基礎(chǔ)卷-2023-2024學年高一數(shù)學上學期期中模擬卷（全解全析）

2023-2024學年高一上學期期中考前必刷卷（基礎(chǔ)卷）

高一數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：人教A版2019必修一第1章-第3章

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，40分。在每小題給出的四個選項中，第只有一項符合題

目要求）

1.已知集合4={），|丫=/+1},集合B={（x,y）|y=*2+1},下列關(guān)系正確的是（）

A.（l,2）eBB.A=BC.OeAD.（0,0）eB

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可解.

【解答】解：因為集合A={y|y=x2+l}={y|y..l},集合8={（x,y）|y=x?+1},

對于A,（1,2）符合方程y=x?+1,故A正確，

對于8,A是數(shù)集，8是點集，故8錯誤，

對于C,0任A,故C錯誤，

對于。，（0,0）不符合符合方程y=x?+1,故。錯誤，

故選：A.

【點評】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）下列命題的否定是真命題的為（）

A.任意兩個等邊三角形都相似

B.Hre/??x2-x+l=0

C.存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直

D.Vxe7?,x+1x|..0

【分析】命題和命題的否定一真假，所以直接判斷命題的真假，即可判斷選項.

【解答】解：A.任意兩個等邊三角形都相似是真命題，所以其否定是假命題，故A錯誤；

B.f-x+l=O中，△=1-4<0,所以方程無解，所以命題是假命題，其否定是真命題，故8正

確；

C.存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直，是真命題，其否定是假命題，故C錯誤；

D.VxeR,x+1x|..0,是真命題，其否定是假命題，故。錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了原命題與否命題真假的判斷，也考查了對全稱命題和特稱命題真假的判斷，

屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)下列各組函數(shù)中，/(x)與g(x)相等的是()

A./(x)=3-x,g(x)=3-|x|

B.f(x)=x2,g(x)=M>

2

c./(x)=—+1,g(x)=l+x

X

D./(x)=~~~g*)='-2

XX

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，要使兩個函數(shù)相同，只要使函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系相同即可.

【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義可知，/(x)=3-x與g(x)=3-|x|的對應(yīng)關(guān)系不同，

根據(jù)函數(shù)的定義可知，=/與g(x)="=x對應(yīng)關(guān)系不同，

2

根據(jù)/(x)=—-1=x+l(x0),g(x)=%+l的定義域不同，

X

/(x)=-——幺=1-2與且(幻=土-2=工-2的定義域都為{,1|不/0},對應(yīng)關(guān)系也相同，故為同一函

xx

數(shù).故選：D.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的定義域的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

4.(5分)下列命題正確的有()

A?若。>匕，則B.若。>匕，則

ab

C.若a>b,c>d,則加ZD.若貝ija〉8

【分析】對選項進行逐個驗證，即可解出.

【解答】解：選項A錯誤，如，4=1,b=-2；

選項3錯誤，如，a=l,〃=—3；

選項C錯誤，如，a=2,b=],c=—2,d=—3,

I3

選項。正確，因/>尸，a3-fr3=(<j-b)(a2+ab+b2)=(a-b)[(a--b)2+-b2]>0,

24

(a--b)2+-b2>0,

24

：.a>b,

故選：D.

【點評】本題考查了不等式，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知函數(shù)/(x)=1&'"2,則/(/㈠))等于()

[3-x,x<2

A.4B.-2C.y[2D.2

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出了(-1)的值，進而計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=14’x-2,則/(-i)=3-(T)=4,

[3-x,x<2

則/(/(-1))=F(4)=在=2,

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)值的計算，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)不等式x(x+l)<0的解集是()

A.{x|-l<x<0}B.{x|x<-l或x>0}C.{x|O<x<l}D.{x|x<0或x>l}

【分析】直接求解即可.

【解答】解：原不等式的解集為{x|-l<x<0}，

故選：A.

【點評】本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)“ae(」,3]”是“函數(shù)/(用=卜2一("1n+2,乂.1是定義在R上的增函數(shù)”的

3[(3a+l)x-5,x<l

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，可得-1<42,再由充分必要條件的含義，得解.

3

【解答】解：因為函數(shù)“0=卜2"(“-1"+2，工」是定義在凡上的增函數(shù)，

[(367+l)x-5,x<1

3。+1>0

所以仁,,1,解得二<4,2,

23

1——1)+2..3a+1—5

因為(-；，2]0(-1,3],所以“ae(_g,3]”是“aw(-g,2]”的必要不充分條件.

故選：A.

