2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)解讀 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用

專題05對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用(知識(shí)解讀)

【專敢說明】

共頂點(diǎn)模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要：含90°的對(duì)角互補(bǔ)，

含120。的對(duì)角互補(bǔ)，兩種類型，種類不同，得出的個(gè)別結(jié)論會(huì)有所區(qū)別。解決此類題型常

用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過頂點(diǎn)作兩垂線.

【方法技巧】

類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型

(1)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,0c平分NAOB,則有以下結(jié)論：

作法1作法2

①CD=CE；

②OD+OE=6OC；

③S+S‘OCT=_OC'

(2)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分NAOB,當(dāng)NDCE的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論：

②OE-OD=6OC；

③SAOCE?SaOCD--OU

類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型

(1)如圖，ZAOB=2ZDCE=120°,OC平分/AOB,則有以下結(jié)論:

作法1作法2

?CD=CE.

@OD+OE^OC.

③Ss+Sg邛"2

(2)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分NAOB,當(dāng)NDCE的一邊與A。的延長線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論：

②OE-ODMOC；

③S.OCE-SAOCO=；"2

【典例今新】

【類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例1】(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB^AD,N8=NO=90°,E、p分別是邊

BC、CD上的點(diǎn)，且NE4F=」_NBAD,線段EF、BE、尸。之間的關(guān)系是；

2

(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形4BCO中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊BC、CD

上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若不成

2

立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、CD

延長線上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若

2

不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2圖3

【變式1-1］如圖，在aABC中，AB^AC,NB4C=90°,直角NEP尸的頂點(diǎn)P是BC的

中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,連接EF交AP于點(diǎn)G,以下五個(gè)結(jié)論：

①/B=/C=45°；?AP=EF,③/AFP和/AEP互補(bǔ)；④是等腰直角三角形；

⑤四邊形AEP尸的面積是△ABC面積的3,其中正確的結(jié)論是()

4

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【變式1-2](1)如圖1,在四邊形ABC力中，AB=AD,ZBAD=\OO°,ZB=ZADC=

90°.E,F分別是BC,CO上的點(diǎn).且NE4F=50°.探究圖中線段EF,BE,尸。之間

的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是:延長到點(diǎn)G,使OG=BE,連接AG,先證明△ABEZZX4DG,

再證明△AEF絲/XAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論，不需證明)：

(2)如圖2,若在四邊形ABCQ中，AB=AD,ZB+Z￡>=180°,E,F分別是BC,CD

上的點(diǎn)，且2/E4F=/84Z),上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)

說明理由；

(3)如圖3,四邊形ABCD是邊長為7的正方形，NEBF=45°,直接寫出△CEF的周

長.

【變式1-3](1)如圖①，在四邊形4BCC中，AB=AD,/B=/O=90°,E,尸分別是

邊BC,C。上的點(diǎn)，且/EAF=」NBA￡>.請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,F￡>之間的數(shù)量關(guān)

2

系：;

(2)如圖②，在四邊形ABCQ中，AB^AD,/〃+/￡>=180°,E,尸分別是邊BC,CD

上的點(diǎn)，且/區(qū)4/=工/84。，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；

2

(3)在四邊形A8CD中，AB=AD,/8+/。=180°,E,尸分別是邊8C,CC所在直

線上的點(diǎn)，且NE4F=2N84。.請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,尸。之間的數(shù)量關(guān)系：.

【變式1-4］問題探究：如圖1,在△ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，DELDF,DE交AB于

點(diǎn)、E,。F交AC于點(diǎn)凡連接EF.

①BE、CF與EF之間的關(guān)系為：8E+CFEF；（填“>”、“=”或“<”）

②若NA=90°,探索線段BE、CF、E尸之間的等量關(guān)系，并加以證明.

