備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 利用傳統(tǒng)方法求角度和距離

專題8.3利用傳統(tǒng)方法求角度和距離

題型一求異面直線的夾角

題型二求直線與平面的夾角

題型三求平白與平面的夾角

題型四已知夾角求距離

題型五求幾何體的體積

題型六利用等體積法求點到面的距禺

才典例集練

題型一求異面直線的夾角

例1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在棱長為2的正方體ABC。-ABCQ中，為底面人/夕.的中心，E為BC

的中點，則異面直線AO,與QE所成角的余弦值是.

例2.（2023?河北?校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐A-3CD中，AB1CD,AD1BC,S.BD=3AC,點、E,尸分別

為AD,BC的中點，則異面直線AC與3D所成角的大小為,AC與EP所成角的余弦值為.

舉一反三

練習(xí)1.（2023春?廣東廣州?高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體ABC。中，”是BC的中點，尸是線段AW

上的動點，則直線和BC所成角的大?。ǎ?/p>

A.一定為90。B.一定為60。C.一定為45°D.與P的位置有關(guān)

練習(xí)2.（2022秋.貴州遵義.高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，SAL平面ABCD,四

邊形ABCD為平行四邊形，NABC=60且SA=AB=BC=2,E為9的中點，則異面直線SC與DE所成的角的余弦

值為（）

D.半

練習(xí)3.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-44G中，ABC是等邊三角形，A\=AB,D,E,

廠分別是棱AA，BB、,8c的中點，則異面直線。尸與GE所成角的余弦值是.

練習(xí)4.（2023春?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知三棱柱ABC-中，AB=AC^AAl,

ZABC=ZBlBA=ZBlBC=60°,則異面直線A片與BG所成角的余弦值為（）

A.正B.BC.@D.亞

2266

練習(xí)5.（2023?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方體中，E,P分別是。R,DB的中點，則異面

直線跖與AQ所成角的正切值為（

D.V3

題型二求直線與平面的夾角

例3.（2021春?廣東佛山?高三佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD,

ADYCD,且平分/ADC,E為PC的中點，AD=CD=1,DB=272.

P

⑴證明以〃平面3DE；

（2）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值.

例4.（2022秋.浙江杭州?高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，M是AC的中點，AC,平面上4B,PBVPC,

AB=2,AC=4,AP=1.

（1）求證：尸3_L平面PAC；

（2）求直線BM與平面PAC所成角的正弦值.

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?山東臨沂?高三校考期中）如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M,N分別是A3,

PC的中點.

⑴求證：平面PAD；

（2）若尸3中點為Q,求證：平面"NQ〃平面PAD.

（3）若PA_L平面A5CD,AB=PA=2,求直線P8與面上4￡＞所成的角.

練習(xí)7.（2023?安徽合肥?合某中學(xué)?？寄M預(yù)測）米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行及地主家

里必備的用具、如圖為一倒正四棱臺型米斗，高為40cm.已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50cm的球O的

球面上，且一個底面的中心與球。的球心重合，則該正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）

B.8n26

A，—2L.---u.-----

255

練習(xí)8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在長方體ABC。-451GA中，AB=1,BC=2,相=5,則與平面ABC。

所成角的正切值為（）

A.1B.2C.好D.75

25

練習(xí)9.（2023?新疆喀什?校考模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱ABCD-A/B/GD中，AAi=2AB,E、尸分別為A4/、AC

的中點.

DiG

⑴求證：EF〃平面CDA1B1；

⑵求EF與平面DBBiD!夾角的余弦值.

練習(xí)10.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖，在多面體A2CDE中，平面ACD_L平面A5C,鹿，平面ABC,ACD是

邊長為2的正三角形，AB=BC=^~,BE=6

3

⑴點M為線段8上一點，求證：DEVAM-,

（2）求AE與平面BCE所成角的正弦值.

