高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講必備 第24講 空間向量及其應(yīng)用（講義含解析）

第24講空間向量及其應(yīng)用

學(xué)校姓名班級(jí)

一、知識(shí)梳理

名稱定義

空間向量空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量

相等向量大小相等、方向相同的向量

相反向量大小相等、方向相反的向量

共線向量如果兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反,則稱這兩個(gè)向量平行(或

(或平行向量)共線)

空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在

共面向量

同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面

(1)共線向量定理：如果aWO且b〃a,則存在唯一的實(shí)數(shù)4,使得6=4a

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量a,b,c共面的充要條件是，存在

唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y),使c=xa+y6.

由共面向量定理可得判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法：如果4,B,61三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)。

在平面4如內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使瀛=.荔+彘

(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間中的任意一

個(gè)向量P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,Z),使得0=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}稱為

空間向量的一組基底.

(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作應(yīng)=a,應(yīng)=6,則

N/仍叫做向量a與6的夾角，記作(a,b),其范圍是［0,叮］,若⑸6〉=/■，則稱

a與6互相垂直，記作a丄，.

(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量處力的數(shù)量積a-b=|all引cos〈搖6〉.

(1)結(jié)合律：Qa)?b=入(a?扮；

(2)交換律：a?b=b?a；

(3)分配律：(a+A),c=a,c+b,c.

設(shè)a=(x,yi,Zi),b=(^2,72,z2).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a?bx\Xt+y\y2+Z\Z2

共線b=入￡R)X2=y2=Z2=/?

垂直a?6=0(a^O,6W0)xiX2+yiy2+ziZ2=0

模\a\、/言+二+-

.XlX2+a%+ziZ2

夾角

(a,b)(aWO,bWO)COS\3fb)122I2/2丄2I2

YM十必+zy也十先十22

（1）直線的方向向量：如果,是空間中的一條直線，V是空間中的一個(gè)非零向量，且表示y

的有向線段所在的直線與/平行或重合，則稱v為直線/的一個(gè)方向向量.

（2）平面的法向量：如果。是空間中的一個(gè)平面，”是空間的一個(gè)非零向量，旦表示〃的

有向線段所在的直線與平面a垂直，則稱〃為平面a的一個(gè)法向量,此時(shí)也稱〃與平面

a垂直，記作〃丄a.

位置關(guān)系向量表示

直線九厶的方向向量分別為h//12V\//七=力=4V2

Ki,V1厶丄厶V\丄%=所??=0

直線/的方向向量為z平面aI//an=0

的法向量為Z?/丄av//〃=〃=4v

平面a,￡的法向量分別為m"ngn、=九m

Z71,Th。丄￡n\丄?m=0

常用結(jié)論

A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是：爲(wèi)=x宓+族（其中才+了=1）,0為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是：碣x爲(wèi)+y應(yīng)+z詫1（其中x+y+z=l）,。為空間任

意一點(diǎn).

二、考點(diǎn)和典型例題

1、空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理

【典例1T】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知向量4=(2〃/+1,3,加-1),b—(2,

m,一血，且〃〃b，則實(shí)數(shù)朋的值等于（）

B,-2

31

C.0D.一或一2

2

【答案】B

【詳解】

當(dāng)勿=0時(shí)，4=(1,3,-1),b=(2,0,0),

a與b不平行，，/#0,:allb，

故選：B

【典例1-2](2021?河北?滄縣中學(xué)高三階段練習(xí))

a=(1,-1,3),^=(-1,4,-2),c=(1,5,x),若扇山?三向量共面,則實(shí)數(shù)％=

()

A.3B.2C.15D.5

【答案】D

【詳解】

,:a=(1,-1,3)力=(-1,4,-2),???d與〃不共線，

又「〃、b、c:向量共面,則存在實(shí)數(shù)〃/，〃使c=+

m-n=\

即，一加+4〃=5,解得M=2,m=3,x=5.

3m-2n=x

故選:D.

