三角函數(shù)最值與取值范圍問題十三大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題17三角函數(shù)最值與取值范圍問題十三大題型匯總

題型1單調(diào)性與量值..............................................................1

題型2輔助角公式求最值..........................................................8

題型3一元二次函數(shù)與最值......................................................12

題型4sinx與cosx和差求最值....................................................21

題型5分式型最值...............................................................26

題型6絕對值型求最值...........................................................31

題型7三角換元法求最值.........................................................39

題型8三角換元法與向?求最值...................................................45

題型9三角換元法與根號型求最值.................................................56

題型10換元法求最值............................................................58

題型11距離與斜率型............................................................61

題型12參變分離................................................................67

題型13復(fù)合函數(shù)型..............................................................68

CKsai

題型1單調(diào)性與最值

.仙知#6

?王?、、、

利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解對應(yīng)區(qū)間的最值問題

【例題11（多選）（2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

/(%)=Sin(3X+?在(0,4]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是

唯一的，則整數(shù)3的取值可能是()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】BC

【分析】利用整體思想與分類討論思想，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】當(dāng)3>。時，3X+/643+,所以；<43+?<￥，得gW3<詈，

6\66J662612

當(dāng)3<0時,a)x4-^6Uco+￡3)/所以一9<43+￡工一十，得一斗<co<—,

6L66/26633

選項BC是范圍內(nèi)的整數(shù).

故選：BC.

【變式1-1]1.(多選I2023秋湖南長沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=

sin(o;x+<p)(3>0)滿足/'(xo)=f(x0+1)=y,且/"(x)在(和,％。+1)上有最大值,無最小

值，則下列結(jié)論正確的是()

A./■(&+1)=1B.若&=0,則/'(x)=sin(TTX+弓)

C./(x)的最小正周期為4D./(X)在(0,2024)上的零點個數(shù)最少為1012個

【答案】AC

【分析】根據(jù)題設(shè)及正弦型函數(shù)的對稱性有/+3=1,假設(shè)B中解析式成立，由&=0

得/0=1，進而驗證解析式，令+(p=2/CTI+?,<o(x0+1)+中=2/cn+亨，k€Z,

作差求3,進而求最小正周期，根據(jù)所得周期及正弦型函數(shù)的零點性質(zhì)判斷區(qū)間零點個數(shù).

【詳解】A,由題意/(x)在(&,與+1)的區(qū)間中點處取得最大值，即/1。+J=1,正確；

B，假設(shè)若出=0,則/'(￡)=sin(TTX+成立，由A知/&=1,

而f。=sin仁+：)=￥彳1,故假設(shè)不成立,則錯誤；

C,/(x0)=fix。+1)=y,且/'(x)在(&,x()+1)上有最大值,無最小值，

令3X。+<p=2fcn+:,w(x0+1)+<p=2Arn+乎，keZ,

則兩式相減，得3=；,即函數(shù)的最小正周期T=5=4,故正確；

D,因為7=4,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2024)上的長度恰好為506個周期，

當(dāng)f(0)=0,即3=kTt,k6Z時，f(x)在區(qū)間(0,2024)上的零點個數(shù)至少為506x2-l=

1011個，故錯誤.

故選：AC.

【變式1-1]2.(2021秋?遼寧大連?高三大連八中?？茧A段練習(xí))關(guān)于函數(shù)"%)=sinx-

xcosx,下列說法正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)B.0是f(%)的極值點

C./⑺在(-若)上有且僅有2個零點D.f⑺的值域是R

【答案】D

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B

選項；利用函數(shù)八%)在(-，當(dāng)上的單調(diào)性結(jié)合”0)=0可判斷C選項；根據(jù)/(2MI)=

-2/cn(fcGZ),再分類討論即可判斷D正確.

【詳解】對于A選項，函數(shù)f(%)=sinx-xcosx的定義域為R,

則/'(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-/(x),故函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，A錯；

對于B選項,f'(x)=cosx—cosx+xsinx=xsinx,

當(dāng)一:<x<0時，sinx<0,止匕時，/(x)>0,此時函數(shù)人工)單調(diào)遞增，

當(dāng)。<x<用寸，sinx>0,此時，/0)>0,此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

所以，。不是函數(shù)f(x)的極值點，B錯；

對于C選項，由B選項可知，函數(shù)f(x)在(-若)上單調(diào)遞增，且/0)=0,

所以，函數(shù)/(%)在(-，與上有且只有一個零點，C錯；

對于D選項，因為函數(shù)/'(x)在R上連續(xù)，/'(2/m)=sin2fcTt—2/cTtcos2fcn=—2fcn,

所以當(dāng)kf+8時，且keZ,f(x)--oo,

當(dāng)kt-8時，且keZ,/(x)T+oo,

又f(0)=0,所以函數(shù)/(x)的值域為R,故D正確.