題型三求平面與平面的夾角

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）（多選）如圖，正四棱柱ABCD-A]gGP中，A4,=2AB,E,尸分別為CG,441

的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.gE_L平面

B.直線gE與直線BP所成的角為90

C.平面BEE與平面ABC。的夾角為45

D.直線2歹與平面ABC。所成的角為45

例6.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）己知四面體ABC。,。在面4BC上的射影為。,

。為ABC的外心，AC=AB=4,BC=2.

⑴證明：BC±AD；

（2）若E為中點，0*2,求平面ECO與平面ACO夾角的余弦值.

舉一反三

練習(xí)11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCQ為正方形，己4,平面ABCQ,

PA=AB=a,求平面喇與平面PDC所成二面角的大小.

練習(xí)12.（2023?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學(xué)?？既＃┮阎?，正三棱柱ABC-Agq中，AA=2,AC=1,延長CB至

D

(1)求證：CA1DA；

(2)求平面B]AD與平面ADC所成銳二面角的余弦值.

練習(xí)13.(2023春?江西景德鎮(zhèn)?高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥?如圖，在圓柱中，。。=2,A為圓。上一定點，B

為圓。上異于點A的一動點，OA=2^3,過點。作平面A3。的垂線，垂足為C點.

R

(1)若求證：BC1QA.

(2)若工A03為等邊三角形，求二面角A-QB-。的余弦值.

練習(xí)14.(2023春?吉林?高三校聯(lián)考期中)如圖，四棱柱ABCD-ABIGA的底面ABC。是菱形，相，平面ABCD,

AB=1,AAl=2,ZE4D=60。，點尸為。2的中點.

(1)求證：直線8。」/平面PAC；

⑵求二面角q-AC-尸的余弦值.

練習(xí)15.(2023春?全國?高三專題練習(xí))如圖，在圓錐尸。中，已知PO」底面。，尸0=0,。的直徑AB=2,

C是A3的中點，。為AC的中點.

(1)證明：平面尸QD_L平面PAC；

(2)求三棱錐O-PBC的體積；

⑶求二面角3-%-C的余弦值.

題型四已知夾角求距離

例7.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考三模)如圖，已知頂點為S的圓錐其底面圓。的半徑為8,點。為圓錐底面半圓弧AC的

中點，點尸為母線￡4的中點.

S

(1)若母線長為10,求圓錐的體積；

7T

(2)若異面直線尸。與SO所成角大小為:，求P、。兩點間的距離.

4

例8.(2023春?河南安陽?高三安陽一中?？茧A段練習(xí))如圖所示，在平行四邊形ABC。中，AB=2BC=86,

TT

NDAB=§,E為邊的中點，將VADE沿直線DE翻折為..ADE，若尸為線段A'C的中點.在VADE翻折過程中,

⑵若二面角A-DE-C=60。，求AC與面4團所成角的正弦值.

舉一m

練習(xí)16.(2023?上海?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AB±BC,

AB=AD,BC=2AB,瓦尸分別為棱BC,3尸中點.

p

(1)求證：平面AEF〃平面OCP；

(2)若平面PBC1平面ABC。，直線AP與平面P8C所成的角為45，且CPLPB,求二面角尸-AB-C的大小.

練習(xí)17.(2023?上海?高三專題練習(xí))如圖，正四棱柱中，AB=2,點、E、E分別是棱8c和CG的

中點.

(1)判斷直線AE與2歹的關(guān)系，并說明理由；

JT

(2)若直線RE與底面ABC。所成角為;，求四棱柱ABC。-ABCA的全面積.

4

練習(xí)18.(2023春?福建泉州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，三棱臺ABC-EFG中，底面ABC,

1AC3=90,AB=2EF.

(1)證明：AFG是直角三角形；

⑵若AC/C蕓5問彳為何值時，直線小平面的所成角的正弦值為華？

練習(xí)19.(2021春.廣東佛山.高三佛山市南海區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，&41

底面ABC。，E是SC上一點.

/:\E

/也

壇

B%「一

⑴求證：平面EBD_L平面5AC;

Q4

⑵當(dāng)茄的值為多少時’二面角3-SC-O的大小為12。。.

