四川省某學(xué)校2023年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

四川省射洪中學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、如圖所示，觀察下面四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（）

是圓臺(tái)是棱臺(tái)

是棱錐D.//不是棱柱

2、cos(—120°)+sin30°的值是()

A.-1B.0C.1D.百

3、已知。=（2,4），b=（-4,f），若a,b，則f=（）

A.2B.-8C.8D.-2

4、我市某中學(xué)有高中生1500人，初中生3500人，為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂飯菜的滿意

程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，已知從初中生

中抽取35人，則〃為（）

A.200B.150C.100D.50

5、水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知8'。=3，AC=2，B'C'Hy'

軸，則△ABC的外接圓半徑長(zhǎng)是（）

B.姮

AVioD.2

2

6、若1-COS2J走,則tan(a」)=()

sin2a34

A.2—V3B-V3-2C-1+V3D-1-V3

7、在對(duì)角線相等的平行四邊形ABC。中，.=3,4）=2,E為CD上一點(diǎn)、,若

DE=；AB，BF=-FE，=+則/1-〃=()

8、如圖，在正方體ABC。-A5GA中，截去三棱錐8-44Q，若剩余的幾何體的表

面積是9+那么正方體ABC。-A4GA的內(nèi)切球的表面積和其外接球的體積分別

2

二、多項(xiàng)選擇題

9、某校對(duì)高一學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，在該校高一年級(jí)隨機(jī)選取了甲、乙兩個(gè)班，并在

這兩個(gè)班各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的體能成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析。下表是兩個(gè)班被隨機(jī)選

出的學(xué)生的體能分?jǐn)?shù)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)表，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

甲75798284868790919398

乙73818183878895969799

A.甲、乙兩個(gè)班的分?jǐn)?shù)的極差相等，方差不相等

B.甲、乙兩個(gè)班的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)相等

C.乙班的分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為87

D.甲、乙兩個(gè)班分?jǐn)?shù)的中位數(shù)中，乙班的中位數(shù)較大

10、下列說(shuō)法正確的是（）

A.若o與人是平行向量，則q=〃

B.已知向量,與b的夾角為聿，且同=6，忖=1，設(shè)〃?=a+b，n=a.b，則向量加

在〃方向上的投影向量的模為2

C.已知點(diǎn)C,N在△ABC所在平面內(nèi)，滿足|。4卜|。@=|。。|且M1+NB+NC=0，則

點(diǎn)C,N分別是△ABC的外心，重心

D.在△ABC中，若AB-Ad〉0，則△ABC一定是銳角三角形

11、設(shè)機(jī)、〃為兩條不同的直線，a、夕為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中真命題是()

A.若〃zj_〃，mVa.'則a_L￡

B.若a〃￡,mua,nu/3,則"?與〃是異面直線

C.若=n^a,則“與夕一定相交

D.若m/ln,"2_l_a，尸，則a〃尸

12、在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列

兩種三角函數(shù)：定義1-cos。為角0的正矢，記作versin。；定義1-sin。為角0的余

矢，記作covers。,則有()

A.函數(shù)/(x)=wsinx-coversx+1的對(duì)稱(chēng)中心為(E+；,o],ZeZfi"，：,；0),kcz

B.若"''sin*[=1，則covers2x-versin2x+l=--

coversx-\25

C.若g(%)=versinx-coversx-1，則g(x)的最大值為加+；

D.h(x)=versin2x-coversx+1>/?(a)=1且Ova<色，則圓心角為a，半徑為2的

2

扇形的面積為3

3

三、填空題

13、某中學(xué)高一生物課外興趣小組要對(duì)本班同學(xué)的睡眠時(shí)間進(jìn)行研究，得到了以下10

個(gè)數(shù)據(jù)(單位:小時(shí))：6.4,7.7,8.0,7.4,3.3,7.9,6.8,7.5,8.3,7.8,去掉數(shù)據(jù)

能很好地提高樣本數(shù)據(jù)的代表性.

