傅里葉積分變換傅氏

積分變換1精品PPT·值得借鑒第一頁，共六十七頁?！?傅里葉（Fourier）積分變換

§2拉普拉斯(Laplace)積分變換

主要內(nèi)容注：積分變換的學(xué)習(xí)中，規(guī)定：

第二頁，共六十七頁?！?傅里葉（Fourier）積分變換3精品PPT·值得借鑒第三頁，共六十七頁。傅里葉變換——又簡稱為傅氏變換

內(nèi)容：傅氏變換概念卷積與相關(guān)函數(shù)

傅氏變換性質(zhì)

第四頁，共六十七頁。一、傅氏變換1．傅氏積分定理

若f(t)在(-∞,+∞)上滿足下列條件：（1）f(t)在任一有限區(qū)間上滿足條件：f(t)至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)；（2）f(t)在無限區(qū)間(-∞,+∞)上絕對可積（即積分收斂），則有（1）成立，而左端的f(t)在它的間斷點(diǎn)t處，應(yīng)以來代替。第五頁，共六十七頁。2．傅氏變換的概念

若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理中的條件，則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處，式（1）成立。設(shè)則（2）（3）第六頁，共六十七頁。從上面兩式可以看出，f(t)和F(ω)通過指定的積分運(yùn)算可以相互表達(dá)。將（2）式叫做的傅氏變換式，記為F(ω)叫做f(t)的象函數(shù)，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆變換式，記為f(t)叫做F(ω)的象原函數(shù)。（2）式右端的積分運(yùn)算，叫做取f(t)的傅氏變換；（3）式右端的積分運(yùn)算，叫做取F(ω)的傅氏逆

變換。象函數(shù)F(ω)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成一個(gè)

傅氏變換對。F

F-1

第七頁，共六十七頁。3．例子例1

求指數(shù)衰減函數(shù)函數(shù)的傅氏變換及其積分表達(dá)式，其中β>0。第八頁，共六十七頁。解：根據(jù)（2）式，傅氏變換為F

第九頁，共六十七頁。通過傅氏逆變換，可求得指數(shù)衰減函數(shù)的積分表達(dá)式。由（3）式，并利用奇偶數(shù)的積分性質(zhì)，可得第十頁，共六十七頁。

第十一頁，共六十七頁。由傅氏積分定理，可得到一個(gè)含參量廣義積分的結(jié)果：第十二頁，共六十七頁。4．單位脈沖函數(shù)（狄拉克---Dirac函數(shù)）設(shè)定義單位脈沖函數(shù)為第十三頁，共六十七頁。單位脈沖函數(shù)的一些性質(zhì)：若f(t)為無窮可微的函數(shù)，則a.b.證明記更一般地有

第十四頁，共六十七頁。單位脈沖函數(shù)的傅氏變換c.證明F

F

第十五頁，共六十七頁。例3

證明單位階躍函數(shù)變換為的傅氏解：只需證明的傅氏逆變換為u(t)。F-1

第十六頁，共六十七頁。由于故第十七頁，共六十七頁。這表明的傅氏逆變換為u(t)。u(t)

和構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對。同時(shí)得到單位階躍函數(shù)u(t)的一個(gè)積分表達(dá)式第十八頁，共六十七頁。所以1和構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對;

和也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對。類似的方法可得F-1

F-1

第十九頁，共六十七頁。例4

求正弦函數(shù)的傅氏變換。

解：

F

第二十頁，共六十七頁。我們可以看出引入δ-函數(shù)后，一些在普通意義下不存在的積分，有了確定的數(shù)值。工程技術(shù)上許多重要函數(shù)的傅氏變換都可以利用δ-函數(shù)及其傅氏變換很方便地表示出來，并且使許多變換的推導(dǎo)大大地簡化。

第二十一頁，共六十七頁。5．非周期函數(shù)的頻譜

傅氏變換和頻譜概念有著非常密切的關(guān)系，這里只簡單地介紹一下非周期函數(shù)頻譜的基本概念。在頻譜分析中，當(dāng)非周期函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理中的條件時(shí)，將f(t)的傅氏變換F(ω)稱為f(t)的頻譜函數(shù)，而頻譜函數(shù)的模|F(ω)|稱為f(t)的振幅頻譜（亦簡稱為頻譜）。對一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換，就可求出這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜。由于F(ω)是隨ω連續(xù)變化的，因而稱|F(ω)|為連續(xù)頻譜。第二十二頁，共六十七頁。例5

