2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)試題卷（含答案與解析）

2023年遼寧省鞍山市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，每小題3分，共24分）

I.實(shí)數(shù)-2023的絕對(duì)值是（）

A.2023B.-2023-----D.

2023---------------------2023

2.如圖所示的幾何體是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的，它的左視圖是（

手

3.下列運(yùn)算正確的是（

A.（4洲=8.2b2B.2a2+a2=3a4

Ca6=a2D.（6f+Z?）2=a2+b2

4.九（1）班30名同學(xué)在一次測(cè)試中，某道題目（滿分4分）的得分情況如下表:

得分/分01234

人數(shù)134148

則這道題目得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.8,3B.8,2C.3,3D.3,2

5.甲、乙兩臺(tái)機(jī)器運(yùn)輸某種貨物，已知乙比甲每小時(shí)多運(yùn)60kg,甲運(yùn)輸500kg所用的時(shí)間與乙運(yùn)輸800kg

所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩臺(tái)機(jī)器每小時(shí)分別運(yùn)輸多少千克貨物.設(shè)甲每小時(shí)運(yùn)輸xkg貨物，則可列方

程為（）

500800500800八500800500800

A.——=--------B.——=--------C.--------=——D.---------=——

xx+60xx-60x+60xx-60x

6.如圖，直線將含有30°角的直角三角尺按如圖所示的位置放置，若Nl=25。，那么N2的大小

C.45°D.35°

7.如圖，為的兩條弦，D,G分別為AC,3C的中點(diǎn)，的半徑為2.若NC=45°,則

3

A.2B.V3C.一D.72

2

8.如圖，在矩形A8CD中，對(duì)角線AC,3。交于點(diǎn)O,AB=4，BC=4也，垂直于的直線MN從

A6出發(fā)，沿BC方向以每秒G個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)直線MN與C。重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程

中分別交矩形的對(duì)角線AC,8。于點(diǎn)E,F,以所為邊在左側(cè)作正方形9設(shè)正方形

EFGH與-AOB重疊部分的面積為S,直線MN的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為rs,則下列圖象能大致反映S與r之間函數(shù)

關(guān)系的是（）

二、填空題（每小題3分，共24分）

9.2023年5月3日，被譽(yù)為近五年最火的“五一”假期圓滿收官，據(jù)文旅部發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年“五

一”假期5天，全國(guó)國(guó)內(nèi)旅游出游合計(jì)約為274000000人次.將數(shù)據(jù)274000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為

10.因式分解：3x2-9x=

II.在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中

隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅

球，則口袋中紅球約有個(gè).

12.若關(guān)于x一元二次方程f+3x—a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AQBC的邊08,分別在x軸、丁軸正半軸上，點(diǎn)。在8C邊

上，將矩形AOBC沿A。折疊，點(diǎn)。恰好落在邊08上的點(diǎn)E處.若04=8,06=10,則點(diǎn)。的坐標(biāo)

是.

14.如圖，_ABC中，在C4,CB上分別截取CO,CE,使CD=CE,分別以。，E為圓心，以大于

-DE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在ZAC3內(nèi)交于點(diǎn)尸,作射線。尸，交A8于點(diǎn)M，過點(diǎn)〃作

2

MNJ.BC,垂足為點(diǎn)N,若BN=CN,A〃=4,BM=5,則AC的長(zhǎng)為

頂點(diǎn)C,8分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點(diǎn)4在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)A

的反比例函數(shù)y=%x>0）的圖象交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作砂_Lx軸，垂足為點(diǎn)凡若點(diǎn)E為AC的中

則女的值為

16.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)M為CO邊上一點(diǎn)，連接AM，將A4DM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋輪90。得

到,4BN,在AM、AN上分別截取AE、A77,使A￡=Ab=6C,連接￡F，交對(duì)角線BO于點(diǎn)

G,連接AG并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)若AM=—，CH=2,則AG的長(zhǎng)為

3

AD

三、解答題（每小題8分，共16分）

(1八x~+6x+9

17先化簡(jiǎn)，冉求值：-+1h---j---,其中x=4.

(x+2)X2-4

18.如圖，在口ABCD中，作對(duì)角線BD的垂直平分線EF,垂足為0,分別交AD,BC于E,F,連接

BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.