問題解決：如圖2,在四邊形A8QC中，ZB+ZC=180",DB=DC,ZBDC=130°,

以。為頂點(diǎn)作NEOF=65°,/EOF的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn),連接EF,探

索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例2】問題背景：如圖1,在四邊形ABCQ中，AB=AD,ZBA￡>=120°,NB=NA￡>C

=90°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NE4F=60°,探究圖中線段BE,EF,FD

之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連接

AG,先證明△ABE絲AWG,再證明△AEF絲ZVlGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

探索延伸：如圖2,若在四邊形A8C。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,P分別是BC,

CO上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

2

實(shí)際應(yīng)用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，

艦艇乙在指揮中心南偏東70°的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指

令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90

海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,尸處，且

兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

G

圖1圖2圖3

【變式2-1】如圖，/XABC是邊長為6的等邊三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以點(diǎn)。

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連結(jié)MN,則△AMN

的周長是.

A

M/\

BC

D

【變式2-2】【問題背景】

如圖1：在四邊形ABC。中，AB^AD,ZBAD=\20°,NB=N4QC=90°,E、尸分

別是8C、C￡＞上的點(diǎn)，且NE4P=60°,試探究圖中線段BE、EF、/。之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到點(diǎn)G,使。G=BE,連接AG,先證明△ABE

絲△AOG,再證明△AEF絲△AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

【探索延伸】如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,Zfi+ZD=180°,E、F分別是

BC,CO上的點(diǎn)，且NE4F=」NBA。，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

2

【學(xué)以致用】

如圖3,四邊形ABCD是邊長為5的正方形，NEBF=45°,直接寫出△OEF的周長

專題05對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用(知識(shí)解讀)

【專敢說明】

共頂點(diǎn)模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要：含90°的對(duì)角互補(bǔ)，

含120。的對(duì)角互補(bǔ)，兩種類型，種類不同，得出的個(gè)別結(jié)論會(huì)有所區(qū)別。解決此類題型常

用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過頂點(diǎn)作兩垂線.

【方法技巧】

類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型

(1)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,0c平分NAOB,則有以下結(jié)論：

作法1作法2

①CD=CE；

②OD+OE=6OC；

③S+S‘OCT=_OC'

(2)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分NAOB,當(dāng)NDCE的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論：

②OE-OD=6OC；

③SAOCE?SaOCD--OU

類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型

(1)如圖，ZAOB=2ZDCE=120°,OC平分/AOB,則有以下結(jié)論:

作法1作法2

?CD=CE.

@OD+OE^OC.

③Ss+Sg邛"2

(2)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分NAOB,當(dāng)NDCE的一邊與A。的延長線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論：

②OE-ODMOC；

③S.OCE-SAOCO=；"2

【典例今新】

【類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例1】(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB^AD,N8=NO=90°,E、p分別是邊

BC、CD上的點(diǎn)，且NE4F=」_NBAD,線段EF、BE、尸。之間的關(guān)系是；

2

(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形4BCO中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊BC、CD

上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若不成

2

立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、CD

延長線上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若

2

不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2圖3

【解答】解：(I)EF=BE+FD,

理由如下：如圖I,延長C8至G,使8G凡連接AG,

在△A8G和△AQF中，

，AB=AD

<ZABG=ZD=90°>

BG=DF

...△A8G絲△4。尸(SAS),

：.AG=AF,NBAG=NDAF,

'：ZEAF^^ZBAD,

2

ZDAF+ZBAE=ZEAF,

：.NGAE=ZBAG+ZBAE^ZDAF+ZBAE^NEAF,

在△GAE和△欣E中，

'AG=AF

<ZGAE=ZFAE>

AE=AE

.,.△GAEg△欣E(SAS),

：.EF=EG,

"：EG=BG+BE=BE+DF,

:.EF=BE+FD,

故答案為：EF=BE+FD-,

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長CB至使8M=。凡連接4M,

VZABC+ZD=180°,NABC+Nl=180°,

/.Z1=ZD,

在△45例和△ADF中，

，AB=AD

<Z1=ZD-

BM=DF

：./\ABM^/\ADF(545),

：.AM=AF,Z3=Z2,

NEAF=L/BAD,

2

：.Z3+Z4=ZEAF,

：.ZEAM=Z3+Z4=N2+N4=ZEAF,

在△M4E和△辦E中，

，AH=AF

,ZMAE=ZFAE-

AE=AE

.?.△MAE絲△或E(SAS),

：.EF=EM,

'：EM=BM+BE=BE+DF,

:.EF=BE+FD；

(3)(1)中的結(jié)論不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如圖3,在EB上截取8"=Z)尸，連接A”,

