2024年湖南省郴州市桂陽縣蒙泉學校中考數(shù)學一模試卷+

2024年湖南省郴州市桂陽縣蒙泉學校中考數(shù)學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分30分）1．（3分）在實數(shù)﹣1，，0，﹣2中，最小的數(shù)是（）A．﹣1 B． C．0 D．﹣22．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）我國是世界上免費為國民接種新冠疫苗最多的國家，截止2022年2月17日，湖南省免費接種數(shù)量已達1.3億劑次（）A．13×107 B．1.3×107 C．1.3×108 D．1.3×1094．（3分）下列運算正確的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．+＝ D．（﹣3a）2＝9a25．（3分）已知一組數(shù)據(jù)：58，53，55，54，51，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，556．（3分）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜47．（3分）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，燕俱輕；一雀一燕交而處；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕（古時1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，E，F(xiàn)，且AD＝3，BE＝2，則△ABC的周長為（）A．18 B．17 C．16 D．159．（3分）觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論錯誤的是（）A．PQ為∠APB的平分線 B．PA＝PB C．點A、B到PQ的距離不相等 D．∠APQ＝∠BPQ10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共8小題，將答案寫在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）11．（3分）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，x的取值范圍是．12．（3分）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝．13．（3分）因式分解：x2﹣4＝．14．（3分）若一個正多邊形的每個內(nèi)角為144°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．15．（3分）為從甲乙兩名射擊運動員中選出一人參加競標賽，特統(tǒng)計了他們最近10次射擊訓練的成績，其中，方差分別是S甲2＝0.8，S乙2＝13，從穩(wěn)定性的角度看，的成績更穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）16．（3分）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，∠CAD＝24°，則∠C＝°．17．（3分）已知一個圓錐體的三視圖如圖所示，則這個圓錐的側(cè)面積為．18．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB為直角三角形，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函數(shù)y＝（k≠0），交AB于點D，則k＝．三、解答題（本大題共8小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程寫在答題卡相應位置上，滿分0分）19．計算：．20．先化簡÷+，再從﹣2．﹣1，0，1，2中選一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．21．為了豐富學生們的課余生活，學校準備開展第二課堂，有四類課程可供選擇，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖表信息回答下列問題：（1）本次被抽查的學生共有名，扇形統(tǒng)計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為度；（2）請你將條形統(tǒng)計圖補全；（3）若該校七年級共有600名學生，請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有多少名？（4）本次調(diào)查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求她們選擇同一個項目的概率．22．湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市．某小區(qū)積極響應，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍．（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？（2）該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？23．如圖，燈塔B位于港口A的北偏東58°方向，且A，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，沿正南方向航行到達D處，測得燈塔C在北偏東37°方向上（1）求BE的長；（2）求DE的長（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）24．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上異于A、B的點，點D在BA的延長線上，BC平分∠DBE，且BE⊥DC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠CBA＝30°，AC＝6，求的長．25．綜合與實踐【問題情境】：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE＝∠A時，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．【數(shù)學思考】：（1）請你解答老師提出的問題；【深入探究】：（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在△ABC內(nèi)部①“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE＝∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當∠CBE＝∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，AC＝8，求AH的長．請你思考此問題26．【建立模型】（1）如圖1，點B是線段CD上的一點，AB⊥BE，ED⊥BD，B，D，AB＝BE．求證：△ACB≌△BDE；【類比遷移】（2）如圖2，一次函數(shù)y＝3x+3的圖象與y軸交于點A、與x軸交于點B，直線AC交x軸于點D．①求點C的坐標；②求直線AC的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點（0，﹣1），連接BQ，拋物線上是否存在點M，若存在，求出點M的橫坐標．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分30分）1．