故選：D.

【變式(多選I2020秋?福建廈門?高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)H知函數(shù)f(x)=

等，xe(0,兀］,則下列結(jié)論正確的有()

A./(x)在區(qū)間(0,兀］上單調(diào)遞減

B.若0<xx<x2<it,則?sinx2>x2-sinxj

C.f(x)在區(qū)間(0,可上的值域為［0,1)

D.若函數(shù)g(x)=xg'(x)+cosx,且g(?r)=-1,g(%)在(0,兀］上單調(diào)遞減

【答案】ACD

【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后對四個選項進行逐一分析解答即可，

對于選項A:當(dāng)x€(05)時，可得f'(x)<0，可得f(x)在區(qū)間(0,9上單調(diào)遞減；當(dāng)%6嶗，乃］,

可得(⑺<0,可得/⑺在區(qū)間槨，兀］上單調(diào)遞減，最后作出判斷；

對于選項B:由f(x)在區(qū)間(0,捫上單調(diào)遞減可得f(%)>/(x2),可得皿>吧,進而作

xlx2

出判斷；

對于選項C：由三角函數(shù)線可知sinx<x,所以陋<三=1,f(兀)=陋=0,進而作出判

xxn

斷；

對于選項D：g，(x)=g'M+xg"(x)-sinx,可得g"(x)=等=/(x),然后利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)g'(x)在區(qū)間(0,網(wǎng)上的單調(diào)性，可得g'(x)Wg'S)=0,進而可得出函數(shù)g(x)在(0,汨上

的單調(diào)性，最后作出判斷.

【詳解】/，(x)=H『，xeco.TT］,

當(dāng)x6(0,3時，cosx>0,由三角函數(shù)線可知X<tanx,

所以x<――,即xcosx<sinx,所以xcosx—sinx<0,

cosx

所以廣⑺<0,所以f(x)在區(qū)間(0,9上單調(diào)遞減，

當(dāng)xG［］，兀］，cosx<0,sinx>0,所以xcosx—sinx<0,f'(x)<0,

所以f(x)在區(qū)間再同上單調(diào)遞減，

所以f(x)在區(qū)間(0,用上單調(diào)遞減,故選項A正確；

當(dāng)0<<%2W兀時I/(X1)>f(x2),

所以照1>3,即XI?sin%2<x2.sinx,,故選項B錯誤;

X1x2

由三角函數(shù)線可知sinx<x,所以也<-=1,f(jr)=—=0,

xxn

所以當(dāng)Xe(0,兀］時,/(x)G［0,1),故選項C正確;

對g(x)=xg'(x)+cosx進行求導(dǎo)可得：

所以有g(shù)'(x)=g'(x)+xg"(x)-sinx,

所以g〃(x)=等=/(%),所以g"Q)在區(qū)間(0,同上的值域為［0,1),

所以g"(x)>0,g'(x)在區(qū)間(0,加上單調(diào)遞增，因為g'S)=0,

從而g'(x)<g'S)=o,所以函數(shù)g(x)在(0,兀］上單調(diào)遞減，故選項D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對于函數(shù)f(x)=等的性質(zhì)，可先求出其導(dǎo)

數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)線的知識確定導(dǎo)數(shù)的符號，進而確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最后作出

判斷，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于中檔題.

【變式1-1J4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sin(3x+*3>0，若/6)=

/償)且/(x)在區(qū)間仁瀉)上有最小值無最大值，則3=

【答案】4或10/10或4

【分析】根據(jù)/(￡)=/(震)可求出f(x)的一條對稱軸，根據(jù)該對稱軸可求出3的表達式和

可能取值，結(jié)合y=sinx的圖像，根據(jù)/⑶在區(qū)間&瑞)上有最小值無最大值判斷3的取

值范圍，從而判斷3的取值.

n5n

【詳解】??'f(xW/g)=/-g),.-.x=守=g是f(x)的一條對稱軸，

?3+￡=巴+ku,3k,

362’..to=1+k￡Z,

?「3>0=1,4,7,10,13,....