【點評】本題考查充分必要條件的判斷，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運算能力，屬

于中檔題.

8.(5分)已知函數(shù)/(幻的定義域為(0,+oo),對任意x,JG(0,+OO),都有/(盯)=/(X)+/(丁)，

當xe(0,*>o)時，/(x)是增函數(shù)，貝11/(3》)+/(*-2)<0的解集為()

A.(0,3)B.(1,3)C.(2,-K?)D.(2,3)

-x>0

3

【分析】根據(jù)題意，得到/(1)=0.結(jié)合xe(0,*?)時，f(x)是增函數(shù)，有T-2>0,求解

—x(x-2)<1

即可.

【解答】解：函數(shù)/'(X)的定義域為(0,+oo)，對任意x,ye(0,*o),都有/(盯)=/(x)+/(y),

令x=l,y=l,Wf(lx1)=/(I)+/(1),:.f(1)=0,

則/gx)+/(x-2)<0,即/gx)+/(x-2)<0=/(1)，B|J/(lx(x-2))</(1)，

「當xe(0,+x))時，/(x)是增函數(shù)，

-x>0

3

"x-2>0,解得2cx<3,

—x(x-2)<1

故/($)+/(x-2)<。的解集為(2,3).

故選：D.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

二'多選題(本題共4小題，每題5分，共20分，每道題有多項符合題目要求。全部選對的得5

分，選對但不全的得2分，有選錯或不答的得0分。)

X2-4%+〃,其，1

x-4，若/(%)的最小值為/(1)，則實數(shù)。的值可以是()

A.-1IB.0C.1D.2

【分析】先由在(70,1］上單調(diào)遞減，可得/(x)*=f(1)=a-3,再判斷/(x)=*在

X

(1,物)上單調(diào)遞增，可得a-3?l-4,從而可求出。的范圍，進而可求得答案.

【解答】解：當用,1時，f(x)=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,

則/(x)在(-8,1］上單調(diào)遞減，

所以(1)="一3,

當x>l時，f(x)=)=二a=l-±

XX

所以/(X)在(1,+00)上單調(diào)遞增，

所以a—3,1—4,得a,0.

故選：AB.

【點評】本題考查了分段函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題.

10.若幕函數(shù)/(x)=x"的圖象經(jīng)過點(2,；),則函數(shù)/(x)具有的性質(zhì)是()

A.在定義域內(nèi)是減函數(shù)B.圖象過點(1,1)

C.是奇函數(shù)D.其定義域是火

【分析】首先求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用關(guān)系式，求出函數(shù)的性質(zhì).

【解答】解：幕函數(shù)/(x)=x"的圖象經(jīng)過點(2；)，則;=2",解得a=-l.

故/(x)=x~'.

所以函數(shù)在(0,”)和(7,0)內(nèi)都單調(diào)遞減，函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,1)點，函數(shù)的定

義域為(YO，0)U(0,+00).

故選：BC.

【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的關(guān)系式的求法，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的運算

能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.(5分)若a>0,〃>0,〃+〃=2,則對一切滿足條件的〃，力恒成立的有()

A,她，1B.\[a+\/b?42C.a2+b2..2D.—+—?1

ab

【分析】由已知結(jié)合基本不等式及不等式的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：,6Z>0,b>0,a+b=2,

:.2=a+b..2\[ah,

即\[ab?1,即ab?1,

當且僅當a=b=l時，取等號，故A正確；

+而齊=a+b+2&i^,,2(a+b)=4,當且僅當Q=〃=1時，取等號，故&+瓜、2,故3錯誤；

a2+b2=(a+力2—2ab..4—2=2,

當且僅當。=匕=1時，取等號，故C正確；

l+-!.=l(fl+/?)(l+l)=14-1(-+-)..1+1x2=2.

ab2ab2ab2

當且僅當a=》=l時，取等號，故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題主要考查了利用不等式的性質(zhì)及基本不等式判斷正誤，解題的關(guān)鍵是結(jié)論的熟練掌

握.

12.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(0,y)上的單調(diào)遞減函數(shù)，并且同時滿足下列兩個條件：

①對Vx,ye(0,+oo),都有/(孫)=/(x)+f(y)；②/(；)=]；

則下列結(jié)論正確的是()

A.f(1)=0

B.不等式/(x)+/(3-x)<2的解集為{工|0<》<(+收)

C.f(4)=-1

D.使/(日)+/(3-x)<2有解的所有正數(shù)"的集合為卜[%>(}

【分析】賦值法即可求解AC,f(x)+.f(3-x)=f[x(3-x)],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化

為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果，即可判斷8,把/(履)+/(3-x)<2根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為

依(3-x)>；,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式有解，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求函

數(shù)的最值問題，即可判斷。.

