舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章平面解析幾何第7講雙曲線

第7講雙曲線

履礎(chǔ)知識(shí)整合I

□知識(shí)梳理

1.雙曲線的概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)￡,4(用&=2c>0)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于IA&且不等于

零)的點(diǎn)的軌跡叫做畫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的園焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線

的畫焦距.

集合片例II，娟|一|，附∣=2a},∣AK∣=2c,其中a,C為常數(shù)且a>0,c>0：

(1)當(dāng)國(guó)a<c時(shí),M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；

(2)當(dāng)畫a=c時(shí),也點(diǎn)的軌跡是兩條畫射線;

⑶當(dāng)畫a>c時(shí),"點(diǎn)不存在.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

殳/22

標(biāo)準(zhǔn)方程F—螃=1(2>0,6>0)"=l(a>0,6>0)

本

圖形WC

范圍B0或x≤畫一a,?ɑRx∈R,y≤E]—.或y2Eld

對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸

對(duì)稱性

對(duì)稱中心：原點(diǎn)

性質(zhì)--

≡4(—a,0),Ai(a,0)4(0,—a),4(0,a)

焦點(diǎn)￡(—c,0),K(c,0)￡(0,—c),K(0,C)

b

漸近線IΞy=±=x.y=±.x

------------T

續(xù)表

2222

Xy1

FU=I/?2-l

標(biāo)準(zhǔn)方程ab

(a>0,6>0)(a>0,?>0)

離心率e=?∣,e∈Ξ(l,+∞),其中c=:a'+一

性質(zhì)線段44叫做雙曲線的回實(shí)軸,它的長(zhǎng)541=雙2a；線段8龍叫做雙曲

實(shí)虛軸線的回虛軸,它的長(zhǎng)I尻?I=理四；a叫做雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，6叫做雙

曲線的半虛軸長(zhǎng)

a,b,c的關(guān)系^]c^=a2+∕>2(c>a>0,c>Δ>O)

知識(shí)拓展

1.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為6.

2.若尸是雙曲線右支上一點(diǎn)，A,K分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則Ia+c,I陽(yáng)Ln

=c—a.

2爐

3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦），其長(zhǎng)為——；異支的弦中

a

最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a.

4.若夕是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，“分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，

則S=-Λ-7,其中O為NRPFz.

ΔPF?F2U

tan萬(wàn)

22

5.若P是雙曲線當(dāng)一方=l（a>O,力0）右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，A,K分別為

ab

雙曲線的左、右焦點(diǎn)，/為△以K內(nèi)切圓的圓心，則圓心/的橫坐標(biāo)為定值a.

6.等軸雙曲線

（D定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線.

（2）性質(zhì)：①a=6；②e=yβ;③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距

離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng).

□雙基自測(cè)

L22

1.對(duì)于實(shí)數(shù)加，“1〈冰2”是“方程=T+-?=1表示雙曲線”的（）

?.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

V2/

解析若方程一+T=l表示雙曲線，則（如一D（W—2）<0,得K成2,則“1〈欣2”

in-1rm-z

22

是“方程∕γ+-?=l表示雙曲線”的充要條件.

m—1∕n~2

2

2.已知雙曲線點(diǎn)一∕=ι(a>O)的離心率是小，則a=()

A.√6B.4

1

C.2D.-

答案D

222I]]

解析由雙曲線方程號(hào)一/=1,得9=1,???1=才+1.???5=1=號(hào)=2丁=1+1.結(jié)合

a>0,解得a=；.故選D.

22

3.(2022?唐山一中月考)設(shè)尸是雙曲線條—痣=1上一點(diǎn)，R,為分別是雙曲線的左、

Ib20

右焦點(diǎn)，若I冏I=9,貝∣J∣∕7?∣等于()

A.1B.17

C.1或17D.以上均不對(duì)

答案B

解析根據(jù)雙曲線的定義得II如IT用「=8=|房1=1或17.又∣Λ?∣2c-a=2,故

I網(wǎng)=17,故選B.

