng)速下5G信號的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡易設(shè)備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價(jià)值體系的理想是為人類服務(wù).”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=ax+b與y=c?edx（a，b，c(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）(3)從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過20百萬元的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：xyuiiiee3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設(shè)u=lny,ui=lnyi（i=1，2參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（xi，vi）（i=1，2，3，…，n），其回歸直線v=βx題型9回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)【例題9】（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）近年來我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，下表是某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計(jì)表：年份x20182019202020212022銷量y（萬臺）1.601.701.902.202.60某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：購置傳統(tǒng)燃油車購置新能源車總計(jì)男性車主3560女性車主25總計(jì)100(1)求新能源乘用車的銷量y關(guān)于年份x的線性相關(guān)系數(shù)r，并判斷y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；（若r∈0.75,1，相關(guān)性較強(qiáng)；若r∈(2)請將上述2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，根據(jù)小概率值α=0.05①參考公式：相關(guān)系數(shù)r=②參考數(shù)據(jù)：6.6≈2.6③卡方臨界值表：α0.100.050.0100.0050.001χ2.7063.8416.6357.87910.828其中χ2=n【變式9-1】1.（2023下·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了促進(jìn)健康保險(xiǎn)的發(fā)展，規(guī)范健康保險(xiǎn)的經(jīng)營行為，保護(hù)健康保險(xiǎn)活動(dòng)當(dāng)事人的合法權(quán)益，提升人民群眾健康保障水平，我國制定了《健康保險(xiǎn)管理辦法》．為了解某一地區(qū)中年居民（年齡在40~55歲）購買健康保險(xiǎn)的情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到健康保險(xiǎn)購買量y（單位：萬單）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程為y=4.7x-9459.2，且購買量y的方差為sy(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷健康保險(xiǎn)購買量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位居民的性別與是否購買健康保險(xiǎn)的情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別沒有購買健康保險(xiǎn)購買健康保險(xiǎn)總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值α=0.05(3)在上述購買健康保險(xiǎn)的居民中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：（?。┚€性回歸方程：y=bx+a（ⅱ）相關(guān)系數(shù)：r=i=1nxi-（ⅲ）χ2=n附表：α0.100.050.0100.001x2.7063.8416.63510.828【變式9-1】2.（2023下·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）人類命運(yùn)共同體的提法將中國夢融入世界夢，充分展現(xiàn)了中國的大國擔(dān)當(dāng).在第75屆聯(lián)合國大會上中國承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標(biāo)"），此舉展現(xiàn)了我國應(yīng)對氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車?電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量y（單位：萬臺）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程為y=4.7x-9459.2，且銷量y的方差為sy(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購買非電動(dòng)汽車購買電動(dòng)汽車總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值α=0.05①參考數(shù)據(jù)：5×127=②參考公式：（i）線性回歸方程：y=bx（ii）相關(guān)系數(shù)：r=i=1nxi-x③參考臨界值表：P0.100.050.0100.005k2.7063.8416.6357.879【變式9-1】3.（2023·全國·模擬預(yù)測）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受．針對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額：月份x12345帶貨金額y/萬元350440580700880(1)計(jì)算變量x，y的相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01）．(2)求變量x，y之間的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2023年7月份該公司的直播帶貨金額．(3)該公司隨機(jī)抽取55人進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下不完整的列聯(lián)表：參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計(jì)女性2530男性10總計(jì)請?zhí)顚懮媳?，并判斷是否?0%的把握認(rèn)為參加直播帶貨與性別有關(guān)．參考數(shù)據(jù)：y=590，i=15i=15x參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1nx附：K2=nP0.150.100.050.025k2.0722.7063.8415.024【變式9-1】4.（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測）為了解某一地區(qū)新能源電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量y（單位：萬臺）關(guān)于x（年份）的線性回歸方程y=4.7x-9459.2，且銷量y的方差為sy(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量y與年份x的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱．(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購買非電動(dòng)汽車購買電動(dòng)汽車總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值α=0.05(3)在購買電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．①參考數(shù)據(jù)：5×127=②參考公式：線性回歸方程為y=bx相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi-K2=nP0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828題型10回歸分析與正態(tài)分布【例題10】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）攀枝花市地處川滇交界處，攀西大裂谷中段，這里氣候條件獨(dú)特，日照充足，盛產(chǎn)芒果、石榴、枇杷、甘蔗等熱帶亞熱帶水果．根據(jù)種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某種植基地的單個(gè)“紅玉軟籽”石榴質(zhì)量g在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布N602,625(1)10000個(gè)產(chǎn)自該基地的“紅玉軟籽”石榴，估計(jì)有多少個(gè)質(zhì)量g在577,652內(nèi)；(2)2023年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x（人）234567年收益增量（萬元）111319263138該基地為了預(yù)測人工投入增量與年收益增量的關(guān)系，建立了y與x的回歸模型，試根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X～Nμ,σ2，則回歸直線y=bx+a【變式10-1】1.（2022下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧是扶貧工作的戰(zhàn)略部署，是全面建成小康社會、實(shí)現(xiàn)民族復(fù)興的重要保障在當(dāng)?shù)攸h和政府的支持和幫助下，某貧困戶開始種植一種夏季生長的經(jīng)濟(jì)作物．該類經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量，下圖是該經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量指標(biāo)值t關(guān)于晝夜溫差x（單位：℃）的散點(diǎn)圖．（參考數(shù)據(jù)：i=15t(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可以認(rèn)為x與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)系數(shù)r=0.8，試用最小二乘法求出線性回歸方程t(2)經(jīng)過市場調(diào)查，按質(zhì)量指標(biāo)值t可將該類經(jīng)濟(jì)作物分成三級，對應(yīng)的每公斤售價(jià)如下表所示：等級二級一級特級質(zhì)量指標(biāo)值t52.4≤t每公斤售價(jià)（元）204560經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，該類經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量指標(biāo)值t~Nμ,δ2，其中μ近似為散點(diǎn)圖中質(zhì)量指標(biāo)值的樣本均值，δ近似為散點(diǎn)圖中質(zhì)量指標(biāo)值的樣本標(biāo)準(zhǔn)差（附：①對于-組數(shù)據(jù)v1,μ1，v2,μ2，…，vn②若t~Nμ,σ2，則Pμ【變式10-1】2.（2019·山東青島·校聯(lián)考一模）“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個(gè)人立德之源、立功之本.”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律.愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)0<x≤17時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：y=21.3x-（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤17時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為回歸模型模型①模型②回歸方程yyi182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=1--i=1（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí)，國家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大?。唬ǜ剑河米钚《朔ㄇ缶€性回歸方程y=bx+a（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N0.52,0.012，公司對科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率不超過50%，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)2萬元；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過53（附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P【變式10-1】3.（2021·廣東廣州·統(tǒng)考二模）習(xí)近平總書記指出：在扶貧的路上，不能落下一個(gè)貧困家庭，丟下一個(gè)貧困群眾，根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)，2010年以后中國貧困人口規(guī)模呈逐年下降趨勢，2011年~2019年全國農(nóng)村貧用發(fā)生的散點(diǎn)圖如下：注：年份代碼1~9分別對應(yīng)年份2011年~2019年．（1）求y關(guān)于t的回歸直線方程（系數(shù)精確到0.01）：（2）已知某貧困地區(qū)的農(nóng)民人均年純收入X（單位：萬元）滿足正態(tài)分布N1.6,0.36，若該地區(qū)約有97.72%的農(nóng)民人均純收入高于該地區(qū)最低人均年純收入標(biāo)準(zhǔn)，則該地區(qū)最低人均年純收入標(biāo)準(zhǔn)大約為多少萬元參考數(shù)據(jù)與公式：i=19y回歸直線y=bt+a若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ【變式10-1】4.（2019下·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度．中華技術(shù)有限公司擬對“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入x（億元與科技升級直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)0<x≤17時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：y=21.3x-14.4（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤17時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“麒麟”回歸模型模型①模型②回歸方程yyi182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=1-i（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級的投入不少于20億元時(shí)，國家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技升級投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大?。