高中數(shù)學考試壓軸題講義-超越方程反解難巧妙構造變簡單（含答案）

專題15超越方程反解難，巧妙構造變簡單

【題型綜述】

導數(shù)研究超越方程

超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變.數(shù)的多項式或開方表示的函

數(shù)，與超越.方程相對的是代數(shù)方程.超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進行.大部分的超越

方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解.

在探求諸如%3-6x2+9x-10=0,x1-21nx=x-14x+2方程的根的問題時，我們利用導

數(shù)這一工具和數(shù)形結合的數(shù)學思想就可以很好的解決.

此類題的一般解題步驟是：

1、構造函數(shù)，并求其定義域.

2、求導數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點.

3、畫出函數(shù)草圖.

4、數(shù)形結合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與％軸.的交點情況求解.

【典例指引】

例1.已知函數(shù)/(x)=ax+xlnx在x=e-2處取得極小值.

(1)求一實數(shù)。的值；

(2)設/(％)=爐+(%一2)10%-〃力，其導函數(shù)為'(X),若b(x)的圖象交x軸于兩點

。(國,0),。(々,0)且玉<々，設線段的中點為N(s,O),試問s是否為P(x)=O的根.？說明理由.

例2.設函數(shù)/(X)=上1%-(以2

(1)當。=31=2時，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)一令E(x)=/(x)+,a/+法+巴(0<xW3),其圖象上任意一點尸(%,%)處切線的斜率左三巳恒成

2x2

立，求實數(shù)〃的取值范圍.

(3)當。=01=—1時，方程/(x)=m在區(qū)間［"?］內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)加的取值范圍.

例3.已知函-數(shù)f（x）=axex（aw0）

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若關于x的不等式f(x)<|lnx+x-4|的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)-a的取值范圍.

【新題展示】

2a,

112019山西祁縣中學上學期期末】已知函數(shù)f(x)=一x+—+alnx,aCR.若f⑴二o

33x

(1)求實數(shù)a的值；

21

(2)若關于X的方程x2f(x)+-x3—x+l=kx有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍.

33

1

2.12019浙江臺州上學期期末】設函數(shù)f(x)=-x“-x',xGR.

4

(I)求函數(shù)f(x)在x=l處的切線方程；

(II)若對任意的實數(shù)x,不等式f(x)2a-2x恒成立，求實數(shù)a的最大值；

(III)設mwO,若對任意的實數(shù)k,關于x的方程f(x)=kx+m有且只有兩個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍.

3.12019浙江杭州高級中學上學期期中】已知函數(shù)f(x)=x2eX-lnx-

⑴若關于*的方程3=*20*?在(2,3)內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)求證：當x>0時，f(x)>1.

【同步訓練】

1.己知.函數(shù)〃x)=/e-2x—x—g(reR),且〃x)的導數(shù)為:(x).

(.1)若/(耳=/(可+必是定義域內(nèi)的增函數(shù)，求實數(shù)f的取值范圍；

(II)若方程〃x)+F'(x)=2-2%-必有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù).的取值范圍.

22

2.已知函數(shù)/⑺二口^一4一5的圖象的一條切線為了軸.⑴求實數(shù)。的值；.⑵令

-g(x)=|/(x)+/'(x)|，若存在不相等的兩個實數(shù)滿足g(xj=g(%2),求證：X1X2<1?

3.已知函數(shù)=o(x+lnx)(aw0),,g(x)=%?.

(1)若“X)的圖象在X=1處的切線恰好也是g(X)圖象的切線.

①求實數(shù)a的值；

②若方程/(司=儂在區(qū)間」,+oo］內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)機的取值范圍.

(2)當0<a<l時，求證：對于區(qū)間［1,2］上的任意兩個不相等的實數(shù)玉，x2,都有

|/(西)—/(々)|<保(N)一(々)|成立.

4.已知函數(shù)/(x)=xlnx,(e=2.718).

(1)設g(x)=+-2(e+l)x+6,

①記g(x)的導函數(shù)為g<x),求g'(e)；

②若方程g(x)-a=O有兩個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍；

.(2)若在［1,6］上存在一點「使〃2(4%0)-1)〉芯+1成立，求.實數(shù)"2的取值范圍.

