重難點專題42 圓錐曲線焦點弦二級結(jié)論十大題型匯總（解析版）

重難點專題42圓錐曲線焦點弦二級結(jié)論十大題型匯總題型1圓錐曲線通徑二級結(jié)論 1題型2橢圓焦點弦三角形周長二級結(jié)論 5題型3雙曲線焦點弦周長二級結(jié)論（同支） 12題型4雙曲線焦點弦周長問題二級結(jié)論（不同支） 19題型5橢圓傾斜角式焦點弦長二級結(jié)論 23題型6雙曲線傾斜角式焦點弦長二級結(jié)論 29題型7拋物線傾斜角式焦點弦長二級結(jié)論 33題型8橢圓、雙曲線點坐標(biāo)式焦半徑公式二級結(jié)論 40題型9拋物線點坐標(biāo)式焦半徑公式二級結(jié)論 44題型10焦點弦定比分點求離心率二級結(jié)論 46題型1圓錐曲線通徑二級結(jié)論橢圓，雙曲線的通徑長AB=【例題1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的焦點的弦中最短弦長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由過橢圓焦點的最短弦所在直線不垂直y軸，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立求出直線被橢圓所截弦長即可推理作答.【詳解】顯然過橢圓焦點的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，由消去x并整理得：，設(shè)直線l與橢圓交于點，則有，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，于是，當(dāng)，即直線l垂直于x軸時，，所以過橢圓的焦點的最短弦是與焦點所在坐標(biāo)軸垂直的弦，最短弦長是.故選：A【變式1-1】1.（2021秋·河北邯鄲·高三?？茧A段練習(xí)）已知過橢圓x2a2+y2b2=1(A．53 B．32 C．22【答案】D【分析】把x=-c代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)∠F1PF2【詳解】由題意知點P的坐標(biāo)為（-c，b∵∠F∴2cb即2ac=∴3e∴e=33故選D．【點睛】】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了考生綜合運用橢圓的基礎(chǔ)知識和分析推理的能力，屬中檔題．【變式1-1】2.（2023秋·四川內(nèi)江·高三期末）橢圓的焦點為、，點在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】先求出、的坐標(biāo)，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，當(dāng)時，，解得，因為軸，所以，所以，設(shè)到直線的距離為，因為，所以，解得，故選：A【變式1-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的一個焦點且與雙曲線的實軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的通徑長公式計算．【詳解】由已知，雙曲線的通徑長，故選：B.【變式1-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的通徑（過拋物線的焦點且與其對稱軸垂直的弦）的長為．【答案】【分析】先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，然后求解過焦點且與對稱軸垂直的弦長得到答案.【詳解】拋物線的焦點(1,0)，當(dāng)時，可得：，解得．所以過焦點且與對稱軸垂直的弦的兩個端點坐標(biāo)為所以過拋物線的焦點且與其對稱軸垂直的弦長為4．故答案為：4．【變式1-1】5.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：x2＝2py的焦點為F，過F且垂直于y軸的直線與C相交于A，B兩點，若△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積為18，則p＝．【答案】6【分析】首先根據(jù)條件求點的坐標(biāo)，再代入面積公式，即可求解.【詳解】拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F(0，)，將y＝代入x2＝2py可得x＝±p，即有A(p，)，B(－p，)，所以＝2p，所以S△AOB＝××2p＝18，解得p＝6.故答案為：6【變式1-1】6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左焦點作直線和橢圓交于A、B兩點，且，則這樣直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求過左焦點的通徑長度，由橢圓的性質(zhì)：過左焦點的弦長最短為通徑長，最長為長軸長，結(jié)合已知弦長判斷直線的條數(shù)即可.【詳解】左焦點為，若直線垂直x軸，則直線為，代入橢圓方程得，可得，此時通徑長，所以，由橢圓性質(zhì)知：的直線有僅只有一條.故選：B題型2橢圓焦點弦三角形周長二級結(jié)論1．F1?,?F2為橢圓C:x2a2.F1?,?F2為橢圓C:x2a注意：橢圓的焦點弦三角形周長為定值，即長軸長的2倍，與過焦點的直線的傾斜角無關(guān)．【例題2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，橢圓C:x24+y23=1的左焦點為【答案】8【分析】確定a=2，利用橢圓的定義可推得△ABF2的周長為【詳解】由x24+由橢圓定義可得|AF1故△ABF=2a所以△ABF【變式2-1】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為22，過F1作直線l交C于A,B兩點，且ΔABF【答案】x【詳解】試題分析：依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝ca＝22，∴c＝22，∴∴橢圓C的方程為x【變式2-1】2.