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文檔簡(jiǎn)介
第7講函數(shù)與方程
學(xué)校姓名班級(jí)
一、知識(shí)梳理
(1)概念:一般地,如果函數(shù)尸/(X)在實(shí)數(shù)a處的函數(shù)值等于零,即F(a)=o,則稱丄
為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).
(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系:
敢有零點(diǎn)
福數(shù)產(chǎn)心)的圖齡一方制(#)=。
聒.1:軸有公共點(diǎn)有實(shí)數(shù)解
如果函數(shù)y=F(x)在區(qū)間[a,6]上的圖像是連續(xù)不斷的,并且f{a)?/'(6)?0(即在區(qū)間兩
個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,6)中至少有一個(gè)零點(diǎn),即mx°e(a,
t>),f(xo)=o.
二、考點(diǎn)和典型例題
1、函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷
【典例1-1](2022?天津紅橋?一模)函數(shù)/(x)=e'+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是
()
A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)
【答案】C
【詳解】
函數(shù)〃x)=e'+2x-6是R上的連續(xù)增函數(shù),
/(l)=e-4<0,/(2)=e2-2>0,
可得”1)/(2)<0,
所以函數(shù)/*)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).
故選:C
【典例1-2】(2021?山西?太原五中高三階段練習(xí)(文))利用二分法求方程log3X=3-x
的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是()
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
【答案】C
【詳解】
解:設(shè)F(x)=log3X-3+x,
?當(dāng)連續(xù)函數(shù)/(x)滿足/(a)?/(6)<0時(shí),/⑶在區(qū)間力上有零點(diǎn),
即方程10g3X=3-x在區(qū)間(a,b)上有解,
X-f(2)=log}2-l<0,f(3)=log,3-3+3=l>0,
故)(2)-/(3)<0,
故方程log?x=3-x在區(qū)間(2,3)上有解,
口卩利用二分法求方程x=3-x的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是(2,3).
故選:C.
【典例1-3】(2019?全國?高三專題練習(xí))若/(另=丁+/-21-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近
的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算,數(shù)據(jù)如下表:
川)=-2/(1.5)=0.625
“1.25)=-0.984“1.375)=-0.260
/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052
那么方程V+d—2x-2=0的一個(gè)近似根(精確到0.1)為(
【答案】C
【詳解】
根據(jù)二分法,結(jié)合表中數(shù)據(jù),
由于.438)=0.165>0,/(1.4065)=-0.052<0
所以方程三+》2—2x_2=0的一個(gè)近似根所在區(qū)間為(14065,1.438)
故選:C.
【典例1-4](2022?天津?靜海一中高三階段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)是周期為2的周期
函數(shù),且當(dāng)時(shí)時(shí),/(x)=2w-l,則函數(shù)尸(幻=/(幻-四4|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是
()
A.9B.10C.11D.18
【答案】B
【詳解】
尸(x)=/⑴-怛目零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y=f(x),y=旭乂圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),
作岀》=f(x),y=|lgM圖象,如圖:
由圖可得有10個(gè)交點(diǎn),
故F(x)=/(x)-|lgx|有10個(gè)零點(diǎn).
故選:B.
為()
A.0B.2C.4D.6
【答案】B
【詳解】
令〃x)=e*T_-一—=0,得j—8-=亠,
x-1x-1
g(x)=T圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱,在(7,1),(1,—)上遞減.
X—1
力(%)=i-8",,令H(x)=/i(x+l)=ex—e-v,H(—x)=e-v—ev=—H(x),
所以H(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以〃(x)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱,
/z(l)=0,〃(力=j|-/在口上遞增,
所以/i(x)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn),
兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于(1,0)對(duì)稱,所以函數(shù)“xbei-eZ-T的所有零點(diǎn)之和為2.