練習(xí)20.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四棱錐P-AfiCD中，底面ABCQ,ZABC=ZACD^6O°,AB^BC=2,

CD=1,且二面角尸-3C-A為60。，則四棱錐尸—ABCD的側(cè)面積為（）

A.3+5/B.10D.11

題型五求幾何體的體積

例9.（2023春?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，尸平面ABCD,平面

平面PBC.

（1）證明：四邊形ABC。是正方形;

⑵若PA=A3=3,用為PC上一點，且滿足PC=3RW,求三棱錐尸-ABM的體積.

例10.（2023?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的菱形，ABAD=60,

AC與交于點。，OPL底面ABC。，OP=6，點、E,尸分別是棱B4,尸8的中點，連接OE,OF,EF.

(1)求證：平面OEF〃平面PCD；

(2)求三棱錐O-PEF的體積.

舉一m

練習(xí)21.(2023.貴州.校聯(lián)考模擬預(yù)測)《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一個類似隧道形

狀的幾何體.如圖，在羨除45CD砂中，底面ABCD是邊長為2的正方形，EF〃AB,EF=6,EA=ED=FB=FC=3.

⑴證明：平面ADE_L平面EBC.

⑵求四棱錐C-石的體積.

練習(xí)22.(2023春?高三平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖，在正方體43。-480|口中9=2,瓦尸分別是

棱AA，CG的中點，設(shè)尸是線段3Q上一動點.

⑴證明：PE〃平面瓦卯；

(2)求三棱錐P—BDF的體積.

練習(xí)23.(2023?青海海東?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是等腰梯形，AD//BC,BC=2AB=2AD=2,

PC=6，PC，底面ABC。，”為棱AP上的一點.

p

⑴證明：ABVCM-,

1PM

(2)若三棱錐尸-CZW的體積為二，求妥的值.

練習(xí)24.(2023春?河南商丘?高三商丘市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在直三棱柱ABC-中，AC=6,BC=8,

AB=10,招=5,點。為棱AB的中點，點E為棱44上一點.

(1)證明：AC1B.C;

(2)求三棱錐B-ECD的體積；

(3)求直線AG與平面BB￡C所成角的余弦值.

練習(xí)25.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，四邊形ACCH與四邊形BCG4是全等的矩形,

AB=y/2AC=^AAi,若尸是441的中點.

(2)如果AC=1,求三棱錐4-AGP與多面體ABCPB、的體積比值.

題型六利用等體積法求點到面的距離

例11.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖所示，正三棱柱ABC-A4c中各條棱長均為2,點

M,N,E分別為棱ACAVAB的中點.

（1）求異面直線MN和CE所成角的正切值;

⑵求點B到平面MEN的距離.

例12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，在直角三角形A3C中，ZABC=90,DE//BC,BD=2AD=4,DE=l,

將VADE沿OE折起到△「_用的位置，使平面PDEL平面BCED,點Af滿足CM=2MP.

（1）證明：BCLME-,

⑵求點M到平面PBE的距離.

舉一

練習(xí)26.（2023?廣西南寧?南寧二中?？寄M預(yù)測）如圖在多面體ABC-ABG中，AAJ/BBX11CC,,抽，平面人耳￡,

△A4G為等邊三角形，AB\=BB[=2,A4,=3,C￡=l,點M是AC的中點.

⑴若點G是△44。的重心，證明：點G在平面22幽內(nèi);

⑵求點G到"BG的距離.

練習(xí)27.(2023?河南鄭州?洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在正三棱柱ABC-中，E為CC,上一

點，AB=CE=2,M=3,。為B與上一點，三棱錐的體積為2回.

3

(1)求證：平面AOE，平面

⑵求點E到平面4G。的距離.

練習(xí)28.(2023春?四川廣安?高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PC。，平

面ABCD,已知底面ABCD為梯形，AB//CD,AB=BD=2CD=2,ZBDC=60°.

(1)證明：BC±PD.

(2)若PC_L平面ABCD,PC=V3,求點A到平面PBD的距離.