四、解答題（每小題10分，共20分）

19.在第六十個(gè)學(xué)雷鋒紀(jì)念日到來(lái)之際，習(xí)近平總書記指出：實(shí)踐證明，無(wú)論時(shí)代如何變遷，雷鋒精神永

不過時(shí).某校為弘揚(yáng)雷鋒精神，組織全校學(xué)生開展了手抄報(bào)評(píng)比活動(dòng).評(píng)比結(jié)果共分為四項(xiàng)：A.非凡創(chuàng)

意；B.魅力色彩；C.最美設(shè)計(jì)；D.無(wú)限潛力.參賽的每名學(xué)生都恰好獲得其中一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng).活動(dòng)結(jié)束

后，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

手抄報(bào)評(píng)比結(jié)果條形統(tǒng)計(jì)圖手抄報(bào)評(píng)比結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖1圖2

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生.

（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（3）本次評(píng)比活動(dòng)中，全校有800名學(xué)生參加，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)在評(píng)比中獲得“A.非凡創(chuàng)

意”獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù).

20.二十四節(jié)氣是中國(guó)古代一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，在國(guó)際氣象界被譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”，

并位列聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.小明和小亮對(duì)二十四節(jié)氣非常感興趣，在課間

玩游戲時(shí)，準(zhǔn)備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫有“A.驚蟄”“從夏至”“C.白

露”“D霜降”四個(gè)節(jié)氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，并講述所抽卡片上的

節(jié)氣的由來(lái)與習(xí)俗.

（1）小明從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到“4驚蟄”的概率是.

（2）小明先從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，小亮再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的

方法，求兩人卻沒有抽到“B.夏至”的概率.

五、解答題（每小題10分，共20分）

21.某商店窗前計(jì)劃安裝如圖1所示的遮陽(yáng)棚，其截面圖如圖2所示.在截面圖中，墻面垂直于地面

CE,遮陽(yáng)棚與墻面連接處點(diǎn)8距地面高3m,即BC=3m,遮陽(yáng)棚A6與窗戶所在墻面BC垂直，即

ZABC=NBCE=90。.假設(shè)此地正午時(shí)太陽(yáng)光與地面的夾角恰為60°（若經(jīng)過點(diǎn)A的光線恰好照射在地

面點(diǎn)。處，則NAO￡=60。），為使正午時(shí)窗前地面上能有1m寬的陰影區(qū)域，即C￡>=lm,求遮陽(yáng)棚的寬

度45.（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：&°1.73）

圖1圖2

k

22.如圖，直線與反比例函數(shù)y=—（x<0）的圖象交于點(diǎn)A（-2,〃z）,B（〃,2）,過點(diǎn)A作ACy軸

交x軸于點(diǎn)C,在x軸正半軸上取一點(diǎn)。，使OC=2OD,連接BC,AD.若ACD的面積是6.

（1）求反比例函數(shù)的解析式.

（2）點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)直線上一點(diǎn)，且AP4c的面積等于84c面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

六、解箝題（每小題10分，共20分）

23.如圖，四邊形4BCO內(nèi)接于OO,AB為。0的直徑，過點(diǎn)。作1BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)及連接BZ）.若/￡4￡）+/6。/=180°.

（1）求證：EF為。的切線.

2

（2）若BE=10，sinZBZ）C=-,求的半徑.

24.網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某果園在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上直播銷售荔枝.已知該荔枝的成本為6元

/kg,銷售價(jià)格不高于18元/kg,且每售賣1kg需向網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)支付2元的相關(guān)費(fèi)用，經(jīng)過一段時(shí)間的直播銷售

發(fā)現(xiàn)，每日銷售量y（kg）與銷售價(jià)格x（元/kg）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求，與x的函數(shù)解析式.

（2）當(dāng)每千克荔枝的銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤(rùn)為多少元？

七、解答題（本題滿分12分）

25.如圖，在..ABC中，AB=AC,NB4C=a,點(diǎn)。是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合），連接

AD,過點(diǎn)。在AO左側(cè)作￡坦上A￡），使A￡）=ZDE,連接AE,點(diǎn)F,G分別是AE,3。的中點(diǎn)，

連接￡）E，F(xiàn)G,BE.