橢圓焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的最短弦PQ長為10，ΔPA．33 B．13 C．23【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)橢圓方程為x2a2+P、Q坐標(biāo)為：M(-c,b2a),N(-c,-所以，2·b2a=10，△PF2Q的周長為|PF2|=|F2Q|=a2=b2所以(a-9)(a+4)=0因為a>0,所以，a=9，橢圓的離心率為23，故選C考點：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)．點評：過F1的最短弦PQ垂直于x軸，另外，由橢圓的對稱性，△PF2【變式2-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、A．4 B．5 C．16 D．32【答案】C【分析】根據(jù)短軸長得出b值，再根據(jù)離心率得到a值，再利用橢圓定義則得到三角形周長.【詳解】由題意，橢圓x2a2+y2所以c2a2=a2-b所以△ABF2故選：C.【變式2-1】4.（2020下·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，過點F1的直線交橢圓于A．x25+y24=1 B．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義及△F2AB的周長為45，可求出a=5，根據(jù)F1，C是線段AB的三等分點，利用中點坐標(biāo)公式可先求出點【詳解】由橢圓的定義，得AF△F2AB的周長A所以橢圓E:不妨令點C是F1A的中點，點A在第一象限，因為所以點A的橫坐標(biāo)為c，所以c25+y2由中點坐標(biāo)公式可得B(-2c,-b24c25+b420所以5-c2=20-16c2所以，橢圓的方程為x2故選：A.【點睛】本題主要考查橢圓的定義，中點坐標(biāo)公式，關(guān)鍵是利用中點坐標(biāo)求相應(yīng)點的坐標(biāo)，用點在曲線上求出b2【變式2-1】5.（2014·全國·高考真題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點為F1,F2離心率為33A．x23+y22=1 B．【答案】A【詳解】若△AF1B的周長為43,由橢圓的定義可知4a=43∵e=c∴b所以方程為x23考點：橢圓方程及性質(zhì)【變式2-1】6.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積.已知橢圓C的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，其面積為43π，過點F1的直線l與橢圓C交于點A，B且△F2A．y216+xC．x216+【答案】A【分析】由題中所給結(jié)論得ab=43，由△F2AB的周長為【詳解】依題意得4×43ππ由△F2AB的周長為16結(jié)合橢圓定義可得4a=16又橢圓焦點在y軸上，故橢圓方程為y2故選：A.【變式2-1】7.（2014·安徽·高考真題）設(shè)F1,F2分別是橢圓E：x2a2+yb（1）若|AB|=4,ΔABF2（2）若cos∠AF2【答案】（1）5；（2）22【詳解】試題分析：（1）由題意|AF1|=3|F1B|,|AB|=4可以求得|AF1|=3,|F1B|=1，而ΔABF2的周長為16，再由橢圓定義可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|A（1）由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4，得|A（2）設(shè)|F1B|=k，則k>0在ΔABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|?|BF2|考點：1.橢圓的定義；2.橢圓的離心率求解.【變式2-1】8.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點（1，0），交橢圓C于點A，B(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線m與直線l的傾斜角互補，且交橢圓C于點M，N，MN2=4|AB|，求證：直線m與直線【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓定義與右焦點坐標(biāo)可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式得到|MN|2與AB的表達(dá)式，根據(jù)兩者關(guān)系解出t值，最后聯(lián)立兩直線解得橫坐標(biāo)為定值1【詳解】（1）由已知，得c=14a=8，∴∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）證明：若直線l的斜率不存在，則直線m的斜率也不存在，這與直線m與直線l相交于點P矛盾，∴直線l的斜率存在,又因為兩直線傾斜角互補，所以直線l斜率不為0.設(shè)l:y=AxA,yA，B將直線m的方程代入橢圓方程y=-k(∴xM+∴|MN同理，|AB|=1+k2?4即k2t2=0，此時，Δ=64k4t2聯(lián)立直線l方程解得P12,-12【點睛】橢圓中弦長公式在圓錐曲線難題中經(jīng)常用，對于互補的直線可以采取換元，用-k換k代換直接得到另一弦長公式，有時候定直線問題可以采取先猜后證的方法題型3雙曲線焦點弦周長二級結(jié)論（同支）同支問題：F1?,?F2為雙曲線C:x2a2-證明：由雙曲線的第一定義知，AF2-AF1=2a由①②③，得AF2+BF2【例題3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓y249+x224=1與雙曲線y【答案】24【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線方程得到橢圓與雙曲線具有共同的焦點F10,5，從而得到P與雙曲線兩焦點的距離之和PF1+P【詳解】由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點F10,5，由橢圓定義可知：PF故P與雙曲線兩焦點的距離之和為14，又F1因此P與雙曲線兩焦點連線構(gòu)成三角形的周長為14+10=24.故答案為：24【變式3-1】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是（

