新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí) 第39講斜率和積問題與定點(diǎn)定值問題學(xué)生版

第39講斜率和積問題與定點(diǎn)定值問題

一.解答題(共34小題)

22

xv3

1.(2021?西陵區(qū)校級月考)已知橢圓Cf+方=l(0>b>0)經(jīng)過點(diǎn)/伺)，C的四個頂

點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為46?

(1)求橢圓C的方程；

(2)E,F為橢圓上的兩個動點(diǎn)，是否存在這樣的直線4E,AF,使其滿足：①直線/E

的斜率與直線4尸的斜率互為相反數(shù)；②線段EF的中點(diǎn)在直線X=L上，若存在，求出

2

直線力E和力廠的方程；若不存在，請說明理由.

2.(2021?鹽湖區(qū)校級月考)已知橢圓U=+B=l(a>b>0)過點(diǎn)/(13,且離心率e為L

ab^22

(1)求橢圓C的方程；

(2)E、尸是橢圓上的兩個動點(diǎn)，如果直線ZE的斜率與Z尸的斜率互為相反數(shù)，證明直

線E尸的斜率為定值，并求出這個定值.

3.(2021?漢陽區(qū)校級期末)已知橢圓。：5+《=1(穌6>0)經(jīng)過點(diǎn)4(1,∣),且兩個

焦點(diǎn)￡、瑪?shù)淖鴺?biāo)依次為(-1,0)和(1,0).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)E、廠是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OE的斜率為匕，直線。尸

的斜率為與，求當(dāng)勺“為何值時，直線M與以原點(diǎn)為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程；

22

4.(2021?楊浦區(qū)校級期末)已知橢圓C:「+4=l(a>6>0),四點(diǎn)々(1,1)、￡(0,1)、

ab

P<-10、心(1,等)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程：

(2)橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)"、N關(guān)于直線X+y=1對稱？若存在，請求出直線MN

的方程，若不存在，請說明理由；

(3)設(shè)直線/不經(jīng)過點(diǎn)？且與C相交于/、B兩點(diǎn),若直線鳥力與直線的斜率的和為

L求證：/過定點(diǎn).

V21

5.(2021?新課標(biāo)HD已知曲線C:7=],。為直線>上的動點(diǎn)，過。作C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為“，B.

(1)證明：直線/3過定點(diǎn)；

(2)若以E(0,3為圓心的圓與直線/8相切，且切點(diǎn)為線段48的中點(diǎn)，求四邊形NOBE的

2

面積.

6.(2013秋?臨川區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系My中，如圖，已知橢圓與+與=1的左、

右頂點(diǎn)為/、B,右焦點(diǎn)為F,設(shè)過點(diǎn)7(/,加)的直線TX、78與此橢圓分別交于點(diǎn)拉區(qū)，

必)、N(X2,y2),其中機(jī)>0,?,>O,<O

(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足(而+而)(而-而)=13,求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)設(shè)x∣=2,x2=??,求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)7在點(diǎn)P的軌跡上運(yùn)動，問直線MN是否經(jīng)過X軸上的一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

7.(2010?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系x0中，如圖，已知橢圓工+匕=1的左、右頂點(diǎn)為4、

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B,右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(∕,w)的直線7X、∑δ與橢圓分別交于點(diǎn)收(百，乂)、N(X2,%)，

其中用〉0,M>0,j∕2<0.

(1)設(shè)動點(diǎn)尸滿足P尸-尸4=4,求點(diǎn)尸的軌跡；

(2)設(shè)x∣=2,x2=∣,求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè)/=9,求證：直線MV必過X軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與〃7無關(guān)).

8.(2021?西安一模)設(shè)橢圓U=+∕=ι的右焦點(diǎn)為尸，過歹的直線/與。交于力，B兩

2

點(diǎn)，點(diǎn)Λ/的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與X軸垂直時，求直線4Λ∕的方程；

2

⑵設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/不與X軸重合，求黑的值?

9.(2021春?湖北期中)如圖，橢圓E:1+5=1(“>6>0)的離心率是且，過點(diǎn)P(0,l)的

a2b22

動直線/與橢圓相交于4、B兩點(diǎn),當(dāng)直線/平行于X軸時，直線/被橢圓E截得的線段長為

4.

(I)求橢圓E的方程；

(Ii)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在常數(shù)力，使得方?麗+兒萬?麗為定值？若存在，求；I的

值；若不存在，請說明理由.