ǜ剑河米钚《朔ㄇ缶€性回歸方程y=bx+a（3）科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實(shí)際試驗(yàn)得X大致服從正態(tài)分布N0.52,0.012．公司對科技升級團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若芯片的效率不超過50%，不予獎(jiǎng)勵(lì)：若芯片的效率超過50%，但不超過53%，每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)2元；若芯片的效率超過53%，每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)4元記為每部芯片獲得的獎(jiǎng)勵(lì)，求E（附：若隨機(jī)變量X~Nμ,σ題型11獨(dú)立性檢驗(yàn)與正態(tài)分布【例題11】（2023下·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長.從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計(jì)算白皮書（2022年）》可知，我國2017年至2021年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x12345云計(jì)算市場規(guī)模y/億元692962133420913229經(jīng)計(jì)算得：i=15lny(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程y=ebx(2)云計(jì)算為企業(yè)降低生產(chǎn)成本?提升產(chǎn)品質(zhì)量提供了強(qiáng)大助推力.某企業(yè)未引入云計(jì)算前，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差ε~N(0,4m)，其中m為單件產(chǎn)品的成本（單位：元），且P(-1<附：對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,若X~N(μ,σ2【變式11-1】1.（2022上·福建漳州·高三校考期中）2022年卡塔爾世界杯即將于11月20日開幕．某球迷協(xié)會欲了解會員是否前往現(xiàn)場觀看比賽，按性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，已知男女會員人數(shù)之比為3:2，統(tǒng)計(jì)得到如下列聯(lián)表：前往現(xiàn)場觀看不前往現(xiàn)場觀看合計(jì)女性8a男性b8合計(jì)40(1)求a，b的值，依據(jù)小概率值α=(2)用頻率估計(jì)概率，假設(shè)會員是否前往現(xiàn)場觀看互不影響，若從擬前往現(xiàn)場觀看的會員中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行訪談，求在訪談?wù)咧?，女性不少?人的概率．附：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式11-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）2020年受疫情影響，我國企業(yè)曾一度停工停產(chǎn)，中央和地方政府紛紛出臺各項(xiàng)政策支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，以減輕企業(yè)負(fù)擔(dān).為了深入研究疫情對我國企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營的影響，幫扶困難職工，在甲?乙兩行業(yè)里隨機(jī)抽取了200名工人進(jìn)行月薪情況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的月薪在2000元到8000元之間，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見下表.月薪/元[2000，3000)[3000，4000)[4000，5000)[5000，6000)[6000，7000)[7000，8000)人數(shù)203644504010將月薪不低于6000元的工人視為“I類收入群體”，低于6000元的工人視為“II類收入群體”，并將頻率視為概率.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表：I類收入群體II類收入群體總計(jì)甲行業(yè)60乙行業(yè)20總計(jì)根據(jù)上述列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“II類收入群體”與行業(yè)有關(guān).附件：K2=nk3.8416.63510.828P0.0500.0100.001(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該地區(qū)工人的月薪X(單位：元)近似地服從正態(tài)分布Nμ,14002，其中μ近似為樣本的平均數(shù)x(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值).若X落在區(qū)間(μ-①已知工人王強(qiáng)參與了本次調(diào)查，其月薪為2500元，試判斷王強(qiáng)是否屬于“生活困難”的工人；②某超市對調(diào)查的工人舉行了購物券贈送活動(dòng)，贈送方式為：月薪低于μ的獲得兩次贈送，月薪不低于μ的獲得一次贈送.每次贈送金額及對應(yīng)的概率如下：贈送金額/元100200300概率111求王強(qiáng)獲得的贈送總金額的數(shù)學(xué)期望.【變式11-1】3.（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）為調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的總體水平，某地區(qū)組織10000名學(xué)生（其中男生4000名，女生6000名）參加數(shù)學(xué)建模能力競賽活動(dòng).(1)若將成績在70,85的學(xué)生定義為“有潛力的學(xué)生”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生中有潛力的學(xué)生有2500名，女生中有潛力的學(xué)生有3500名，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否有潛力與性別有關(guān)?是否有潛力性別合計(jì)男生女生有潛力沒有潛力合計(jì)(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生成績的均值為80，方差為49，女生成績的均值為75，方差為64.（?。┣笕w參賽學(xué)生成績的均值μ及方差σ2（ⅱ）若參賽學(xué)生的成績X服從正態(tài)分布Nμ,σ2參考數(shù)據(jù)：①P0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828②若X～Nμ,σ2，則參考公式：K2=n【變式11-1】4.（2023·遼寧·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）某學(xué)校號召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個(gè)月（30天）完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：天數(shù)[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人數(shù)4153331116(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值），且σ=6.1，若全校有3000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時(shí)”(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15，30]的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號.