高中數(shù)一輪復習 第二講常用邏輯用語 講義解析版

第二講：常用邏輯用語

【考點梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若pnq,則2是4的充分條件，4是〃的必要條件

〃是q的充分不必要條件p=q且p

〃是q的必要不充分條件PGq旦q=p

p是q的充要

poq

條件

p是q的既不充分也不必要

Pcq且qup

條件

2.全稱命題和特稱命題(1)全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞符號表示

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等V

存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等3

(2)全稱命題和特稱命題

名稱

全稱命題特稱命題

形式

對M中任意一個X,存在M中的一個

結構

有p(x)成立使p(x())成立

簡記VxeM,p(x)3x0€M,p(x0)

否定弱eMJp")VxGM,^p(x)

【典型題型講解】

考點一：充分條件與必要條件的判斷

【典例例題】

例1.(2022?廣東?金山中學高三期末)“a>0”是“點(0,1)在圓產(chǎn)+9一20r一2)，+〃+1=0外”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】將X?+?—2tw—2y+a+1=0化為標準方程，得(x—+(y—1)-=(T—a

當點(0,1)在圓x2+y2-2ar-2y+a+l=0外時，有解得”>L

“a>0”是“點(0,1)”在圓/+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分條件.

故選：B.

【方法技巧與總結】

1.要明確題中題意，找出條件P和結論4.

2.充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

【變式訓練】

1.已知”?，〃是兩條不重合的直線，a是一個平面，〃ua,貝『)"_1_?！笔恰癿_1〃”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】

由線面垂直的性質(zhì)知，若機_L&,“ua,則用_1_”成立，即充分性成立；

根據(jù)線面垂直的定義，機必須垂直平面a內(nèi)的兩條相交直線，才有即必要性不成立.

故選：A.

2.已知a>0且”1,“函數(shù)〃力=優(yōu)為增函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=x"T在(0,+向上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

函數(shù)〃x)=優(yōu)為增函數(shù)，則0>1,此時a-l>0,故函數(shù)g(x)=x=在(0,+力)上單調(diào)遞增;當g(x)=x"T在

(0,+8)上單調(diào)遞增時.所以0>1,故/(x)=優(yōu)為增函數(shù).

故選:C

3.在等比數(shù)列｛q｝中，已知2020>0，貝>《024”是““2022>出023''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】

?公比4二°，?-02021>“2024，??。202“>”202。4，

:.q>q",g(l-q')>0,二g(l-q)(l+q+g~)>0,

q[\-q)>0,/.0<<7<1,

又?a2O22>a2O23>,?a2O2OCl>4202。4'..Cj~>.Q(10,

q<1且qW0,

二0<q<l=q<l且”0,

即“。2021>，024”是“。2022>。2023”的充分不必要條件.

故選：A.

考點二：充分條件與必要條件的應用

【典例例題】

例1.“〃?<2&”是“2》2-〃a+1>0在彳￡(1,+00)上恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

2工2-皿+1>0在xe(l,+8)上恒成立，

即，"<2x+°在xe(l,+8)恒成立，

x

令f(x)=2x+L貝r(x)=2_4=宜=>0在―)上恒成立，

XXX

故〃x)=2X+，在X€(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃X)>"1)=2+1=3,

所以W3

因為〃?<2應=相<3，而〃?<3/機<21，

所以“m<2y[l”是“2/-?+1>0在xe(1,內(nèi))上恒成立”的充分不必要條件.

故選：A

【方法技巧與總結】

1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關系.

2.在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時，要注意端點是否能取到問題，容易出錯.