Y221

10.(2021春?湛江校級月考)如圖，橢圓C:下+彳v=l(α>6>0)經(jīng)過點(diǎn)尸(2,3),離心率e=-,

ab2

直線/的方程為N=4.

(I)求橢圓C的方程；

(II)48是經(jīng)過(0,3)的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)尸)，設(shè)直線48與直線/相交于點(diǎn)M,記PZ,

PB,尸〃的斜率分別為勺，k2,內(nèi)?問：是否存在常數(shù)義，使得'十L=4?若存在,

A1k2ki

求力的值.

H.(2013?江西)如圖，橢圓C:「+4=l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)尸(1,3),離心率e=」，直線/

ab"22

的方程為X=4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)/8是經(jīng)過右焦點(diǎn)尸的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)尸)，設(shè)直線/8與直線/相交于點(diǎn)M,記4，

PB,PM的斜率分別為占，Ar2,左3?問：是否存在常數(shù)力，使得占+&=a3?若存在，

3

求4的值；若不存在，說明理由.

個)，

12.(2021?新課標(biāo)1)已知力，8分別為橢圓E:)+/=l(a>l)的左、右頂點(diǎn)，G為E的

a

上頂點(diǎn)，AGGB=S.P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)、為C,PB與E的另

一交點(diǎn)為。.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CC過定點(diǎn).

13.(2021?懷化一模)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C:V=χ

的焦點(diǎn)，且拋物線C上存在不同的兩點(diǎn)4,B.

(1)若43中點(diǎn)為且滿足4,P8的中點(diǎn)均在C上，證明：尸M垂直于y軸；

(2)若點(diǎn)4,5在該拋物線上且位于X軸的兩側(cè)，方?礪=6(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，且Δ∕18O與

ΔΛFO的面積分別為Sl和S2，求Sl+45,最小值.

14.(2021?麗水月考)已知橢圓C:=+與=l(α>6>0)的離心率e=LF1,片是橢圓C的

ab2

左右焦點(diǎn)，過E且垂直于長軸的弦長為3.

(I)求橢圓C的方程；

(H)過點(diǎn)(-1,0)的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)N,B,若以48為直徑的橢圓經(jīng)過右

焦點(diǎn)瑪，求直線/的方程.

15.已知定理：如果二次曲線Zx?+Cy2+DxEy+F=O-?M??mx+ny+q=0(q≠0)有兩

個公共點(diǎn)P、Q,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則OP工OQ的充要條件是

(A+C)q2-(mD+nE)q+(m2+n2)F=0.

(1)試根據(jù)上述定理，寫出直線/:x+2?-3=0與圓C:X2+y2+x-6y+c=0相交于尸，Q,

坐標(biāo)原點(diǎn)為。，且OP，。。的充要條件，并求。的值；

Y2y2

(2)若橢圓與+=1與直線++夕=O相交兩點(diǎn)P。，而且。尸，00,試判斷直

a~F

線尸。與圓χ2+/=丁Lr的位置關(guān)系，并說明理由.

/+廬

16.若直線Lx+2y-3=0與圓/+/-2〃a+機(jī)=O相交于P,0兩點(diǎn)，并且OP1。。，

求實(shí)數(shù)加的值.

17.(2021?朝陽區(qū)校級月考)在直角坐標(biāo)系XQy中，曲線C:x?=4y與直線y=Ax+α(α>0)

交于V,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)a=O時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得當(dāng)％變動時，總有NoPM=NOPN?說明理由.

18.(2013秋?普寧市校級月考)已知動圓過定點(diǎn)4(4,0),且在y軸上截得的弦MV的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)若軌跡C與圓Λ∕:(X-5)2+y2=∕(r>0)相交于力、B、C>。四個點(diǎn)，求r的取值

范圍；

(3)已知點(diǎn)8(-1,0),設(shè)不垂直于X軸的直線/與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若X軸是

NP80的角平分線，證明直線/過定點(diǎn).

19.(2021?金牛區(qū)校級期末)已知動圓過定點(diǎn)4(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長

為8.

(I)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(II)已知點(diǎn)8(-3,0),設(shè)不垂直于X軸的直線/與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若

X軸是NPBQ的角平分線，證明直線/過定點(diǎn).

5

20.（2021?平頂山一模）已知動圓過定點(diǎn)/（4,0）,且在y軸上截得的弦MN的長為8.

（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（2）已知點(diǎn)5（7,0）,長為4后的線段P0的兩端點(diǎn)在軌跡C上滑動.當(dāng)X軸是NP80的角

平分線時，求直線P。的方程.