.71T_/7T17157r,

當(dāng)居)時,COX+-6(-3+一，——0)+

'6\4612

y=sinx圖像如圖:

’7T,7T,7T,37r(571/71，江,7兀

-<-0)+-<——

2146228,，52

：6：苦或=—<0)<一,

3/a_57r,7T一57r=4<-37加，57r,it97r35，

——<-O)+-<一

、2126、22126、2

此時3=4或10滿足條件；

5713717T

區(qū)間&期的長度為專冶--——

12126

當(dāng)3》13時，f(x)最小正周期T=g《普〈,則f(x)在弓冷)既有最大值也有最小值，故

3》13不滿足條件.

綜上，3=4或10.

故答案為：4或10.

【變式1-1]5.(2023?全國?高三專題練習(xí))若a、b為實數(shù)，且a<b,函數(shù)y=sinx在閉

區(qū)間值句上的最大值和最小值的差為1,貝妨-a的取值范圍是

【答案】［pn］

【分析】討論a的取值，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，即可求解.

【詳解】(i)當(dāng)函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間［a,b］內(nèi)無最值，則函數(shù)丁=5也》在［a,b］內(nèi)單調(diào)，

不妨取[a,b]C(-2,9,可知ae(-^,0),he(0,H),y=sinx在[a向內(nèi)單調(diào)遞增，

可知sin(a+9-sina=cosa-sina=V2cos(a4-

且ae(->0),則a+-39,則cos(a+qe01],

所以sin(Q+—sina=V2cos(Q+：)>1=sinb—sina,即sinb<sin(Q+]

可得匕VQ+,即力—Q<—

①若a=Y,b=I則最大值和最小值的差為:(T)=1,符合題意；

ooZ\，/

②若a€W),be(0,2),

貝!Jsin(Q+9—sina=^cosa-jsina=cos(a+

因為QE(一5，一￡)，則。+￡￡(一,0)1可得cos(a+])V1,

故sinb-sina=1>sin(Q+以一sina,可彳導(dǎo)sinb>sin(a+1

且a+*(—黑)/E(0,%則b>Q+『可得

③若aE(一20),b€(0彳)，

貝！Jsin(a+以一sina=ycosa—jsina=cos(Q+藍)，

因為aE(一也°)，則。+?￡(°W)，可得cos(Q+.)<1,

故sinb-sina=1>sin(a+：)—sina,可彳導(dǎo)sinb>sin(Q+；

且a+M已力武(0%則b>a+)可得

5\oa/\Zz5J

綜上所述：*b-a<J

(ii)當(dāng)函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間［a,b］內(nèi)有最值，不妨取最大值1,最小值為0,

由圖象可知：不妨取a=0,當(dāng)b=TT時,b-a取到最大值Tl；

當(dāng)b=］時，b-a取到最小值T；

可得^<fa-a<n;

綜上所述：b-a的取值范圍是［,可.

故答案為：［pirj.

【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題.它包含以

形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面.一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問

題時，可考慮數(shù)形結(jié)合法.運用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖

形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導(dǎo)致錯誤的選擇.

題型2輔助角公式求最值

、一

即劃重點

通過輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，進而求解對應(yīng)區(qū)間的最值問題

【例題2］（2023?天津東麗??？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f⑺=sins+cosa）x（co>0）圖象的

最小正周期是TU，則（）

①/⑺的圖象關(guān)于點管,0）對稱

②將/（幻的圖象向左平能個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

O

③f(x)在［o,3上的值域為

?人切在卜,。］上單調(diào)遞增

A.①②④B.①②③C.②④D.②③④

【答案】A

【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出3,即可得到函數(shù)的解

析式，由正弦函數(shù)的對稱性可判斷①；由函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷

②；根據(jù)X的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解可判斷③；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性通過解不等式

可判斷④.

【詳解】因為/'(x)=sinwx+COSOJX=V2sin［a)x+,

???函數(shù)的最小正周期是n,：,T=n=，，

=2,/(x)=V2sin(2x+T),

f管)=sin(2x詈+J)=sinn=0,.?./(>)關(guān)于管,o)對稱，故①正確.

/(x+慨)=V2sin(2x+；)=V2cos2x，，/(x+：)關(guān)于y軸對稱，故②正確.

當(dāng)04x4物，有0W2xV兀，則依2x+*',所以一日<sin(2x+=)<l,

"(%)G［-1,72］，故③錯誤.

由一TW2x+TW,解彳導(dǎo)一(n<x<,

24288

所以/(X)的一個單調(diào)增區(qū)間為卜蕓%而卜,o］￡［-y,=］,

"(x)在卜：,0］上單調(diào)遞增,故④正確.

故選：A.