5.已知函數(shù)/(x)=(%2—3X+3)?/.

(1)試確定/的取值范圍，使得函數(shù)/(x)在［-21］?>-2)上為單調(diào)函數(shù)；

(2)若/為自然數(shù)，則當/取哪些值時，方程/(x)-z=O(xeR)在［-21］上有三個不相等的實數(shù)根，并

求出相應的實數(shù)z的取值范圍.

6.已知函數(shù)"X)=lnx+ax2,g(x)=工+%+6,且直線y=-工是函數(shù)〃x)的一條切線.

(1)求。的值；

(2)對任意的％］e［l,—］,都存在％2W［1,4］,使得=，求方的取值范圍；

(3)已知方程〃x)=cx有兩個根須,々(九1<%2)，若g(玉+%2)+2c=0，求證：b<0.

a

7.已知函數(shù)f(x)=e'(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…)，g(x)=-x+b,(a,beR).

a

(1)若h(x)=f(x)g(x),b=1—，求h(x)在［0,1］上的最大值巾(a)的表達式;

2

(2)若a=4時，方程4(x)二g(x)在［0,2］上恰有兩個相異實根,求實根b的取值范圍;

15

(3)若b=——，aCN*，求使f(x)的圖象恒在g(x)圖象上方的最大正整數(shù)a.

2

8設函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx-

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；

X+X

(3)若方程f(x)=c(c€R),有兩?個不相等的實數(shù)根比較_^與0的大小.

專題15超越方程反解難，巧妙構造變簡單

【題型綜述】

導數(shù)研究超越方程

超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變數(shù)的多項式或開方表示的函

數(shù)，與超越方程相對的是代數(shù)方程.超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進行.大部分的超越

方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解.

在探求諸如%3-6x2+9x-10=0,x1-21nx=x-14x+2方程的根的問題時，我們利用導

數(shù)這一工具和數(shù)形結合的數(shù)學思想就可以很好的解決.

此類題的一般解題步驟是：

1、構造函數(shù)，并求其定義域.

2、求導數(shù)，得單調(diào)區(qū).間和極值點.

3、畫出函數(shù)草圖.

4、數(shù)形結合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與I軸的交點情況求解.

【典例指引】

例1.已知函數(shù)/（x）=ax+xlnx在x=e-2處取得極小值.

（1）求實數(shù)服的值；

（2）設廠（力=/+（%一2）1迎一〃%）,其導函數(shù)為尸'（x）,若*x）的圖象交x軸于兩點

。（國,0）,。（々,0）且玉＜々，設線段的中點為N（s,O）,試問s是否為P（x）=O的根？說明理由.

【思路引導】

（1）先求導數(shù)，再根據(jù)了'.一2）=。，解得1=1,最后列表驗證（2）即研究/（與上］=0是否成立，

f

因為F\+%2--------1,禾U用xj_21叫一玉=0,々2—21n%2_%2=0得

y2J石+%2一一

西+「2（1叫-恒）+］,所以"二］=2（1叫-g）_」=o,轉化為］小3=0.其

冗1_%2I2JX1-X2%+入2%+1

中/=土，最后利用導數(shù)研究函數(shù)4/）=1皿-丑二。單調(diào)性，確定方程解的情況

1+1

試題解析：

(1)因為〃x)=ox+Alnx,所以/'(x)=a+lnx+l,

因為函數(shù)〃X）在X=c一處取得極小值，

所以r（e"）=O,即a+lne-\l=O,

所以a=1,

所以/'（x）=lnx+2,

當/'（x）>0時，x>/2,當/，（x）<o時，0<x<e-2

所以〃x）在他，，上單調(diào)遞減，在（不,用）上單調(diào)遞增.

所以/（x）在x=，2處取得極小值，符合題意.

所以a=1.

（2）由（1）知函數(shù)=X?-21nx—九.

??.函數(shù)/（x）圖象與1軸交于兩個不同的點。（石,0）,。（％,0），（石<馬），

2

X；_21叫一%=0,%2-21IU2-X2-0.