）A．26 B．21 C．16 D．5【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周長.【詳解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故選：A.【變式3-1】2.如圖雙曲線C:x2-y23=1的焦點為F1?F(1)求弦長AB的值；(2)求△AB【答案】(1)3(2)3【分析】（1）聯(lián)立直線l與橢圓的方程，消元整理得8x（2）根據(jù)雙曲線的定義可求得三角形的周長.【詳解】（1）解：因為雙曲線C:x2-y設(shè)Ax聯(lián)立y=33∴AB（2）解：記△ABF2的周長為C∵BF2=x∴BF2=2同理：點A在左支，∴A∴∴【變式3-1】3.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1?F2，在左支上F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△A．26 B．21 C．16 D．5【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周長.【詳解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故選：A.【變式3-1】4.如果F1、F2分別是雙曲線x216-y29【答案】28【分析】本題涉及到雙曲線上的點和兩焦點構(gòu)成的三角形問題，可用定義處理，由定義知AF2-AF1=8①【詳解】解：由題意知：a=4,b=3由雙曲線的定義知AF2-AF①＋②得：AF2+所以△ABF2故答案為：28.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，涉及到雙曲線上的點和兩焦點構(gòu)成的三角形問題，一般用定義處理.【變式3-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）若F1,F2分別是雙曲線x2m-y27=1的左、右焦點，AB【答案】9【分析】根據(jù)雙曲線定義得到AF2+BF2=4m【詳解】由題意得m>0根據(jù)雙曲線定義得AF2上述兩式相加得AF即AF2+∴AF∴△ABF2周長=故答案為：9.【變式3-1】6.已知雙曲線x2-y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)(1)AB的長；(2)△F【答案】(1)3(2)3+3【分析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x（2）求出A，B的坐標(biāo)，由兩點的距離，即可得到△F2【詳解】（1）解：∵雙曲線的左焦點為F1(-2,0)，設(shè)A(x1，y則直線AB的方程為y=代入方程x2-y∴x1+∴|AB（2）解：F2(2,0)，不妨設(shè)由（1）可得A(1+334，3+33則△F2AB【變式3-1】7.已知雙曲線C經(jīng)過點P3,2，它的兩條漸近線分別為x+(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線C的左?右焦點分別為F1?F2，過左焦點F1作直線l交雙曲線的左支于A?B兩點，求【答案】(1)x(2)16【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為x2-3（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時l:x=-2，可得A?B的坐標(biāo)及△ABC的周長；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，與雙曲線方程聯(lián)立，【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為x2代入點P(3,2)所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）雙曲線C的左焦點為F1設(shè)A(x1①若直線l的斜率不存在，則l:x=-2，得A?B的坐標(biāo)分別為(-2,此時△ABC的周長為16②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=由{y=k因為直線l交雙曲線的左支于A?B兩點，所以{1-3得k設(shè)△ABF2z=4=4=43設(shè)t=3k2-1z=43+4所以z∈(綜上，由①②可得△ABF2題型4雙曲線焦點弦周長問題二級結(jié)論（不同支）雙曲線異支焦點弦三角形周長【結(jié)論3】如圖，F(xiàn)1?,?F2為雙曲線C:x2a2-y2b證明：令A(yù)F2=u?,?BF2=又cos∠AF∴b2-auu=b2+avv?,?∴b2u-【例題4】（2021·浙江·統(tǒng)考一模）如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0A．2B．15C．13D．