【變式2-1】1(2023,天津?三模)5知f(x)=msincox—cosa)x(m>0,co>0),g(%)=2tanx,

若對VX1GR,3X2e［。,2，使得/(/)<g(%2)成立，若/(X)在區(qū)間［o,何上的值域為［-1,2］,

則實數(shù)3的取值不可能是.

A.-B.1C.-D.-

332

【答案】D

【分析】由題意首先確定函數(shù)外切的值域，然后數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于3的不等式，求解不等式

可得3的取值范圍，據(jù)此可得選項.

【詳解】/(x)=msineox-coswx=Vm2+lsin(a)x+(p),其中tan>=!

由題意可知：［/'(x)］maxW［g(x)］max，即：Vm2+1<2,

則函數(shù)f(x)的值域為［-2,2］的子集，

設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為r,f(x)在區(qū)間［0,比］上的值域為,則：(W7TW|7,

即：復(fù)工"襄解僵W3S2

結(jié)合選項可知實數(shù)3的取值不可能是^

故選D.

【點睛】本題主要考查雙量詞問題的處理方法，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力

【變式2-1］2.(2023秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=

sintox+cos(5+9,(3>0)在［0用上的值域為［-今1］,則3的取值范圍為.

【答案】生|］

【分析】根據(jù)給定條件，化簡函數(shù)f(%),再利用正弦函數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知值域，列式求解作答.

【詳解】依題意，f(%)=gsinax-ycosatx=sin(wx—^),

由x6［O^TT］,>0,得一~Wcox—；WTito-］i

函數(shù)y=sinx在［-翳］上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為［-今1］,在碎,等上單調(diào)遞減，函數(shù)值

集合為［一及1］,

因為函數(shù)/⑶在［0同上的值域為［-今1］,則有TWTW-”與，解得三3嚀，

所以3的取值范圍為

O3

故答案為：區(qū)勺

O5

【變式2-1］3.(2023?陜西銅川?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=cos(x+以cos1+；),若

%€卜%可，則函數(shù)/(為的值域為一.

【答案】［序日

【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換化簡/'(X),再應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域即可.

【詳解】/(x)=—sinx(孝cosx—ysinx)=一孝sinxcosx+^sin2x=—sin2x+yx

l-cos2x

2

V2,oV2o,V21/V2.o,V2\.>/21.n\.V2

="_sln2X_-cos2x+T=--(ysm2x+ycos2x)+-=--sm［2x+-)+-,

xe

-【—黑］時勿+：6［*,乎］,sin(2x+［)e［-y(l］,得:fM€［宇,等.

故答案為：與，用

【變式2-1］4.(2023?四川達州統(tǒng)考二模)函數(shù)y=2sin(ox+2V5cos2-V5(6)>0)在

區(qū)間［0,m］上的值域為［逐,3］,則simna的取值范圍為.

【答案】［|,竽］

【分析】化簡函數(shù)y=2sinwx+2V5cos2號-V5(eo>0)得y=3sin(tox+0)其中sin。=?,

cos。=|,再利用函數(shù)y=3sin(o)x+。)在區(qū)間［0即］上的值域為［低3］,可得等<mto<

n-20,從而得到sin-U)工sinmco<sin(7r一2。)，再結(jié)合sin6=y,cos。=|,利用三

角恒等變換化簡即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可得

y=2sintox+2\/5cos2/-V5=Zsinwx+V5^2cos2/-1)

=2sina>x+V5costox=3sin(a>x+0)r其中sin。=彳,cos0=|,co>0,

;函數(shù)y=3sin(cox+6)在區(qū)間［0,m］上的值域為［63］,

.?.當(dāng)y=3sin(o)x+。)=3時,cox4-0=^,即x=，

當(dāng)時，)=。或3%+乃則％=或冗=，

y=3sin(tox+0)=6&%4-06=-6,03

11-20n—26rji.iTT-20)℃

:，-----<m<----,貝!J------<mo)<71—26,

2332

vsin0=->^=sin-,cos0=?,???-<9<-,

324342

???￡V2。V兀，0V7T—28V巳，則ov￡—ev￡,

2224，

,sin(；—6)4sinmaj<sin(;r—20),

又s"zC_9)=cos0=|,sin(zr-20)=sin20=2sin0cos0=竿r

24V5

:.-<sinmco<—

???sinnuo的取值范圍為：[|,竿].