【典例1-3】(2020?全國?高三專題練習(xí))設(shè)x,yeR,向量5=(1,%1),

。=(2,-4,2)且“丄〃，匕//c，則I。61=()

A.2夜B.V10C.3D.4

【答案】C

【詳解】

因?yàn)橄蛄縜=(x,l,l),/>=(l,y,l),C=(2,-4,2)且“丄。，b//c,

所以x+y+l=0,丄=上，

2-4

解得y=-2,x=l,

所以向量a=(l/,l),6=(1,-2,1),

所以a+A=(2,—1,2),

所以|a+6|=122+(-1『+22=3,

故選：C

【典例1-4](2022?全國?高三專題練習(xí))(多選)若｛a,"c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下

列向量共面的是()

A.a+b+c,a-b,2b+cB.a-b,a-c,b-c

C.a+2b,a-2b,a+cD.a-2b,6b-3a,-c

【答案】ABD

【詳解】

選項(xiàng)A,因?yàn)?+0+c=（。一8）+（2匕+c）,所以a+b+c,。一b,2Z?+c共面；

選項(xiàng)B,因?yàn)閍-6=（a-c）-e-c）,所以a-/?,a-c,6-c共面；

選項(xiàng)C,“+2萬,4-2）在“力構(gòu)成的平面內(nèi)，a+c不在這個(gè)平面內(nèi)，不符合.

選項(xiàng)D,因?yàn)椤?2瓦6匕-3。共線,所以a-2A,66-3a,-c共面.

故選：ABD

【典例1-5】（2022?湖南?高三階段練習(xí)）若直線/的方向向量〃?=（x,-l,2）,平面”的

法向量”=（-2,-2,4）,且直線/丄平面a,則實(shí)數(shù)x的值是.

【答案】T

【詳解】

直線/的方向向量機(jī)=*,-1,2）,平面a的法向量〃=（-2,-2,4）,直線/丄平面a,

必有m//n,即向量與向量"共線，

m=An，?,?====:，解得x=-l；

-2-22

故答案為：T.

2、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

【典例2-1】（2022?河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））正四面體A-BCD的棱長為4,空

間中的動(dòng)點(diǎn)尸滿足|尸8+24=2&,則Ap.p。的取值范圍為（）

A.[4-273,4+273]B.[&,30]

C.[4-3夜,4-正]D.[-14,2]

【答案】D

【詳解】

分別取a1,4〃的中點(diǎn)￡,F,則卩呂+改卜卜所卜？^,

所以陛卜夜，

故點(diǎn)P的軌跡是以E為球心，以竝為半徑的球面，

:22

APP￡>=-(PF+M)(PF+FZ))=-(PF+M)(P/'-JE4)=|FA|-|PF|=4-|PF|\

又ED=《DC?-CE。=J16_4=癡=26,EF=ylDE2-DF2=V12-4=>/§=272>

所以|PF|=EF-V2=V2,\PF\=EF+近=3近,

IIminIImax

所以AP/O的取值范圍為[T4,2].

故選：D.

【典例2-2】（2022?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正四

棱臺(tái)AB8-ABG2的上、下底面邊長分別為1和2,尸是上底面AgGA的邊界上一

點(diǎn).若PA?尸C的最小值為則該正四棱臺(tái)的體積為（）

A.IB.aC.亞D.曳

2466

【答案】A

【詳解】

由題意可知，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,oc,oq所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

,c（o,&,o）,由對(duì)稱性，點(diǎn)p在A5］，4G，是相同的,

故只考慮尸在耳￡上時(shí)，設(shè)正四棱臺(tái)的高為厶，則

若，。*,設(shè)P(x,y,z),PC,=-x,^--y,h-z

B￡=，Y'°，因?yàn)槭?G上，所以PG=440(0X1),則

臂哼爭(zhēng)d

2，一伝也+2一旦，一逑+2i],

1222丿I222丿

[222丿1222丿

...DC112(&13竝V2.2

所rr以BDA4?PC=-4+—2----------------20d------+〃

2122)[22丿

=-22+-22+-A--A--+112

22222

=A2-A——+h2=f/l——1+h2

2I2丿4

i7

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)4=3時(shí)，PA.PC取得最小值為〃2-彳，

又因?yàn)槭?PC的最小值為所以外-：=；，解得荘士,(負(fù)舍)，

故正四棱臺(tái)的體積為：

112*7

+5/z2x2+2x2xlxl+lxlX=

V=-(5l+7^r2)=-(^)22,

故選：A.