兩式相減得％+々=之°叫一犯）+1

玉~X2

F'（x）=2x——1

X

1=2（—

\2）x{+x2x1-x2再+九2

下解2（1叫Tn%）一4=0即in±_2（）一々）=o.

%-x2/+x2x2須+x2

令?=五，'/0<%,<x9,0<^<1,即1皿一——=0.

x21+1

令M⑺=1皿_2"：),/⑺=1一4—(if

?+1)2一d+])2.

???“。在（0,1）上是增函數(shù)，貝I」"（1）<=0,

從而知—一^+2（1叫-g）<0,故口，（五!逗］<o,即E<s）=0不成立.

故s不是尸(x)=0的根.

例2.設函數(shù)“X)=lnx-gox2-法

(1)當。=31=2時，求函數(shù)，(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令網(wǎng)xN/GHLaxZ+bx+qovx.),其圖象上任意一點尸(%,為)處切線的斜率上WL恒成

2x2

立，求實數(shù)〃的取值范圍.

(3)當。=0/=-1時,，方程〃力=如在區(qū)間［11］內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實.數(shù)加的取值范圍.

【思路引導】

(1)先求導數(shù)r(x)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式尸(x)>0和r(x)(0,尸⑺”的區(qū)間為單調(diào)增.區(qū)

間，/'(x)<0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間；(2)先構造函數(shù)E(x)再由以其圖象上任意一點尸(%,%)為切點的

切線的斜率左V，恒成立，知導函數(shù)左《工恒成立，再轉化為

求解；(3)先把握

22I2

/(力=儂有唯一實數(shù)解，轉化為〃2=1+也有唯一實數(shù)解，再利用單調(diào)函數(shù)求解.

試題解析：

(1)依題意，知/(X)的定義域為包+00),當。=31=2時，/(x)=lnx--x2-2x,

-3f-2x+l_-<3x-lXx+l)

f\x)=--3x-2

xXX

令/'(x)=0,解得x=g或x=-l(舍去)，

當0<x<g時，/，(力>0；當時，1f(x)<0,

所以〃x)的單調(diào)增區(qū)間為:ogj,激區(qū)間為;￡+8；.

(2)由題意知尸(x)=lnx+2,xe(0,3］,則有左二?卜卜代芻42.在(0,3)上恒成立，所以

x毛2

|，當刈=1時，―：君+毛取得最大值)所以a2有

a>

max222

(3)當a=01=-1時，/(x)=lnx+x,

Inx

由/'(x)=wx>得lnx+x=wx,又x>0,所以加=1H----->

X

要使方程/(X)=爾在區(qū)間［1e］上有唯一實數(shù)解，

只需加=1+處有唯一實數(shù)解

X

1nx

令g(x)=l+叱(X>O),g，(X)=1,由g'(x)>0得0<x<e；g'(x)<0,得x>e,

XX

：.g(x)在區(qū)間［Le］上是增函數(shù)，在區(qū)間［上是減函數(shù).

212

g(l)=Lg(J)=l+F,g(e)=l+-，故l<m<l+-j-.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究方程的根、不等式的恒成立和

導數(shù)的幾何意義，屬于難題.利用導數(shù)研究函數(shù)/'(%)的單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)/(x)的定義域；②對

/(x)求導；③令/'(x)>0,解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間；令/'(x)<0,解不等式得x的范.圍就

是遞.減區(qū)間.

例3.已知函數(shù)f(x)=axe*(aw0)

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若關于x的不等式f(x)<|lnx+x-4|的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

【思路引導】

(1)求出f<x),分兩種情況討論，分別令f，(x)>0得增區(qū)間，令底x)<0得減區(qū)間；⑵|lnx+x-4|>axex?

llnx+x-41Inx+x-4lnx+x-4

------------------，令h(x)=-------------,利用導數(shù)研究其單調(diào)性，結合零點定理可得結果.

xeXxeXxeX

試題解析：

(1)f'(x)=a(x+l)ex-當a>0時，3)在(-8.一i)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)單調(diào)遞增；當a<o時，f(x)在(-8,一工)

上單調(diào)遞增，在(-1,+8)單調(diào)遞減；

|lnx+x-4|Inx+x-4

(2)依題意||nx+x-4|>axe、，|lnx+x-4|Aaxe'o;="，

xexe

Inx+x-4((x+l)(lnx+x-5)

令h(x)=------------,則h(x)=-------------------------,

x2x

xexe

,1

令巾(x)=lnx+x-5,貝。巾(x)=-+1>0,即巾(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

X

X4>(3)=ln3-2<0,4)(4)=ln4>0,

???存在唯一的tE(3,4),使得的=0.