14、如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山底

C在西偏北30。的方向上；行駛400m后到達(dá)3處，測(cè)得此山底C在西偏北75。的方向

上，山頂。的仰角為45。，則此山的高度8=m.

15、在正三棱柱ABC-ABG中，M=V2AB,。是AC邊上的點(diǎn)，且滿足

BD=-(BA+BC^則異面直線A瓦與8。所成角的正切值為.

.71

16、已知函數(shù)/”)=2$皿8+7)(3>。)，若在區(qū)間(0㈤上有兩個(gè)不同的》使得

/(x)+0=(),則刃的取值范圍是.

四、解答題

17、(1)已知向量d與b的夾角。=三，且|。|=3,仍|=20.求°力和|a+〃|；

4

(2)已知向量。=(1,-2)，ft=(3,2)c=(m,n)(m,n^R),旦cH(a-b)，(a+c)J_8，

求/〃+71的值。

18、某中學(xué)(含初高中6個(gè)年級(jí))隨機(jī)選取了60名男生，將他們的身高作為樣本進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值及樣本中男生身高在[175,195](單位:cm)的人數(shù)；

(2)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，通過(guò)樣本估計(jì)該校全體男

生的平均身高；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校男生身高的75%分位數(shù)。

19、如圖，△ACZ)為等腰三角形，且AC=AT>，。七_(dá)L平面ACO,DE//AB-

AB=、DE，點(diǎn)、G為CE的中點(diǎn).求證：

2

(1)BG〃平面ACO；

(2)平面3CG_L平面GDE.

20、已知函數(shù)/(x)=|-2sin2tyx+sin2tyN0<<y<3)，且______-

從以下①②③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面條件中，并回答問(wèn)題:

①函數(shù)/(力圖象中相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為

②函數(shù)/（X）圖象與直線y+0=o的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離為兀;

③點(diǎn)（―,>/2）在/（x）上；

8

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將/（幻的圖象向上平移2個(gè)單位，接著向左平移2個(gè)單位，再將所得圖象所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)），=g（x）的圖象，求函數(shù)

g（x）的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸及x/o,1時(shí)的值域。

21、如圖，直四棱柱ABC。-44GA中，底面AdGA為矩形，且

AD=AAi=^AB=\求直線BC,與平面CCQ所成的角的大小；

（2）求二面角的余弦值;

（3）求直線BC,到平面AC"的距離。

a_sinA

22、△ABC中，a,b,c是角A,B,。所對(duì)的邊，已知」1.A+C，且a=l.

sin----

（1）若△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC的面積；

（2）若力=1，在△ABC的邊AB,AC上分別取。，E兩點(diǎn)，使沿線段OE折疊

到平面BCE后，頂點(diǎn)A正好落在邊上，求此情況下AO的最小值。

參考答案

I、答案：c

解析：A圖不是由棱雉截來(lái)的，所以A圖不是棱臺(tái)；

B圖上、下兩個(gè)面不平行，所以B不是圓臺(tái)；

C圖是棱雉.

D圖有兩個(gè)面平行，其余面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以

D是棱柱.故選:C.

2、答案：B

解析：cos(-120°)+sin300=cos1200+sin30°=-sin300+sin300=0：B.

3、答案：A

解析：a=(2,4),b=(-4j),a^b'則2x(-4)+4f=0,解得r=2.故選：A.

4、答案：D

解析：根據(jù)題意，某中學(xué)從高中生1500人，初中生3500人，用分層隨機(jī)抽樣的方法

從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，又從初中生中抽取35人，則抽樣比為

二-=—L，則應(yīng)從高中生中抽取1500X」一=15人，則"=35+15=50人.故選:D.

3500100100

5、答案：A

解析：由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知AC_L8C，即△ABC為直角三角形，

其中4c=2，BC=6,所以AB=j4C2+5C2=2而

故AB邊上的中線長(zhǎng)為：_1、2廂=廂，ZvWC的外接圓半徑長(zhǎng)是:J市.