22

4.(2021?廣西北海模擬)若雙曲線點(diǎn)一方=1(a>0,6>0)的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),

則此雙曲線的離心率為()

√75

A?TB-4

C.ID.I

OO

答案D

bb4

解析由已知可得雙曲線的漸近線方程為y=±-χ,點(diǎn)(3,-4)在漸近線上，???一=可，

aa3

又4+8=(Λ.?./=，+號(hào)/=多步，.?.e=?≤=?∣.故選D.

99a3

2

5.在平面直角坐標(biāo)系M?中，若雙曲線/一方=1(於0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的漸

近線方程是.

答案y=+√2%

解析因?yàn)殡p曲線*2—5=1(6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),所以9—∕=l(6>0),解得6=/，即

雙曲線方程為V—5=1,其漸近線方程為y=±*x?

2

6.(2021?全國(guó)乙卷)已知雙曲線α；―/=1(粉0)的一條漸近線為小了+郎=0,則C

的焦距為.

答案4

解析雙曲線/=1(0>0)的漸近線為y=土赤X,即x±gy=0,又雙曲線的一條漸

近線為∕x+加y=0,即x+.y=0,對(duì)比兩式可得，片3.設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半

軸長(zhǎng)為6,半焦距為c,則有才=皿=3,4=1,所以雙曲線的焦距2c=2√T不了=4.

核心若向突破I

考向一雙曲線的定義及其應(yīng)用

例1(1)已知雙曲線V—/=4,E是左焦點(diǎn)，P?,旦是右支上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則平川十

14知一仍用的最小值是()

A.4B.6

C.8D.16

答案C

解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為E,；IE*=2a+∣KA∣,∣A2∣=2a+∣KR∣,；.4川+

出川一IAAI=2a+∣用A∣+2a+∣月川一IKeI=8+(∣KH∣+∣ERl-IAV1)28(當(dāng)且僅當(dāng)

R%K三點(diǎn)共線時(shí),取等號(hào))，.?.I凡3∣+1A用一IARl的最小值是8.故選C.

(2)(2021?安徽蕪湖模擬)已知圓G(X-3)2+√=4,定點(diǎn)/(一3,0),則過(guò)定點(diǎn)/且和

圓。外切的動(dòng)圓圓心"的軌跡方程為.

答案?-^^=1(jr≤-1)

解析設(shè)動(dòng)圓"的半徑為此^??MC?=2+R,?^?=R,所以|必|一MI=2,由雙曲線

的定義知，材點(diǎn)的軌跡是以4C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a=l,c=3,所以爐=8,則動(dòng)

2

圓圓心"的軌跡方程為x-?=ια≤-D.

O

(1)①抓住"焦點(diǎn)三角形必訴”中的數(shù)量關(guān)系：②利用定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，要分清

是差的絕對(duì)值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的一支.

(2)利用雙曲線定義求方程，要注意三點(diǎn)：①距離之差的絕對(duì)值；②2a<|A&；③焦點(diǎn)

所在坐標(biāo)軸的位置.

即時(shí)訓(xùn)練1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)滿足d^^x+2~2+y~y∣~x-λe~47=4,則動(dòng)點(diǎn)"

的軌跡是()

A.射線B.直線

C.橢圓D.雙曲線的一支

答案A

解析設(shè)￡(一2,0),￡(2,0),由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足初一颯I=4=IFKI,故動(dòng)點(diǎn)”

的軌跡是射線，故選A.

22

2.己知尸是雙曲線十一E=I的左焦點(diǎn)，4(1,4),尸是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則I用1+

1*1的最小值為.

