華師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)提綱

第11章數(shù)的開方

§11.1平方根與立方根

一、平方根

1、平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根。

（也叫做二次方根）

即：若*=必則x叫做a的平方根。

2、平方根的性質(zhì)：（1）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根。它們互為相反數(shù)；（2）零

的平方根是零；（3）負(fù)數(shù)沒有平方根。

二、算術(shù)平方根

1、算術(shù)平方根的定義：正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根。

2、算術(shù)平方根的性質(zhì)：（1）一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)且為正；（2）

零的算術(shù)平方根是零；（3）負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根；（4）算術(shù)平方根的非負(fù)性：&

NO。

三、平方根和算術(shù)平方根是記號(hào)：平方根土右（讀作：正負(fù)根號(hào)a）；算術(shù)

平方根右（讀作根號(hào)a）

即：“土布”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“無”表示a的算

術(shù)平方根，或者表示求a的算術(shù)平方根。

其中a叫做被開方數(shù)。???負(fù)數(shù)沒有平方根，，被開方數(shù)a必須為非負(fù)數(shù)，即：

啟0。

四、開平方：求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。其實(shí)質(zhì)就是：已

知指數(shù)和二次幕求底數(shù)的運(yùn)算。

五、立方根

1、立方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根。

（也叫做三次方根）

即：若x=a,則x叫做a的立方根。

2、立方根的性質(zhì)：（1）一個(gè)正數(shù)的立方根為正；（2）一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根為

負(fù)；（3）零的立方根是零。

3、立方根的記號(hào)：后（讀作：三次根號(hào)a）,a稱為被開方數(shù)，“3”稱為根

指數(shù)。

標(biāo)中的被開方數(shù)a的取值范圍是：a為全體實(shí)數(shù)。

六、開立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。其實(shí)質(zhì)就是：已知指

數(shù)和三次幕求底數(shù)的運(yùn)算。

七、注意事項(xiàng)：

1、“土布”、“乙”、“處”的實(shí)質(zhì)意義：“土石”~問：哪個(gè)數(shù)的平方是a；

“右”一問：哪個(gè)非負(fù)數(shù)的平方是“人”一問：哪個(gè)數(shù)的立方是

2、注意右和近中的a的取值范圍的應(yīng)用。

如：若有意義，則x取值范圍是o（..3-3N0,...xe3）

（填：心3）

若g謔有意義,則X取值范圍是O(填：全體實(shí)數(shù))

3、亞工=-指。如：?.?47=-3,-V27=-3,07=-V27

4、對(duì)于幾個(gè)算數(shù)平方根比較大小，被開方數(shù)越大，其算數(shù)平方根的值也越

大。

如：/等。2巧和3VI怎么比較大??？(你知道嗎？不知

道就問?。。。。。?！)

5、算數(shù)平方根取值范圍的確定方法：關(guān)鍵：找鄰近的“完全平方數(shù)的算數(shù)

平方根”作參照。

如：確定力■的取值范圍。?.?/<?■〈萬，.?.2V"V3。

6、幾個(gè)常見的算數(shù)平方根的值：行=1.414,6al.732,75?2.236,76?2.449,

V7?2.646o

八、補(bǔ)充的二次根式的部分內(nèi)容

1、二次根式的定義：形如C(a20)的式子，叫做二次根式。

la4a

2、二次根式的性質(zhì):⑴9=向右(&20,620)；(2)X赤（a20,

力>0)；

(3)(V^)2=a(a與0)；(4)=|a|

3、二次根式的乘除法：(1)乘法：及?后=疝(&20,6、0)；(2)除法:

4a[a

（啟0,力>0）

7b=\b

§11.2實(shí)數(shù)與數(shù)軸

一、無理數(shù)

1、無理數(shù)定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

2、常見的無理數(shù)：

(1)開方開不盡的數(shù)。如：V10,V7,V6,V5,V2,2麗，-4+1,#+2,3后-四等。

(2)"?！鳖惖臄?shù)。如：71，-71J>2萬等。

3兀

(3)無限不循環(huán)小數(shù)。如：2.1010010001……,-0.234242242224……,等

二、實(shí)數(shù)

1、實(shí)數(shù)定義：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

2、與實(shí)數(shù)有關(guān)的概念：

(1)相反數(shù)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)為-劣若實(shí)數(shù)隊(duì)8互為相反數(shù)，則“為0。