同(2)中證法可得，△A8H畛△AOF,

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF,

J.ZHAE^ZFAE,

在和△ME中，

'AH=AF

<ZHAE=ZFAE-

AE=AE

.,.△/7A￡^AME(SAS),

：.EF=EH,

,:EH=BE-BH=BE-DF,

：.EF=BE-FD.

E

圖1圖3

【變式1-1］如圖，在△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,直角NEPF的頂點(diǎn)P是BC的

中點(diǎn)，兩邊尸E、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,連接EF交AP于點(diǎn)G,以下五個(gè)結(jié)論：

①NB=NC=45。；?AP=EF；③NAFP和NAEP互補(bǔ)；④△￡尸尸是等腰直角三角形；

⑤四邊形AEP尸的面積是△ABC面積的3,其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【答案】D

【解答】解：：A8=AC,ZBAC=90°,

.,.NB=/C=45°,

故①正確；

?點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，NBAC=90°,AB=AC,

J.AP^CP,NAPC=90°,/BAP=/C=45°,

*/NEPF=ZAPC,

：.NAPE=NFPC,

在AAEP和△CFP中，

，ZEAP=ZC

<AP=PC，

,ZAPE=ZCPF

/.AAEP^ACFP(ASA),

：.PE=PF,

ZSEP尸是等腰直角三角形，

，四邊形AEPF的面積為S/'、AEP+SAAFP=S,\CPF+S/\APF=S/\APC=LS/"、ABC,

2

故④正確，⑤不正確；

VZBAC=Z￡P(guān)F=90°,

.?.NAFP和NAE尸互補(bǔ)，

故③正確；

?；PE不是定長，故②不正確.

正確的有：①③④，

故選：D.

【變式1-2](1)如圖1,在四邊形A8CD中，A8=AQ,/區(qū)4。=100°,/B=NAOC=

90°.E,尸分別是BC,C。上的點(diǎn).且/E4F=50°.探究圖中線段EF,BE,FD之間

的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是:延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明AABE也△AOG,

再證明△AEF絲ZVIGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論是EF=BE+DF(直接寫結(jié)論，不需

證明)；

(2)如圖2,若在四邊形ABCQ中，AB=AD,ZB+Z￡>=180°,E,F分別是BC,CD

上的點(diǎn)，且2NEAF=/BAQ,上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)

說明理由；

(3)如圖3,四邊形ABC。是邊長為7的正方形，ZEBF=45°,直接寫出△￡>￡/的周

長.

【解答】證明：（1）延長尸。到點(diǎn)G.使。G=BE.連接AG,

在△A8E和△ADG中，

'AB=AD

<ZABE=ZADG=90°-

BE=DG

A^ABE^/\ADG(SAS),

：.AE^AG,NBAE=NDAG,

VZBAD=100°,ZEAF=50a,

/.ZBAE+ZFAD=ZDAG+ZFAD=50°,

：.ZEAF=ZFAG=50°,

在△￡?!尸和△G4F中，

'AE=AG

ZEAF=ZGAF>

AF=AF

.?.△E4F絲△GAF(SAS),

:.EF=FG=DF+DG,

：.EF=BE+DF,

故答案為：EF=BE+DF；

(2)結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長到G,使5G=。凡連接AG.

VZABC+ZD=180",NABG+N48c=180°,

NABG=ND,

:在△A8G與△AQF中，

，AB=AD

<NABG=/D，

BG=DF

...△A8GZ&4OF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

,：2ZEAF^ZBAD,

：.ZDAF+ZBAE=NBAG+NBAE=-LNBAD=NEAF,

2

：.NGAE=NEAF,

又AE=4E,

AAA￡G^AA￡F(SAS),

:.EG=EF.