練習(xí)29.(2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在三棱柱ABC-ABC】中，底面ABC1平面⑨用民△ABC是正

三角形，。是棱8C上一點，且05=302,44=42.

c,

(1)求證：BjQ±\D-

4

⑵若AB=2且二面角\-BC-B｝的余弦值為力，求點A到側(cè)面BBCC的距離.

練習(xí)30.(2023?陜西西安?統(tǒng)考一模)在斜三棱柱ABC-A￡C'中，一ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱44，=2』,

頂點A，在平面ABC的射影為BC邊的中點。.

(1)求證：平面BCC'B'AOA;；

⑵求點C到平面AAB的距離.

專題8.3利用傳統(tǒng)方法求角度和距離

題型一求異面直線的夾角

題型二求直線與平面的夾角

題型三求平白與平面的夾角

題型四已知夾角求距離

題型五求幾何體的體積

題型六利用等體積法求點到面的距禺

才典例集練

題型一求異面直線的夾角

例1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCD-ABCQ中，為底面A與GA的中心，E為BC

的中點，則異面直線AQ與QE所成角的余弦值是.

【答案】叵J屈

66

【分析】根據(jù)給定條件，作出并證明異面直線與C￡所成角，再計算作答.

【詳解】在棱長為2的正方體A3。-AgCQ中，取A2AA中點尸,加，連接跖,。灑,4/,。陽，如圖,

因為石為2。的中點，有EFIICDI/CREF=CD=C、D\,則四邊形CQ￡E是平行四邊形,

于是RF//QE,又=即有四邊形3是平行四邊形,

因此AM//RF//GE,則ZOtAM是異面直線AO,與C,E所成的角或補角,

而。I為底面4B|GA的中心，則OXM//CQ,又CQ1平面ADD^,

從而平面ADAA，而AMu平面則。幽，A",

叵

在，0|K4中，O{M=1,AM=TM+4AF=A/5,AQ=A/6,于是cosNQAM=&^

AO1~6~

所以異面直線AO,與GE所成角的余弦值是我.

6

故答案為：叵

6

例2.（2023?河北?校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB1CD,ADJ.BC,S.BD=3AC,點E,尸分別

為AD,8C的中點，則異面直線AC與8D所成角的大小為,AC與EP所成角的余弦值為.

10

【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義作輔助線，構(gòu)造三角形.

取A8的中點G,連接EG,FG,則尸G〃AC,EGHBD,故—EFG或其補角為異面直線AC與EF所成的角,

過A作AO_L平面BCD于點O,連接8。，CO,DO,則AO_LCE>,

又旗_LCD,且ABAO=A,故C￡>_L平面AO3,故BO_LCD,同理可得。O_L2C,

即。為△BCD的垂心，故BDLCO,又AO_L3D,AOCO=O,AOu平面AOC,

COu平面AOC,故5。人平面AOC,故AC13D,即AC與所成角為90。；

所以NEGF=90°,由3。=34。可得雙7=3打7,故cosNEFG=里=叵,

EF10

即異面直線AC與EF所成角的余弦值為叵；

10

故答案為：①90°,②叵.

10

舉一反三

練習(xí)1.（2023春?廣東廣州?高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體ABCD中，”是BC的中點，尸是線段AM

上的動點，則直線和3c所成角的大?。ǎ?/p>

A.一定為90。B.一定為60。C.一定為45。D.與尸的位置有關(guān)

【答案】A

【分析】連接?？梢宰C到BC-LDM,BCLPM,從而證到3C/平面所以即可得解.

【詳解】解：連接DM,

四面體ABCD是正四面體，”是8C的中點,

.?.△DBC>一MC是等邊三角形,

:.BC1DM,BCA.PM.

DMu平面DMP,PMu平面DMP,DM\PM=M,

平面DMP,又DPu平面DMP,

BCLDP,

直線。尸與BC所成角為90°.

故選：A.