AA

備用圖

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段8C上，且點(diǎn)。不是的中點(diǎn)，當(dāng)&=90。，左=1時(shí)，A5與BE的位置關(guān)系

(2)如圖2,點(diǎn)。在線段3c上，當(dāng)&=60°,攵=JJ時(shí)，求證：BC+CD=2y[3FG-

(3)當(dāng)e=60°,左=后時(shí)，直線CE與直線AB交于點(diǎn)N.若BC=6,CD=5,請(qǐng)直接寫出線段CN

的長(zhǎng).

八、解答題(本題滿分14分)

26.如圖1,拋物線丁=改2+：%+,,經(jīng)過點(diǎn)(3,1),與)，軸交于點(diǎn)6(0,5),點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一

動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

2

(2)直線y=§x—4與x軸交于點(diǎn)4,與y軸交于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作直線EFLx軸，交AO于點(diǎn)凡連接

BE.當(dāng)BE=DF時(shí),求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

3

（3）如圖2,點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，0E與BN交于點(diǎn)、M.若OE=BN,tanZBME=-,求點(diǎn)E

4

的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，每小題3分，共24分）

1.實(shí)數(shù)-2023的絕對(duì)值是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)樨?fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，

所以，-2023的絕對(duì)值等于2023.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的代數(shù)意義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵.

2.如圖所示的幾何體是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的，它的左視圖是（）

七

正面B

A口IIL0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)左視圖是從左面看到的視圖,進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：幾何體的左視圖為：

&

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，熟練掌握左視圖是從左往右看到的圖形，是解題的關(guān)鍵.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.=Sa2b2B.2a2+a2-3?4

C.ab-T-a4=a2D.^a+by=a2+b2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)基的除法，完全平方公式，逐一計(jì)算判斷即可.

【詳解】解：A、（4。。）2=16/層，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、2a2+/=3/,選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

D、（”+?2=儲(chǔ)+2"+。2,選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)基的除法，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正

確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.

4.九（1）班30名同學(xué)在一次測(cè)試中，某道題目（滿分4分）的得分情況如下表：

得分/分01234

人數(shù)134148

則這道題目得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.8,3B.8,2C.3,3D.3,2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位線：數(shù)據(jù)排序后位于中間一位，或中間兩位的平均數(shù)，進(jìn)行

求解即可.

【詳解】解：得分為3分的人數(shù)有14人，次數(shù)最多，

眾數(shù)為3；

將數(shù)據(jù)排序后，第15個(gè)和第16個(gè)數(shù)據(jù)均3,

???中位數(shù)為:3；

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查求眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的確定方法.

5.甲、乙兩臺(tái)機(jī)器運(yùn)輸某種貨物，已知乙比甲每小時(shí)多運(yùn)60kg,甲運(yùn)輸500kg所用的時(shí)間與乙運(yùn)輸800kg

所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩臺(tái)機(jī)器每小時(shí)分別運(yùn)輸多少千克貨物.設(shè)甲每小時(shí)運(yùn)輸xkg貨物，則可列方

程為()

500800500800500800500800

A.——二B.——=c.------=D.---------=

Xx+60Xx-60x+60Xx-60X

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)乙比甲每小時(shí)多運(yùn)60kg,甲運(yùn)輸500kg所用的時(shí)間與乙運(yùn)輸800kg所用的時(shí)間相等，列出方

程即可.

【詳解】解：設(shè)甲每小時(shí)運(yùn)輸xkg貨物，則乙每小時(shí)運(yùn)輸(x+60)kg貨物，由題意，得：

500800

---=-------

xx+60'

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列分式方程.解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程.

6.如圖，直線將含有30°角的直角三角尺按如圖所示的位置放置，若Nl=25。，那么N2的大小

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)含有30。角的直角三角尺，得到N4的值，再利用平行線的性質(zhì)得到N3的值，即可解答.

【詳解】解：圖中是含有30。角的直角三角尺，

.?.Z4=60°-Zl=35°,

a//b>

.?.N3=N4=35°,

...N2=180°-90°-Z3=55°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)

鍵.

7.如圖，AC,8c為。。的兩條弦，D,G分別為AC,8c的中點(diǎn)，的半徑為2.若NC=45。，則

3

C.D.72

2

【答案】D

【解析】

【分析】連接圓周角定理得到NAQB=2NC=90°，勾股定理求出AB，三角形的中位線

定理，即可求出。G的長(zhǎng).