???當xW(0,t),帕)<o=h'(x)>O=h(x)在(0,t)單調(diào)遞增；

當xE(t,+8),(|)(x)>0=>h'(x)<O=h(x)在(t,+河單調(diào)遞減.，

3ln2-2In3-1

vh(l)=--<0,h(2)=-----—<0,h(3)=-----—>0,

e2e3e

且當x>3時，h(x)>0,

32-In2In3-12ln2

X|h(l)|=-,|h(2)|=-->|h(3)|=一1，依4)|二七.

e2e3e4e

In3-12-In2

故要使不等式|p(x)|>q(x)解集中有且只有兩個整數(shù)，a的取值范圍應為一-<a<--

3e2e

【新題展示】

1.【2019山西祁縣中學上學期期末】已知函數(shù)f(x)==x+?+alnx,aeR.若f'⑴=o

33x

(1)求實數(shù)a的值；

21

(2)若關于X的方程x2f(X)+f3—X+l=kx有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍.

33

【思路引導】

(1)求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于。的方程，解出即可；

11

(2)得到元歷x+-二鼠令g(x)=xlnx+根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出無的范圍即可.

XX

【解析】

.2aa

(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0.+8),f(x)

33x2x

,.2a

(l)=----+a=0,解得a=1.

(2)由/f(x)+-x3」x+1=kx,整理后得x'lnx?1=kx.所以xlnx/二k.

33x

1?1x2-l.

令g(x)=xlnx+-,貝ijg(x)=lnx+l?工=lnx+--,顯然g(l)=O.

XXX

當。<X<1時,g(x)<0,g(x)為減函數(shù)；當X>1時，g(x)>0,g(x)為增函數(shù).

所以當x=l時，g(x)mjn=g(l)=l,即g(x)的值域為［1,+8).

21

所以使方程x2f(x)+-x3--x+l=kx有實數(shù)解的k的取值范圍k21.

33

2.12019浙江臺州上學期期末】設函數(shù)f(x)」x3<3,xeR.

4

(I)求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；

(II)若對任意的實數(shù)x,不等式f(x)2a-2x恒成立，求實數(shù)a的最大值；

(III)設mxO,若對任意的實數(shù)k,關于x的方程f(x)=kx+m有且只有兩個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍.

【思路引導】

(I)求出函數(shù)在x=l處的導數(shù)后可得切線方程.

4

(II)參變分離后求函數(shù)g(x)=--x3+2x的最小值可得a的最大值.

4

x4-4x3-4m

(III)因為故f(x)=kx+m無零根，參變分離后考慮h(x)==^^的圖像與直線y=k總有兩個不同

4x

的交點，從而得到實數(shù)m的取值范圍.

【解析】

35

(I)f(x)=x3-3x2?且f(l)=-—,所以在x=1處的切線方程為y=-2x+-.

44

4

(ID因為對任意的實數(shù)x,不等式*x)2a?2x恒成立.所以2M恒成立

4

4

l§g(x)=—X3+2X^則8，僅卜二?3?2.2=(x-l)(x2-2x-2|

4

=僅?1心?1?向僅-1+8，

所以以X)在(1+8.8)單調(diào)遞增，在(-8,1.向，(1,1?向單調(diào)遞減

所以g(x)min=-4),g(l?而)}>

因為1-&1?是方程x?.2x.2=0的兩根.

所以X°3(2x0+2)

明以

g(x°)=--x0+2x0=----x0(2x0+2)+2x0

=(X0+1)2-2X；=-X；+2XO+1=-1.(其中x0=l士肉

所以a的最大值為-1.