請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：性別活動(dòng)天數(shù)合計(jì)[0，15]（15，30]男生女生合計(jì)并依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請解釋它們之間如何相互影響附：參考數(shù)據(jù)：Pμ-σ≤X≤α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828題型12獨(dú)立性檢驗(yàn)與超幾何分布【例題12】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）疫情結(jié)束之后，演唱會異常火爆．為了調(diào)查“喜歡看演唱會和學(xué)科是否有關(guān)”，對本年級的100名老師進(jìn)行了調(diào)查．附：χ2=nP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān)；喜歡看演唱會不喜歡看演唱會合計(jì)文科老師30理科老師40合計(jì)50(2)三樓大辦公室中有11名老師，有4名老師喜歡看演唱會，現(xiàn)從這11名老師中隨機(jī)抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會的概率．【變式12-1】1.（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會共設(shè)40個(gè)競賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件A=“了解亞運(yùn)會項(xiàng)目”，B=“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)PA附：χ2=nα0.0500.0100.001x3.8416.63510.828(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對亞運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)了解不了解合計(jì)男生女生合計(jì)(2)現(xiàn)從該校了解亞運(yùn)會項(xiàng)目的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取9名學(xué)生，再從這9名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式12-1】2.（2024·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？家荒＃榱诉M(jìn)一步推動(dòng)智慧課堂的普及和應(yīng)用，A市現(xiàn)對全市中小學(xué)智慧課堂的應(yīng)用情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計(jì)農(nóng)村40城市60總計(jì)10060160從城市學(xué)校中任選一個(gè)學(xué)校，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的概率是14(1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，判斷能否有99.5%(2)在經(jīng)常應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，按照農(nóng)村和城市的比例抽取5個(gè)學(xué)校進(jìn)行分析，然后再從這5個(gè)學(xué)校中隨機(jī)抽取2個(gè)學(xué)校所在的地域進(jìn)行核實(shí)，記其中農(nóng)村學(xué)校有X個(gè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：KP0.5000.0500.005k0.4453.8417.789.【變式12-1】3.（2023上·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）中國進(jìn)出口商品交易會，簡稱廣交會，是由中國商務(wù)部和廣東省人民政府共同主辦、中國對外貿(mào)易中心承辦，創(chuàng)辦于1957年4月25日，每年春秋兩季在廣州舉辦.為調(diào)查廣州地區(qū)大學(xué)生對廣交會舉辦的了解情況，從廣州各高校抽取400名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，男女總計(jì)了解80不了解160總計(jì)200400(1)完成上述2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為廣州地區(qū)大學(xué)生對廣交會舉辦的了解情況與性別有關(guān)；(2)據(jù)調(diào)查，廣州某高校學(xué)生會宣傳部6人中有3人了解廣交會情況，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取4人參加2024年廣交會志愿服務(wù)，設(shè)抽取的人中了解廣交會的人數(shù)為X，求X的分布列與期望.參考公式：χ2參考數(shù)據(jù)：p0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式12-1】4.（2023上·湖南·高三邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年實(shí)行新課標(biāo)新高考改革的省市共有29個(gè)，選科分類是高級中學(xué)在校學(xué)生生涯規(guī)劃的重要課題，某高級中學(xué)為了解學(xué)生選科分類是否與性別有關(guān)，在該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.統(tǒng)計(jì)整理數(shù)據(jù)得到如下的2×2列聯(lián)表：選物理類選歷史類合計(jì)男生3515女生2525合計(jì)100(1)依據(jù)小概率值α=0.05(2)在以上隨機(jī)抽取的女生中，按不同選擇類別同比例分層抽樣，共抽取6名女生進(jìn)行問卷調(diào)查，然后在被抽取的6名女生中再隨機(jī)抽取4名女生進(jìn)行面對面訪談.設(shè)面對面訪談的女生中選擇歷史類的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χ2=nα0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828題型13獨(dú)立性檢驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例題13】（2023·廣西玉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活．網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而得到表（單位：人）：經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性45100女性65100合計(jì)(1)完成如表；對于以上數(shù)據(jù)，采用小概率值α=0.01(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取20人贈送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：χ2α0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【變式13-1】1.（2023·全國·模擬預(yù)測）sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β，cosαsinβ=合格不合格合計(jì)高三年級的學(xué)生54高一年級的學(xué)生16合計(jì)100(1)請完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”(2)以頻率估計(jì)概率，從該校高一年級學(xué)生中抽取3名學(xué)生，