【詳解】解：連接。4,08,A3,

A

??Y。的半徑為2.NC=45°,

OA=OB=2,ZAOB=2ZC=90°,

；?AB=A/OL42+O52=2V2，

,：D,G分別為AC,BC的中點(diǎn),

。G為_A8C中位線，

DG=-AB=41.

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理.熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC,5。交于點(diǎn)。，A6=4，BC=48，垂直于的直線MN從

AB出發(fā)，沿方向以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)直線MN與CO重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程

中MN分別交矩形的對(duì)角線AC,8。于點(diǎn)E,F,以所為邊在MN左側(cè)作正方形￡FG〃，設(shè)正方形

EFG”與重疊部分的面積為5,直線MN的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)則下列圖象能大致反映S與r之間函數(shù)

關(guān)系的是（）

【解析】

【分析】求出MN在。點(diǎn)左側(cè)時(shí)的兩段圖象，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)M2V在。點(diǎn)左側(cè)，即：f<2時(shí)：

①當(dāng)正方形￡FG〃的邊G"在的外部時(shí)，重疊部分為矩形，如圖:

M

設(shè)HE,FG分別交AB于點(diǎn)/,K,

V垂直于BC的直線MN從AB出發(fā)，沿BC方向以每秒有個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移,

/.IE=FK=5

?.?在矩形ABC。中，AB=4,BC=4也,

AC=yjAB2+BC2=8>

OA=OB=4=AB,

???一ABO為等邊三角形，

NOAB=NOBA=60°，

AI-BK=IE+tan60°=t,

AIK=4-2t,

:.S=IK-IE=Ct（4-2t）=-2?2+4底,圖象為開口向下的一段拋物線；

②當(dāng)正方形EFG”的邊6”在_4。8的內(nèi)部時(shí)，與重疊部分即為正方形EFG"，如圖:

由①可知：EF=IK=4-2t,

;.S=(4—2r)2,圖象是一段開口向上的拋物線；

當(dāng)MN過點(diǎn)。時(shí)，即r=2時(shí)，E,F重合，此時(shí)，5=0；

綜上：滿足題意的只有B選項(xiàng)，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問題.解題的關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)的位置，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想

進(jìn)行求解.

二、填空題(每小題3分，共24分)

9.2023年5月3日，被譽(yù)為近五年最火的“五一”假期圓滿收官，據(jù)文旅部發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年“五

一”假期5天，全國(guó)國(guó)內(nèi)旅游出游合計(jì)約為274000000人次.將數(shù)據(jù)274000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為

【答案】2.74xlO8

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把

原數(shù)變成〃時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】解：274000000=2.74x1O';

故答案為：2.74x108.

【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1W同＜10,〃

為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定”的值以及”的值.

10.因式分解：3x2—9x=.

【答案】3x(%-3)

【解析】

【分析】利用提取公因式法，分解因式，即可.

【詳解】3f-9x=3x(x—3)

【點(diǎn)睛】本題主要考查提取公因式法因式分解，準(zhǔn)確找到各項(xiàng)的公因式，是解題的關(guān)鍵；注意，因式分解時(shí)，

要分解到不能分解為止.

11.在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中

隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅

球，則口袋中紅球約有個(gè).

【答案】3

【解析】

【分析】利用頻率估計(jì)隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率為根據(jù)概率公式即可求出答案.

4

【詳解】解：設(shè)紅球有x個(gè)，

皿x50

則—=--->

12200

x-3

答：紅球的個(gè)數(shù)約為3個(gè).

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計(jì)算出相應(yīng)的紅球個(gè)數(shù).

12.若關(guān)于x的一元二次方程/+3%一。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則“的取值范圍是.

9

（答案】a〉—

4

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可求解.

【詳解】解：；x2+3x—a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

???△=/—4ac=9+4a>0，

9

解得：a>—

4

9

故答案為：ci>—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程依2+灰+c=o（awO,a,b,c為常數(shù)）的根的判別式

△="2—4。心理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵.當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊08,分別在x軸、）軸正半軸上，點(diǎn)。在3c邊

上，將矩形AOBC沿A0折疊，點(diǎn)。恰好落在邊08上的點(diǎn)E處.若0A=8,OB=10,則點(diǎn)。的坐標(biāo)

是.