答案9

解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為則由雙曲線的定義，可知I%I=4+|%I,所以當(dāng)I陽(yáng)I

+1%最小時(shí)滿足Im+1%最小.當(dāng)點(diǎn)4P,內(nèi)共線時(shí)，滿足1/1+1必I最小，|/川即

I掰1+1%的最小值.又∣"il=5,故所求的最小值為9.

考向二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2(1)(2022?長(zhǎng)治一中月考)已知4(0,7),8(0,-7),(7(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作

過(guò)48的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)廠的軌跡方程是()

X.

A.曠2一戰(zhàn)=l(y≤-1)

zto

答案A

解析由題意，得∣4Cl=I3由比1=得，I朋=14,5L?AF?+?AC?^?BF?+?BC?,：.\AF\

-I即=IM-I/C=2.故點(diǎn)尸的軌跡是以4B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線下支.?.?在雙

2

dV

曲線中，c—7,a=l,.?.z∕=48,軌跡方程為7—7Z=1(∕≤-1).

4o

(2)(2021?云南玉溪模擬)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3),漸近線方程為y=±√5x,則該雙曲

線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A互上=1

1612

2y.

C.y=1

答案C

解析因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±√3x,所以可設(shè)雙曲線的方程為“2-!=

O

2

Λ(λ≠O),將點(diǎn)⑵3)代入其中，得H=I,所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為X一5=1,故選C.

?

觸類旁通求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a,28或2c,

從而求出才，況寫出雙曲線方程.

(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)是在/軸還是在y軸，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定才，

方2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為4-4=

mn

/(4ro),再根據(jù)條件求λ的值.

注意:①雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程均可設(shè)為RX2+∕77'=l(za7≠0),其中0>0且〃>0,且∕zz≠∕7

時(shí)表示橢圓；0水0時(shí)表示雙曲線，合理使用這種形式可避免討論.

②常見(jiàn)雙曲線的設(shè)法

(i)已知a=b的雙曲線，可設(shè)為/一/=4(4WO);

(ii)已知過(guò)兩點(diǎn)的雙曲線，可設(shè)為一次=1(/分0)；

22

(iii)已知漸近線為2士」=0的雙曲線，可設(shè)為當(dāng)一5=4(/#0).

mnmn

③雙曲線的焦點(diǎn)位置僅靠漸近線是確定不了的，必須結(jié)合其他已知條件綜合判斷.

④判斷清楚所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支.若是雙曲線的一支，則需確定是哪

一支.

即時(shí)訓(xùn)練3.(2021?合肥調(diào)研)已知雙曲線的漸近線為y=+?實(shí)軸長(zhǎng)為4,則該

雙曲線的方程為()

22

XV

A————=1

42i

2222

_Xy

B———1或2=1

48

22

Xy

Cλ————=1

48i

2222

yX

n[)—X——=1或———二1

42Λ48

答案D

2

解析設(shè)雙曲線的方程為:一2=1E≠0）,又2a=4,??,才=4,當(dāng)%>0時(shí)，2∕n=4,m

Znlm

^222^2

=2；當(dāng)成O時(shí)，一=4,）=—4.故所求雙曲線的方程為5=1或^"一卷=L

4N4o

22

4.（2021?北京高考）雙曲線乙方一￡=1過(guò)點(diǎn)（m，√3）,且離心率為2,則該雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22

2VX2

A./-T=IB.?-y=1

C22

C.X3-D.?--7=1

答案A

_________22

解析?.?e=?∣=2,.?.c=2a,b=yjc-a2=y∣3a,則雙曲線的方程為宏一套=1，將點(diǎn)（鏡,

9Q1

√5）代入雙曲線的方程可得了一編?=1=1,解得a=l,故b=yβ,因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2

為/一?=L故選A.