(Ill)若對任意的實數(shù)k,關于x的方程2)=1?+01有且只有兩個不同的實根,

當x=0,得m=0,與已知矛盾.

4?3.4.3.

E、Ix-4x-4m._,___x-4x-4m.,.、?

所以k=----------------有兩根，即V=-----------------與y=k有兩個父點

4x4x

Aa43

x-4x-4m3x?8x+4m

令h(x)=,貝也僅卜-----------.

4x4x

ap(x)=3x4-8x3+4m,p[x)=12x2(x-2),貝如同在(-叫2)單調(diào)遞減，(2,+-)單調(diào)遞增，所以

P(x)min=P(2)=4m-16.

(i)當4m-1620時,即mN4時，則h'(x)20,即h(x)在(-°°,0),(0,+8)單調(diào)遞增，且當xC(-8,o)時，h(x)

的取值范圍為R;當x6(0,+8)時，h(x)的取值范圍為R.此時對任意的實數(shù)k,原方程恒有且只有兩個不同的

解.

(ii)當0cm<4時，p(x)有兩個非負根x2,所以(1年)在(-8,0),(0人)，僅2，+8)單調(diào)遞增，儀爐2)單調(diào)遞

減，所以當ke(h(X2),h(xJ)時有4個交點,卜=?])或1<=小2)有3個交點,均與題意不合,舍去.

(iii)當m<0時，則p(x)有兩個異號的零點X],x2,不妨設々(CXx2,則|1僅)在(-8?)，僅2，+8)單調(diào)遞增；

h(x)在的,0),(0々)單調(diào)遞減.

當xC(-8,xJ時，h(x)的取值范圍為(-8,h(xJ),

當xe(x2,+8)時，h(x)的取值范圍為(Mx?),+8),

所以當h(xJ=h(X2)時，對任意的實數(shù)k,原方程恒有且只有兩個不同的解.

所以有3x：-8x；+4m=0,3x：-8x；+4m=0,得3(x；+X；)(X]+x2)=8(xj+x；+xp2).

由h(xJ=h(X2),得x；-3x；=x；-3x；,BPx^++xxx2=3(x1+x2).

所以xj+x；=8,xj2=-2,X1+X2=2.

故8m=8(x；+x；)-3(x：+x：)

2

=8(x1+x2)(x^-XJ2+x；)-3[(x；+-2(X1X2)]=-8.所以m=-1.

所以當m>4或m=-1時，原方程對任意實數(shù)k均有且只有兩個解.

3.【2019浙江杭州高級中學上學期期中】已知函數(shù)f(x)=x2eX-lnx.

(1)若關于x的方程f(x)=x?eX-ax在(L3)內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)求證：當x>0時,f(x)>1.

【思路引導】

Inx

(1)關于X的方程f(x)=x2e'.ax在(1,3)內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根等價于丫=一，xe(1,3)與y=a有兩個不同的交

X

點；

(2)要證當x>0時，f(x)>l即證

【解析】

(1)由f(x)=xe-ax可得：a=—

x

Inx

即V=—，*6(1,3)與廣2有兩個不同的交點。

X

1-Inx|nx

由=可知：y=-在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e，3)上單調(diào)遞減，

xx

/In31.

-ae(Tel

1

(2)證明：f'(x)=x(x+2)ex--,x>0,

x

由f"(x)=甘+4*+2甘+[>0,得f，(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X

11

根據(jù)零點存在定理可知，存在Xo［：使得f(x0)=O

當xe(O,X。)時，f'(x)<0,f(x)在(0,X。)上單調(diào)遞減；

當xe(xo，+8)時，f(x)〉O,f(x)在的，+8)上單調(diào)遞增;

故f(x)mm=f(xo)=xo2e°-lnxo*f'(xo)=。，得到*。卜+2,；=0,

0

/\X。1X。1

即x(x0+2)e=-e=--

xoX02(X0+2)

X1-Inx0,其中Xo€(：1

故f(xo)=x°e-lnx0=--

xo+22

人1/I1

令g(x)=----Inx,x6-

x+2\42

11/Ilx

由g'(x)=---------<0,得到g(x)在-，-上單調(diào)遞減,

(x+2)2x[42/

故g(x)〉g8=m-ln‘>1,即f(x0)>l,

綜上：有f(x)min〉L則當當x>0時，f(x)>1.