【答案】(10,3)

【解析】

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出A￡=AC=10,在RtaAOE中，勾股定理求得OE=6,進(jìn)而得出3E=4,

在Rt二DBE中，勾股定理建立方程，求得5。的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：：四邊形4Q8C是矩形，

，AC=O8=10,

???折疊，

A￡=AC=1(),

在RtzXAOE中，OE=y/AE2-AO2=7102-82=6

EB=OB-OE=10-6=4,

設(shè)DB=m,則CD=8—加，

???折疊，

DE-CD=8—機(jī)，

在Rt△。后3中，DE1=EB1+BD1，

(8-m)2=m2+42,

解得：m=3,

DB—3，

...￡)的坐標(biāo)為(10,3),

故答案為：(10,3).

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，.一ABC中，在C4,CB上分別截取CO,CE,使CD=CE,分別以。，E為圓心，以大于

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)尸，作射線。尸，交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作

2

MN1BC,垂足為點(diǎn)N,若BN=CN,AM=4,BM=5,則AC的長(zhǎng)為

A

【答案】6

【解析】

【分析】由線段垂直平分線性質(zhì)定理得到=因此N8=NBCM,由角平分線定義推出

srAI\4

ZACM^ZB,又NC4M=NC4B,推出ACMABC,得到一=——，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求

ABAC

出AC的長(zhǎng).

【詳解】由題中作圖可知：CM平分/AC3,

ZACM=NBCM,

'：MNIBC,BN=CN,

：.MB=MC,

：.ZB^ZBCM,

：.ZACM=ZB,

：ZCAM=ZCAB,

：.cAGVfsqABC,

.ACAM

??耘—而‘

AM-4>BM-5,

AB=AM+BM=4+5=9,

.AC_4

：.AC=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題考查了尺規(guī)作圖，角平分線定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形

ArA/LI

的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，ACA/s.ABC,得到——=——，從而求出AC的長(zhǎng)，

ABAC

15.如圖，在一ABC中，BA=BC,頂點(diǎn)C,8分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點(diǎn)A在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)4

k

的反比例函數(shù)y=1(x>0)的圖象交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作Eb_Lx軸，垂足為點(diǎn)F.若點(diǎn)￡為4。的中

點(diǎn)，BD^2AD，BF—CF=3,則％的值為.

【答案】4

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作A”_Lx軸于點(diǎn)H,證明得AH=2EF,CF=HF,再根據(jù)

3F—CF=3,可得3H=3,再證明LDOBsABHA，得到。氏的長(zhǎng)，設(shè)CE="尸=a,石尸=6,

得到A,E的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)在同一反比例函數(shù)上，可解得。的值，從而可得84=50=5,再利用勾股定理

解得AH=4,從而求得人的值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)〃，

EF_Lx軸，

.-.AH//EF，

ZHAC=NFEC,

:.△AHCSXEFC，

E是AC的中點(diǎn)，

.ACHCc

?(——2,

ECFC

:.HF=FC,

BF—FC=3,

，BF-FC=BF-HF=3,

即34=3,

同理可得AAHBsADOB,

BD=2AD,

*_A_B___B_H____3

"BD~BO~1'

：.BO=2,OH=BH-BO=\,

設(shè)FC=a,EF=b,則Hb=a,AH=2h,

A（l,2Z?）,E（l+a,/?）,

QAE都反比例函數(shù)上，

.-.lx2Z?=（l+a）xZ?,

解得a=l,

.-.BA=BC=-BH+HF+FC=5,

在RtaABH中，AH7AB2-BH?=4,

:.k-\x4-4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，理解反比例函數(shù)圖像上的

點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積相同，是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)例為CO邊上一點(diǎn)，連接A"，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋輪90°得

至在AM、AN上分別截取AE、AF）使A￡=AF=3C,連接瓦交對(duì)角線于點(diǎn)

25

G,連接AG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)兒若AM=，，CH=2,則4G的長(zhǎng)為.