X—1
故選:B
2、圖像零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定
【典例2-1】(2022?北京?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=cos2x+cosx,且xe[0,27r],則
/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】C
【詳解】
由cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=(cosx+l)(2cosx-l)=0
可得COSX=-1或COSX=;,又X£[(),2兀],則X=7l,或x=g,或工=2
233
則/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3
故選:C
【典例2-2](2022?安徽?巢湖市第一中學(xué)高三期中(文))已知函數(shù)
〃司=」+7'<°,則函數(shù)g(x)=/[f(x)+2]+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
lnx,x>0
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【詳解】
令,=f(x)+2,
當(dāng)XV-1時(shí),f(x)=x+丄€(-00,-2)且遞增,此時(shí)re(Y,0),
x
當(dāng)-l<x<0時(shí),f(x)=x+丄e(-co,-2)且遞減,此時(shí)fe(Yo,0),
X
當(dāng)0<x<]時(shí),/(x)=lnxw(ro,-2)且遞增,此時(shí)re(fo,0),
e-
當(dāng)時(shí),/(x)=lnxe(—2,+oo)且遞增,此時(shí)/€(0,+oo),
e
所以,g(x)的零點(diǎn)等價(jià)于f")與y=-2交點(diǎn)橫坐標(biāo)/對(duì)應(yīng)的x值,如下圖示:
由圖知:/⑺與y=-2有兩個(gè)交點(diǎn),橫坐標(biāo)4=-1、0</2<1:
當(dāng)“一1,即f(x)=-3時(shí),在(T0)、(0,自上各有個(gè)解;當(dāng)。<4<1,
即—2</(x)<-1時(shí),在xe(5,+<?)有—解.
綜上,g(x)的零點(diǎn)共有4個(gè).
故選:B
【典例2-3】(2016?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試)函數(shù)/(x)=2,nx+4.若
在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),則,〃的取值范圍是()
A.[―1,2]B.C.(—oo,—2][1,-K>o)D.[―2,1]
【答案】C
【詳解】
解:當(dāng)加=0時(shí),函數(shù)為常函數(shù),沒有零點(diǎn),不滿足題意,
所以f(x)=2/nr+4為一次函數(shù),
因?yàn)镕(x)=2妨+4在[-2,1]內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),
所以〃-2)f(l)40,gp(-4m+4)(2/M+4)<0,解得mV—2或m上/.
故機(jī)的取值范圍是(-8,-2]」1,物).
故選:C
【典例2-4](2022?湖南衡陽?二模)已知定義在R上的奇函數(shù)“X)恒有
“X—l)=/(x+l),當(dāng)xe[0,l)時(shí),〃x)=U,已知厶4-2'-2)'則函數(shù)
g(x)=〃x)-日T在(T,6)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A.4個(gè)B.5個(gè)C.3個(gè)或4個(gè)D.4個(gè)或5個(gè)
【答案】D
【詳解】
因?yàn)椤╔-1)="X+1),所以“X)的周期為2,
又因?yàn)椤癤)為奇函數(shù),/(x)=-/(-%),
令x=l,得〃1)=-/(-1),又=所以〃1)=/(-1)=0,
當(dāng)xe(Tl)時(shí),〃力=記=1一品,
由、=品單調(diào)遞減得函數(shù)/(X)在(-1,1)上單調(diào)遞增,
所以〃T)vf(x)<〃l),得一;</(x)<g,
作出函數(shù)圖象如圖所示,
當(dāng)y=H+:經(jīng)過點(diǎn)(3,0)時(shí),k=f此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).
21
當(dāng)一百<女<一§時(shí),有4個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)丁=依+;經(jīng)過點(diǎn)(5,0)時(shí),k=-f此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)一<~"q時(shí),有4個(gè)零點(diǎn).
913
當(dāng)丫=履+:經(jīng)過點(diǎn)(6,0)時(shí),k=_[此時(shí)在(—1,6)上只有3個(gè)零點(diǎn).
318
當(dāng)<攵<-丄時(shí),有4個(gè)零點(diǎn).
1518
()()(,)
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)gx=/x-履-g在-16上有4個(gè)或5個(gè)零點(diǎn).
\131oy
故選:D
【典例2-5】(2022?寧夏銀川?一模(理))設(shè)函數(shù)〃x)=sin"+V?>0),已知
jrjr
“X)在一(N上單調(diào)遞增,則f(x)在(0,20上的零點(diǎn)最多有()
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
【答案】A
【詳解】
,7T,7一-1、,,?In2kn——n2k/r,?
由—+2AvrW<?x+—W—+2上乃,k&Z,得----H-------WxW——+------,kwZ、
2623(vco3a)co
24<冗
■一總X噴.若小)在-省匕單詞遞增,3(o6
取?=0,則
2L>£
3「4
解得0<34g.若X£(0,2〃),貝iJsx+會(huì)仁,2°乃+看
設(shè)r=s+—,則fw—,2。乃+一,因?yàn)?初r+一£
6166)6
所以函數(shù)『出「在仁,2初r+小上的零點(diǎn)最多有2個(gè).