【解答】解：因為對Vr,yG(0,+oo),都有f(xy)=/(x)+/(y)，

令％=y=l,即/(1)=f(1)+/(1),則/(1)=0,故A正確；

又“；)=1,再令x=；,y=2,f(1)=/1§)+/(2)=0,

解得f(2)=-1,

令x=y=2,則f(4)=f(2)+f(2)=-2,故C錯誤；

由已知f(x)+f(3-尤)<2,XG(0,3),

根據(jù)題干給出的條件有：/[x(3-x)]<2,

當x=g，>=；時，/(；)=〃}+/(；)=2，即〃；)=2，

于是/[x(3-x)]<2等價于f[x(3-x)]<心,

函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，/[x(3-x)]</(5，

x(3-x)>—，11.0<x<3?

4

解得：2-V2<X<-+V2,所以X的取值范圍為(3-夜，-+V2),故3錯誤；

2222

同上理，不等式，(依)+/(3-x)<2可化為質(zhì)(3-x)>，且。<x<3,k>0,

4

得k>—!—,此不等式有解，等價于%>[—1—

4x(3-幻4x(3-x)mm

Q

在0vxv3的范圍內(nèi)，易知x(3-幻,皿=—,

故人>」即為所求范圍，故O正確，

9

故選：AD.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

第n卷

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.（5分）函數(shù)y=Jx2-4x-5的定義域是—{x|%,-1或x..5}_.

【分析】可看出，要使得原函數(shù)有意義，則需滿足Y-4X-5..0,解出x的范圍即可.

【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則f-4x-5..O,解得x,-1或x..5,

二.原函數(shù)的定義域為{x|%,-1,或x..5}.

故答案為：{x|x,-1或X..5}.

【點評】本題考查了函數(shù)定義域的定義及求法，一元:次不等式的解法，考查了計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

14.（5分）已知命題“玉..3,使得2x-L,他”是真命題，則實數(shù)加的最小值是5.

【分析】轉(zhuǎn)化為求（2x-l）的最小值，進而求解結(jié)論.

【解答】解：3x.3,使得2*-1”機，

可得，w..2x-l的最小值，

由X..3時，2x-l遞增，可得：

21的最小值為2x3-l=5,

則m..5,

即，〃的最小值為5.

故答案為：5.

【點評】本題考查參數(shù)范圍的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實行征收附加稅政策.現(xiàn)知某種酒每瓶70元，

不加附加稅時，每年大約銷售100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅k元伊％叫作稅

率），則每年的銷售量將減少10%萬瓶.要使每年在此項經(jīng)營中所收取附加稅的金額不少于112萬

元，則％的取值范圍為_[2-8]_.

【分析】先設(shè)加附加稅后，每年銷售為x萬瓶，根據(jù)題意得到征收的稅金為70xM%萬元，其中

x=100-10*,列出不等式,即可得出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)加附加稅后，每年銷售為x萬瓶，

則每年的銷售收入為70x萬元，從中征收的稅金為70M%萬元，其中x=100-10Z,

由題意,得70（100-10&）土％..112,整理得公_10%+16,,0,解得2球8,

故答案為：[2,8].

【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題.

16.(5分)實數(shù)a與函數(shù)f(x)滿足/(1)=1,且對任意xeR均有/(2)=4(x)-x.令

X

1253

A={X\XGR,|/(X)|?1},則g(x)=/(ar)/(一)(xwA)的值域為一[二，3一

x182

【分析】由/(I)可求得a=2,再由/d)=2/(x)-x,可得/(x)=2f(2)-L聯(lián)立可求得f(x)

XXX

的解析式，解不等式"(x)|,,l,可求得集合A,從而可得g(x)的解析式及定義域，再利用換元法

及對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解g(x)的值域.

【解答】解：因為函數(shù)/(x)滿足/(1)=1,且對任意xeR均有/d)=4(x)-x，

X

所以/(1)=af(1)-1,即l=a-l,解得a=2,

所以/d)=2f(x)-x,

X

所以/(X)=2/(3-L

XX

聯(lián)立可解得/u)=-x+—,

33x

由l/(x)l,,1，解得—1效k—'或‘領(lǐng)k1?