（3分）在實數(shù)﹣1，，0，﹣2中，最小的數(shù)是（）A．﹣1 B． C．0 D．﹣2【解答】解：∵（﹣2）2＝3，（﹣）2＝2，∴4＞2，∴﹣8＜﹣，在四個實數(shù)：﹣1，﹣5，0，﹣中，﹣3＜﹣＜﹣1＜5，∴最小的數(shù)是﹣2，故選：D．2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、圖形是軸對稱圖形，故A不符合題意；B、圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；C、D、圖形既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形．故選：B．3．（3分）我國是世界上免費為國民接種新冠疫苗最多的國家，截止2022年2月17日，湖南省免費接種數(shù)量已達1.3億劑次（）A．13×107 B．1.3×107 C．1.3×108 D．1.3×109【解答】解：1.3億＝130000000＝6.3×108，故選：C．4．（3分）下列運算正確的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．+＝ D．（﹣3a）2＝9a2【解答】解：A.＝5；B．（x﹣y）2＝x2﹣4xy+y2，所以B選項錯誤；C.+≠，所以C選項錯誤；D．（﹣3a）5＝9a2．所以D選項正確．故選：D．5．（3分）已知一組數(shù)據(jù)：58，53，55，54，51，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55【解答】解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：51、52、54、55，中位數(shù)為54，∵55出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)為55，故選：A．6．（3分）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣8m＞0，解得m＜4．故選：D．7．（3分）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，燕俱輕；一雀一燕交而處；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕（古時1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩（）A． B． C． D．【解答】解：∵五只雀、六只燕，∴5x+6y＝16，∵雀重燕輕，互換其中一只，∴6x﹣x+y＝6y﹣y+x，即4x+y＝5y+x，∴，故選：A．8．（3分）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，E，F(xiàn)，且AD＝3，BE＝2，則△ABC的周長為（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，E，F(xiàn)，∴AD＝AF，BD＝BE，∵AD＝3，BE＝2，∴AF＝6，BD＝2，∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝3，∴△ABC的周長＝BC+AB+AC＝18．故選：A．9．（3分）觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論錯誤的是（）A．PQ為∠APB的平分線 B．PA＝PB C．點A、B到PQ的距離不相等 D．∠APQ＝∠BPQ【解答】解：∵由圖可知，PQ是∠APB的平分線，∴A，B，D正確；∵PQ是∠APB的平分線，PA＝PB，∴點A、B到PQ的距離相等．故選：C．10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+7的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣7，∴①正確；當x＝0時，y＝3，8）在拋物線上，∴②正確；當a＞0時，x1＞x7＞﹣2，則y1＞y7；當a＜0時，x1＞x4＞﹣2，則y1＜y6；∴③錯誤；當y1＝y(tǒng)2，則x2+x2＝﹣4，∴④錯誤；故正確的有8個，故選：B．二、填空題（本大題共8小題，將答案寫在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）11．（3分）要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，x的取值范圍是x≥﹣1．【解答】解：若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，解得x≥﹣1．故答案為：x≥﹣6．12．（3分）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝1．【解答】解；將方程移項得，2x＝2，系數(shù)化為6得，x＝1．故答案為：1．13．（3分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝（x+3）（x﹣2）．故答案為：（x+2）（x﹣4）．14．（3分）若一個正多邊形的每個內(nèi)角為144°，則這個正多邊形的邊數(shù)是10．【解答】解：設(shè)正多邊形是n邊形，由內(nèi)角和公式得：（n﹣2）180°＝144°×n，解得n＝10，故答案為：10．15．（3分）為從甲乙兩名射擊運動員中選出一人參加競標賽，特統(tǒng)計了他們最近10次射擊訓練的成績，其中，方差分別是S甲2＝0.8，S乙2＝13，從穩(wěn)定性的角度看，甲的成績更穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）【解答】解：∵S甲2＝0.2，S乙2＝13，∴S甲2＜S乙5，∴成績更穩(wěn)定的運動員是甲，故答案為：甲．16．（3分）如圖，在△ABC中，若AB＝AC，∠CAD＝24°，則∠C＝52°．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，∴∠C＝52°，故答案為：52．17．（3分）已知一個圓錐體的三視圖如圖所示，則這個圓錐的側(cè)面積為15πcm2．【解答】解：根據(jù)三視圖得到圓錐的底面圓的直徑為6cm，即底面圓的半徑為3cm，所以圓錐的母線長＝＝5，所以這個圓錐的側(cè)面積＝?2π?3?3＝15π（cm2）．故答案為15πcm2．18．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB為直角三角形，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函數(shù)y＝（k≠0），交AB于點D，則k＝．【解答】解：過點A作AE⊥OB于點E，過點C作CF⊥OB于點F，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴，由勾股定理得，在Rt△AOE中，∠AOB＝30°，，∴，由勾股定理得，∵點C是OA的中點，∴，，∵點C在第一象限，∴點C的坐標是，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OA的中點C，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程寫在答題卡相應位置上，滿分0分）19．計算：．【解答】解：＝5+6﹣3﹣2＝2．20．先化簡÷+，再從﹣2．﹣1，0，1，2中選一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．【解答】解：÷+＝＝＝＝＝，∵x＝0，8，﹣1，原分式無意義，∴x＝﹣2，當x＝﹣3時，原式＝．