2

故選:A.

CA

6、答案：B

解析：由l—cos2a=君.得2sin%=百

sin2a32sin。cosa3

所以包里=立，所以fan*正，

cosa33

所以

兀61

tan（a兀］一tana_l_彳一1百—3一（6—3）（3—揚(yáng)

〔打jtanatan工1+tan?"走3+百（3+6）（3-百）

_43

二一（12一6揚(yáng)02.

6

故選：B

7、答案：C

解析：由題意，DE^-AB?BF=LFE，則8戶=,8E，

234

AF=AB+BF^AB+-BE

4

1

=AB+-(AE-AB)

=AB+UAD+-AB-AB\

412J

71

=-AB+-AD，

84

.,.丸=—，〃=—，即2—〃=?.

848

故選:C.

8、答案：A

解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,

則截去三棱雉6-例。后剩余的幾何體的表面積2a2+k0ax缶x?L/5,可

2222

得2±2^/=2±^，即〃=i，。=1

22

正方體ABC。-4gG0的內(nèi)切球的半徑為巴，外接球的半徑為1”，

22

2

二.正方體A8C￡>-AjBCD1的內(nèi)切球的表面積為47rxe=兀

4

外接球的體積是，xHL]=1兀/=正.兀

312J22

故選:A.

9、答案：ABC

解析：對(duì)于A,甲的極差為98-75=23，乙的極差為99-73=26，故甲和乙的極差不

相等，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,甲的平均數(shù)為2(75+79+82+84+86+87+90+91+93+98)=86.5，

乙的平均數(shù)為《(73+81+81+83+87+88+95+96+97+99)=88，

，甲、乙兩個(gè)班的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)不相等，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,乙班的分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為81,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,甲、乙兩個(gè)班分?jǐn)?shù)的中位數(shù)分別為

配包=86.5和巡*87.5，

22

.??甲、乙兩個(gè)班分?jǐn)?shù)的中位數(shù)中，乙班的中位數(shù)較大，故D正確.

故選:ABC.

10、答案：BC

解析：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,若"與人是平行向量，則力與/,方向相同或相反，不一定有“二方，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,向量〃?在〃方向上的投影向量也〃，其模為|也=絲土處H=2,B正

|〃F\a-b\

確；

對(duì)于C,若點(diǎn)。滿足|OA|=|O3|=|OC|，則點(diǎn)。是△ABC的外心，若點(diǎn)N滿足

NA+NB+NC=0，則N是△ABC的重心，C正確；

對(duì)于D,在△ABC中，若A6-AC〉0,可得A為銳角，當(dāng)無(wú)法判斷其他角的情況，則

不能判斷△回€：的形狀，D錯(cuò)誤.

故選:BC.

11、答案：AD

解析：若J_〃，/九_(tái)La,則〃ua或〃〃a,乂〃_L力，則a_L2，故A是真命題；

若a"0，mua,〃u分，則租//“或相與〃是異面直線，故B是假命題；

若aB=m,〃ua,則〃///?或〃與夕相交，故C為假命題；

若mlM,〃?_La，則"J_e,乂〃_L尸，則?！??，故D為真命題.

故選:AD.

12、答案：BCD

解析：

13、答案:3.3

解析：因?yàn)閿?shù)據(jù)3.3明顯低于其它幾個(gè)數(shù)據(jù)，是極端值，所以去掉這個(gè)數(shù)據(jù)，能夠更

好地提高樣本數(shù)據(jù)的代表性.故答案為：3.3.

14、答案：200立

解析：

15、答案：出

解析：取的中點(diǎn)A，連接BQ,ADt,由8Q=；(BA+BC)，得。為AC的

中點(diǎn)，

在正三棱柱ABC-\B,CX中，DD.//A4,,DD,=A4,,且BBJ/AA,,=A4,,所以

DDJIBB\,DR=BBi,所以四邊形BBQQ為平行四邊形，所以BQ'/BD,

所以NABQ即為異面直線A4與8。所成角，

設(shè)AB-a?則A4j=y/?.a，

所以AB}=yf?)a，BQ[=a?

