高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講必備 第7講 函數(shù)與方程（講義含解析）

第7講函數(shù)與方程

學(xué)校姓名班級

一、知識梳理

(1)概念：一般地，如果函數(shù)尸/(X)在實數(shù)a處的函數(shù)值等于零，即F(a)=o,則稱丄

為函數(shù)y=f(x)的零點.

(2)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖像與x軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系:

敢有零點

福數(shù)產(chǎn)心)的圖齡一方制(#)=。

聒.1：軸有公共點有實數(shù)解

如果函數(shù)y=F(x)在區(qū)間［a,6］上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f{a)?/'(6)?0(即在區(qū)間兩

個端點處的函數(shù)值異號)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,6)中至少有一個零點，即mx°e(a,

t>),f(xo)=o.

二、考點和典型例題

1、函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷

【典例1-1］(2022?天津紅橋?一模)函數(shù)/(x)=e'+2x-6的零點所在的區(qū)間是

()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【詳解】

函數(shù)〃x)=e'+2x-6是R上的連續(xù)增函數(shù)，

/(l)=e-4<0,/(2)=e2-2>0,

可得”1)/(2)<0,

所以函數(shù)/*)的零點所在的區(qū)間是(1,2).

故選：C

【典例1-2】(2021?山西?太原五中高三階段練習(xí)(文))利用二分法求方程log3X=3-x

的近似解，可以取的一個區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【詳解】

解：設(shè)F(x)=log3X-3+x,

?當(dāng)連續(xù)函數(shù)/(x)滿足/(a)?/(6)<0時,/⑶在區(qū)間力上有零點,

即方程10g3X=3-x在區(qū)間(a,b)上有解，

X-f(2)=log}2-l<0,f(3)=log,3-3+3=l>0,

故)(2)-/(3)<0,

故方程log?x=3-x在區(qū)間(2,3)上有解，

口卩利用二分法求方程x=3-x的近似解，可以取的一個區(qū)間是(2,3).

故選：C.

【典例1-3】(2019?全國?高三專題練習(xí))若/(另=丁+/-21-2的一個正數(shù)零點附近

的函數(shù)值用二分法逐次計算，數(shù)據(jù)如下表：

川)=-2/(1.5)=0.625

“1.25)=-0.984“1.375)=-0.260

/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程V+d—2x-2=0的一個近似根(精確到0.1)為(

【答案】C

【詳解】

根據(jù)二分法，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，

由于.438)=0.165>0,/(1.4065)=-0.052<0

所以方程三+》2—2x_2=0的一個近似根所在區(qū)間為(14065,1.438)

故選:C.

【典例1-4](2022?天津?靜海一中高三階段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)是周期為2的周期

函數(shù)，且當(dāng)時時，/(x)=2w-l,則函數(shù)尸(幻=/(幻-四4|的零點個數(shù)是

()

A.9B.10C.11D.18

【答案】B

【詳解】

尸(x)=/⑴-怛目零點個數(shù)就是y=f(x),y=旭乂圖象交點個數(shù)，

作岀》=f(x),y=|lgM圖象,如圖:

由圖可得有10個交點，

故F(x)=/(x)-|lgx|有10個零點.

故選：B.

為()

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【詳解】

令〃x)=e*T_-一—=0,得j—8-=亠,

x-1x-1

g(x)=T圖象關(guān)于(1,0)對稱，在(7,1),(1,—)上遞減.

X—1

力(%)=i-8",,令H(x)=/i(x+l)=ex—e-v,H(—x)=e-v—ev=—H(x),

所以H(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以〃(x)圖象關(guān)于(1,0)對稱，

/z(l)=0,〃(力=j|-/在口上遞增，

所以/i(x)與g(x)有兩個交點，

兩個交點關(guān)于(1,0)對稱，所以函數(shù)“xbei-eZ-T的所有零點之和為2.