(2)倒數(shù)：非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為工(a#0)。若實(shí)數(shù)a、力互為倒數(shù)，則

a

ab=lo

a(a>0)

(3)絕對(duì)值：實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值為：|”|=<0(a=0)

-a(a<0)

3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：有理數(shù)的所有運(yùn)算法則及運(yùn)算律均適用于實(shí)數(shù)的運(yùn)算。

4、實(shí)數(shù)的分類：

(1)按照正負(fù)性分為：正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)三類。

(2)按照定義分為：

5、幾個(gè)“非負(fù)數(shù)”：(1)才10；(2)|a/20；(3)6

6、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

第12章整式的乘除

§12.1幕的運(yùn)算

一、同底數(shù)幕的乘法

1、法則：4?d"?"........?=/*"，……("、小p……均為正整數(shù))

文字：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

2、注意事項(xiàng)：

(1)a可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

232+355

如：，?/(-2).(-2)=(-2)=(-2)=-2；

(VI)3,(V2)-(V2)!，-(V2)7；(a+拉?(a+??(a物=(a+8)'"'"=(a物"

(2)一定要“同底數(shù)人”“相乘”時(shí)一，才能把指數(shù)相加。

(3)如果是二次根式或者整式作為底數(shù)時(shí)，要添加括號(hào)。

二、幕的乘方

1、法則：｛a'Y=an("、〃均為正整數(shù))。推廣：｛[(a)]"｝s=a“"

文字：幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

2、注意事項(xiàng)：

(1)a可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

如：(/3=/3=丁[(0)3]4=(/產(chǎn)4=("用[。*)2]4=(&-8產(chǎn)4=(3一"

(2)運(yùn)用時(shí)注意符號(hào)的變化。

(3)注意該法則的逆應(yīng)用，即：#=W，如：4(/)5=(力3

三、積的乘方

1、法則：(的,紗(〃為正整數(shù))。推廣：(acde)n=acd^

文字：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式都分別乘方，再把所得的基相乘。

2、注意事項(xiàng)：

(1)a、力可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

如：(2萬)3=22/=4/；(V2XV3)2=(V2)2X(J^)2=2X3=6；

(~2abc)3=(-2)zaIDc--8a；[(a+6)(a-6)]?=(a+6)"(a-6)2

(2)運(yùn)用時(shí)注意符號(hào)的變化。

(3)注意該法則的逆應(yīng)用,即：a'=(a。)"；如:23X33=(2X3)3=63,

(x+y)2(才-力J[(x+y)(x-y)]"

四、同底數(shù)塞的除法

1、法則：a"'+a"=a'"P("、〃均為正整數(shù)，m>n,a￥0)

文字：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

2、注意事項(xiàng)：

(1)a可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

如：萬；(—2)5.(—2)3=(-2嚴(yán)=(-2)2=4；

(亞)=(g)4=(五)6-4=(五)2=2；(a班(a場(chǎng)&三(3%)2=才只泌4

(2)注意aWO這個(gè)條件。

(3)注意該法則的逆應(yīng)用,即：尸=&?"；如:產(chǎn)—(x+y)2”3=(x+y)2a

+(x+y)3

§12.2整式的乘法

一、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，只要將它們的系數(shù)與系數(shù)相乘，相同字母的事

相乘，多余的字母照搬到最后結(jié)果中。

如：(一5a守)?(-4//c)?(--atf)=[(-5)X(-4)X(--)]?(a2?a)*(Z>2?6),c

22

=-30a3^c

二、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

法則：(乘法分配律)只要將單項(xiàng)式分別去乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再將所得

的積相加。

如：(-3X2)(-X2+2X-1)=(-3^),(~J^)+(~3x)*2x-"(-3f)?l=3x4-6x3+3X2

三、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

法則：(1)將一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再將

所得的積相加。

如：ma+mb+naJ<-nb

(2)把其中一個(gè)多項(xiàng)式看成一個(gè)整體(單項(xiàng)式)，去乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的

每一項(xiàng)，再按照單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則繼續(xù)相乘，最后將所得的積相加。

如：{m+n)(a+Z?)=5+n)a+{m+n)b=ma+na+mlAnb

§12.3乘法公式

一、兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差

1、公式：9+"9黑=:次,名稱：平方差公式。

2、注意事項(xiàng)：(1)a、8可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2^a)(2^y-a)=(2xy)-a=4/y-a2；