3【答案】C【分析】不妨令A(yù)B=3，|BF2|=4，|AF【詳解】∵|AB|：|BF2∵|AB|2又由雙曲線的定義得：BF1-∴AF∴|BF1在Rt△BF又|F1F2∴雙曲線的離心率e=故選;C【變式4-1】1.（2021下·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．23 B．33 C．43【答案】A【分析】利用雙曲線的定義求出a=1，進(jìn)而得出AF【詳解】∵BF1-B∵AF2=4，因為AF2-AF∴S△故選：A【變式4-1】2.（2021·高三課時練習(xí)）已知雙曲線C:x2-y23=1的右焦點為F，P是雙曲線A．2+42 B．C．32 D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線C的左焦點為F1，則PF-PF1=2a，則由題意可得△PFM的周長為MF+【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為F1，則PF-PF1∴PF=2+PF1，∴MF=22，△PFM∵當(dāng)M，P，F(xiàn)1三點共線時，MP+P∴△PFM的周長的最小值為2+4故選：A【變式4-1】3.已知F1、F2分別是雙曲線x23-y26=1（Ⅰ）求線段AB的長；（Ⅱ）求△A【答案】（1）1653；（2）【分析】（1）運用聯(lián)立方程法結(jié)合弦長公式求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，結(jié)合雙曲線的定義，列等式可求解三角形的周長.【詳解】解：（1）由雙曲線的方程得F1(-3,0)，F(xiàn)直線AB的方程為y將其代入雙曲線方程消去y得，5x2+6∴|AB（2）由題意不妨設(shè)點A在雙曲線的左支上，則△ABl△根據(jù)雙曲線的定義，Al由方程①解得點A的坐標(biāo)為（-3，-23∴題型5橢圓傾斜角式焦點弦長二級結(jié)論二級結(jié)論1.圓錐曲線的角度式焦半徑公式與焦點弦公式設(shè)直線l過圓錐曲線焦點F且交圓錐曲線于A?,?B兩點，不妨設(shè)AF>BF，若已知直線AF=即圓錐曲線的焦半徑公式與焦點弦公式分別為：AF=二級結(jié)論2.橢圓的傾斜角式焦點弦長公式：（1）F1?,?F2為橢圓C:x2a2+y（2）F1?,?F2為橢圓C:y2a2+x說明：特殊情形，當(dāng)傾斜角為θ=90°時，即為橢圓的通徑，通徑長AB圓錐曲線統(tǒng)一的傾斜角式焦點弦長公式：設(shè)直線l過圓錐曲線焦點F且交圓錐曲線于A?,?B兩點，若已知直線l傾斜角為θ，設(shè)圓錐曲線通徑為【例題5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，F(xiàn)1?,?F2為橢圓C:x2a2+y【答案】2【分析】由橢圓定義，結(jié)合余弦定理即可得出．【詳解】連結(jié)F2A,F2B，由橢圓定義得F2A=2在△AF1F2則a-ccos同理在△BF1則弦長AB=【變式5-1】1.經(jīng)過橢圓x22+y2=1的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A【答案】8【解析】求出橢圓的左焦點F1(-1,0)，根據(jù)點斜式設(shè)出AB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式即可算出弦【詳解】∵橢圓方程為x2∴焦點分別為F1(-1,0)，∵直線AB過左焦點F1傾斜角為60°∴直線AB的方程為y=將AB方程與橢圓方程消去y，得7設(shè)A(x1，y1)x1+∴|因此，|AB故答案為：8【點睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.【變式5-1】5.（2022上·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為3【答案】鈍角三角形【分析】由橢圓的離心率可求得b2=2a23，從而可表示出橢圓方程，求出右焦點坐標(biāo)，則可表示出直線l【詳解】由橢圓的離心率可得a2-則橢圓的方程為x橢圓的右焦點為F33a，由x2a設(shè)Ax1則y===-則OA?所以∠AOB所以△AOB(其中O為原點)故答案為：鈍角三角形【變式5-1】3.（2022上·全國·高三專題練習(xí)）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2，斜率為【答案】[【分析】設(shè)A(x1,y1),B(【詳解】如圖示，由橢圓定義可得|A則△ABF2的周長為4a,設(shè)△ABF2內(nèi)切圓半徑為r，△故2π=2πr由題意得12×4

得y1-y2=所以由AB=1+1故答案為：8【變式5-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓3x2+4y2=48橢圓的左焦點引直線交橢圓于【答案】3x+2【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由焦點弦公式可得斜率，即可得解.【詳解】橢圓3x2+4y2=設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則由焦點弦弦長公式可得|AB|=2所以該直線的傾斜角為tanθ則直線AB：y=32即3x+2y【變式5-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x29+y28=1的左右焦點分別為F1?,?F【答案】24【分析】設(shè)出直線方程，求出點F2到直線AB的距離，再根據(jù)結(jié)論求出|AB【詳解】直線PF1的方程為y=-2x-2，設(shè)其傾斜角為θ，則k=-2由橢圓方程x29+y28=1，可得a=3，F(xiàn)2到直線AB的距離h=2×1+0+222+1所以△ABF2【變式5-1】6.