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向三雙曲線的幾何性質(zhì)

角度1雙曲線的離心率問(wèn)題

例3（1）（2021?全國(guó)甲卷）已知R,用是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為C上一點(diǎn)，且NA處

=60°,I陽(yáng)|=3|必|,則C的離心率為（）

A?乎B,手

C.√7D.√13

答案A

解析?∣∕^∣=3∣∕7?∣,?PK?-?PFA=2a,得［朋∣=a,|冏∣=3a,在△￡形中，由

余弦定理，得IAKF=I用「+|用「一2∣用II陰ICOS/￡陽(yáng)，即（2靖=（3"+才一

C、「

2×3a×a×cos60o,所以C的離心率e=-=^V?故選A.

a2

22

⑵（2020?全國(guó)I卷）已知尸為雙曲線α，一｝=l（a>0,心0）的右焦點(diǎn)，4為C的右

頂點(diǎn)，8為C上的點(diǎn)，且筋垂直于X軸.若/8的斜率為3,則C的離心率為.

答案2

￡

解析依題意可得，患=3,而團(tuán)=與?AF?=c-a,即M=3,整理得∕=3ac

—3才，所以o'—才=3ac—3a”,化簡(jiǎn)可得e*—3e+2=0,解得e=2或e=1（舍去）.

觸類旁通.求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本

量a,6,C的方程或不等式,利用Z/=/一—和e=?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式,通過(guò)解

方程或不等式求得離心率的值或取值范圍.

22

即時(shí)訓(xùn)練5.（2021?華中師大一附中模擬）若雙曲線當(dāng)一6=l（a>0,力0）上存在一點(diǎn)

ab

。滿足以IOP?為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于2aZ√其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率的取值

范圍是（）

?-（?-平］B?（1,平］

C庫(kù)+8）D.停+8）

答案C

解析由條件，得∣0∕f=2ab.又尸為雙曲線上的一點(diǎn)，.?..?.2a62a2,.?.262a.

Vc'=a2÷?2>a'÷y=∣a2,；.e=：）坐，故選C.

22

6?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)雙曲線AAl（a>6>。）的半焦距為，，包。），（0,6）為直

線,上兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)O到直線/的距離為乎c,則雙曲線的離心率e為（）

2√3

B.√5或2

3

D.2

答案A

解析由題意可得直線1的方程為q+*=1,即6x+ay-a6=0?；原點(diǎn)。到直線1的距

au

離為平.普=乎°?又況4

Λ3e-16^+16=0,/.e=4^e=-V0<A<a,

tO

Λc2=a2+?2<2a2,Λe=^<?∣2,故離心率e=~^.

角度2雙曲線的漸近線問(wèn)題

22

例4（1）（2022?貴陽(yáng)模擬）若雙曲線C："5=l（a>O,核0）的漸近線與圓（l2v+/

=1相切，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+∣xB.尸土乎X

C.y=±3xD.y=±木X

答案B

b

解析由題可知雙曲線。的漸近線方程為y=±-χ,圓心為（2,0）,半徑為1,易知圓心

a

2b?'故4爐="鞏即3爐=/,則H故雙曲線C的漸近

到漸近線的距離d=

yja+lf

線方程為y=±好X,故選B.

O

⑵（2021?新高考∏卷）已知雙曲線了一了=l（a>0,力。）的離心率為2,則該雙曲線的漸

近線方程為

答案y=±√5x

22

解析因?yàn)殡p曲線"方=1（眇。，力。）的離心率為2,所以=2,所

l2I

以了=3,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±∕=±:X.

觸類旁通］

2222

⑴漸近線的求法：求雙曲線十方=l（a>0,?。）的漸近線的方法是令土方=。，即得

兩漸近線方程凹±（=θ（y=+^Λ

aD?aJ

22

（2）雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線當(dāng)一*=l（a>0,6〉0）中,

ab

離心率e與雙曲線的漸近線的斜率*=±白滿足關(guān)系式e2=l+?2.

a

22

即時(shí)訓(xùn)練7.（2021?全國(guó)甲卷）點(diǎn)（3,0）到雙曲線宮弋=1的一條漸近線的距離為

（）

答案A

解析由雙曲線的方程知，a=4,6=3,焦點(diǎn)在X軸上，所以雙曲線的一條漸近線方程

3

為y=彳X,即3χ-4y=0,由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(3,0)到雙曲線的一條漸近線的距離

∣3×3-4×0∣9歷#A

為將不~丁「一皆故選λ?