【同步訓練】

1.已知函數(shù)/(x)=/e-2x—x—g(/eR),.且的導數(shù)為尸(x).

(I)若E(x)=/(x)+x2是定義域內(nèi)的增函數(shù)，求實數(shù)/的取值范圍；

(II)若方程〃x)+r(x)=2-2x-必有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù)/的取值范圍.

【思路引導】

(I)只需/'(0》0,即—l)e2￡=g(x)恒成立，求出g(x)1nm即可得結果；(II)原方程等價

于/=口2+》_：卜x,研究函數(shù)可可=02+%—g卜x的單調(diào)性，結合圖象可得結果.

試題解析：

(I)因為產(chǎn)(x)=/(x)+￡=x-x+te~2x—,所以/(x)=2x-l-2re-：x.

由/'(x)20,得2x-l-2Je-2xN0,即，4：(2x-l)eX對于一切實數(shù)x都成立.

再令g(x)=；(2x-l)e",則g，(x)=2-*,由g'(x)=0,得x=0.

而當x<0時，g'(x)<0,當x>0時，g'(x)>0,所以當x=0時，g(x)取得極小值也是最小值，

即g(xL=gM=-；,所以r的取值范圍是；一8「：.

(II》由(I)知1(x)=_&e-T,

22llx1

所以方程〃x)+/'(x)=2-2X-X,gp?e--x-l-2tS--l=2-lx-x,

整理，得f=[/+x-1)e".

令為(x)=；f+x-g/"則爾(x)uZX+Zx-Bje：*=2(x+3)(x-l)elr,

令。'(x)=0,解得元=一3或x=l.

列表得：

X(-00,-3)-3(-3」)1(1,+8)

//(%)+0—0+

/z(x)增極大值減極小值增

由表可知當％=-3時，％(x)取得極大值geR

3

當X=1時，〃(%)取得極小值-h2.

7

又當?shù)?lt;-3時，x2+x-->0,e2x>0,此時％(x)>0

因此當x<—3時，丸(x)e[o,ge]；當—3<x<l時，A(x)e^-|e2,|e-6^；當x>l時，

h(x)e1―|e2,+oo)因此實數(shù)/的取值范圍是[o,ge].

22

2.已知函數(shù)f[x}=ax2-inx~~的圖象的一條切線為工軸.(1)求實數(shù)a的值；(2)令

g(x)=，(x)+/'(x)|，若存在不相.等的兩個實數(shù)%,％2滿足g(xj=g(%)，求證：玉%2<L

【思路引導】

(1)對函數(shù)求導，由題可設切點坐標為(％,0)，由原函數(shù)和切線的斜率為o可得方程組，解方程組得。值;

213、1

(2)由題知g(x)=1戶―1+6——1!^，可構造去絕對值后的函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系,

判斷g(x)的單調(diào)性，再構造函數(shù)G(x)=g(x)-g，利用導數(shù)判斷出G(x)的單調(diào)性，最后可令

0＜尤1＜1＜%，利用G(x)單調(diào)性可得結論.

試題解析：

12

/&）=國-Inx^-^Q

()r

1/(x)=^-7x--,X>0,設切點坐標為（七刀），由題意得｛,

2x，（毛）=可＞/^=o

%=1

解得｛2?

a=一

3

⑵12,2、J—1

g(x)=||^-1+4x---Inx，令%（x）=^-'x3-1+Vx------Inx,

x31Jx

1\1

則S)—?當xNl時,——之0,7zr（x）＞0,

xJx

〃(x)又可以寫成石+亡廣A一，當0＜x＜l時，=＞0,〃（x）＞0,

x"X

因此〃'(X)在(0：+x)上大于0,Mx）在（0.+8）上單調(diào)遞增，又咐=0,

因此〃(可在(0,1)上小于0,在(L+＜?）上大于o,

g（上L（X）,0＜】＜1且g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

g⑴=0,

當x＞l時，0＜工＜1,

X

記G（x）=g（x）-g、）

記函數(shù)y=/'（x）的導函4發(fā)為y=r'(x)，則

±廣11一3尸

G,（x）=r（x）+r（x）-

XyxJX\XJ

111(m

—X

12日口一胃"

(?T+晝+家血

故G(x)在(L-)上單調(diào)遞增,

所以G(x)>G(l)=0,所以g(x)-g>0,

不妨設0<項<l<Xj>貝Ug(xi)=g(%)>g,—:,

'x?J

而0<百<1,0<1,有單調(diào)性知再<」，即再吃<1.