練習(xí)2.（2022秋.貴州遵義?高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐S-9CD中，平面ABCD,四

邊形ABCD為平行四邊形，NABC=60且SA=AB=BC=2,E為9的中點，則異面直線SC與DE所成的角的余弦

值為（）

D

B

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】B

【分析】分別取SB,BC,C￡＞的中點F,G,H,連接EF,FG,GH,FH,BD,AC,則可證明/GF4為異面直線SC與。E

所成的角，分別在三角形中由勾股定理求出FG,切和GH的長度，利用余弦定理計算得到答案.

【詳解】如圖所示：

分別取SB,BC,CD的中點￡G,H,連接EF,FG,GH,FH,BD,AC.

由NABC=60且AS=BC=2可得一ABC是等邊三角形，

^\EF//AB^LEF=-AB,DH//ABSLDH=-AB,故EF"DH且EF=DH,

22

所以四邊形EFHD為平行四邊形，故ED//FH,

因為尸G〃SC,所以為異面直線SC與DE所成的角（或其補角），

因為&4,平面ABC。，AD,ACu平面ABCD,SALAD,SA±AC,

故_S4C和.E4D均為直角三角形，

所以/G=[sC=gjSA2+AC2=gj4+4=0,FH=ED=y/EA"+AD2=75，

GH=-BD=-x2y/3=y/3,

22

由余弦定理得cosZGFH=5丫：=巫.

2V5xV25

則異面直線SC與DE所成的角的余弦值為叵.

5

故選：B

練習(xí)3.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，..ABC是等邊三角形，AA^^AB,D,E,

產(chǎn)分別是棱AA，BB「8C的中點，則異面直線。尸與GE所成角的余弦值是.

【答案】叵

10

【分析】通過構(gòu)造平行線將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角，解三角形即可.

【詳解】如圖，在棱CG上取一點使得CG=4C”，取CG的中點G,連接8G,HF,DH,由于G,E分別

是棱cq,8月的中點，所以8E=GG,BE//Cfi,

故四邊形BGGE為平行四邊形，進而GE〃BG,

又因為尸，H分別是BC,CG的中點，所以加'〃臺G,所以HF〃QE,則或其補角是異面直線DF與

所成的角.

設(shè)AB=4,貝"=2,CH=1,AD=2.

從而HF=4CF2+CH2=5DH=JAC?+(AD-CHY=后,

AF=4AB2—BF2=2/，DF=^AF2+AD-=4>

16+5-17V5

故cos/DEH=

2X4XA/5-10

故異面直線。尸與GE所成角的余弦值是官.

故答案為：逝.

練習(xí)4.（2023春?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知三棱柱ABC-A4G中，AB=AC=A\,

ZABC=ZB,BA=ZB1BC=60°,則異面直線A片與BG所成角的余弦值為（）

正

D-T

【答案】c

【分析】將三棱柱補成如圖所示的四棱柱ABC。-AgC.,則異面直線A片與BG所成角即為4CQ,設(shè)AB=2,

求出BG，G2B。，由余弦定理求解即可.

【詳解】解析：將三棱柱補成如圖所示的四棱柱ABC。-44GA,

連接G2BC，由四棱柱的性質(zhì)知，ABJ/QD,

所以異面直線ABi與BCt所成角即為CQ與BG所成角，

則所求角為4G。，設(shè)鉆=2,則AZ）=2,/BAD=120。,

由余弦定理可得：BD=VAB2+AD2-2AB-AD-cos120°='4+4-2x2x2x

同理可得BG=2/,因為/q2A=60。，BB[=BA=2,所以44=。6=2,

故選：C.

練習(xí)5.（2023?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方體A8CO-ABCQ］中，E,尸分別是?？?，的中點，則異面

直線EF與A2所成角的正切值為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)異面直線的夾角的求法和線面位置關(guān)系即可求解.

【詳解】

如圖所示，連接直線BR,

因為E,F分別為直線DD,和直線08的中點,

所以跖為，的中位線,

所以斯PR8,

則異面直線EF與AD｛所成角的正切值即為直線DtB與口A所成角的正切值,

[ABLAD

因為Ln一人，

[AB_L

所以AB1平面ADRA,

ADju平面ADDlAi,

所以ADX,

所以BAR為直角三角形，

所以tanN即4=選=5=卓

故選：B.