X—1

故選：B

2、圖像零點個數(shù)的判定

【典例2-1】(2022?北京?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=cos2x+cosx,且xe[0,27r],則

/(x)的零點個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】

由cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=(cosx+l)(2cosx-l)=0

可得COSX=-1或COSX=；,又X￡[(),2兀],則X=7l,或x=g,或工=2

233

則/(X)的零點個數(shù)為3

故選：C

【典例2-2](2022?安徽?巢湖市第一中學(xué)高三期中(文))已知函數(shù)

〃司=」+7'<°,則函數(shù)g(x)=/[f(x)+2]+2的零點個數(shù)為()

lnx,x>0

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】

令，=f(x)+2,

當(dāng)XV-1時,f(x)=x+丄€(-00,-2)且遞增,此時re(Y,0),

x

當(dāng)-l<x<0時，f(x)=x+丄e(-co,-2)且遞減，此時fe(Yo,0),

X

當(dāng)0<x<]時，/(x)=lnxw(ro,-2)且遞增，此時re(fo,0),

e-

當(dāng)時，/(x)=lnxe(—2,+oo)且遞增，此時/€(0,+oo),

e

所以，g(x)的零點等價于f")與y=-2交點橫坐標/對應(yīng)的x值，如下圖示:

由圖知：/⑺與y=-2有兩個交點，橫坐標4=-1、0</2<1：

當(dāng)“一1，即f(x)=-3時，在(T0)、(0,自上各有個解；當(dāng)。<4<1,

即—2</(x)<-1時，在xe(5,+<?)有—解.

綜上，g(x)的零點共有4個.

故選：B

【典例2-3】(2016?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試)函數(shù)/(x)=2,nx+4.若

在內(nèi)恰有一個零點，則，〃的取值范圍是()

A.[―1,2]B.C.(—oo,—2][1,-K>o)D.[―2,1]

【答案】C

【詳解】

解：當(dāng)加=0時，函數(shù)為常函數(shù)，沒有零點，不滿足題意，

所以f(x)=2/nr+4為一次函數(shù)，

因為F(x)=2妨+4在［-2,1］內(nèi)恰有一個零點，

所以〃-2)f(l)40,gp(-4m+4)(2/M+4)<0,解得mV—2或m上/.

故機的取值范圍是(-8,-2］」1,物).

故選：C

【典例2-4］(2022?湖南衡陽?二模)已知定義在R上的奇函數(shù)“X)恒有

“X—l)=/(x+l),當(dāng)xe［0，l)時，〃x)=U，已知厶4-2'-2)'則函數(shù)

g(x)=〃x)-日T在(T，6)上的零點個數(shù)為()

A.4個B.5個C.3個或4個D.4個或5個

【答案】D

【詳解】

因為〃X-1)="X+1),所以“X)的周期為2,

又因為“X)為奇函數(shù),/(x)=-/(-%),

令x=l,得〃1)=-/(-1),又=所以〃1)=/(-1)=0,

當(dāng)xe(Tl)時，〃力=記=1一品，

由、=品單調(diào)遞減得函數(shù)/(X)在(-1,1)上單調(diào)遞增，

所以〃T)vf(x)<〃l)，得一;</(x)<g,

作出函數(shù)圖象如圖所示,

當(dāng)y=H+：經(jīng)過點（3,0）時，k=f此時有5個零點.

21

當(dāng)一百＜女＜一§時，有4個零點.

當(dāng)丁=依+；經(jīng)過點（5,0）時，k=-f此時有5個零點.

當(dāng)一＜~"q時,有4個零點.

913

當(dāng)丫=履+:經(jīng)過點（6,0）時，k=_［此時在（—1,6）上只有3個零點.

318

當(dāng)＜攵＜-丄時，有4個零點.

1518

（）（）（，）

所以當(dāng)時,函數(shù)gx=/x-履-g在-16上有4個或5個零點.

\131oy

故選：D

【典例2-5】（2022?寧夏銀川?一模（理））設(shè)函數(shù)〃x）=sin"+V?＞0）,已知

jrjr

“X）在一（N上單調(diào)遞增，則f（x）在（0,20上的零點最多有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【詳解】

,7T,7一-1、，,?In2kn——n2k/r,?

由—+2AvrW<?x+—W—+2上乃，k&Z,得----H-------WxW——+------,kwZ、

2623(vco3a)co

24<冗

■一總X噴.若小)在-省匕單詞遞增,3(o6

取?=0,則

2L>￡

3「4

解得0<34g.若X￡(0,2〃)，貝iJsx+會仁,2°乃+看

設(shè)r=s+—,則fw—,2。乃+一,因為2初r+一￡

6166)6

所以函數(shù)『出「在仁,2初r+小上的零點最多有2個.