【典例2-3】ABC-A用G中，丄AC,財(cái)是4G的中點(diǎn)，AB=1,N9G分別在棱

BB—然上，且BN=LBB],AG=-AC,平面協(xié)。與4?交于點(diǎn)〃，則

33

AH

礦-----------'HMAB=---------------.

【答案】6-42

【詳解】

如圖，延長秋7,交AA的延長線于/T,連接心'，顯然KNu平面MMG,KNu平面

因此，平面財(cái)W；與相的交點(diǎn)〃，即為融與力4交點(diǎn),

1

AG3-2

-=-=

在塹堵ABC-AqG屮，AG//A.M,則——AM13-

KA.

2-

iiAUKA

又BN=—B81=—払，則K4=68N,而KA//BN,于是得——=——=6,所以

33BHNB

AH=-AB=6,

7

因丄AB,AM丄AB,所以〃M-A8=（/M+AA+AM）,A8=/M-AB=-6X7=-42.

故答案為：6；-42

【典例2-4】（2022?上海徐匯?三模）已知“、/,是空間相互垂直的單位向量，且口=5,

04=36=20，則卜-的最小值是一

【答案】3

【詳解】

因?yàn)榛ハ啻怪?，所以?=0，

卜/一，"“一〃'=c2+ni2a2+irb2—2ma-c—2nb?<?+Imna-b

=25+機(jī)2+"2—4伝2-4伝=（機(jī)一2&）：1+（〃一2點(diǎn)y+9,

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=”=20時(shí)，取得最小值，最小值為9,

則硏的最小值為3.

故答案為：3

【典例2-5】（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）若尸、。、R是棱長為1的正四面體棱上互不相同

的三點(diǎn)，則PQQR的取值范圍是_______.

【答案】

【詳解】

如下圖所示，由任意性，設(shè)點(diǎn)尸、Q、R分別棱長為1的正三棱錐的棱AD、

BC、80I二的動(dòng)點(diǎn),

設(shè)BQ=2BC,其中彳40,1],則PQ-P8=4(PC-P8),

所以，PQ=(1—4)PB+/IPC,

=1

所以，\PQ\<|(1-A)PB+APC\<(1-A)|PB|+2|PC|<max{|P4IM'

當(dāng)且僅當(dāng)線段PQ與棱AB或CD重合時(shí)，等號(hào)成立，即|月可的最大值為1，

.■.PQQR=-QPQR>-\QP\\QR\=-1,當(dāng)且僅當(dāng)。與點(diǎn)B或C重合，P、R重合于點(diǎn)A

或點(diǎn)。時(shí)，等號(hào)成立，

但P、。、R為不同的三點(diǎn)，則PQQR>-1,

由上可知同|的最大值為1,取線段PR的中點(diǎn)M,

當(dāng)且僅當(dāng)線段網(wǎng)與棱AB重合且Q為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，則

4

綜上所述，SQQRV：.

故答案為：'-

3、空間向量的應(yīng)用

【典例3-1](2022?全國?模擬預(yù)測(cè))下圖為正三棱柱ABC-QE尸的一個(gè)展開圖，若力,

A，4,D,R,2六點(diǎn)在同一個(gè)圓周上，則在原正三棱柱中，直線和直線跖所成

角的余弦值是()

36D,史

~T~7

【答案】A

【詳解】

六點(diǎn)共圓的示意圖如圖所示.

設(shè)原正三棱柱的底面邊長為2a,高為26,圓的半徑為匸

則有方程組[[+*=：，解得r=2b=2怎.

b-+3a-=r

從而在原正三棱柱中，高為底面邊長的6倍.