題型3一元二次函數(shù)與最值

、，*

*E劃重點

類比一元二次函數(shù)，求解最值

【例題3](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(乃=4sin2g+x)+4sinx,xG[0,a]的

值域為[4,5],則實數(shù)a的取值范圍為()

A-[=>?[=-?]C-[MD-[>1

【答案】c

【分析】首先化簡函數(shù)f(%)的解析式，再利用復(fù)合函數(shù)的值域，求實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】f(x)=4cos2%+4sinx=-4sin2x+4sinx4-4

=-4(sinx—0+5,

設(shè)1=sinx,g(t)=-4(t-+5,函數(shù)的對稱軸為￡=|

且/(0)=9(0)=4,g=5,g(l)=4,

因為函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,a］的值域為［4,5］,所以t=sinx在區(qū)間［0,0上能取得t=J但是t不

能小于0,

所以？<a<TT.

故選：c

【變式3-1］1.(多選)(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/■(%)=2sin2%-3sin|x|+1,

則()

A.是偶函數(shù)B.f(x)在區(qū)間(-三,0)上單調(diào)遞增

C./Xx)在上有4個零點D./(x)的值域是［0,6］

【答案】AB

【分析】對A，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可；對BCD,換元構(gòu)造復(fù)合函數(shù)y=2(t-》—《，

\4/o

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、零點的定義以及復(fù)合函數(shù)的值域，可得答案.

【詳解】對于A,函數(shù)y="x)的定義域為R,

且/(一%)=2sin2(—%)—3sin|—%|4-1=2sin2x一3sin|x|+1=f(%),

所以函數(shù)y=/(%)是偶函數(shù)，A正確；

對于B,當(dāng)％e(0,；)時,0<sinx<華,f(x)=2sin2%—3sinx+1=2(sinx—|)-*

令1=sinx,由于函數(shù)y=2(t-—海e(0,')時單調(diào)遞減，

函數(shù)t=sinx在xe(0,媒時單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/⑺在區(qū)間(0,；)上單調(diào)遞減，

故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-;,0)上單調(diào)遞增，B正確；

對于C,當(dāng)xE［Ojr］時,由f(x)=2sin2%—3sinx+1=0,得sinx=g或sinx=1,

所以x=?或“強"=》所以偶函數(shù)y=/(%)在［-5］上有6個零點，C不正確；

對于D,當(dāng)無6［0,+8州寸，f(x)=2sin2%—3sinx+1=2(sinx—

因為T<sinx<1,所以當(dāng)sinx=:時，/(%)min=-1當(dāng)sin%=-1時,/(x)max=6.

由于函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)y=/0)的值域為卜，6],D不正確.

故選：AB.

【變式3-1]2.(2023秋?江西宜春?高三江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)函數(shù)f(x)=

-|cos2x+asinx+a+|,R.若方程/(無)=0在(0㈤上有4個不相等的實數(shù)根，則a的

取值范圍是.

【答案】(-3,6-6V2)

【分析】/(%)=3sin2x+asinx+a+3,%€(0,TT)令sin%=t,tE(0,1],貝！J九(t)=3t2+at+

a+3=0,由題意，原問題等價于h(t)=3/+而+Q+3=0在區(qū)間(0,1)上有兩個不相等

的實數(shù)根，由一元二次方程根的分布即可求解.

【詳解】解：/(%)=-|(1-2sin2x)+asinx+a+1=3sin2x+asinx+a+3,x€(0,九),

令sin%=t,t6(0,1],則九(t)=3t2+ai+a+3=0,

當(dāng)0<￡V1時,sinx=t有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)"1時,sinx=t有且僅有一個實數(shù)根，

因為方程f(x)=。在(0,兀)上有4個不相等的實數(shù)根，

所以原問題等價于八a)=3/+Qt+。+3=0在區(qū)間(0,1)上有兩個不相等的實數(shù)根,

(0<--<1

6

所以有,△=十一12(。+3)>°,解得一3<"6-6或，

/i(0)=Q+3>0

I/i(l)=2a+6>0

故答案為：(―3,6—6V2).

【變式3-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=sin2x-cosx+a,x6怎刀)有

兩個零點.

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)/,牝是g(x)的兩個零點，證明：匕+&<三.

【答案】Q)(+，T)

⑵證明見解析

【分析】(1)由g(%)=0可得a+1=cos2%+cosx,然后令t=cos%,則cos?%+cos%=t+

t2E[—；，0)，再分a+1N0或a+1V—]a+l=—；和—<a+1<0討論即可；

(2)函數(shù)g(X)有兩個零點%i,X2,令4=COSXj<0,t2=cosx2<0,則轉(zhuǎn)化為“，■為

方程a+1=t+產(chǎn)的兩根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得cos/>

cos(^-%2),再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論.

【詳解】(1)解：g(%)=sin2%—cosx+a=—cos2%—cosx4-a+l,xe(，冗).