W巧

3.已知函數(shù)〃x)=o(x+lnx)(awO),g(x)=xt

(1)若/(x)的圖象在戈=1處的切線恰好也是g(X)圖象的切線.

①求實數(shù)。的值；

②若方程/(力=儂在區(qū)間+oo］內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)加的取值范圍.

(2)當0<a<l時，求證：對于區(qū)間［1,2］上的任意兩個不相等的實數(shù)％,x2,都有

|/(X1)-/(X2)|<|.?(X1)-.?(X2)|成立?

【思路一引導】

⑴①首先求函數(shù)〃x)的圖象在x=1處的切線，f'(x)=ajl+-l/⑴=2a,又因為切點為(1,a),

所以切線方程為y=2ax-a,于是問題轉化為直線y=2ax-a與函數(shù)g(x)圖象相切，于是可以根據(jù)直線

與拋物線相切進行解題；②問題轉化為方程x+hu=s在區(qū)間，,+oo］內(nèi)有唯一實數(shù)解，參變量分離得

,In%/x,Inxxe-,+coj,研究的單調(diào)性、極值，轉化為直線y=m與y=/(x)

m=l-\----，設/(X)=1H------

xx

有且只有一個交點，(2)當0<"1時，/(X)在［1,2］上單調(diào)遞增，g(x)=/在［1,2］上單調(diào)遞增，設

1三國<龍242,則/(石)</(%2)，g(xj<g(x2)，于是問題轉化為了(%)一8(%2)</(石)一g(%)，

構造函數(shù)"x)=〃x)-g(x),通過函數(shù)E(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，可以求出a的取值范圍.

試題解析：

①尸(x)=a〃+］；,「.x=l,廣⑴=2a,切點為(La),

一切線方程為y-a=2a(x-Y),即y=2ar-a,

i'a、

聯(lián)立｛"2,消去y,可得/-2g+。=0,A=4f-4a=0,

y-x

「?a=1；

InY

②由x+lnx=mx>得?w=l+——>

x

設f(x)=l+處，xeL+ocj,則問題等價于y=加與f(x)的圖象在L+x'；上有唯一交點，

xL。JLeJ

?.?“同=匕羋，：.［，4，f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，(e,+oo),f(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

［一］=1—c,，(e)=1—，旦xe(e,+8)時，，(x)>L

me［1-e,1］u11+—1；

證明：(2)不妨設IWX］<%242,則/(石)<〃％2)，.g(xi)<g(%2)，

???|/(玉)-/(々)|<卜(%)—(々)|可化為〃X2)-〃X］)<g(X2)-g(Xi)

■'-f(X2)-g(X2)<fM-gM

設尸(x)=〃x)-g(x),即P(x)=a(x+lnx)-九2,I(x)在［1,2］上單調(diào)遞減,

e/\ax+a-2%2一…一―一

F'(x)=----------<0恒成立,即a在［1,2］上恒成立,

、,2

->1,：.a<1,

x+11

4

從而，當0<。<1時，命題成立.

4.已知函數(shù)/(x)=xlnx,(e=2.718).

(1)設g(x)=+-2(e+l)x+6,

①記g(x)的導函數(shù)為g'(x),求g'(e)；

②若方程g(x)-a=0有兩個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若在［l,e］上存在一點/使〃2(/(%)-1)〉年+1成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【思路引導】

⑴①對g(x)進行求導，將e代入可得.g'(e)的值;②對g(x)進行二次求導，判斷g'(x)的單調(diào)性得其

符號，從而可得g(x)的單調(diào)性，結合圖象的大致形狀可得a的取值范圍；(2)將題意轉化為

.x0H----mln%0H<0,令=----mliixd——,題意等價于在［l,e］上的最小值小于0,對

XX

Mx)進行求導，對導函數(shù)進行分類討論，判斷單調(diào)性得其最值.