題型二求直線與平面的夾角

例3.(2021春?廣東佛山?高三佛山市南海區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，在四棱錐尸-ABCD中，尸。,平面ABCD,

AD^CD,且08平分/ADC,E為PC的中點，AD=CD=1,DB=2也.

P

(1)證明Bl〃平面3DE；

(2)求直線3C與平面PBD所成的角的正切值.

【答案】(1)證明見解析

3

【分析】(1)設(shè)ACBD=O,得到E0是三角形PAC的中位線，WEOHPA,利用線面平行的判定定理即可得證;

(2)證明AC_L平面P6D,可得/C3O即為直線3c與平面PB￡>所成的角，再解RtACBO即可.

【詳解】(1)令A(yù)bBD=O,連結(jié)OE,

,?D3平分ZADC,；.ZADO=ZCDO,

又AD=CD,DO=DO,：.AAOD=ACOD,：.AO=CO,

.?.點。為AC的中點，

E為尸C的中點，〃卓，

OEu平面BDE,PAa平面BDE,

r.PA〃平面3￡>E；

(2)由(1)可知AC13D,

尸。_L平面ABC。，ACu平面ABC。，:.ACO

又PDf8。=。,尸￡>,8。<=平面尸5。，.：471平面尸5。，

:.ZCBO即為直線BC與平面尸8。所成的平面角，

顯

在RtCBO中，OC=顯,0B二匹,二tan/C20=空=3=：,

22OB3V23

~T

“C

例4.(2022秋.浙江杭州.高二統(tǒng)考期末)如圖，在三棱錐尸-ABC中，M是AC的中點，AC,平面RW,PBLPC,

AB=2,AC=4,AP=1.

(1)求證：RB_L平面PAC；

(2)求直線BM與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

4

【分析】(1)證明尸3LC4,原題即得證；

(2)連結(jié)尸M,N5MP就是直線8M與平面PAC所成的角，解直角三角形求出=2應(yīng)，PM=出,即得解.

【詳解】(1)；AC_L平面Z.PBLCA

又,：PBLPC,PCcAC=C,PC,ACu平面PAC,

/>3_L平面PAC

(2)連結(jié)PM,由(1)知尸3_L平面P4C

NBMP就是直線8M與平面PAC所成的角,

RtABAf中，AB=1,AM=2,:.BM=2艙.

Rt.AMP中，AP=l,AM=2,:.PM=卮

PM不訴

cos/BMP=-----

BM272-4

sinNBMP=

所以直線創(chuàng)/與平面PAC所成角的正弦值為逅.

4

第二反三

練習(xí)6.(2023春?山東臨沂?高三?？计谥?如圖，已知點P是正方形?1BCD所在平面外一點，M,N分別是A3,

PC的中點.

⑴求證：MN〃平面PAD；

(2)若尸3中點為Q,求證：平面"NQ〃平面PAD.

(3)若PA_L平面A5CD,AB=PA=2,求直線P8與面上4￡>所成的角.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)45°

【分析】(1)取尸。的中點E,連接AE,NE,即可證明四邊形4W2VE為平行四邊形，所以MN//AE,從而得證;

(2)依題意可得M2〃AP即可得到〃平面PAQ,再結(jié)合(1)的結(jié)論，即可得證；

(3)依題意可得平面R4D_L平面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)得到平面上4。，則NE%即為直線PB與面PAD

所成的角，再根據(jù)邊長的關(guān)系得解.

【詳解】(1)取尸口的中點E,連接AE,NE,

因為N是PC的中點，所以NE//DC且NE=LDC,

2

又M是A3的中點，ABCD是正方形，所以A〃〃DC且=

22

所以NE"4M且=,

所以四邊形AWE為平行四邊形，所以MN〃AE,

又MN<Z平面PAD，AEu平面PAD,所以MN〃平面R4D.