22

8.已知雙曲線C：S=l(a>O,6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,氏點(diǎn)一在曲線。上，

若△用6中，NPBA=NPAB+力,則雙曲線C的漸近線方程為一

答案尸士x

解析如圖，過(guò)6作而小X軸，；N戰(zhàn)=N必6+],我NPAB=NPBM,：./PAB+NPBx

=9，即Z??A?=l.設(shè)P(x,y),又4(—a,0),B(a,0),則一￡~?二一=1,：.x~y—a,

zX十a(chǎn)X-a

例5已知雙曲線r：/一方=l(a>0,6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)夕(2,1),且其中一焦點(diǎn)尸到一條漸近

線的距離為1.

(1)求雙曲線廠的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作兩條相互垂直的直線必，圖分別交雙曲線廠于4夕兩點(diǎn)，求點(diǎn)。到直線

/6距離的最大值.

y/

解(1)?.?雙曲線F—7?=1過(guò)點(diǎn)(2,1),

ab

b(`

不妨設(shè)廠為右焦點(diǎn)，則尸。到漸近線bχ-ay=Q的距離d=b,.*.b=

0)y]a+1}1,

2

=2,...所求雙曲線廠的方程為/=L

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)4(施，y°)(%>0),則8(施，一㈤，21=(刖-2,y0-

1),P4(XL2,-?b-l),,：PA?PB=Q,

Λ(ΛO--2)2-(Jb-I)(%+1)=0,

點(diǎn)一4崗一式+5=0,

由，京2

(吊=2,.—.—

或_(舍去)，即4(6,√17),8(6,-√17),此時(shí)點(diǎn)P到4?的距離為6—2=

當(dāng)直線46的斜率存在時(shí)，

設(shè)力(小，??),B(X2,y2),直線力〃的方程為y=4x+%.

將P=4x+勿代入三一2/=2中，

整理得(2*—1)V+4AT?ZY+2/+2=0.

?：PA?PB=D,：.(ΛI(xiàn)-2,y1-l)?(題一2,%-1)=0,

.,.(?i—2)(照一2)+(kx?~?~m—1)(kx2+m—1)—0,

Λ(A2+1)JTIΛ2÷(AZ?LA—2)(xι+生)+/?—2Λ7÷5=0.③

將①②代入③，得希+8km~?~?2接+2In—3=0,

???(勿+2左一1)(勿+64+3)=0.

而K.AB,.*.In=—64—3,

從而直線四的方程為y=kχ-6k一工

將y=kχ-6k-3代入/-2√-2=0中，

得(1-21)9+(241+12QX—72--724一20=0,

判別式4=16(172+184+5)>0恒成立，

.t.y=kχ-6k-3即為所求直線.

..f??2+l+2?卜工6

?⑷一∕f+lT+〃+產(chǎn)2.

Λ√≤4√2,即此時(shí)點(diǎn)。到直線四距離的最大值為4√2.

V4√2>4,故點(diǎn)/到直線45距離的最大值為4√Σ

求解雙曲線綜合問(wèn)題的主要方法

雙曲線的綜合問(wèn)題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系.解決這類問(wèn)題的常用方法如下:

(1)設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化

成關(guān)于χ(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題.

(2)利用點(diǎn)差法.

22

即時(shí)訓(xùn)練9.(2021?廣西柳州模擬)已知雙曲線之一￡=1(a>0,?>0)的離心率為2,

ab

焦點(diǎn)到漸近線的距離等于√i過(guò)右焦點(diǎn)K的直線/交雙曲線于48兩點(diǎn)，E為左焦點(diǎn).