由g(%)=?？傻肣+1=cos2%+cosx,

令t=cosx,由％E(1,!1)可得一1Vt<0,

故cos2%+cosx=t+產(chǎn)E[—：,0),

當(dāng)a+1>0或Q+1V-]即Q>一1或a<一:時，a+1=t+嚴(yán)無解,

所以g(X)不存在零點；

當(dāng)a+1=-J即Q=-加寸，a+l=￡+/有一解t=一]此時X僅有一解年,

所以g(x)只存在一個零點；

當(dāng)—工VQ+1V0,即一勺<Q<—1時,a+1=t+產(chǎn)有兩解

44

t=-|±Ja+：,此時cosx=-1±Ja+;在xe(Q)各有一解，故g(x)有兩個零點.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(-：,-1).

(2)證明：函數(shù)g(x)有兩個零點與，%2,

令±1=COS%1<0,=COSX2<0,則0,J為方程Q+1=t+/的兩根，

則G+心=，1也=一(。+1)，所以cos%1+cosx2=-1,

2

兩邊平方得cos?%1+COSX2+2COSX1COSX2=1，因為2cosjqcos%2>0,

222

所以cos?/+COSX2<1=COSX2+sinx2/

22

所以cos2/<sinx2=cos(乎-,

由］<小<n可得/<y-X2<n,所以cos(y-x2)<0?

則cos/>cos-冷)，因為y=cos%在&Tl)上單調(diào)遞減，

所以X］<^-%2<即久1+%2<當(dāng)

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，第(2)

問解題的關(guān)鍵是通過換元將問題轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)余弦函

數(shù)的性質(zhì)可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)思想和計算能力，屬于難題.

【變式3-1］4.(2022秋?上海虹口?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知aeR,函數(shù)/'(x)=sin2x-

asinx.

Q)當(dāng)a=2時,求/'(x)的值域；

⑵若函數(shù)y=f(x)-f0-x)在區(qū)間［0用上是嚴(yán)格增函數(shù)，求a的最大值；

(3)設(shè)a=l，ueR.方程/(x)=a的所有正實數(shù)解按從小到大的順序排列后，是否能構(gòu)成等差

數(shù)列？若能，求所有滿足條件的u的值；若不能，說明理由.

【答案】⑴f(x)的值域為；

(2)a的最大值為-魚;

(3)u=:或u=|滿足條件，理由見解析.

【分析】Q)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f(x)的值域；(2)由已知可得尸。)-

/'C-x)20在上恒成立，通過換元及分離變量結(jié)合不等式與函數(shù)關(guān)系，可求a的最

大值；(3)結(jié)合已知條件及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可求u的值；

【詳解】(1)因為a=2,/(x)=sin2x—asinx，所以f(x)=sin2x—2sinx=(sinx—I)2—1,

因為-1<sinx<1，所以-2<sinx-1<0，所以-1<f(x)<3，所以/(%)的值域為［-1,3］；

(2)因為/(x)=sin2x-asinx,y=/(x)-，

所以y=sin2x-asinx-sin2-+asin-,

化簡得y=sin2x-asinx-cos2%+acosx,

因為函數(shù)y=%)在區(qū)間［o(］上是嚴(yán)格增函數(shù)，

所以y'=2sinxcosx-acosx+2cosxsinx-asinx>0在［o用上恒成立,所以4sin%cosx—

a(sinx+cosx)>0在卜瑞上恒成立，令t=sinx+cosx，則t=V2sin［+，因為％W［°用，

2

所以1<t<y/2,又2sinxcosx=1—tr

所以2-2t2-at>0在［1,回上恒成立，所以a<1-2t在［1,網(wǎng)上恒成立，又函數(shù)y=1-

2t在［1,夜］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=或時,y=、2t取最小值，最小值為-魚，所以a<-夜,

所以a的最大值為一夜；

(3)因為/'(x)=sin2x—asinx,a=|,所以不等式/'(x)=比可化為sin?%—isinx=u,

令t=sinx,則一=作函數(shù)y=t2<t<1)的圖象，

又當(dāng)t=；時,12T=-七.