3

AD

405

【答案】—##5<

77

【解析】

［分析］根據(jù)題干條件可得EF=BD，所以△ABf段VADE，得到BG=EG,又證明得ABG四△AEG,

ZBAG^ZEAG,所以.ABH四△AEH,NAB”=ZAEH=90。；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為。，列雙勾股方程解

得正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)V3G”S/^4￡>G，即可求出答案.

【詳解】解：由題意可得，—ABN絲AWA/,

:.ABAN=ZDAM,

：.ZFAE=ZBAD^90°,

AB=AD=AE=AF,

：.AFAE^84。是等腰直角三角形，

；.EF=BD；

連接OE、BF,

AAB*7ADE，

：.BF=DE，

連接BE,

EF=BD，BE=EB,

...BEF絲A￡BD，

:.NGEB=NGBE,

BG-EGi

又，AB=AE,AG=AG，

:._ABG^/\AEG,ZBAG^ZEAG,

連接EH、HM，

AH^AH,AB=AE，

：._ABHg/\AEH,ZABH=ZAEH=90°,

設(shè)AB=8C=CD=AZ)=a,

25

AM=y,CH=2,

DM=7AM2-AD2

BH=EH=a-2,

EH2+EM2=CM2+CH2，

得3a2-3la+56=0，

(3a-7)(a-8)=0,

7八

解得4=§(舍)，4=8，

；.A￡>=8,BH=6,AH=10,

又-ABGHsAADG，

GHBH3

,AG-AB-4'

“八40

..AG——?

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等，勾股定理的運(yùn)用，三角形相似計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，利用條件推理證明、列出

雙勾股方程計(jì)算求解是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（每小題8分，共16分）

r+9

17.先化簡(jiǎn)，再求值：f—^-+lV--其中x=4.

（x+2；x2?-47

x—2?

【答案】---4

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的

值代入求解.

【詳解】解：(與+。+正怨

(x+2)x—4

_l+x+2(x+2)(x-2)

x+2(x+3)-

x-2

x+3

4-22

當(dāng)x=4時(shí)，原式=----=—

4+37

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

18.如圖，在。ABCD中，作對(duì)角線BD的垂直平分線EF,垂足為0,分別交AD,BC于E,F,連接

BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.

【答案】證明見解析.

【解析】

【詳解】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明出AD0E絲△B0F,得到OE=OF,

利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用對(duì)角線互相垂直的

平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形.

【詳解】??,在“BCD中，。為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，

；.BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在ZiEOD和AFOB中，

ZEOD=ZFBO

<OD=OB,

ZEOD=ZFOB

/.△DOE^ABOF(ASA),

.,.OE=OF,

又?；OB=OD,

四邊形EBFD是平行四邊形，

VEF1BD,

四邊形BFDE為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出

OE=OF是解題關(guān)鍵.

四、解答題(每小題10分，共20分)

19.在第六十個(gè)學(xué)雷鋒紀(jì)念日到來(lái)之際，習(xí)近平總書記指出：實(shí)踐證明，無(wú)論時(shí)代如何變遷，雷鋒精神永

不過時(shí).某校為弘揚(yáng)雷鋒精神，組織全校學(xué)生開展了手抄報(bào)評(píng)比活動(dòng).評(píng)比結(jié)果共分為四項(xiàng)：A.非凡創(chuàng)

意；B.魅力色彩；C.最美設(shè)計(jì)；D.無(wú)限潛力.參賽的每名學(xué)生都恰好獲得其中一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng).活動(dòng)結(jié)束

后，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

手抄報(bào)評(píng)比結(jié)果條形統(tǒng)計(jì)圖手抄報(bào)評(píng)比結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖1圖2

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：

(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生.

(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(3)本次評(píng)比活動(dòng)中，全校有800名學(xué)生參加，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)在評(píng)比中獲得“A.非凡創(chuàng)

意”獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)100

(2)見解析(3)64人

【解析】

【分析】(1)從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖可知，樣本中獲得無(wú)限潛力”的有20人，占調(diào)查人數(shù)的20%,由頻率

等于頻數(shù)除以總數(shù)可求出調(diào)查人數(shù)；

(2)求出樣本中獲得“B.魅力色彩”的人數(shù)即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)求出樣本中獲得“A.非凡創(chuàng)意”獎(jiǎng)的學(xué)生所占的百分比，估計(jì)總體中獲得“A.非凡創(chuàng)意”獎(jiǎng)的學(xué)

生所占的百分比，進(jìn)而求出相應(yīng)的人數(shù).