21．為了豐富學生們的課余生活，學校準備開展第二課堂，有四類課程可供選擇，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖表信息回答下列問題：（1）本次被抽查的學生共有50名，扇形統(tǒng)計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為72度；（2）請你將條形統(tǒng)計圖補全；（3）若該校七年級共有600名學生，請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有多少名？（4）本次調(diào)查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求她們選擇同一個項目的概率．【解答】解：（1）本次被抽查的學生共有：20÷40%＝50（名），扇形統(tǒng)計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為；故答案為：50，72；（2）B類人數(shù)是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（3）名，答：估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有96名；（4）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16種等可能的結(jié)果，其中王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的結(jié)果有3種，∴王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的概率＝．22．湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市．某小區(qū)積極響應，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍．（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？（2）該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？【解答】解：（1）設(shè)溫馨提示牌的單價為x元，則垃圾箱的單價為3x元，根據(jù)題意得，2x+2×3x＝550，∴x＝50，經(jīng)檢驗，符合題意，∴3x＝150元，即：溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是50元和150元；（2）設(shè)購買溫馨提示牌y個（y為正整數(shù)），則垃圾箱為（100﹣y）個，根據(jù)題意得，，∴50≤y≤52，∵y為正整數(shù)，∴y為50，51，共3種方案；即：溫馨提示牌50個，垃圾箱50個，垃圾箱49個，垃圾箱48個，根據(jù)題意，費用為50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，當y＝52時，所需資金最少．23．如圖，燈塔B位于港口A的北偏東58°方向，且A，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，沿正南方向航行到達D處，測得燈塔C在北偏東37°方向上（1）求BE的長；（2）求DE的長（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：（1）由題意得，∠E＝90°，∵AB＝30km，∠BAE＝58°，∴BE＝AB?sin58°≈30×0.82＝25.5（km）．（2）∵BC＝10km，∴CE＝BC+BE＝35.5（km），∴DE＝CE÷tan37°≈35.6÷0.75≈47.3（km）．答：BE的長為25.6km，DE的長為47.3km．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上異于A、B的點，點D在BA的延長線上，BC平分∠DBE，且BE⊥DC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠CBA＝30°，AC＝6，求的長．【解答】（1）證明：連接OC，則OC＝OB，∴∠OCB＝∠DBC，∵BC平分∠DBE，∴∠EBC＝∠DBC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥DC，∴∠OCD＝∠BED＝90°，∵OC是⊙O的半徑，且DE⊥OC，∴DE是⊙O的切線．（2）解：∵OC＝OA，∠COA＝2∠CBA＝2×30°＝60°，∴△COA是等邊三角形，∴OC＝AC＝5，∴＝＝2π，∴的長是4π．25．綜合與實踐【問題情境】：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE＝∠A時，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．【數(shù)學思考】：（1）請你解答老師提出的問題；【深入探究】：（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在△ABC內(nèi)部①“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE＝∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當∠CBE＝∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，AC＝8，求AH的長．請你思考此問題【解答】解：（1）四邊形BCGE為正方形．理由如下：∵∠BED＝90°，∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°，∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE，∴∠CGE＝∠BED＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形BCGE為矩形．∵△ACB≌△DEB，∴BC＝BE．∴矩形BCGE為正方形；（2）①AM＝BE．理由如下：∵∠ABE＝∠BAC，∴AN＝BN，∵∠C＝90°，∴BC⊥AN，∵AM⊥BE，即AM⊥BN，∴S△ABN＝AN?BC＝，∵AN＝BN，∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，∴AM＝BE．②如圖4：設(shè)AB，DE的交點為M，∵△ACB≌△DEB，∴BE＝BC＝7，DE＝AC＝12，∠ABC＝∠DBE，∴∠CBE＝∠DBM，∵∠CBE＝∠BAC，∴∠D＝∠BAC，∴MD＝MB，∵MG⊥BD，∴點G是BD的中點，由勾股定理得AB＝＝15，∴DG＝BD＝，∵cos∠D＝＝，∴DM＝＝＝，即BM＝DM＝，∴AM＝AB﹣BM＝15﹣＝，∵AH⊥DE，BE⊥DE，∴△AMH∽△BME，∴＝＝，∴AH＝BE＝，即AH的長為．26．【建立模型】（1）如圖1，點B是線段CD上的一點，AB⊥BE，ED⊥BD，B，D，AB＝BE．求證：△ACB≌△BDE；【類比遷移】（2）如圖2，一次函數(shù)y＝3x+3的圖象與y軸交于點A、與x軸交于點B，直線AC交x軸于點D．①求點C的坐標；②求直線AC的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點（0，﹣1），連接BQ，拋物線上是否存在點M，若存在，求出點M的橫坐標．【解答】（1）證明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠A＝∠EBD，在△ACB和△BDE中，，