"：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FDx

.?.48=BC=7=AO=C￡>,/R4D=/8CO=90°,

:.NBAH=NBCF=9()°,

又YAH=CF,AB=BC,

叢CBF(SAS),

：.BH=BF,NABH=NCBF,

?:NEBF=45°,

ZCBF+ZABE=45°=NHBA+NABE=ZEBF,

NEBH=NEBF,

又：BH=BF,BE=BE,

:.△EBH0/\EBF(SAS),

:.EF=EH,

:.EF=EH=AE+CF,

：.叢DEF^J^^z=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.

【變式1-3](1)如圖①，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E,尸分別是

邊BC,CO上的點(diǎn)，且/丘4尸=工/區(qū)40.請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,F￡＞之間的數(shù)量關(guān)

2

系：:

(2)如圖②，在四邊形ABC。中，AB^AD,/B+NE)=180°,E,尸分別是邊BC,CD

上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；

2

(3)在四邊形ABCO中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分別是邊8C,CO所在直

線上的點(diǎn)，且NE4/請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,尸。之間的數(shù)量關(guān)系：.

:在△ABG與△AOF中，

"AB=AD

<ZABG=ZADF=90°>

BG=DF

：./\ABG^/\ADF(SAS).

J.AG^AF,N1=N2,

：.Z\+Z3=Z2+Z3=1.ZBAD=ZEAF.

2

NGAE=NEAF.

又AE=4E,

易證△A￡G/

：.EG=EF.

YEG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論EpuBE+FD仍然成立.

理由是：如圖2,延長EB到G,使BG=DF,連接AG.

VZABC+ZD=180°,ZABG+ZABC=\S0°,

：.ZABG=ZD,

?.?在△ABG與△A。尸中，

'AB=AD

<ZABG=ZD>

BG=DF

：./\ABG^/\ADF(SAS).

；.AG=4F,N1=N2,

ZI+Z3=Z2+Z3=AZBAD=NEAF.

2

：.ZGAE^ZEAF.

又AE=AE,

：.^AEG^/\AEF.

:.EG=EF.

,:EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(3)當(dāng)(1)結(jié)論EF=BE+F￡>成立，

當(dāng)圖三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

證明：在BE上截取BG,使8G=。尸，連接AG.

'：ZB+ZADC=\S00,NA￡)F+NAOC=180°,

：.ZB=ZADF.

?.?在△A8G與△AZ)F中，

，AB=AD

<ZABG=ZADF)

BG=DF

A(SAS).

：.ZBAG=ZDAF,AG^AF.

：.NBAG+NEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=XzBAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

'：AE=AE,

：.^AEG^/\AEF(SAS).

：.EG=EF

?:EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

同理可得：.,.EGuEF

,:EG=BG-BE

：.EF=FD-BE.

故答案為：(1)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=

FD-BE.

圖1

【變式1-4】問題探究：如圖1,在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，DEVDF,OE交A8于

點(diǎn)E,OF交AC于點(diǎn)F,連接EF.

①BE、CF與EF之間的關(guān)系為：BE+CFEF；（填“>”、"=”或“<”）

②若NA=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.

問題解決：如圖2,在四邊形A8QC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=\30°,

以。為頂點(diǎn)作NEZ"=65°,NEZ）廠的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF,探

索線段8E、CF、E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【解答】解：(1)如圖I中，延長EO到"使得連接C”，F(xiàn)H.

■:BD=CD,/BDE=/CDH,DE=DH,

:?ABDEt/\CDH(SAS),

:?BE=CH,

■:DE=DH,FDLEH,

:?FE=FH,

在△/C"中，，：CH+CF>FH,

：.BE+CF>EF.

故答案為》.

(2)結(jié)論：E尸=8片+C產(chǎn).

理由：如圖2中，延長即到“，使得連接C”，F(xiàn)H.