AE-BF

設(shè)直線力￡和直線游所成角為巴貝ijcos夕二一八”

\AE\-\BF\

由勾股定理，|AEHBF|=J(2a)2+(力(=4〃；

AEBF=(AB+BE)(BE+EF)=BE2+ABEF=(2。尸+(2。)?(2a),cos號(hào)=1Oa2

AE8尸10/5

所以cos。=

\AE\-\BF\16?8

故選：A

A

【典例3-2］（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））在正方體A88-A8CR中，E,尸分

別為AB,BC的中點(diǎn)，則（）

A.平面用EF丄平面B.平面8避尸丄平面ABO

C.平面與E尸〃平面A1AC1）.平面片EF//平面4G。

【答案】A

【詳解】

解：在正方體A8CD-4BGA中，

4c丄BO且DD、丄平面ABCD.

又EFu平面ABCD,所以EF丄。。，

因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，

所以EFAC,所以4'丄8￡）,

又BDDDt=D,

所以EF丄平面B。4，

乂EFu平面片后尸，

所以平面耳EF丄平面8。"，故A正確；

選項(xiàng)BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間宜角坐標(biāo)系，設(shè)43=2,

則g（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）,8（220）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（O,2,0）,

C,(0,2,2),

則所=(-1,1,0),印=(0,1,2),08=(2,2,0),0A=(2,0,2),

M=(O,O,2),AC=(-2,2,O)，AG=(-2,2,0),

設(shè)平面的法向量為m=a,y,zj,

m-EF=-X]+x=0

則有，可取,”=(2,2,-1),

m?E5]=+2zj=0

同理可得平面AB。的法向量為41),

平面AAC的法向量為%=(1,1,0),

平面的法向量為4=(1,1,-1),

貝ij=2—2+1=17^0,

所以平面與EF與平面ABD不垂直，故B錯(cuò)誤;

IIU

因?yàn)樾∨c々不平行，

所以平面與EF與平面AAC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)?與看不平行,

所以平面4EF與平面AG。不平行，故D錯(cuò)誤,

故選:A.

選項(xiàng)BCD解法二：

解：對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)43。耳￡=知，EFCBD=N,則MN為平面瓦所與平

面A8。的交線，

在△BMN內(nèi),作BP丄MVF點(diǎn)P,在EMN內(nèi),作GP丄MN,交ENF點(diǎn)G,連結(jié)

BG,

則NBPG或其補(bǔ)角為平面B.EF與平面A.HD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2.PG2+PN2=GN2.

底面正方形ABC7）中，E,尸為中點(diǎn)，則防丄3D,

由勾股定理可得N^+NG?=灰；2,

從而有：NB。+NG2=（PB2+PN＞（PG2+PN）=BG：

據(jù)此可得PB2+PG2*BG2,EPZBPG*90,

據(jù)此可得平面B.EF丄平面ABO不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取A円的中點(diǎn)“，則4"B、E,

由于A//與平面AAC相交，故平面aEF〃平面4AC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,取AD的中點(diǎn)M,很明顯四邊形為平行四邊形，則AMBF，

由于AM與平面ACQ相交，故平面B產(chǎn)產(chǎn)〃平面AG。不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

【典例3-31（2022?福建龍巖?模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱ABC-AB￡的所有棱長都相

等，”為AG的中點(diǎn)，則AM與8G所成角的正弦值為（

C.—

B-T4

【答案】C

【詳解】

取線段AC的中點(diǎn)。，則8。丄AC,設(shè)直三棱柱ABC-AAG的棱長為2,

以白。為原點(diǎn)，OB、OC、AA的方向分別為x、y、z的正方向建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

則厶（0,-1,0）、“（0,0,2）、網(wǎng)百,0,0）、6（0,1,2）,

＜的叫＞=產(chǎn)將=丁、=回

所以，AM=（0,1,2）,3（；=卜石,1,2）

|財(cái).陷V5x2V24-

所以,sin<AM,BC、>=Jl-cos?<AM,BC、>=乎

故選：C.