【變式訓練】

1.若1+J-40是(x-a)2<4成立的一個充分不必要條件，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(—8,4]B.[1,4]C.(1,4)D.(1,4]

【答案】D

【詳解】

由題意可得l+￡4O=(x—a)。<4,而

13-xf(x-2)(x-3)<0

1+——<0<=>^^<0<=>^v八)02cx<3

2—x2—xx—20

<4<^>—2<x-a<2<^>a-2<x<a+2

(a-2<2

則,c,故l<a44,

[3<a+2

故選：D

2.(多選)“關于x的不等式必_2水+。>0對VxcR恒成立”的一個必要不充分條件是()

A.0<a<lB.0<a<l

C.0<a<]D.a>0

2

【答案】BD

由題意，關于％的不等式X?-2av+a>0對VxtR恒成立，

則A=4/-4Q<0,解得Ova<l,

對于選項A中，“0<avl”是“關于才的不等式/_2改+a>0對VxwR恒成立”的充要條件；

對于選項B中，“OKaKl”是“關于工的不等式丁-2以+々>0對VxwR恒成立”的必要不充分條件;

對于選項C中，“()<公；”是“關于X的不等式V-2公+a>0對VxeR恒成立”的充分不必要條件；

對于選項D中，“a20”是“關于x的不等式——2ar+〃>0對VXGR恒成立"必要不充分條件.

故選：BD.

3.已知集合A={y|y=x2-gx+l,xe^,2^,B={X|X+/M2>1}.若“xeA"是』8"的充分條件，則實數(shù)

機的取值范圍為.

【答案】（9，m收）

【詳解】

33

函數(shù)的對稱軸為x=開口向上，

3「3-

所以函數(shù)y=%2-；x+l在-,2上遞增，

37

當X=：時，ymin=—:當x=2時，％=2.

410

"7'

所以4=—,2.

_1O

B=1x|x+/??2>11=|x|x>l—/?22|,

由于“XEA”是3”的充分條件，

79

所以1一病“<，/n2>—,

1616

解得m<一:或,

44

所以m的取值范圍是（3,-：2：,+?>）.

故答案為：（f，-：Djy）

考點三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

【典例例題】

x

例1.已知,下列四個命題:①Vxe((),+oo),a>b',②Vxe(0,l),logax>logdx,③玉e(0,l),

xa>xh>@3xe(0,h),a'>log,,x.

其中是真命題的有()

A.①③B,②④C.①②D.③④

【答案】C

【詳解】

對于①，由0<8<a<1得：1>1,Vxe(0,-Ko),/=圖>[￡|=1,則優(yōu)>"，①正確;

對于②，Vxe(O,l),loga-log/?=log<log1=0,QP0<loga<log/j,貝ijlog“x>log”x,②正確；

vt(bvvt

對于③，函數(shù)丫=機"(0<機<1)在(0,1)上為減函數(shù)，而0</?vavl,則即Vxe(0,l),③錯

誤；

x

對于④，當xe(0,b)時，a'<1.log,,x>log?b>logua=1,gpa<logax,④錯誤，

所以所給命題中，真命題的是①②.

故選：C

【方法技巧與總結】

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學結論.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細節(jié)即可.

【變式訓練】

42tnnV

1.已知命題Pl：存在面>0,使得與+一《4,命題P2：對任意的XER,都有tan2x=^———,命題Pj

/1-tanx

存在與eR,使得3sinxo+4cosxo=6,其中正確命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

TT

當X。=2時，顯然P|成立；=1時，可知P2不成立；由輔助角得3W!1%+485%=55布汽()+3)，所以

所以3sinx°+4cos%的最大值為5,所以P?為假.

故選：B

2.已知函數(shù)〃力和g(x)的定義域均為可，記/(x)的最大值為叫，g(x)的最大值為場,則使得

成立的充要條件為()

A.Vx,e[a,b],Vx,&[a,b],f(%)>g(%)B.e[a,b],叫w[a,可，/6)>g⑸

C.Hr,e[a,b],Vx2G，(％)>g(毛)D.Vxw[a,句,/(x)>g(x)

【答案】C

【詳解】

解：A選項表述的是的最小值大于g(x)的最大值；

B選項表述的是/")的最小值大于g(x)的最小值；

C選項表述的是/(X)的最大值大于g(x)的最大值成立的充要條件；

D選項是>M2成立的充分不必要條件.