由圖象可得當(dāng)u<-白或t>:時，方程t2--a=0在上沒有解，方程/(x)="沒

IONZ

有解；

當(dāng)U=-2時，方程t2一、一“=0的解為t=1,貝！Isinx=i,方程sinx=:的正實數(shù)解按從

162444

小到大的順序排列記為%1，久2，X3，乂4,….如圖，

y

OX\%2、_^打、X

y=sinx

則X】G(o,H),X2e管,TT),%3=Xl+2TT,所以該數(shù)列不是等差數(shù)列，

當(dāng)一今<u<：時，方程￡2一'—U=0在［—1,1］內(nèi)有兩個解，設(shè)方程的解為G，t2，且一左

IoZLL

方程sinx=6和sinx=七的正實數(shù)解按從小到大的順序排列記為/，％2，%3，%4,…，

設(shè)數(shù)列乙,g/3，*，…為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為慮,因為&-%=2TT,所以d=￡,/+

f

x2=n,則%1=：,所以*3=Y,則0=_.，12=乎與0+2=［矛盾，

當(dāng)然”用寸方程t2-*一比=0在［-1,1］內(nèi)有一個解設(shè)方程的解為t3，且-1WJ-］

方程Sinx=，3的正實數(shù)解按從小到大的順序排列記為Xl，X2，X3/4,…，

設(shè)數(shù)列…為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為義,因為光3-X】=2n,所以d=n,X】+

x2=3n,則Xi=n,所以t3=0,與一1<t3<-擇盾，

若a=|，則方程t2=。在［-1,1］內(nèi)的解為t4=-1，所以sinx=-1，所以x=2fcn+

|TT,所以方程/Xx)=u的正實數(shù)解按從小到大的順序排列后所得數(shù)列為｛2/CTT-品，該數(shù)列

為等差數(shù)列，滿足條件；

_

當(dāng)u=(時，方程t?一1-u=。在內(nèi)有兩個解ts=1,t6=|，由sinx-1，可得x-

2/CTT4--,kEZ,由sin%=--,可得x=2mTT-=2mn——,m6Z,

2266

所以方程/(x)=U的所有正實數(shù)解按從小到大的順序排列后滿足巧k-2=3+(k-l)2n,

叼h1=?+(人一D2n,%3k=半+(k—l)2n,所以$==+(n-l)^,所以該數(shù)列為

等差數(shù)列，

綜上所述，當(dāng)a=:或a=時，方程/(x)=a的正實數(shù)解按從小到大的順序排列后所得數(shù)列

為等差數(shù)列.

【變式3-1]5.(2022秋?廣東佛山?高三華南師大附中南海實驗高中校考階段練習(xí))已知函

數(shù)/(x)=^cos2x+bcosx+C.

(1)當(dāng)b=l,c=1,則/(X)的最大值為；

(2)若對任意/、x2ER,都有If(X1)-/(x2)|<4,則b的取值范圍為

【答案】7[-2,2]

【分析】(1)化簡得出“X)=J(cosx+1)2+：,由一1<COSX<1以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)

可求得f(X)的最大值；

(2)設(shè)￡=cosx6[-1,1],g(t)=產(chǎn)+兒+(：-；，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)te時,g(t)max-

g(t)min<4,對實數(shù)b的取值進行分類討論，分析二次函數(shù)g(t)在[-1,1]上的單調(diào)性，求出

g(t)min、g(t)max，可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式，綜合可求得實數(shù)a的取值范圍?

【詳解】(1)當(dāng)b=c=l時，/(x)=-cos2x+cosx+1=-(2cos12x*4-1)+cosx+1=

44

1..3

-COS^2X+COSX+-

24

=((COSX+I)2+J

因為一1<COSX<1,當(dāng)COS為=1時，f(X)取最大值，即/O)max=2+：=：；

44

(2)函數(shù)/(%)=；cos2x+bcosx+c=|cos2x+bcosx+c—，

設(shè)t=cosx,則te[-1,1].

問題等價于g(t)=“2+兒+c—3對任意的q、t2e［-1,1］,都有歷⑺-g(t2)\<4,

即9(t)max—g(t)min—4.