P

(2)因為。為尸3的中點，〃是AB的中點

所以MQ//AP,又平面尸AD,APu平面PAD,所以〃平面PAD,

又MN〃平面PAD,MQcMN=M,MQ,血Wu平面MNQ,所以平面A/NQ〃平面PAD.

(3)因為PA_L平面ABCD,PAu平面尸AD,所以平面從D_L平面ABC。，

又ABCD為正方形，所以ABJ_AD,ABu平面ABCD,平面從De平面ABCD=AD,

所以AB上平面PAD,

所以N3/N即為直線尸3與面24。所成的角，又AB=PA=2,所以△身也為等腰直角三角形，

所以N3PA=45。，

即直線尸8與面PAD所成的角為45。.

練習(xí)7.(2023?安徽合肥?某中學(xué)?？寄M預(yù)測)米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行及地主家

里必備的用具、如圖為一倒正四棱臺型米斗，高為40cm.已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50cm的球。的

球面上，且一個底面的中心與球。的球心重合，則該正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為()

R62石

A-—2\_-.----

25r

【答案】D

【分析】由題意作出正四棱臺的對角面，。為外接球球心，為線段3c中點，過點D作。EL5C,垂足為E,則NDCE

即為所求角.

【詳解】由題意，作出正四棱臺的對角面，如圖

AD為正四棱臺上底面正方形對角線，3C為正四棱臺下底面正方形對角線,

。為外接球球心，為線段8C中點，則8=Q4=O3=OC=5。，

過點。作DELBC,垂足為E,則/OCE即為所求角.

因為OD=50,DE=40,所以O(shè)E=30,所以EC=20,

所以。C=206，所以正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為平.

練習(xí)8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在長方體中，AB=1,BC=2,A4,=5,則與平面ABC。

所成角的正切值為（）

A.1B.2C.@D.y[5

25

【答案】D

【分析】連接AC,利用線面角定義知幺CA為所求的角，在直角..ACA中，即可求解.

【詳解】在長方體ABCD-4與G。中，平面ABCD,

NACA是AC與平面ABC。所成的角，

連接AC,ACu平面A5CD,AA]1AC,

又AB=1,BC=2,9=5,所以AC=JAB?+叱=逐,

在直角ACA中，tanNAC4=H=5=^,即$C與平面ABC。所成角的正切值為右.

故選：D.

5

練習(xí)9.（2023?新疆喀什??？寄M預(yù)測）如圖，在正四棱柱ABCD'SGP中，AAi=2AB,E、尸分別為A4/、AC

的中點.

（1）求證：EP〃平面CDAiBi；

⑵求EF與平面DBBiDi夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵逅

3

【分析】（1）利用線面平行的判定，只要證明所平行于平面CD4/S內(nèi)一條直線即可;

（2）如圖，利用面面垂直確定線面角為NEFG,解三角形即可.

【詳解】（1）由尸為AC交點，連接AC血交于點尸，

連接AC,由E為4A中點，

則EF//AC,

由EPcZ平面CDA1B1,A]CU平面CDA1B1,

所以斯〃平面CDAiBi；

（2）連接AG，耳A交于點H，連接“F，

由朋_L平面ABC。，則招,班）,

又ACLBD,且MAC=A,

所以應(yīng)平面ACC]A,

所以平面BB\D\D1ACGA,

又平面BBRD'平面ACC]A=HF,

作EGLHF于G,則EG,平面88QD且G為加'中點,

則NEFG為EF與平面DBBiDi所成角，

由AA/=2AB,不妨設(shè)A4j=2AB=2,

練習(xí)10.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，在多面體4BCOE中，平面ACD_L平面ABC,平面ABC,4co是

邊長為2的正三角形，AB=BC=函,BE".

3

(1)點M為線段8上一點，求證：DEVAM-

(2)求AE與平面BCE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取AC中點O,證得。平面ABC,得到￡>O〃3E,且BE=DO,得到所以四邊形BODE為平行四

邊形，所以BO//DE,再由301AC,證得3。/平面ACD,得到上人平面ACQ,即可證得。E_L40；

(2)過A作AN垂直于BC,證得AN1平面BCE,得到NA￡B即為AE與平面BCE所成角，在直角A4EN,即可

求得AE與平面BCE所成角的正弦值.