（2023·四川廣安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點F與橢圓x225+y216=1的右焦點重合．斜率為kk>0直線A．3x-yC．3x-y【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程求得F，寫出直線l的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義求得k，由此求得直線l的方程.【詳解】橢圓x225+y216=1，c=25-16設(shè)Ax1,y1聯(lián)立y=k(x-3)則x1∵|AF∵∵因此直線l的方程是3x故選：A.題型6雙曲線傾斜角式焦點弦長二級結(jié)論二級結(jié)論：曲線的傾斜角式焦點弦長公式：（1）F1?,?F2為雙曲線C:x2a2-y（2）F1?,?F2為雙曲線C:y2a2-x說明：特殊情形，當(dāng)傾斜角為θ=90°時，即為雙曲線的通徑，通徑長2圓錐曲線統(tǒng)一的傾斜角式焦點弦長公式：設(shè)直線l過圓錐曲線焦點F且交圓錐曲線于A?,?B兩點，若已知直線l傾斜角為θ，設(shè)圓錐曲線通徑為【例題6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0?,?b>0，其中兩焦點坐標(biāo)為【答案】答案見解析【分析】分別討論當(dāng)直線與雙曲線的交點在同一支上或在兩支上時的焦半徑長度，結(jié)合焦點三角形的性質(zhì)可得解.【詳解】當(dāng)arctanba<θ<π-arctanb連接F2A，F(xiàn)2B，設(shè)由雙曲線定義可得F2A=2由余弦定理可得m2+2c2則可求得弦長AB=當(dāng)0≤θ<arctanba或π-arctanba連接F2A，F(xiàn)2B，設(shè)由雙曲線定義可得F2A=2由余弦定理可得m2+2同理n2+2則可求得弦長AB=因此焦點在x軸的焦點弦長公式：AB=【變式6-1】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線x24-y28=1的右焦點F【答案】AB【分析】利用公式AB=【詳解】解：雙曲線x24-y28=1利用公式AB=2a【變式6-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線x2-y2=4的右焦點F作傾斜角為150°【答案】8【分析】利用雙曲線的焦點弦長公式，根據(jù)已知條件直接得出弦長．【詳解】由雙曲線x2-y2所以AB=【變式6-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線x24-y28=1的右焦點F【答案】AB【分析】利用公式AB=【詳解】解：雙曲線x24-y28=1利用公式AB=2a【變式6-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線x2-y2=4的右焦點F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A【答案】8【分析】利用雙曲線的焦點弦長公式，根據(jù)已知條件直接得出弦長．【詳解】由雙曲線x2-y2所以AB=【變式6-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線x23-y22=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若過點P（0，-2）及F1【答案】12【分析】求出直線方程，求出點F2到直線AB的距離，再根據(jù)結(jié)論求出|AB【詳解】x23-y2所以直線AB方程為y+20+2=點F25,0到直線AB又|AB所以S△題型7拋物線傾斜角式焦點弦長二級結(jié)論二級結(jié)論：1.拋物線的焦點弦長：AB=2.過拋物線y2=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A,B兩點，則：引伸：M(a,0)(a>0)在拋物線Ax1,3.|AB|=2psin2α(α是直線AB與焦點所在軸的夾角)=x1+x2+p4.AF=λBF，則有cosθ【例題7】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，拋物線y2=2pxp>0與過焦點Fp2,0的直線l相交于【答案】AB【分析】設(shè)FA=m，F(xiàn)B=n，可得xA=p2【詳解】設(shè)FA=m，F(xiàn)B=n，則由拋物線定義知：FA=xA∴m=p∴AB【變式7-1】1.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則AB=．【答案】16【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點坐標(biāo)，利用點斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點弦長轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.【詳解】∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點F又∵直線AB過焦點F且斜率為3，∴直線AB的方程為：y代入拋物線方程消去y并化簡得3x解法一：解得x1所以|解法二：Δ設(shè)A(x1過A,B分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線，設(shè)垂足分別為|AB|=|故答案為：16【點睛】本題考查拋物線焦點弦長，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長公式，屬基礎(chǔ)題.【變式7-1】2.