①當(dāng)-b<-1時,即當(dāng)b>1時,函數(shù)g(t)在上單調(diào)遞增,

則g(t)max-g(t)min=9(1)-g(T)=(^+b+c-^-(^-b+c-^=2b<4,

解得b<2,此時,l<b<2；

②當(dāng)—1<-bW0時，即當(dāng)0<b<1時，

函數(shù)g(t)在［-1,一m上單調(diào)遞減,在(-h1］上單調(diào)遞增，

故g(t)min=g(")=+c-i,

g(t)max=max{g(-l),g⑴}=max^-b+c-^,^+b+c-+b+c-,

則有9(t)max-9(t)min=++C-［)=\b2+b<4,

可彳導(dǎo)￡>2+2b—7<0,解彳導(dǎo)一1—<b<—1+2^2,止匕時,0<h<1；

③當(dāng)0<-b<1時，即當(dāng)一1<b<0時，

函數(shù)g(t)在［-1,一m上單調(diào)遞減，在(-h1］上單調(diào)遞增，

故g(t)min=g(-b)=-1h2+c-i,

9(t)max=max{g(-l),g(l)}=max［i-h+c-i^+h+c-^i-b+c-i,

則有9(t)max-9(t)min=(1-^+c_j)-+C_4)=2^--4*

可得力2—2b—7<0,解得1—2A/2<h<1+2A/2,此時)—1<&<0；

④當(dāng)-b>1時，即當(dāng)b<-1時，函物⑴在［-1,1］上單調(diào)遞減，

則9(t)max一19(t)min=9(一D-9(X)=+=-2b<4,

解得b>—2,此時t—2<b<—1.

綜上所述，實數(shù)b的取值范圍是［-2,2］.

故答案為：(1)；；(2)[-2,2].

4

【點睛】方法點睛："動軸定區(qū)間"型二次函數(shù)最值的方法：

(1)根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端

點對應(yīng)的函數(shù)值進行分析；

(3)將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.

題型4sinx與cosx和差求最值

電劃重點

利用sinx+cosx與sinxcosx的關(guān)系，通過換元可以進行代數(shù)式的化簡

【例題4】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=怒窩，將/(%)的圖像向右平移;

個單位長度，得到g(x)的圖像，則()

A-TT為/'(X)的一個周期

B.f(x)的值域為卜1,1]

C.g(x)的圖像關(guān)于直線x=0對稱

D.曲線y=八功在點(一，/(-習(xí))處的切線斜率為日

【答案】B

【分析】由/(x+n)=-/(x)可判斷A;令《=sinx+cosx,則y=表,求出值域可判斷

B；由三角函數(shù)的平移變化求出g(x),由g(-x)=-g(x)可判斷C;由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判

斷D.

【詳解】對于A,/(x+n)=妥署=-/(x),故n不為f0)的一個周期，故A不正確；

對于B,令1=sinx+cosx=V2sin(x+Je[-V2,V2],且sinxcosx=,

所以原函數(shù)變?yōu)檠?備，當(dāng)t=0時，y=0,當(dāng)"0時，:施+。，

又卜+力22,所以:<-1,agi>1,所以-1<y<OaEO<y<1,

所以f⑺的值域為[-1,1],故B正確;

對于C,將/(》)的圖像向右平就個單位長度，得到g(“)的圖像，

則-sin(x-?cos("9__sinx

則9⑺sin(x-2)cos(x-2)+li*s2x'

又g(-x)=字受=-9W，故g(x)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，所以g(x)的圖像關(guān)于直線x=o

1——COSzX

不對稱，故C不正確；

對于D,尸(久)=美鬻黑箸，所以f'(—9=2/，故D不正確；

故選：B.

cos2x+2sinxcos2x-2sin2xcosx.

【變式4-1]1.(2022?全國高三專題練習(xí))函數(shù)“為=的值域

&cos(%+勺

為()

A.(-V2+1,V2+1)B.[-V2+1,V2+1)C.[-|,V2+1]D.[-3，魚+1)

【答案】D

【分析】將原式化簡為f(x)=cosx+sinx+2sinxcosx，再令t=cosx+sinxG(—V2,V2),

將/Xx)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域.

22

【詳解】解：/(%)cos2x+2sinxcosx-2sinxcosx

&cos(x+^)

cos2x—sin2x+2sinxcosx(cosx-sinx)

cosx-sinx

則/(x)=cosx+sinx+2sinxcosxfix工：+kn,kEZ,

令t=cosx+sinx=V2cos(%一：)￡(-V2,V2),則2sin%cosK=t2-1,

則/(%)=/+t—1,tE(—V2,A/2),

當(dāng)t=夜時，f(x)</(V2)=V22+V2-1=V2+1,

當(dāng)t=時，/(x)min=f(~?=(-1)2+(-1)-1=-；?

故/(x)的值域為卜：，壺+1).

故選：D.

【點睛】本題二次型三角函數(shù)的最值問題考查換元法求函數(shù)值域，要注意新元的取值范圍，

是中檔題.

【變式4-1]2.(2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)"%)=sinx+cosx-

asinxcosx,aeR.

Q)當(dāng)a=。時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若XG(0,n),關(guān)于x的方程/(%)=0有三個不等的實根，求a的取值范圍.

【答案】Q)[-/十2時,聲2對心eZ;

(2)(2V2,-Foo)

【分析】(1)當(dāng)Q=0時，得到/(%)=或sin1+J)