所以f(x)在(0,2萬)上的零點最多有2個.

故選：A

3、圖像零點的綜合應(yīng)用

【典例3-1】(2022?安徽?模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(》)=]」]；；：：。，若

g(x)=〃x)-a有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.[1,+<?)

【答案】A

【詳解】

解：令g(x)=/(x)-a=0,得〃x)=a,

在同一坐標系中作出y=f(x),y=a的圖象，如圖所示：

由圖象知：若g（x）=/（x）-a有4個零點,

則實數(shù)a的取值范圍是（0,1）,

故選：A

【典例3-2]（2022?黑龍江?哈師大附中三模（文））已知有且只有一個實數(shù)x滿足

三-公-1=0,則實數(shù)a的取值范圍是（）

【答案】D

【詳解】

x=0顯然不是V-6-1=0XHO

因此只有一個實數(shù)x滿足丁-依-1=0等價于方程“-丄只有一個實數(shù)根.

X

2

f（x）=xf\x）=2x+^,f'（x0）=2x0+—=0=>x0=,故可知:

xxXQ-v2

當(dāng)5）時，rw<o,此時/（X）單調(diào)遞減

當(dāng)XC[不,0丿時，r（x）>0,此時/（X）單調(diào)遞增，當(dāng)xe（O,+8）時，r（x）>0,此

時/（X）單調(diào)遞增，且當(dāng)L100時，y（x）=10000+厶，x=100時，f（x）=10000-厶，當(dāng)

1UU1UU

L擊時，小尸誌龍00,當(dāng)A焉時，/叱康―100,故圖像如圖：

故"<2=1修）考?

故選：D

/、ax4-l,x<0,

【典例3-3】(2022?河南安陽?模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)/“?(。>0且

|lnx|,x>n0,

awl),若函數(shù)y=/(/(x))-。的零點有5個，則實數(shù)a的取值范圍為

()

A.a=2B.In24avl或1<〃<2

C.0<a<ln2或1<。<2或〃=2D.In24avl或。=2

【答案】I)

【詳解】

解：依題意函數(shù)y=/'(/(x))-a的零點即為方程〃/(x))=a的根，

①當(dāng)。時函數(shù)“X)的函數(shù)圖象如下所示：

所以〃f)=a有兩個根，-4(0</(<1,/2>1),

而％=〃x)對應(yīng)2個根，所以需要力對應(yīng)3個根,

所以，2*2,即切±2,解得1n2M”l；

②當(dāng)。>2時函數(shù)〃x)的函數(shù)圖象如下所示:

③當(dāng)。=2時函數(shù)〃x)的函數(shù)圖象如下所示:

從而/(x)=e、〃x)=g,/(x)=0,所對應(yīng)2、2、1個根,

即共5個根，所以滿足題意：

④當(dāng)1<”2時函數(shù)/(x)的函數(shù)圖象如下所示:

而％=/(x),芍=/(力，f3=/(x)分別對應(yīng)2、2、0個根，即共四個根，

所以不滿足題意；

綜上可得實數(shù)。的取值范圍為山24“<1或。=2；

故選:D

【典例3-4](2022?福建三明?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力=渡-辦1g-，有兩個零點,

則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,：)B.(0,e)C./，內(nèi))D.(e,y)

【答案】D

【詳解】

函數(shù)/(》)=加一欠lnx-e”有兩個零點，即a(x2-xlnx)-e*=。有兩根，又

x2-xlnx=x(x-lnx)>0,故可轉(zhuǎn)換為----有兩根，令g(x)=-r^------，則

x~-x\nxx"-x\nx

，/、ex(x2-xlnx-2x+lnx+l),、

g(X)=------------------n---------=-----1---------------，令人(x)=X-1_InX,則

(x2-xlnx)(x2-xlnx)

3)=?,故M*)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?0」二單調(diào)遞增，故〃(力2〃⑴=0，當(dāng)

且僅當(dāng)x=l時等號成立,故在(0,1)上g'(x)<o,g(x)單