2,329

AB-+B^-AD；_a+4a_4a2_1

所以】

cosNABA2破班=2x岳x牝F

2

所以NAgA=60。，

所以異面直線ABt與BD所成角的正切值為由.

故答案為：6.

16、答案：（±3]

2

解析：f（x）+6=0.

貝I」sin（（y、.+：）=一等'

八7C7T71

0<X<7f.,.一<69+—<3兀+一，

4,V44

在區(qū)間（0,兀）上有兩個(gè)不同的x使得

/(x)+0=(),sin—7T=sin—7t=>

442

由正弦函數(shù)的圖象可知,

7n1333

一兀<。”+—4——兀，

4,442

故。的取值范圍是仁，3.

17、答案：（1）a.b=_6；\a+b\=s/5

(2)m+n=—

7

解析：（1）因?yàn)橄蛄縜與〃的夾角6=個(gè)，且同=3，忖=20,則

ab-|a|-|/?|-cos^-=3x2^2x

=-6，

=yja2+2d-b+b2=j9+2x(—6)+8=

(2)因?yàn)橄蛄縜=(1,-2),b=(3,2)?c=(m,n)>所以a-匕=(一2,-4)，又C〃僅一匕

所以—4m—(—2〃)=0,即九一2m=0°

又a+c=(/%+1,〃-2),(a+c)_Lb，所以

3(6+1)+2(〃-2)=0,即3m+2n—1=0，

1

m——

所以1-2加=0解得7,所以/〃+〃=°

3，〃+2〃-1=027

in--

［7

18、答案：(1)21

(2)171.5cm

⑶179cm

解析：(1)根據(jù)題意，(0.005+a+0.020+0.025+0.040)x10=1,解得a=0.CH0.

所以樣本中學(xué)生身高在［175,195］內(nèi)的人數(shù)為60x(0.010+0.025)x10=21

(2)設(shè)樣本中男生身高的平均值為了，則

亍=150x0.05+160x0.2+170x0.4+180x0.25+190x0.1=7.5+32+68+45+19=171.5?估

計(jì)該校男生的平均身高為171.5cm.

(3)由a=0.010，根據(jù)頻率分布直方圖，因?yàn)?/p>

(0.005+0.020+0.040)x10=0.65<0.75,

(0.005+0.020+0.040+0.025)x10=0.9>0.75，所以樣本中的75%分位數(shù)落在［175,185)

內(nèi)，

設(shè)75%分位數(shù)為x,則(X-175)x0.025=0.75-0.65,解得x=179.

所以估計(jì)該校男生身高的75%分位數(shù)為179cm.

19、答案：(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

解析：(1)取C。的中點(diǎn)R連接GRAF

又因?yàn)辄c(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，所以GF為△ECD的中位線，所以FG//DE，F(xiàn)G=-DE，

2

因?yàn)樗訤G〃AB，

因?yàn)锳8=LOE，所以FG=/W

2

所以四邊形GFAB為平行四邊形

所以AF//BG，

因?yàn)?G.平面AC。，AFu平面AC。

所以BG〃平面AC。

(2)因?yàn)椤鰽C。為等腰三角形，且AC=AD，又點(diǎn)F為CO的中點(diǎn)，所以

AF±CD

因?yàn)?。E_L平面AC。，AFu平面AC。，所以￡)￡_!_AF，

因?yàn)镃DDE=D，所以Af平面CDE,

由(1)知AF//BG>所以8G，平面CDE,

因?yàn)锽Gu平面BCG，所以平面3CG_L平面CDE,又平面CDE即是平面GOE

所以平面BCG，平面GDE.