(1)求雙曲線的方程；

(2)若4E∕8的面積等于6√i求直線/的方程.

解⑴依題意，b-?β,(=2=a=l,C-2,

2

所以雙曲線的方程為f一］=1.

(2)設(shè)/(*,%),B{xi,⑸，由⑴知K(2,0).

易驗(yàn)證當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)不滿足題意，

y=kx—2,

故可設(shè)直線y=X(χ-2),由《2/

L=1,

消去必得(A—3)X—4A2x+4?2+3=0,

2

tr4A

根據(jù)題意，知A≠±也，XI+X2=〃2_3'

4A2+3,,、

X}X2=~j2-^^f力一角=YXl—蒞),

的面積S=ClyI一度I=2|㈤??x?-χ2?

=2㈤---------------------------12∣A∣?f?≈6√2.

得“+8如—9=0,則4=±1.

所以直線/的方程為尸入一2或y=-χ+2.

課時(shí)f?∣

X2V2

1.雙曲線麗二萬(wàn)一5=1(0〈水3)的焦距為()

A.6B.12

C.36D.2√36-2a2

答案B

解析/=36—序+療=36,c=6.雙曲線的焦距為12.

2.雙曲線8取2-"=8的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,3),則A的值是()

A.1B.-1

C遐—近

L.3dυ?3

答案B

22

解析???雙曲線8A/一4∕=8,焦點(diǎn)在y軸上，.?.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V--*=I,又

o1

81

c=3,?-rr9-解得"=—L

22/7

3.（2021?安陽(yáng)模擬）過(guò)雙曲線當(dāng)一方=l（a>0">0）的右焦點(diǎn)b（c,0）作其漸近線y=*

abZ

X的垂線，垂足為"，若歸胸=4/（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（)

222

.×yU=I

A———=1B.

438

22

D.32-241

答案C

，b#

G=2，"a=4,

解析由題意易得J解得<

力=2yβ,

-ab=4y∣3f

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程X為￡V=i,故選c.

10IZ

22

4.（2021?遼寧凌源聯(lián)考）已知雙曲線C："方=1（蘇0,力0）的頂點(diǎn)30）到漸近線y

=多的距離為宏則雙曲線。的離心率是（）

A.2B.3

C.4D.5

答案A

解析因?yàn)轫旤c(diǎn)（耳0）到漸近線尸的距離d=-η===^f所以曰=J,所以e=~=2.

故選A.

22

5.已知雙曲線白一5=1的左、右焦點(diǎn)分別為A,R,若雙曲線的左支上有一點(diǎn)必到右

焦點(diǎn)K的距離為18,”是,花的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∣AO∣等于（）

B.1

C.2D.4

答案D

22

解析由雙曲線條一春=1,知a=5,由雙曲線定義，得|明|一M∣=2a=10,得|姐

z?y

=8,所以I構(gòu)=曰奶I=4.

6.（2022?山西陽(yáng)泉模擬）虛軸長(zhǎng)為2,離心率e=3的雙曲線的兩焦點(diǎn)為F,K,過(guò)E

作直線交雙曲線的一支于46兩點(diǎn)，且Μ冽=8,則△力肥的周長(zhǎng)為（）

A.3B.16+√2

C.12+√2D.24

答案B

解析由于26=2,e=￡=3,.?.6=1,c=3a,

a

Λ9a=a2+1,，a=半.

由雙曲線的定義知，?AF1?-?AFi?=2a=^-,①

、歷

朋|一|班|=勺，②

由①+②，得M&+I砒］一（|解|+1班I）=隹，

又|加|+|跖∣=∣∕8∣=8,

Λ∣^∣+∣^∣=8+√2,

則△力明的周長(zhǎng)為16+鏡，故選B.

22

7.己知廠是雙曲線C：7-f=l的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)?在C上，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若I羽=I明，

4?