故選：C

3.下列命題中，真命題為()

A.存在使得0

B.直線二，力，au平面a,平面a/3=b,則平面a_L尸

C.y=sin2x+—(xwfcT.ZeZ)最，卜值為4

sinx

D.a>\,b>l是必>1成立的充分不必要條件

【答案】D

【詳解】

對于A中，由指數(shù)函數(shù)y=e，的性質(zhì)，可得e*>0恒成立，

所以不存在/eR,使得才40,所以A為假命題；

對于B中，如圖所示，在正方體ABCO-A4GR中，

設平面ABC。,為平面a,平面ABC。為平面萬，直線為直線。，直線BC為直線

此時滿足:11，且a<=平面a,平面a尸=》，但平面a與平面戶不垂直，

所以C為假命題.

當且僅當sin2x=i4-時，即sin?x=2時，等號成立，

sinx

顯然sin?x=2不成立，所以C為假命題

對于D中，由”>1,匕>1,可得而>1,即充分性成立；

反之：例如：。=；力=4,此時滿足。匕>1,但不成立，即必要性不成立,

所以a>1力>1是必>1的充分不必要條件，所以D為真命題.

故選：D

4.（多選題）下列命題中的真命題是（）

A.V.reR,2xJ>0B.VA-GN*,（X-1）2>0

C.3xGR,lgx<lD.SxCR,tan%=2

【答案】ACD

【詳解】

對選項A,令r=x-l,y=2',

因為xeR.所以y=2'>0,故A正確；

對選項B,當x=l時，（x-l）2=O,故B錯誤；

對選項C,當尤=1時，lgl=O<l,故存在xeR,lgx<l,C正確；

對選項D,因為y=tanx的值域為R,所以存在xeR,使得tanx=2.

故選：ACD

考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

【典例例題】

例1.（2022?廣東佛山?高三期末）設命題p:aeR,d>2，，則p的否定為（）

A.VxeR,x2<2xB.VxeR,x2<2xC.3xeR,x2<2rD.BxeR,x2<2x

【答案】B

【詳解】解：因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，

所以命題p：lxwR,X?>2*的否定為VxeR,V421

故選：B.

【方法技巧與總結】

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結論變否定.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否.

【變式訓練】

1.已知命題p：VrtGN',〃2+〃22，則-1P為（）

A.VngN*,n2+n<2B.X/neN",n2+?<2

C.2nngN*,+〃o<2D.3n0eN*,n'+n0<2

【答案】D

【解析】

：3n0GN*,%+%<2.

故選：D

2.己知命題〃：VreR,sinx4-cosx>>/2?貝Ur7為（）

A.VXGR,sinx+cosx<A/2B.eR，sinx+cosx<V2

C.R,sinx+cosx<>/2D.HXGR,sia￥+cosx<>/2

【答案】D

【解析】

命題〃：VxeR,sinx+cosxN的否定是：siru+co&r<-Jl-

故選：D.

3.命題“弱€（0,+℃）,1叫2%-1”的否定是（）

A.e（0,-Ko）,Inx0<x0-1B.*任（0,+<?）,lnx0>jq）-l

C.Vxe（0,+oo）,lnx<x-lD.Vxg（0,+oo）,lnx>x-l

【答案】C

【解析】

由存在量詞命題的否定知原命題的否定為：VXG（0,^O）,lnx<x-l.

故選：C.

考點五：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)

【典例例題】

例1.若命題“VxeR,混+120”為真命題，則實數(shù)“的取值范圍為（）

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<\

【答案】B

依題意命題“VxeR,"+120”為真命題，

當a=0時，1“成立，

當a>0時，ax1+120成立，

當a<0時，函數(shù)y=ar?+1開H向下，av2+lN0不恒成立.

綜上所述，a>0.