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【分析】設(shè)l1的方程為x=my+1，Ax1,y1，Bx2【詳解】因為兩條互相垂直的直線l1,l2所以設(shè)l1的方程為x=my+1，聯(lián)立y2=4xx=則|AB同理|PQ|AB|+|PQ|=42+m2故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．【變式7-1】3.（2021上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過拋物線y2=2pxp>0的焦點F作傾斜角為θθ≠π2的直線，交拋物線于A（1）求拋物線的方程；（2）試問在x軸上是否存在異于F點的定點P，使得FA?PB=FB【答案】（1）y2=4x；（2）存在點P【分析】（1）根據(jù)平面幾何性質(zhì)求得A2+p（2）設(shè)直線FA的方程與拋物線的方程聯(lián)立，進(jìn)而用y1,y2分別表示出FA,PB【詳解】（1）設(shè)FA的中點為C，過C作CE⊥x軸于E，連接CT，因為以FA為直徑的圓與y軸相切于點T0,3，所以CT⊥y于T，故CE=OT=3，因為θ=π3，即∠CFE=π（2）設(shè)Px0,0，且F1,0,由題意可知直線FA斜率不為0，故設(shè)直線FA：x=my+1，所以x=my+1y2=4x，聯(lián)立得y2-4my-4=0，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則【點睛】求定值（定點）問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值（點）與變量無關(guān)．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值（定點）．【變式7-1】4.（2020·四川遂寧·統(tǒng)考二模）過拋物線y2=2pxp>0的焦點F作直線交拋物線于M，N兩點（M，N的橫坐標(biāo)不相等），弦MN的垂直平分線交x軸于點H，若MNA．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】利用點差法，得到弦所在直線的斜率與弦中點縱坐標(biāo)的關(guān)系式，再結(jié)合拋物線的定義即求.【詳解】設(shè)Mx1,y1，Nx2則y1所以y12-則kMN所以弦MN的垂直平分線為y-令y=0，則xH=又MN=所以HF=20故選：D．【變式7-1】5.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|，則l的方程為A．y=x-1或y=-x+1B．y=33（X-1）或y=-33C．y=3（x-1）或y=-3（x-1D．y=22（x-1）或y=-22【答案】C【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),則AF=(1-x1,-y1),FB=(x2-1,y2),由題意知AF=3FB,因此{(lán)即{又由A、B均在拋物線上知{解得{直線l的斜率為±233因此直線l的方程為y=3(x-1)或y=-3(x-1).故選C.【變式7-1】6.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點F和直線l是離心率為e的雙曲線C的焦點和對應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為p．過點F的弦AB與曲線C的焦點所在的軸的夾角為θ0°<θ≤90°，則有【答案】答案見解析【分析】結(jié)合雙曲線的定義，通過討論焦點F內(nèi)分、外分弦AB兩種情況，即可證明．【詳解】設(shè)點A，B，F(xiàn)在準(zhǔn)線l上的射影分別為A1，B1，H，l與曲線C的焦點所在的軸交于點H．過點F作HF的垂線交直線AA1于點M，交直線BB1于點（1）當(dāng)焦點F內(nèi)分弦AB時，如圖，AA1=A1M+因此AFe=p所以焦半徑AF=ep1-所以AB=（2）當(dāng)焦點F外分弦AB時，如圖，AA1=BB1=所以AFe=AF焦半徑AF=epe所以AB=綜合（1）（2）知，AB=題型8橢圓、雙曲線點坐標(biāo)式焦半徑公式二級結(jié)論一．橢圓的焦半徑及其應(yīng)用：1.焦半徑公式：Px0，y0是橢圓x2a2+y2b2Px0，y0是橢圓y2a2+x2b22.橢圓的坐標(biāo)式焦點弦長公式：（1）橢圓x2AB=2a+exA（2）橢圓y2AB=2a-ey二．雙曲線的焦半徑及其應(yīng)用：1:定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點的連線段，叫做雙曲線的焦半徑.2.當(dāng)點P在雙曲線上時的焦半徑公式，(其中F1?為左焦點，F(xiàn)2為右焦點)它是由第二定義導(dǎo)出的，其中a是實半軸長，e是離心率，x0當(dāng)焦點在x軸，P在左支時：PF1=-當(dāng)焦點在x軸，P在右支時：PF1=當(dāng)焦點在y軸:P在上支時：PF1當(dāng)焦點在y軸:P在下支時：PF1三．雙曲線的坐標(biāo)式焦點弦長公式：（1）雙曲線x2同支弦AB=exA+（2）雙曲線y2同支弦AB=eyA+【例題8】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y【答案】AB=2a+【分析】由焦半徑公式即可得焦點弦公式【詳解】設(shè)Ax1,?y1?【點睛】（1）只需要兩根和，即可求得弦長．（2）橢圓x2|AB|=2a+e橢圓y2AB=2a-【變式8-1】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x22+y21=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若過點P【答案】AB【分析】由橢圓的焦點弦長公式可得AB=2a+e(x【詳解】由題意，a=2,則直線AB的方程為x-1+令A(yù)(x1,y直線方程與橢圓方程聯(lián)立y=-2x-2x2所以AB=【點睛】（1）從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程看出焦點的位置，合理選擇橢圓的焦點弦長公式．