21.已知橢圓5+3=15>6>0）離心率0=孝，過C（-L0）點(diǎn)且斜率為1的直線/與橢圓

交于4,B兩點(diǎn),且C點(diǎn)分有向線段方所成的比為3.

（1）求該橢圓方程；

（2）P,。為橢圓上兩動點(diǎn)，滿足而?麗=0,探求日鑫+日加是否為定值，并說明

理由.

22.（2014?江西一模）如圖，F(xiàn)x,用是離心率為正的橢圓（?:[+與=l（q>6>0）的左、

2ab

右焦點(diǎn)，直線/:X=-L將線段Eg分成兩段，其長度之比為1:3.設(shè)Z,8是C上的兩個動

2

點(diǎn)，線段Z5的中點(diǎn)M在直線/上，線段ZB的中垂線與C交于P,。兩點(diǎn).

（I）求橢圓C的方程；

（H）是否存在點(diǎn)M,使以尸。為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)瑪，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在,

請說明理由.

23.（2021?沈陽一模）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓三+匕=1上，過M作X軸的垂線,

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垂足為N,點(diǎn)尸滿足而=√Σ而.

（I）求點(diǎn)尸的軌跡方程E；

（∏）過尸（1,0）的直線∕∣與點(diǎn)尸的軌跡交于力、8兩點(diǎn)，過尸（1,0）作與∕∣垂直的直線4與點(diǎn)

P的軌跡交于c、。兩點(diǎn)，求證：」一+—!—為定值.

I∕8∣ICDI

2

24.（2021春?涼山州期末）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C:y一+V=I上，過/作X軸的

2'

垂線，垂足為N,點(diǎn)尸滿足標(biāo)=√Σ麗7.

6

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0在直線x=-3上，且無?而=1,直線/過點(diǎn)P且垂直于0。，求證：直線過定

點(diǎn).

25.(2021?武漢月考)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓E:工+K?=1上，過點(diǎn)M作X軸的

42

垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足標(biāo)=√Σ麗7

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)設(shè)4(1,0),在X軸上是否存在一定點(diǎn)B,使∣8P∣=2∣∕P∣總成立？若存在，求出B點(diǎn)

坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

丫2

26.(2021?武昌區(qū)校級期末)設(shè)點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)A/在橢圓C:二+V=I上，過點(diǎn)M

2

作X軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)尸滿足而=√Σ而7.

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0在直線x=-3上，且麗?用=1,過點(diǎn)P作直線/,使得/J.O。.

⑴證明：直線/過定點(diǎn)(記為點(diǎn)T),并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；

(”)當(dāng)尸，。兩點(diǎn)在直線同側(cè)時，求四邊形OP0T的面積的取值范圍.

27.(2021?巨鹿縣校級期中)設(shè)Z,8為曲線：y=二上兩點(diǎn)，/與8的橫坐標(biāo)之和為4.

4

(1)求直線/8的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在"處的切線與直線XB平行，且求直線48

的方程.

2C

2

28.(2021?定遠(yuǎn)縣三模)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知橢圓C：-^+y=l,如圖所示，

斜率為a(4>0)且不過原點(diǎn)的直線/交橢圓C于兩點(diǎn)4B,線段18的中點(diǎn)為￡,射線

如交桶圓。于點(diǎn)G,交直線X=-3于點(diǎn)。(-3,加.(1)求序+必的最小值；

(2)若IoGl2=1仍?∣宏|,求證：直線，過定點(diǎn).

29.(2021?涪城區(qū)校級模擬)已知拋物線。:)，2=2夕、(2>0)的焦點(diǎn)為尸，/為C上異于原

7

點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)”的直線L交C于另一點(diǎn)8,交X軸的正半軸于點(diǎn)。，且有IAIHFol，

當(dāng)點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為3時，AADF為正三角形.

(1)求C的方程

(2)若直線L1平行L,且Li和C有且只有一個公共點(diǎn)E,證明直線AE恒過定點(diǎn)求AABE的

面積最小值.

30.(2021春?合肥期末)已知橢圓C,+∕=l(α>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(省,；)，且離心率為等.

(I)求橢圓C的方程；

(II)己知Z(0,b),8(α,0),點(diǎn)尸是橢圓C上位于第三象限的動點(diǎn)，直線力尸、8P分別將

X軸、y軸于點(diǎn)〃、N,求證：∣4NM8M∣為定值.

31.(2021?黃浦區(qū)校級月考)已知拋物線C關(guān)于y軸對稱，且經(jīng)過點(diǎn)(2,-1)

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)/作斜率不為0