【典例3-4】（2022?河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））己知三棱柱

ABC-AgG的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為2,。為BC的中點(diǎn)，若

NAA8=ZA.AC=y,則異面直線與BC,所成角的余弦值為

AG

A'C

B

【答案】亞

6

【詳解】

由題意，A,D=^AB+^AC,BC^AC+AA]-AB,

所以|=；JAB?+Ae?+2AB.A?=丄5/57^7^=G,

22

照卜JAC，+AAt+AB+2ACAAi-2ACAB-2AAiAB=2y/2，

1

\DBCi=-^ACAB+AAxAB-Ali'+AC+ACAA{-ACAB^=2,

所以cos〈AO,BQ〉=j.廣2「=坐

1|A,D|-|BC,|2伝66

故答案為：叵

6

【典例3-5](2022?福建泉州?高二期末)如圖，在直三棱柱MC-A旦G中,

4

AB=AC,AA=4,N54C=90。，D,E分別是BC,46的中點(diǎn)，且%_入就=§.

(1)證明：A。丄8G；

(2)求A。與平面4GE所成角的正弦值.

【解析】(1)

法一：(1)AB=AC,。為比'中點(diǎn)，ADLBC

在直三棱柱ABC-中，網(wǎng)丄平面ABC,又g平面ABC,AAD丄BBt.

又BCBB、=B,BC陰u平面8CC冉，.?.AD丄平面BCC的,

又8C|u平面8CC|A,AD1BCt.

法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系力xyz,設(shè)4定2a,則A(0,0,0),G(0,2a,4),

8(力,0,0),￡)(a,a,0),AD=(a,a,0),BC[=(-2?,2a,4),

ADBCt=a-(-2a')+a-2a+0-4=0,.-.ADLBQ,/.ADIBC,

(2)

4

法一：由(1)得，「.AD丄平面BCC14，設(shè)由得

11〃111,4八

1%Z-A8A=~^Cz-AB\=/〃-A3C=Q'§']〃.〃?4二§,.=Q二2.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則a(0,0,4),G(0,2,4),B,(2,0,4),D(U,0),E(l,0,0)

.-.^0=(1,1,-4),EC,=(-1,2,4),EB；=(1,0,4)

[—x+2y+4z=0

設(shè)〃=(x,)，,z)為平面與GE的一個(gè)法向量，.二〃丄班,〃丄EG即:八令

[元+4z=0

x=4,貝Uy=4,z=-l,/.n=(4,4,1)

設(shè)AQ與平面屏任所成角為仇則sin”|爲(wèi)卜|就了|二甕

法二：AB=AC,〃為比'中點(diǎn)，.-.ADrBC

在直三棱柱ABC-A屮，BB]丄平面4比；乂平面48C,：.AD丄BB]

又BCBBt=B,8cB用u平面8CGA，丄平面3CCM,

4

設(shè)4?=a,由V0TB4=]得

VD-ABA,=234=3'''=2'

則A(0,0,4),C,(0,2,4),4(2,0,4),￡>(1,1,0),￡(1,0,0),

.-.^0=(1,1,-4),EC,=(-1,2,4),鶴=(1,0,4)

I_xH-2y+4z=0

設(shè)〃=(x,y,z)為平面BCE的一個(gè)法向量，丄EB〃丄Eg,即1/八令

1[x+4z=0

x=4,貝的=4,z=-l,/.n=(4,4,1),

設(shè)2與平面型通所成角為。，貝加f端[卜|扁扁]=警.

【典例3-6](2022?全國?高二)在如圖所示的五面體45COFE中，面A8CO是邊長為2

的正方形，AE丄平面ABC。，"7/4E,且。尸=丄4￡：=1,N為BE的中點(diǎn).

2

(1)求證：FN〃平面ABCD；

(2)求二面角N-MF-O的余弦值；

(3)求點(diǎn)A到平面MNF的距離.

【解析】(1)

證明：因?yàn)閬A平面ABCD,A8,AOu平面ABCZ),

所以AE丄A8,AE丄AD,

因?yàn)?3丄4),

所以AE,A8,AL＞兩兩垂直，

所以以A為原點(diǎn)，43,AD,AE所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

示，

因?yàn)槊鍭6CD是邊長為2的正方形，DFHAE,且0F=《AE=1,N為的中