（2）一般弦長公式對橢圓的焦點弦長仍然適用，但是計算繁瑣，直接利用橢圓的焦點弦長公式就更為簡捷．【變式8-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x249+y213=1，若過左焦點的直線交橢圓于A，B兩點，且A【答案】AB【分析】利用橢圓焦半徑公式求得焦點弦長.【詳解】由已知得a=7，b=13，所以離心率e=AB=【變式8-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(【答案】答案見解析【分析】討論弦AB所在直線的斜率k存在,以及直線與同支、異支相交，結(jié)合第二定義即可得到弦長.【詳解】（1）當(dāng)弦AB所在直線的斜率k存在時，設(shè)直線AB為y=k(x-c)，雙曲線方程x2a2-將直線y=k(x-c)代入①整理得，-a設(shè)A(x當(dāng)k>ba時，弦AB的兩個端點同在右支曲線上(如圖1)∴|AB當(dāng)0≤k<ba時，弦AB的兩個端點在左右兩支曲線上(如圖|AB（2）當(dāng)弦AB所在直線的斜率k不存在時，弦AB與x軸垂直，|AB題型9拋物線點坐標(biāo)式焦半徑公式二級結(jié)論拋物線的坐標(biāo)式焦點弦長公式：（1）拋物線y2=2px（2）拋物線y2=-2px（3）拋物線x2=2py（4）拋物線x2=-2py【例題9】（2021·河北·高三專題練習(xí)）過拋物線y2=2pxp>0的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A,B兩點，若線段【答案】2【詳解】設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為45°的直線方程為y＝x－p2，把y＝x－p2代入y2＝2px，得x2－3px＋14p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p【變式9-1】1.（2023·北京·人大附中校考三模）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，，AB的中點橫坐標(biāo)為4，則．【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義有，結(jié)合已知即可求參數(shù)p的值.【詳解】由拋物線定義知：，而AB的中點橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故答案為：【變式9-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，則過點且斜率為的直線截拋物線所得弦長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及拋物線的定義可求出結(jié)果.【詳解】由可得，準(zhǔn)線方程為，直線，聯(lián)立，消去并整理得，，設(shè)直線與拋物線的兩個交點為，，則，所以直線截拋物線所得弦長為.故選：B題型10焦點弦定比分點求離心率二級結(jié)論1.點F是橢圓的焦點，過F的弦AB與橢圓焦點所在軸的夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB的斜率，且當(dāng)曲線焦點在y軸上時，e=1+注：λ=AFBF或者λ=BFAF,而不是2.過F弦AB與雙曲線焦點所在軸夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB斜率，且當(dāng)曲線焦點在y軸上時，e=1+【例題10】（23·24高三上·云南·階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2且傾斜角為60°的直線l與【答案】2【分析】由△AF1F2的面積是△BF1F2面積的2倍，得到AF2=2【詳解】如圖，由△AF1F2的面積是△不妨設(shè)AF2=2x，BF2=在△AF1F2中，得4x2+4c在△BF1F2中，得x2+4c2①+②×2得x=3a整理得c2-a故C的離心率為23故答案為：2【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于找到a,c之間的關(guān)系，解答時要注意利用△AF1F2的面積是△BF1F2【變式10-1】1.（2022上·遼寧鞍山·高三鞍山一中?？计谥校┮阎獧E圓C:x2a2+y2b2=1的左焦點為F，過F斜率為3的直線l與橢圓C相交于【答案】25【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y【詳解】因為直線AB過F(-c,0)且斜率為3，所以直線AB與橢圓C：x2a2+y設(shè)Ax1因為AFBF=32消去y2并化簡整理得：24將b2=a2-因此，該雙曲線的離心率e=故答案為：25【變式10-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F，過FA．58 B．65 C．75【答案】B【分析】設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1的右準(zhǔn)線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥【詳解】設(shè)雙曲線C:x2過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，如圖所示：因為直線AB的斜率為3，所以直線AB的傾斜角為60°，∴∠BAD=60°，由雙曲線的第二定義得：AM-又∵AF=4∴3e∴e故選：B【點睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.