作出圖1-8中所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖。圖1-8第二十三頁，共六十七頁。解根據(jù)定義，單個(gè)矩形脈沖的頻譜函數(shù)為

振幅頻譜部分的頻譜圖如圖1-9所示。第二十四頁，共六十七頁。圖1-9第二十五頁，共六十七頁。振幅頻譜|F(ω)|的一個(gè)性質(zhì)：振幅頻譜|F(ω)|是頻率ω的偶函數(shù)，即事實(shí)上，所以顯然有第二十六頁，共六十七頁。記稱為f(t)的相角頻譜。

可看出，相角頻譜是ω的奇函數(shù)，即

第二十七頁，共六十七頁。例6

求指數(shù)衰減函數(shù)

的頻譜。

解

根據(jù)例1的結(jié)果，

所以指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜

第二十八頁，共六十七頁。例7

作單位脈沖函數(shù)及其頻譜圖。

解

由于

所以單位脈沖函數(shù)的頻譜

及其頻譜圖表示在圖1-11中。

圖1-11第二十九頁，共六十七頁。

同樣，當(dāng)時(shí)，。而f(t)的振幅頻譜為

在物理學(xué)和工程技術(shù)中，將會出現(xiàn)很多非周期函數(shù)，它們的頻譜求法，可通過查用傅氏變換（或頻譜）表來求得。第三十頁，共六十七頁。6.傅氏變換的性質(zhì)

本節(jié)將介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì)，我們假定在這些性質(zhì)中，求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件，并設(shè)是常數(shù)。

F

F

第三十一頁，共六十七頁。a.線性性質(zhì)（1）

F

證明：只需根據(jù)定義就可推出。

傅氏逆變換也具有類似的線性性質(zhì)

這個(gè)性質(zhì)表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換的線性組合。（2）

第三十二頁，共六十七頁。b.位移性質(zhì)

F

F

（3）

這表明時(shí)間函數(shù)f(t)沿t軸向左向右位移t0的傅氏變換等于f(t)的傅氐變換乘以因子或。

證

由傅氏變換的定義，可知

F

F

（令）

第三十三頁，共六十七頁。同樣，傅氏逆變換具有類似的位移性質(zhì)，即（4）

這表明頻譜函數(shù)

沿

軸向左向右位移

的傅氏變換等于f(t)的傅氐變換乘以因子或。

第三十四頁，共六十七頁。例1

求矩形單脈沖

的頻譜函數(shù)。

解1根據(jù)傅氏變換的定義，有

第三十五頁，共六十七頁。解2前面介紹的矩形單脈沖

的頻譜函數(shù)為

因?yàn)閒(t)可以由f1(t)在時(shí)間軸上向右平移得到，利用位移性質(zhì)有

F

=F

且

第三十六頁，共六十七頁。c.微分性質(zhì)

若f(t)在(-∞,+∞)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且當(dāng),則證由傅氏變換的定義，并利用分部積分可得

這表明一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的傅氏變換等于這個(gè)函數(shù)的傅氏變換乘以因子。F

F

F

F

第三十七頁，共六十七頁。PPT內(nèi)容概述積分變換?！?傅里葉（Fourier）積分變換?！?拉普拉斯(Laplace)積分變換。注：積分變換的學(xué)習(xí)中，規(guī)定：。傅里葉變換——又簡稱為傅氏變換。成立，而左端的f(t)在它的間斷點(diǎn)t處，應(yīng)以。從上面兩式可以看出，f(t)和F(ω)通過指定的積分運(yùn)算可以相互表達(dá)。將（2）式叫做的傅氏變換式，記為。由（3）式，并利用奇偶數(shù)的積分性質(zhì)，可得。由傅氏積分定理，可得到一個(gè)含參量廣義積分的。4．單位脈沖函數(shù)（狄拉克---Dirac函數(shù)）。傅氏變換和頻譜概念有著非常密切的關(guān)系，這里只簡單地介紹一下非周期函數(shù)頻譜的基本概念。對一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換，就可求出這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜。解根據(jù)定義，單個(gè)矩形脈沖的頻譜函數(shù)為。例6求指數(shù)衰減函數(shù)。及其頻譜圖表示在圖1-11中。在物理學(xué)和工程技術(shù)中，將會出現(xiàn)很多非周期函數(shù)，它們的頻譜求法，可通過查用傅氏變換（或頻譜）表來求得。同樣，傅氏逆變換具有類似的位移性質(zhì)，即第三十八頁，共六十七頁。若