【詳解】（1）證明：取AC中點0,連接。0,03,

因為ACD是邊長為2的正三角形，可得￡X9_LAC,

因為平面ACD-L平面，平面ACD）平面ABC=AC,且￡>Ou平面ACD,

所以。O_L平面ABC,且Z）0=g,

又因為BE_L平面ABC,所以。

因為8￡=迅，可得BE=DO,所以四邊形3ODE為平行四邊形，所以

由AB=3C,且。為AC的中點，可得3O1AC,

因為平面ACE>_L平面ABC,平面AC。'平面ABC=AC,且BOu平面ABC,

所以301平面AC。，所以DE1平面AC。,

又因為AMu平面ACD,所以

(2)解：在一ABC中，AB=BC=—,且AC=2,

3

由余弦定理得cosZABC='+囂=3

2ABxBC2

所以/ABC=120。，

如圖所示，過A作AN垂直于BC,交CB延長線于點N,即8CLAN,連結(jié)硒,

因為鹿_L平面ABC,且4Vu平面A5C,所以3E_LAN,

又因為8E,CB=3,且3E,C3u平面8CE,所以4Vl平面3CE,

所以ZAEB即為AE與平面BCE所成角，

在直角中，可得AE=7AB。+BE。=叵,

3

在直角一ABN中，可得AN=A2sin60=3叵x走=1,

32

.^AN1V39

所以smZA"V=%元=^=節(jié)即AE與平面BCE所成角的正弦值為

亍

D

題型三求平面與平面的夾角

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）（多選）如圖，正四棱柱ABCD-AgGP中，A4=2AB,E,尸分別為CG，人4

A.4E_L平面BEE

B.直線gE與直線所成的角為90

C.平面與平面ABC。的夾角為45

D.直線與平面ABC。所成的角為45

【答案】ABC

【分析】對于A,若瑪平面跳再則與M=90,與板=4E矛盾；對于B,假設(shè)直線旦E與直線8尸所成的

角為90,可得用平面所以耳E//BG，顯然這是不可能的；對于C,可證得NDBR即為平面2所與平

面ABC。的夾角，求tan/DBR判斷即可；對于D：直線2歹與平面ABC。所成的角即為直線旗與平面ABC。所

成的角NEBC.

【詳解】對于A,如圖，連接2也，由題意又E,尸分別為CG，4A的中點，可得用￡=用尸，若與

平面則B|E_LEF,進而/與所=/4歹E=90.這顯然不成立，故耳E與平面不垂直，A錯誤；

對于B,假設(shè)直線旦E與直線8尸所成的角為90,即①7,由正四棱柱的性質(zhì)可知4A，平面gBCC］，而gEu

平面片8CG，所以耳A_L耳E,又4耳與斯相交，4耳、3尸u面ABBiA，所以用平面A3與人，而由正四棱

柱的性質(zhì)可知用平面AB4A，所以qE//4G，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此B錯誤;

對于C,分別延長。1尸，D4交于點P,連接則直線尸8即為平面與平面A8CQ的交線.連接8D,BDt,

因為AF//DR且=,所以所以尸3_L3D,又。平面ABCD,尸3u面A3CD,所以

DDJPB,又DD、BD=D,DD『BDu面BDR,所以尸3,平面8。。，又面8。。，所以BRJLPB,所

以ZDB，即為平面BEF與平面A3C。的夾角，易知tan/DBDi=2=6>l,故NDBR>45,C錯誤；

BD

對于D,可證口///2石，則直線2尸與平面A8CD所成的角為/EBC,又根據(jù)題意易知N￡BC=45,D正確.

例6.(2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))己知四面體ABC。,。在面ABC上的射影為。,

。為一MC的外心，AC=AB=4,BC=2.

(1)證明：BC±AD；

(2)若E為A。中點，OD=2,求平面ECO與平面ACO夾角的余弦值.