【變式10-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓的離心率；(2)若|AB【答案】(1)2(2)x【分析】（1）由圓錐曲線焦點弦的重要公式ecosθ（2）由圓錐曲線焦點弦的弦長公式|AB|=【詳解】（1）圓錐曲線焦點弦的重要公式ecosθ=λ-1λ所以θ=60°所以ecos60°（2）將e=|AB|=2ep1-因為p=a2c-所以橢圓方程為：x2【變式10-1】4.（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．12 B．35 C．22【答案】A【分析】根據(jù)向量關(guān)系得到A,B,F【詳解】因為3AF+5BF=0，所以不妨設(shè)Fc,0，則AF=由3AF+5BF=0故B8將其代入C:x2a2故離心率為12故選：A1.（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓x2a2+y2b2=1的右焦點為FA．12 B．22 C．23【答案】C【分析】根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理與GF2=2F2H構(gòu)建出關(guān)于a【詳解】設(shè)F2c,0，Gx1,y1，直線方程為y=3x可得a2根據(jù)韋達(dá)定理：y1+y因為GF2=2F2所以y1即4c23a2可得4a2=9故選：C.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為【答案】3【分析】由題意設(shè)雙曲線的方程為x2a2-3聯(lián)立方程，設(shè)Ax1,y1【詳解】因為ca所以3b2=13設(shè)過左焦點F且斜率為k>0的直線為x=1與雙曲線x2a2設(shè)Ax1,因為|FA所以y1所以4y消去y2得169×64×3化簡得1213-3k2因為k>0所以k=故答案為：33.（多選）（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為e，左、右焦點分別為FA．PFB．eC．若P在以F1FD．若PF1=Q【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解判斷A，由由雙曲線的性質(zhì)PF2≥c-a求解判斷B，利用勾股定理求得ba【詳解】由雙曲線定義知PF1-由雙曲線的性質(zhì)PF2≥c-a（P為右頂點時取等號），本題中所以e∈(1,3)，B若P在以F1F2為直徑的圓上，即PF1所以(4a)2+(2a)2=(2c若PF1=QF△PF1F2△QF1cos∠PF2F1+cos∠PF2F1=所以tan∠PF2F1=故選：AD．4.（2021·四川成都·石室中學(xué)?？既＃┮阎本€經(jīng)過拋物線y2=2pxp>0的焦點F并交拋物線于A，B兩點，則AF=4，且在拋物線的準(zhǔn)線上的一點【答案】2【分析】由所給向量關(guān)系可得點C在直線AB上，過點A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合拋物線定義求出∠ACN=【詳解】過點A，B作拋物線y2=2pxp>0準(zhǔn)線x=-p2的垂線，垂足分別為

則有|AN|=|AF|,|BM|=|BF|，因點于是有|CB|=2|BM|，得∠ACN=30而FK//AN，則有|FK|=所以p=2故答案為：25.（2020·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過F1且斜率為kk>0的直線l與橢圓C交于P,Q兩點，點D在y軸上，且滿足PD=QD【答案】（1）x26+y2【分析】（1）由△A1B1F1與（2）設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)(k>0)，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系求x1+x【詳解】（1）設(shè)F1(-c整理得ca=將(3,1)代入C的方程，得由①②及a2=b2+故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由（1）知F1(-2,0)，則直線l的方程為聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得x2消去y可得3k2+1設(shè)Px1,則x1+x所以|1+k易知點E(0,-2)到直線l的距離d設(shè)線段PQ的中點為N，則xN即N-所以線段PQ垂直平分線的方程為y-因為|PD|=|QD|，所以點令x=0，得y=-所以Skk+當(dāng)且僅當(dāng)k=1k故△EPQ與△A2【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線最值問題的常用方法有三種：一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，先引入變量，構(gòu)建與待求量有關(guān)的函數(shù)，然后求最值；二是轉(zhuǎn)化為基本不等式問題，利用不等關(guān)系構(gòu)建不等式并求解；三是利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法求解．如本題第（2）問，先建立關(guān)于面積比值的表達(dá)式，然后對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用基本不等式求解．6.（2021·江西新余·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓O:x2+y2（1）求圓O和橢圓C的方程（2）若點M是圓O上一點，求當(dāng)AF2,【答案】（1）x24+y【分析】（1）由直線被圓截得的弦長為14，運用垂徑定理建立關(guān)于a,（2）求直線P