所以f(x)在(0,2萬)上的零點(diǎn)最多有2個(gè).
故選:A
3、圖像零點(diǎn)的綜合應(yīng)用
【典例3-1】(2022?安徽?模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)/(》)=]」];;::。,若
g(x)=〃x)-a有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.[1,+<?)
【答案】A
【詳解】
解:令g(x)=/(x)-a=0,得〃x)=a,
在同一坐標(biāo)系中作出y=f(x),y=a的圖象,如圖所示:
由圖象知:若g(x)=/(x)-a有4個(gè)零點(diǎn),
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1),
故選:A
【典例3-2](2022?黑龍江?哈師大附中三模(文))已知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足
三-公-1=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
【答案】D
【詳解】
x=0顯然不是V-6-1=0XHO
因此只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足丁-依-1=0等價(jià)于方程“-丄只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
X
2
f(x)=xf\x)=2x+^,f'(x0)=2x0+—=0=>x0=,故可知:
xxXQ-v2
當(dāng)5)時(shí),rw<o,此時(shí)/(X)單調(diào)遞減
當(dāng)XC[不,0丿時(shí),r(x)>0,此時(shí)/(X)單調(diào)遞增,當(dāng)xe(O,+8)時(shí),r(x)>0,此
時(shí)/(X)單調(diào)遞增,且當(dāng)L100時(shí),y(x)=10000+厶,x=100時(shí),f(x)=10000-厶,當(dāng)
1UU1UU
L擊時(shí),小尸誌龍00,當(dāng)A焉時(shí),/叱康―100,故圖像如圖:
故"<2=1修)考?
故選:D
/、ax4-l,x<0,
【典例3-3】(2022?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/“?(。>0且
|lnx|,x>n0,
awl),若函數(shù)y=/(/(x))-。的零點(diǎn)有5個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
()
A.a=2B.In24avl或1<〃<2
C.0<a<ln2或1<。<2或〃=2D.In24avl或。=2
【答案】I)
【詳解】
解:依題意函數(shù)y=/'(/(x))-a的零點(diǎn)即為方程〃/(x))=a的根,
①當(dāng)。時(shí)函數(shù)“X)的函數(shù)圖象如下所示:
所以〃f)=a有兩個(gè)根,-4(0</(<1,/2>1),
而%=〃x)對(duì)應(yīng)2個(gè)根,所以需要力對(duì)應(yīng)3個(gè)根,
所以,2*2,即切±2,解得1n2M”l;
②當(dāng)。>2時(shí)函數(shù)〃x)的函數(shù)圖象如下所示:
③當(dāng)。=2時(shí)函數(shù)〃x)的函數(shù)圖象如下所示:
從而/(x)=e、〃x)=g,/(x)=0,所對(duì)應(yīng)2、2、1個(gè)根,
即共5個(gè)根,所以滿足題意:
④當(dāng)1<”2時(shí)函數(shù)/(x)的函數(shù)圖象如下所示:
而%=/(x),芍=/(力,f3=/(x)分別對(duì)應(yīng)2、2、0個(gè)根,即共四個(gè)根,
所以不滿足題意;
綜上可得實(shí)數(shù)。的取值范圍為山24“<1或。=2;
故選:D
【典例3-4](2022?福建三明?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=渡-辦1g-,有兩個(gè)零點(diǎn),
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()
A.(0,:)B.(0,e)C./,內(nèi))D.(e,y)
【答案】D
【詳解】
函數(shù)/(》)=加一欠lnx-e”有兩個(gè)零點(diǎn),即a(x2-xlnx)-e*=。有兩根,又
x2-xlnx=x(x-lnx)>0,故可轉(zhuǎn)換為----有兩根,令g(x)=-r^------,則
x~-x\nxx"-x\nx
,/、ex(x2-xlnx-2x+lnx+l),、
g(X)=------------------n---------=-----1---------------,令人(x)=X-1_InX,則
(x2-xlnx)(x2-xlnx)
3)=?,故M*)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+?0」二單調(diào)遞增,故〃(力2〃⑴=0,當(dāng)
且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立,故在(0,1)上g'(x)<o,g(x)單
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