■:BD=CD,NBDE=NCDH,DE=DH,

:?△BDEmACDH(SAS),

；?BE=CH,NB=/DCH,

■:DE=DH,FD上EH,

:?FE=FH,

VZA=90°,

???N3+NAC3=90°,

AZACB+ZDCH=90°,

：.ZFCH=90°,

：.FH2=CH2+CF2,

；.E盧=BU+CF2.

(3)如圖3中，結(jié)論：EF=BE+CF.

理由：*:DB=DC,/B+NAC￡>=180°,

,可以將△OBE繞點(diǎn)〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OCH,A,C,，共線.

VZBDC=130°,NEDF=65°,

二ZCDH+ZCDF=ZBDE+ZCDF=65°,

ZFDE=NFDH,

,:DF=DF,DE=DH,

：.J^FDE^^FDH(SAS),

：.EF=FH,

,/FH=CF+CH=CF+BE,

：.EF=BE+CF.

【類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例2】問題背景：如圖1,在四邊形ABCQ中，AB=AD,ZBA￡>=120°,ZB=ZADC

=90°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=60°,探究圖中線段BE,EF,FD

之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連接

AG,先證明△ABE絲AAOG,再證明△AEFg/SAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

探索延伸：如圖2,若在四邊形A8C。中，AB=AO,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,

CO上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

2

實(shí)際應(yīng)用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30°的A處，

艦艇乙在指揮中心南偏東70°的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指

令后，艦艇甲向正東方向以70海里〃J、時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90

海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,尸處，且

兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

G

圖1圖2圖3

【解答】解：問題背景：由題意：ZVIBE絲△AQG,△/1￡：尸絲△AGF,

:.BE=DG,EF=GF,

：.EF=FG=DF+DG=BE+FD.

故答案為：EF=BE+FD.

探索延伸：EF=BE+FD仍然成立.

理由：如圖2,延長尸。到點(diǎn)G,使￡>G=BE,連接AG

VZfi+ZADC=180°,ZADG+ZADC=180°,

：.ZB=ZADG,

又?.?AB=AD,

在△ABE和△ADG中，

，AB=AD

<ZB=ZADG-

BE=DG

/.^ABE^/XADG(SAS),

；.AE=AG,NBAE=NDAG,

2

NFAG=ZFAD+ZDAG=ZFAD+ZBAE=ZBAD-NEAF,

=/BAD-l.ZBAD=^ZBAD,

22

：.ZEAF=ZGAF.

在△AEF和△AGF中，

'AE=AG

-ZEAF=ZGAF>

AF=AF

.?.△AE尸絲Z\AG尸(SAS),

：.EF=FG,

又FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+FD.

實(shí)際應(yīng)用：如圖3,連接EF,延長AE,8尸相交于點(diǎn)C,

在四邊形A08C中，

VZAOB=30°+90°+20°=140°,NFOE=7Q°=上/408,

2

又,：OA=OB,N04C+/OBC=6O°+120°=180°,符合探索延伸中的條件,

結(jié)論EF=AE+FB成立.

即，EF=AE+FB=2X(70+90)=320(海里)

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為320海里.

【變式2-1］如圖，ZVIBC是邊長為6的等邊三角形，BD=CD,ZBDC=nO°,以點(diǎn)。

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,使其兩邊分別交A8于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,連結(jié)MN,則4AMN

的周長是.

【解答】解：是等腰三角形，且/BZ)C=120°,

：.ZBCD=^DBC=30°,

?；XABC是邊長為4的等邊三角形，

.?.NABC=NBAC=NBC4=60°,

.?./OBA=/￡>CA=90°,

延長A8至凡使BF=CN,連接。F,

在△BQF和中，

'BF=CN

<ZFBD=ZDCN>

DB=DC

:.△BDgACND(.SAS'),

：.ZBDF=ZCDN,DF=DN,

；NMDN=60°,

：.NBDM+NCDN=60°,

:.NBDM+NBDF=60°,

在△OWN和△DWF中，

，MD=MD

"ZFDM=ZMDN>

DF=DN

:.叢DMN驗(yàn)叢DMF(SAS),

:.MN=MF,

；.△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC^6+6=12.

故答案為：12.

N

B