〈a+b+冗)<a+b一％)=(2xy)2—才=4xy-a\

(2)注意公式中的第一項(xiàng)、第二項(xiàng)各自相同，中間是“異號(hào)”的情況，才

能用平方差公式。

(3)注意公式的來源還是“多項(xiàng)式X多項(xiàng)式”。

二、完全平方公式

1、公式：(a±Z7)2=a2±2ab+b\名稱：完全平方公式。

2、注意事項(xiàng)：(1)a、力可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

如：(&+3)2=(&)2+2X后X3+32=2+6V2+9=11+6V2；{mn-a)2=(%〃)2~2mn*a+

a-mn-2mna+a'；

(a+b-%)2=(力)J2(a+6)乃+萬~=a2+2<ab+lj~27va~71b+〃一；

(2)注意公式運(yùn)用時(shí)的對(duì)位“套用”；

(3)注意公式中“中間的乘積項(xiàng)的符號(hào)二

3、補(bǔ)充公式：(a+b+c)2=a~-f-c+b2+2ab地be地ca

特別提醒：利用乘法公式進(jìn)行整式的運(yùn)算時(shí)注意“思維順序”是：“一看二

套三計(jì)算”。

§12.4整式的除法

一、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

法則：單項(xiàng)式相除，只要將它們的系數(shù)與系數(shù)相除，相同字母的基相除，只

在被除式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。

如：-21aJZ?3c-i-3a/>=(-214-3),a"?b'',c=-7a&c

(2xy),(~7xy)-7-14xy=8xy?(~7xf)-T-14Xy=[8X(-7)J?x"'y"214xy

=(-56+14)?x4?y3=-4xy

5(2a+b)=(2a+b)2=(5+1)(2a+b嚴(yán)=5(2a+bz=5(4a+4ab+!j)=20a+20ab+5l)

二、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

法則：(乘法分配律)只要將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別去除以單項(xiàng)式，再將所得

的商相加。

如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)4-(-7x2y)=21x4y34-(-7x2y)-35x3y24-(-7x2y)+7x2y2

-7-(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y

[4y(2x-y)-2x(2x-y)]4-(2x-y)=4y(2x-y)4-(2x-y)-2x(2x-y)]4-

(2x-y)=4y~2x

?整式的運(yùn)算順序：先乘方(開方)，再乘除，最后加減，括號(hào)優(yōu)先。

§12.5因式分解

一、因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分

解。(分解因式)

因式分解與整式乘法互為逆運(yùn)算

x'-1*l)(x-1)

二、提取公因式法：把一個(gè)多項(xiàng)式的公因式提取出來，使多項(xiàng)式化為兩個(gè)因

式的積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定義：多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的相同的因式稱為公因式。

△具體步驟：(1)“看”。觀察各項(xiàng)是否有公因式；(2)“隔”。把每項(xiàng)的公因

式“隔離”出來；(3)“提二按照乘法分配律的逆運(yùn)用把公因式提出來，使多項(xiàng)

式化為兩個(gè)因式的積。

△(a-b)2n=(b-a)2n(n為正整數(shù))；(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(n為正整數(shù))；

如：8a：b-4ab+2ap2a?4ab~2a?2b+2a?l=2a(4ab-2b+l)?,-5才+25a--5

a?a用a?5=-5<3(&拈)

(注意：凡給出的多項(xiàng)式的“首項(xiàng)為負(fù)”時(shí)，要連同“-”號(hào)與公因式一并提

出來O)

三、公式法：利用乘法公式進(jìn)行因式分解的方法，叫做公式法。

1、平方差公式：才一g刈)(a-6)；名稱：平方差公式。

△注意事項(xiàng)：(1)a、6可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

如：102_g2=(10+9)(10-9)=19X1=19；4xy-a=^xy)2-a'=^xy+a)^xy-a)；

(2〃+if-(in-1)2=(In+1+2〃-1)(2〃+1-2〃+1)=8〃

(2)注意公式中的第一項(xiàng)、第二項(xiàng)各自相同，中間是“異號(hào)”的情況，才

能用平方差公式。

(3)注意公式的結(jié)構(gòu)好形式，運(yùn)用時(shí)一定要判斷準(zhǔn)確。

2、完全平方公式：(a±Z?)2=a2±2ab+B；名稱：完全平方公式。

△注意事項(xiàng)：(1)a、6可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式等。

如：mn-Z<mna+a-{mn)~-2,mn*a+a-x+^xy+y=x+2*x?2y+(2y)2=(x&

y)2

(2)注意公式運(yùn)用時(shí)的對(duì)位“套用”；

(3)注意公式中“中間的乘積項(xiàng)的符號(hào)”。

四、補(bǔ)充分解法：

1、公式：/+(a+6)x+ab^(x+a)(x+物。

如：/+5%^=/+(2+3)x+2><3=(x+2)(x+3)；/+5%-6=/+[6+(-1))]