在(-∞,+∞)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且推論：則有（6）同樣，可得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。設(shè)，則=-j一般地，有（7）F

F

F

F

F

第三十九頁，共六十七頁。d.積分性質(zhì)

如果當(dāng)時(shí)，，則（8）證因?yàn)樗愿鶕?jù)微分性質(zhì)：故（8）式成立。這表明：一個(gè)函數(shù)積分后的傅氏變換等于這個(gè)函數(shù)的傅氏變換除以因子。F

F

F

F

F

F

第四十頁，共六十七頁。例2

求微分積分方程的解，其中均為常數(shù)。解記在方程式兩邊取傅氏變換，并利用傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì)可得F

F

第四十一頁，共六十七頁。求上式的傅氏逆變換，可得這就是此微分積分方程的解。第四十二頁，共六十七頁。

運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì)、微分性質(zhì)以及積分性質(zhì)，可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換，就可以得到此微分方程的解。傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的重要方法之一，其計(jì)算過程與解常微分方程大體相似。第四十三頁，共六十七頁。e.乘積定理

若則（9）其中均為t的實(shí)函數(shù)，而分別為的共軛函數(shù)。F

F

第四十四頁，共六十七頁。證因?yàn)?，而是時(shí)間t的實(shí)函數(shù)，所以第四十五頁，共六十七頁。故

同理可得第四十六頁，共六十七頁。f.能量積分

若，則有（10）此式又稱為帕塞瓦爾（Parseval）等式。

證在（9）式中，令，則第四十七頁，共六十七頁。7.卷積與相關(guān)函數(shù)

上面我們介紹了傅氏變換的一些重要性質(zhì)，下面我們將介紹傅氏變換的另一類重要性質(zhì)，它們都是分析線性系統(tǒng)的極為有用的工具。

第四十八頁，共六十七頁。（1）卷積的概念

若已知函數(shù)，則積分 稱為函數(shù)與的卷積，記為*，即

顯然，(1)**=即卷積滿足交換律。

第四十九頁，共六十七頁。由積分性質(zhì)可知，不等式

成立，即函數(shù)卷積的絕對值小于等于函數(shù)絕對值的卷積。第五十頁，共六十七頁。證

根據(jù)卷積的定義

例1

證明即卷積也滿足對加法的分配律。

第五十一頁，共六十七頁。

例2

若

求

與

的卷積。

解按卷積的定義，有我們可以用圖1-14(a)和(b)來表示

和

的圖形，

第五十二頁，共六十七頁。圖1-14τ(b)f2(t-τ)(a)τf1(τ)t1OO1第五十三頁，共六十七頁。而乘積

的區(qū)間從圖中可以看出，

在

時(shí)，為

，所以

可自己演算一下，亦得到上述的結(jié)果。

第五十四頁，共六十七頁。為確定

的區(qū)間，還可以用解不等式

組的方法加以解決。仍以本例來說，要

即要求

即

成立?？梢姡?dāng)

時(shí)，

的區(qū)間為

，故卷積在傅氏分析的應(yīng)用中有著十分重要的作用，這是由卷積定理所決定的。

第五十五頁，共六十七頁。

（2）卷積定理

假定

都滿足傅氏積分

定理中的條件，且

，

則

（2）

F

F

F

F

第五十六頁，共六十七頁。證

按傅氏變換的定義，有

F

第五十七頁，共六十七頁。這個(gè)性質(zhì)表明，兩個(gè)函數(shù)卷積的傅氏變換等于這兩個(gè)函數(shù)傅氏變換的乘積。

同理可得：

（3）

即兩個(gè)函數(shù)乘積的傅氏變換等于這兩個(gè)函數(shù)傅氏變換的卷積除以

。F

第五十八頁，共六十七頁。則有

卷積定理表明卷積運(yùn)算可以化為乘積運(yùn)算。這使得卷積在線性系統(tǒng)分