則△勿少的面積為（）

35

Λ-2B-2

79

C.2D.-

答案B

22

解析解法一：由廠是雙曲線小一套=1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|的=3,所以I陽(yáng)=|的=3.

4?

2-5-6

9

Λ2b

不妨設(shè)點(diǎn)〃在第一象限，P（x。,%）,Ab>O,yo>O,則為解得V%

H■—T=I,-295

所以/佟絲，外，所以SnoPF*?0F??jb=∣×3×∣=∣.故選B.

?O?Z乙乙。乙

解法二：設(shè)U為雙曲線G--?=1的另一個(gè)焦點(diǎn)，連接例，由題知I（Fl=3,所

以I陰=I的=IMI=3.所以/為直角三角形，且a_L依所以|方『+|南2=

41=36,又點(diǎn)尸在C上，所以Wl-MI=4,所以同I=Io,所以?W=TXT

5

PFl?I陰=；故選B.

X2y2

8.（2020?全國(guó)∏卷）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線G彳-W=l（a>0,Λ>0）

的兩條漸近線分別交于〃E兩點(diǎn)、,若△眥的面積為8,則。的焦距的最小值為（）

A.4B.8

C.16D.32

答案B

V2聲

解析???直線x=a與雙曲線G1一方=l（a>0,，>0）的兩條漸近線分別交于〃￡兩

X=a,

點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程是y^±-x,不妨設(shè)。在第一象限，￡在第四象限，聯(lián)立《b

ay-,~χy

a

x=a,

X=a,故D(a,6),聯(lián)立bx=a,

解得4解得故E(a,-b).：.\ED\

y=b,X，

y=-aLr=f

=2b.：ZDE的面積為義颯=%X26=a6=8.；雙曲線的焦距為2c=2γ∣甘+b>2小』

2√16=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2*時(shí)取等號(hào)，,C的焦距的最小值為8.故選B.

22

9.（2021?河南豫南、豫北聯(lián)考）己知直線y=x+l與雙曲線2—?y=l（a>O,力0）交于4

ab

6兩點(diǎn)，且線段力6的中點(diǎn)材的橫坐標(biāo)為1,則該雙曲線的離心率為（）

A.√2B.√3

C.2D.√5

答案B

解析由題意得"(1,2).設(shè)4(小，y∣),BIX2,y2),則Je'j?W

22l2

“戶上M44?一八H"A?-EH,AP+工口Xrj乂加EOa-—O

將46兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，兩式相T減并整理得比二女=1，

即—：.U,即c?—a?=?/.??e=√i故選B.

22

10.（2021?安徽淮南聯(lián)考）已知雙曲線HI的右焦點(diǎn)為EP為雙曲線左支上一點(diǎn),

點(diǎn)/（0,√2）,則△/（如周長(zhǎng)的最小值為（）

A.4+√2B.4(l+√2)

C.2(√2+√6)D.√6+3√2

答案B

22_

解析雙曲線今一5=1的右焦點(diǎn)為A√6,0）,設(shè)其左焦點(diǎn)為F.△加干的周長(zhǎng)1^?AF?

^?ΛP?JΓ?PF?=?AF?^?AP?+2a+∣PF,\,要使4//F的周長(zhǎng)最小，只需|/|+|用|最

小.如圖，當(dāng)A,P,尸三點(diǎn)共線時(shí)/取到最小值，且∕?=2∣/1+2a=4（l+√^）.故選B.

22

11.（2020?全國(guó)In卷）設(shè)雙曲線CxΛ-^=l（a>0,力0）的左、右焦點(diǎn)分別為R,F2,

離心率為乖.。是C上一點(diǎn)，且若△陽(yáng)人的面積為4,則a=（）

A.1B.2

C.4D.8

答案A

解析?.?-√5,.?c=yβa9根據(jù)雙曲線的定義可得IlEPl-IEPl=2a,TSzsw=J

aVV?22