【小問1詳解】

解：20+20%=100（名），

故答案：100；

【小問2詳解】

樣本中獲得“8.魅力色彩”的人數(shù)為：100—8—48—20=24（名）,

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

答：全校有800名學(xué)生中獲得“A.非凡創(chuàng)意”獎(jiǎng)的學(xué)生大約有64人.

【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖以及樣本估計(jì)總體，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息，是解題的關(guān)鍵.

20.二十四節(jié)氣是中國(guó)古代一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，在國(guó)際氣象界被譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”，

并位列聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.小明和小亮對(duì)二十四節(jié)氣非常感興趣，在課間

玩游戲時(shí)，準(zhǔn)備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫有“A.驚蟄”“B.夏至”“C.白

露”“D.霜降”四個(gè)節(jié)氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，并講述所抽卡片上的

節(jié)氣的由來(lái)與習(xí)俗.

（1）小明從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到“4驚蟄”的概率是.

（2）小明先從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，小亮再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的

方法，求兩人都沒有抽到“反夏至”的概率.

【答案】（1）-

4

【解析】

【分析】（1）共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A.驚蟄”的只有1種，由概率的定義可得答案;

（2）用樹狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A.驚蟄”的只有1種，

驚蟄”的概率是,,

所以小明從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到“A.

4

故答案為：一;

4

【小問2詳解】

解：用樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“艮夏至”的有6種,

所以兩人都沒有抽到“從夏至”的概率為2=,.

122

【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹狀圖法，用樹狀圖表示所有等可能的出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵.

五、解答題（每小題10分，共20分）

21.某商店窗前計(jì)劃安裝如圖1所示的遮陽(yáng)棚，其截面圖如圖2所示.在截面圖中，墻面垂直于地面

CE,遮陽(yáng)棚與墻面連接處點(diǎn)8距地面高3m,即BC=3m,遮陽(yáng)棚AB與窗戶所在墻面8C垂直，即

ZABC=ZBCE=9（r.假設(shè)此地正午時(shí)太陽(yáng)光與地面的夾角恰為60°（若經(jīng)過點(diǎn)A的光線恰好照射在地

面點(diǎn)。處，則NA0E=6O°）,為使正午時(shí)窗前地面上能有1m寬的陰影區(qū)域，即C0=lm,求遮陽(yáng)棚的寬

度A3.（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：百"1.73）

EDC

圖1圖2

【答案】遮陽(yáng)棚的寬度AB約為2.7m

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作。尸_LAB,垂足為E，根據(jù)垂直定義可得NOEB=NOE4=90。，從而可得四邊形

3C0E是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得8C=OE=3m,CD=BF=\m,AB//CE,從而可得

ABAD^ZADE=60°,在RjADF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出A尸的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)

系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)。作DbJ_AB，垂足為R，

.-.ZDFB^ZDFA^90°,

ZABC=ZBCE=90°,

四邊形5C0E是矩形，

.?.3。=。產(chǎn)=3m,CD=BF=lm,AB//CE,

.?.Z5L4D=ZADE=60。，

在網(wǎng)的中',二磊二白二也⑺)，

???AB=+=1+73*2.7(m),

遮陽(yáng)棚的寬度AB約為2.7m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)

鍵.

22.如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=K（x<0）的圖象交于點(diǎn)A（—2,〃。，8（〃,2）,過點(diǎn)4作y軸

X

交X軸于點(diǎn)C,在X軸正半軸上取一點(diǎn)。，使0C=20。，連接BC,AD.若ACD的面積是6.

（1）求反比例函數(shù)的解析式.

（2）點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)直線AB上一點(diǎn)，且△P4C的面積等于-B4C面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Q

【答案】（1）y=

x

（2）P（2,8）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)OC=2O￡>,可得三角形面積之比，計(jì)算出040。的面積，面積乘2即為網(wǎng)=8,解析

式可得；

（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AB的解析式為y=x+6,設(shè)符合條件的點(diǎn)P（m,〃?+6）,利用面積的倍數(shù)關(guān)

系建立方程解出即可.