(-1)=(%^)(xT)

2、“十字相乘法”

如：/+9犬+14=("2)(x+7)x2-2X-8=(^2)(x~4)

2+7=92+(-4)=-2

五、綜合

1、注意利用乘法公式進(jìn)行因式分解時(shí)注意“思維順序”是：“一看二套三分

解“。

2、遇到因式分解的題目時(shí)一，其整體的思維順序是：(1)看首項(xiàng)是否為“一”,

若為“一”，就要注意提負(fù)號(hào)；(2)看各項(xiàng)是否有公因式，若有公因式，應(yīng)該首

先把公因式提取出來再說；(3)沒有公因式時(shí)，就要考慮用乘法公式進(jìn)行因式分

解或者“十字相乘法”。

3、注意事項(xiàng)：(1)注意(a-b)與(b-a)的關(guān)系是互為相反數(shù)；(2)因式

分解要徹底，不要只提出公因式就完，還要看剩下的因式是否可以繼續(xù)分解；(3)

現(xiàn)階段的因式分解的題目，一般都要求在有理數(shù)范圍內(nèi)分解，所以不能出現(xiàn)帶根

號(hào)的數(shù)；(4)注意“十字相乘法”只適用于“二次三項(xiàng)式型”因式分解，不要亂

用此法。

第13章全等三角形

命題定義：可以判斷真假的陳述句叫命題，正確的命題叫真命題，

錯(cuò)誤的命題叫假命題；一個(gè)命題分題設(shè)和結(jié)論兩部分。

公理：有些命題的正確性是人們?cè)陂L期實(shí)踐過程中總結(jié)出來的，

并把他作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題

叫公理。

定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法證明它們是正

確的，并可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫定理。

互逆命題：兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的

結(jié)論，而第一個(gè)命題結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么

這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命

題，那么另一個(gè)命題就叫做逆命題。

互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫

做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定

理。

.畫線段

五種基本尺規(guī)作圖黑直平分線

過已知點(diǎn)畫垂線

、畫角平分線

小.等腰三角形的判定：①如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形

所對(duì)的邊也相等；②如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方

和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

f①性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

角平分?、谂卸ǎ旱揭粋€(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上

3.垂直平分線J①性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距

離相等[

I②判定：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段

的垂直平分線上。

1.全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

2.全等三角形：

定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

表示方法：△ABC△DEF

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)

角相等

3.三角形全等的判定:

No.1邊邊邊(SAS):三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

No.2邊腳邊(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

No.3角邊角(ASA)：兩邊和他們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

No.4角角邊(AAS)：兩個(gè)角和其中的一個(gè)叫的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三

角形全等。

No.5斜邊，直角邊(HL)：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

第14章勾股定理

§14.1勾股定理

一、直角三角形三邊的關(guān)系

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

幾何語言：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90",Ar^\c

NA、NB、NC所對(duì)的邊分別是a、b、ch

則有：c------?一?

2、勾股定理的證明反映了一種常用數(shù)學(xué)思想：“面積拼圖法”。

3、注意事項(xiàng)：(1)勾股定理必須在Rt△使用，若遇到非RtZ\,則可引垂線

段“造”RtA0(2)注意Rt△中告訴的“直角”是哪個(gè)，以便準(zhǔn)確確定“斜邊”。

(3)在運(yùn)用勾股定理求邊長時(shí)，要用到“開平方”運(yùn)算，一定要指明“邊長為

正”的條件，求的是邊長的算數(shù)平方根。

二、Rt△的判定

1、直角三角形的定義：有一個(gè)角為直角的三角形叫做直角三角形。

2、有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：若^ABC的三邊a、b、。滿足才為2=",則/C=90"。

☆“勾股數(shù)”：指三個(gè)滿足才域的正整數(shù)，我們稱為勾股數(shù)。

☆注意勾股定理的逆定理的應(yīng)用，只要涉及三角形三邊長的問題，都要判定

一下是否為Rtz\。

三、反證法的步驟：先假設(shè)