試題解析：

〃x)的定義域9+8),g(x)的定義域為?+8),

(1)①g'(x)=lnx+l+2x-2c-2,二g'(e)=0；②對g(x)進行二次求導，判斷g'(x)的單調(diào)性得其

符號，從而可得g(x)的單調(diào)性，結合圖象的大致形狀可得a的取值范圍；(2)將題意轉化為

^+―<0,^-/i(x)=x+--wlnx+—,題意等價于力(x)在［Lc］上的最小值小于0,對

毛毛XX

〃(x)進行求導，對導函數(shù)進行分類討論，判斷單調(diào)性得其最值.

②二(?=2+工>0,.?./(%)遞隼,又g'⑷=0,所以g(x)在(0⑵上遞減，值+00)遞增。又X趨

X

于o的時候,g(x)趨于6；X趨于+00的時候，g(x)趨于+8,又g(c)=6-7-所以

ae(6一。’一。：6)；

(］111m

(2)由題可得加(飛!!!X。-1)>%；+1,TTIIILXQ------>XQH----，~\-------Z/ZIIEVQH---<0,

1X。//

令h(x)=x+--rn\nx+—,則/z(x)在［l,e］上的最小值小于0,

又小)=(川加;(掰十項,

X

1,當加+12e時，即加2e—l,/z(x)在［l,e］上遞減，所以/z(e)<0,解得加〉‘.；；

2,當加+1W1即加(0,//(%)在［l,e］遞增，???可1)<0解得m<—2；

3,當1<加+1<?,即0<機<6-1,此時要求。(1+根)<0又0<ln(l+m)<1,

所以0<mln(l+m)<m,

所以"(1+m)=2+m-mln(1+m)>2止匕時"(l+根)<0不成立，

e2+1

綜上加<-2或機〉-----.

e-1

點睛：本題考查導數(shù)的運用：求考查函數(shù)與方程的聯(lián)系單調(diào)區(qū)間最值，同時考查不等式的存在性轉化為求

函數(shù)的最值問題，正確求導是解題的關鍵.在正確求導的基礎上，利用導數(shù)與0的關系得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

也是在高考中的必考內(nèi)容也是基礎內(nèi)容；注意存在性問題與恒成立問題的區(qū)別.

5.已知函數(shù)./(力=卜2—3x+3〉e'.

(1)試確定/的取值范圍，使得函數(shù)/(x)在［-21］?>-2)上為單調(diào)函數(shù)；

(2)若/為自然數(shù)，則當/取哪些值時，方程f(x)-z=0(xeR)在［-2,“上有三個不相等的實數(shù)根，并

求出相應的實數(shù)z的取值范圍.

【思路引導】

(1)先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù).［-21］為某個單調(diào)區(qū)間的子集得/的取值

范圍，(2)結合三次函數(shù)圖像確定方的取值范圍：當/22,且feN時，方程/(x)-z=0在［-2,“上有可

能有三個不等實根，再根據(jù)端點值大小確定實數(shù)z的滿足的條件：

ze(max{/(-2),/(l)},min{/(0),/(?)}),最后解不等式可得實數(shù)z的取值范圍.

試題解析：

(1)因為/r(x)=^x2-3x+3)-er+(2x-3)-er=x(x-l)ex,

由/r(x)>0=x>l或xvO：由ff(x)<0=>0<x<l,

所以/(X)在(v,0).(L+oo)上單調(diào)遞增，在((M)上單調(diào)遞減，

欲使〃x)在［一2出上為單調(diào)函數(shù)，則一2</40.

(2)由(1)知/(x)在(Y,0),(L+8)上單調(diào)遞增，在(01)上單調(diào)遞遍，

故當。=0或，=1時，方程〃x)—z=0在［-2出上不可能有三個不等實根，

所以噂2月re