【小問1詳解】

解：：OC=2QD,ACD的面積是6,

S7Aoe=4,

.?.網(wǎng)=8,

?.?圖象在第二象限，

*#-k=—8,

Q

???反比例函數(shù)解析式為：y=--；

x

【小問2詳解】

Q

?.?點(diǎn)A（-2,〃z）,B（n,2）,在〉=的圖象上,

X

m=4,n=—4,

A（—2,4）,8（T,2）,

設(shè)直線AB的解析式為y="+"

-2k+b=4

-4k+b=2

k=l

解得：，

b=6

；?直線AB的解析式為y=x+6,

VACy軸交X軸于點(diǎn)C,

C（-2,0）,

SABC=—x4x2=4,

設(shè)直線AB上在第一象限的點(diǎn)P（m,m+6）,

SPAr=—x4x（m+2）=2SARC=8，

2〃z+4=8,

??HT=2,

/.尸（2,8）.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式.

六、解籍題（每小題10分，共20分）

23.如圖，四邊形ABCQ內(nèi)接于「。，AB為0。的直徑，過點(diǎn)。作±BC，交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接8。.若NE4D+N6O/=180°.

（1）求證：EF為。的切線.

2

（2）若BE=10,sinZBDC=-f求：。的半徑.

3

【答案】（1）見解析（2）0。的半徑為4

【解析】

【分析】（1）連接。。，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得到尸等角的余角相等，得到

/DBF=ZABD，等邊對(duì)等角，得至UNDBF=ZABD=NODB，推出OD//BF,得到

NODE=/尸=90°，即可得證；

（2）連接AC，推出NE=NB4C=NBZ）C,利用銳角三角函數(shù)求出3尸的長(zhǎng)，設(shè)二。的半徑為,，證明

ODEs.BFE,列出比例式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接?！辏?，

VZ￡AD+ZBDF=180°,ZEAD+ZBAD=}S00,

NBDF=NBAD，

為O。的直徑，DF上BC,

：.ZADB^90°,ZBFD=90°,

/.ZBDF+/DBF=ABAD+ZABD=90°,

；?ZDBF=ZABD，

OB=OD,

/DBF=ZABD=ZODB,

OD//BF,

：.ZODE=ZF=90°,即：OD1EF,

又0。為。。的半徑，

.??所為：。的切線；

【小問2詳解】

連接AC,則：/BAC=/BDC，

48為〈。的直徑，

，ZACB=90°=ZF,

：,ACEF,

：.ZE=NBAC=NBDC,

在RtABFE中，BE=10,sinE=sinZBOC=—,

3

BF^BEsinE^lOx-^—,

33

設(shè)，。的半徑為r,則：OD=OB=r,OE=BE—OB=10—r,

,?OD//BF,

：,「ODEs二BFE.

/.r=4；

:。的半徑為4.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和

性質(zhì).題目的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

24.網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某果園在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上直播銷售荔枝.已知該荔枝的成本為6元

/kg,銷售價(jià)格不高于18元/kg,且每售賣1kg需向網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)支付2元的相關(guān)費(fèi)用，經(jīng)過一段時(shí)間的直播銷售

發(fā)現(xiàn)，每日銷售量y(kg)與銷售價(jià)格x(元/kg)之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

(1)求>與x的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)每千克荔枝的銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤(rùn)為多少元?

【答案】(1)y=-100x+3000

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為18元時(shí)，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤(rùn)為12000元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，待定系數(shù)法求解析式即可求解：

（2）設(shè)銷售銷這種荔枝日獲利卬元，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大利潤(rùn)，即可求解.

【小問1詳解】

解：設(shè)＞與x的函數(shù)解析式為＞=丘+6,

:改函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（8,2200）和點(diǎn)（14,1600）

.‘82+8=2200

?「14攵+0=1600

攵=—100

解得：〈

力=3000

y與*的函數(shù)解析式為y=-ioox+3000；

【小問2詳解】

解：設(shè)銷售銷這種荔枝日獲利卬元，

根據(jù)題意，得，w=（x-6-2）（-100x4-3000）

=-100%2+3800%-2400

=-100（x-19）2+12100

。=_1（）0＜0,對(duì)稱軸為直線％=19,

.??在對(duì)稱軸的左側(cè)，y