故選：B

例2.命題入3x0e/?,使得or：-4x°+2<0成立.若"是假命題，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.y,2]B.[2,-KO)c.[-2,2]D.(-8,-2]I[2,-KO)

【答案】B

命題P：3x()eR,使得ar；—4X(；+2<。成立.

因為P是假命題，則命題P的否定為：Vxw/?,使得ax；-4xo+22O成立，為真命題.

a>0

所以,八24“八，解得心2,

(-4)-4?-2<0

所以實數(shù)。的取值范圍是[2,田).

故選：B.

【方法技巧與總結】

1.在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命題，去求真命題的補級

即可.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注重端點出點是否可以取到.

【變式訓練】

1.若命題“VxeR,公？+1±0"為真命題，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.a>0B.a>0C.?<0D.a<\

【答案】B

【詳解】

依題意命題“VxeR,ar。+120"為真命題，

當a=0時，120成立，

當a>0時，ax'lNO成立，

當。<0時，函數(shù)了=以2+1開口向下，d+izo不恒成立.

綜上所述，a20.

故選：B

2.若命題“存在xeR,使尤2x+根40”是假命題，則實數(shù)4的取值范圍是()

A.(fl]B.(fl)C.(1,+<?)D.[l,+oo)

【答案】C

【詳解】

?命題“存在xeR,使X2+2X+"240"是假命題，

則其否定“任意XER,/+2%+機>0”為真命題，

***A=22-4m<0，

所以相>1.

故選：C.

3.若命題“丞，e[T,3],妝2-(2々一1卜+3-4<0”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為()

A.[—1,4]B.0,1C.[—1,0]!—,4D.[-1,0)^—,4

【答案】C.

【詳解】

解：命題Faw[T3],加-(2a-l)x+3-"0”為假命題，其否定為真命題，

即“心€[-1,3"-(24-1卜+3-“20”為真命題.

令g(。)=加-2辦+工+3-。=(x2-2x-l)?4-x+3>0,

g”,即—%2+3x+420

則

g(3R03x2-5x>0

-l<x<4「1

解得x〉之必<0，所以實數(shù)x的取值范圍為[T，°Lp4-

'一§必一

故選：C

4.若小段卜雪芻一加會稼是真命題，則實數(shù)m的最大值為___________.

34

【答案】-73

【詳解】

若“V龍tanx2"'是真命題，

TTTT

則實數(shù)加小于等于函數(shù)y=tanx在一W,二的最小值，

因為函數(shù)y=3nx在上為增函數(shù)，

34

所以函數(shù)丫=皿》在[_￡,芻上的最小值為-6,

所以m4-6，即實數(shù)〃?的最大值為-

故答案為：-G

5.已知定義在心上的函數(shù)〃(尤)滿足2〃(x)+/?(x)>0且〃⑴=4，其中〃(幻>《的解集為A.函數(shù)

ee

…\=若使得/(不)=8(馬)，則實數(shù)o的取值范圍是

x-\

【答案】(1,3)

【詳解】

解：構造函數(shù)”(》)=力。>/”,

所以(x)=/?(x)?+2/?。)?e2t=e"[方(x)+2/?(x)],

因為定義在R上的函數(shù)h(x)滿足2〃(x)+/(x)>0,

所以H(x)>0,所以”(x)在R上單調(diào)遞增，且H⑴=/?⑴e2=l,

所以不等式h(x)>4r可化為版x)>1,即“(X)>"⑴，

e

所以x>l,

所以力。)>±的解集A=(1,討)，

函數(shù)/~(x)=x_x+[="7)+X—+]=x_]+-!-+]22*(x-])—!-+]=3,當且僅當=x=0或

x-lx-1x-\VX-1x-1

x=2時等號成立，在A上僅當x=2時等號成立，

所以f(x)在A上的值域為[3,4w),

g(x)="(a>l)為增函數(shù)，

所以g(x)在A上的值域為(a,y)，

若訓wA使得

則[3,4<?)a(a,+oo),

所以a<3,又因為〃>1

即實數(shù)”的取值范圍是(1,3).