20、答案：(1)答案見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

解析：(1)選①，依題意，/(x)=sin2&)x+cos2(wx=V2sin(2<yx+^)>

函數(shù)/(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為5，因此函數(shù)“X)的周期丁=兀，

有2°=?=2，

T

則有/(x)=V2sin(2x+—)>

4

由2&兀一二42x+二W2E+二，左eZ得：kn--<x<kn+—^AeZ

24288

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是a卡,也+拙eZ).

選②，依題意，/(x)=sin269X+COS269X=V2sin(26yx4--^)，顯然/(1源血=—,

因函數(shù)“X)圖象與直線y=—0的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離為兀，因此函數(shù)“X)的周

期T=兀，有2co==2，

T

則有/(犬)=V2sin(2x+：)，

a

由2也一至W2x+至W2阮+巴,keZ得:kn———<x<kn+—>AeZ，

24288

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是向-型,加+芻(丘Z).

88

選③，依題意，/(%)=sin2<yx+cos2ct>x=V2sin(2tyx+—)>

/(—)=>/2sin(—(w+—)=5/2>即sin(色0+四)=1，Kll—<y+-=2n7t+—>〃eZ，

184444442

即有@=8〃+1，〃eZ，而0<<y<3，則及=0，/=1，

則有/(x)=yflsin(2x+—)，

由2kli--<2x+—<2kit+—>ZeZ得：kn———<x<Z：7i+—，kwZ

24288

/(x)

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是附-學(xué)也+加eZ).

(2)由(1)知/'(x)=0sin(2x+Z)，所以將/(x)的圖象向上平移2個(gè)單位，接著向

4

左平移四個(gè)單位，得到y(tǒng)=&sin12(x+^)+N+2=0cos2x+2,

8L84_

再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，則

y=g(x)=0cosx+2，

所以函數(shù)g(x)的最小正周期為2兀；

對(duì)稱(chēng)軸為x=kn(kGZ);

因?yàn)閤e0,；,所以cosxe1則g(x)的值域?yàn)?3,2+夜］。

21、答案：（1）巴

4

（2）叵

2

⑶-

3

解析：（1）因?yàn)樵谥彼睦庵鵄sco-AgGA中，底面AAGA為矩形，所以直四棱

柱ABCO-A始GA是長(zhǎng)方體，即在長(zhǎng)方體中，80_1平面。。1。1。，

即BC_L平面CG2，則NBCC即為直線BC]與平面CCQ所成的角，

因?yàn)锳O=A4,=；AB=1,

所以在RtZ\6CC|中，BC=AD=1，C￡=AA=1，故

即直線BG與平面CG9所成的角為：；

（2）由（1）知直四棱柱43co—A4G0是長(zhǎng)方體，則在長(zhǎng)方體ABC?！狝4G0

中，0c，平面BBCC，而gG，BC|U平面8BCC，所以4G，與C/1BC,

又B￡u平面AAG，8GU平面BD,C,

由二面角的平面角的定義知NBCg為二面角B-D^-A,的平面角，

因?yàn)锳D=的=gAB=l，所以在中，

B1G=AD=1，BB,=AA,=I,故N8C4=：，則COS/8C4=￥

即二面角B-D.Cx-\的余弦值為立；

2

（3）由（1）知直四棱柱ABC。-48GA是長(zhǎng)方體，則在長(zhǎng)方體

中，

由于AB//DG，AB=D￡,故四邊形ABC】A是平行四邊形，

故BCJ/ADI，

而AD]<=平面ACD,,BC,U平面AC。，

故8G〃平面ACR,

則點(diǎn)8到平面AC"的距離即為直線BG到平面AC2的距離.；

而AC=〃+1=亞,AD|=夜,CD1=百,故工丁四=g*血x不5一（^~丫—,

設(shè)點(diǎn)8到平面AC"的距離為/?,則%必。=%_ACB，即f〃=LLx2xlxl,

13232

則〃=g,即直線BG到平面AC2的距離為

22、答案：（1）6+3石

8

⑵2拒-3

a_sinA

解析：⑴因?yàn)閺S;即asinH￡="sinA，所以由正弦定理邊角互化得