故答案為：(1,3).

TTTT

6.若命題“也。€,tan%是假命題，則實數(shù)機的取值范圍是__________.

_63_

【答案】[G,+00)

【詳解】

由題意得“飛€J,5,tan與4機”為真命題，故相"tan”,“心=tan三=6,

_o3J3

故答案為：[后,+8）

7.若“丸e[-1,1],%+2-4>0”為假命題，則實數(shù)。的最小值為.

【答案】3

【詳解】

t4

3x0e[-l,l],%+2-。>0”的否定為“VXG[-1,1],都有x+2-a40”,

因為“玉0a-1,1].%+2-a>0”為假命題，

所以“Vrw[-lJ,都有x+2-a40”為真命題,

所以a'x+2在上恒成立，

所以心3,

所以實數(shù)。的最小值為3,

故答案為：3

【鞏固練習】

一、單選題

1.命題“HrwR,兇-2021<2022》”的否定是（）

A.Hrs/?,|A|-2021>2022%B.\/xeR,|x|-2021>2022x

C.VxeR,|^|-2021>2022xD.玉eR,|乂一202122022工

【答案】B

因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，結合題意可得命題“HxeR,W-2021<2022x”的否定為VxeR,

|^-2021>2022x.

故選：B.

2.“x>l"是/<1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

11-Y

解：因為一<1，所以---<0,.“（1-幻<0,「.”（工一1）>。,二工<。或不>1,

xx

當x>l時，x<0或一定成立，所以“x>l”是「的充分條件；

X

當x<0或x>l時，x>l不一定成立，所以"x>l”是的非必要條件.

X

所以“X>1“是的充分非必要條件.

X

故選：A

3.若命題“T無目1,4]時，V>M'是假命題，則機的取值范圍（）

A.m>l6B.m>1

C.m<]6D.tn<\

【答案】B

因為“Vxw[l,4].f>W'是假命題，

則其否定“出w[1,4],fJM，為真命題

則任）一

而當X=1時，X?取得最小值1

所以加2/

故選：B

4."0<a<4"是“WeR使函-%+140成立”為假命題的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

解：“玉°eR使我-叫+140成立"為假命題，則“VxeR使+成立"為真命題，當4=0時成立,

當4/0,則a>0,A=a2-4a<0.二0<。<4,綜合得0Wa<4,則是04。<4的充分不必要條

件.

故選：B.

5.若不等式上-1<。的一個充分條件為0<x<l,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>0B.6/>0C.a>\D.a>\

【答案】D

由不等式,一1|<0,可得一a+lcxva+1,（〃<0不合題意）

要使得Ovxvl是-4+1<X<Q+1的一個充分條件，

故選：D.

6.已知函數(shù)/。）=-/一3枕+&,貝片函數(shù)八幻的圖象恒在x軸的下方”是“-2v，v0”的（）

A.既不必要又不充分條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.充要條件

【答案】c

因為二次函數(shù)/(X)的開口方向向下，

所以有/<。則9產(chǎn)+32f<0,

即.?,0),滿足函數(shù)“X)的圖像在x軸的下方.

又因為(一2,0)=卜弓,0),

所以“函數(shù)/(X)的圖像在x軸的下方”是“-2<f<0"的必要不充分條件.

故選：C

7.若。>04>0,則“a+b<2”的一個必要不充分條件是()

A.—1--<1B.ab<\C.a2+b2<2D.\[a<\/2—h

ab

【答案】B

因為。>0/>0,

對于A,當a+h<2,^a=b=-,明顯可見，不成立，故必要性不成立，A錯誤；

2ab

對于B,^a+b<2,0<h<2-a,^ab<a(2-a)=-(a-1)2+1<1,必要性成立；當ab<l,取“=2,b=—,