22

所以A=[—1,1],

所以g(x)=/(2x)/(一)=/+人(4X2+w),1，--]Hl—?1]，

x189r2^2

令f=1],則y=^+[4f+；)在[:,'上單調(diào)遞減，在[；,1]上單調(diào)遞增

所以當f=l時，y=—>/=—B'J?y=—,7=，時.，y=——,

242218

所以>=□+_!_⑷+3的最大值為3,最小值為竺，

'189t218

所以g(x)的值域為,|].故答案為：j|，|].

【點評】本題主要考查函數(shù)解析式的求法，函數(shù)值域的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

四'解答題：(本題共6小題，共70分。其中17題10分，其余每題均12分。解答應(yīng)寫出必要的文

字說明'方程式和重要演算步驟。只寫出最后答案的不能得分。有數(shù)值計算的題，答案中必

須明確寫出數(shù)值和單位。)

17.(10分)已知集合A={x|3-a融3+a},B={x|x2-4x.O).

(1)當a=2時，求Bi

(2)若“>0,且“xeA”是“xwQB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)當a=2時，求出集合A,B，由此能求出A「|8,山B；

(2)推導出a>0,A6B,求出務(wù)8="|0cx<4},Aw0,列出不等式組，能求出實數(shù)a的取

值范圍.

【解答】解：集合A={x|3-感(k3+a),B={x\x1-4xfS)}={x\x0或x..4}.

(I)當a=2時IA={x]啜k5).

二?、8={幻4轟/5),

A、，8={x|x”0或x..l}；

(2)若a>0,且“xeA”是“x/B”的充分不必要條件，

^B={x|0<x<4},,

13—a>0IEzn

.-.,解得0<a<l.

[3+a<4

.,?實數(shù)。的取值范圍是(0,1).

【點評】本題考查集合的運算，考查交集、并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

18.(12分)已知集合A={x||3x-2|,,1},集合3={x|x+九.1}.命題尸:xwA,命題<7:xe3,并

且命題尸是命題q的充分條件，求實數(shù)機的取值范圍.

【分析】先解不等式化簡A與B,由p是g的充分條件，知4=8,然后得到不等式求解得答

案.

【解答】解：TI3X-2L1,.,.-1領(lǐng)卜-21,1,.-.A={X|^M1},

B={x\x-^-wJM}={x|x1一加},

.命題命題/XEB,且命題P是命題q的充分條件，

「?Aq5，/.1—/Tlyy—,in..；-

33

實數(shù)m的取值范圍為專，4-00).

【點評】本題考查絕對值不等式的解法，考查充分必要條件的判定及其應(yīng)用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想

方法，是中檔題.

19.(12分)已知/(X)為定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=-x2+4x.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)/*)在區(qū)間［T,0(">T)上的最小值.

【分析】(D由已知結(jié)合奇函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解；

(2)先作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可求.

【解答】解：(1)因為/")為定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，/(X)=-X2+4X,

所以〃0)=0且/(-X)一(x),

設(shè)x<0,則-x>0,

所以/(-x)=-x2-4x=-f(x),

故/(x)=x2+4x,

-x+4x,x>0

所以/(x)=

x2+4x,x,0

(2)作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示,

當/(x)=4時，易得x=—2或x=2+2&,

當Y<?-2時，f(x),lu,=f(a)=a(a+4),

當一2<%2+2近時，/(幻〃,〃=/(-2)=-4,

當a>2+2加時，f(x)rntl=f(a)=。(〃+4),

—4,—2<a,2+2^2

綜上，f

4>2+2^5或-4<4—2

【點評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義及性質(zhì)在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，還考查了分段函數(shù)最

值的求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=々二.

2+1

（1）判斷函數(shù)/（x）的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）解不等式：/（3X）+/（-X2+X-3）<0.

【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，再判斷/（-x）與/Xx）之間關(guān)系即可判斷：

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為丁-標+3>0,解此不等式即可.

【解答】解：（1）因為f（x）=",xeR,

2+1

2~Y-11—2"

/（一幻==一一（幻，

2-x+l1+2,

所以/（幻為奇函數(shù)；

（2）/（力在R上單調(diào)遞增，證明如下:

證明：任取玉，/且大〈工2，

2x-\2、+1-2,2

/。）=--------二1-------

2、+12X+12V+1

2222_2(2n-2吐)

所以.7⑷=i一仃_（1_n）二門

2X,+1-(2"+1)(2<2+1)

因為X1<々，

所以0<2"<2-,

所以2''+1>0,2%+1>0,2為一2&<0,

所以春黜

<0,

即/(%)-/區(qū))<0,

即/(%)</(%)，

所以/(x)在R上單調(diào)遞增;

(3)因為/(x)為R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增,

所以不等式:

f(3x)+f(-x2+x-3)<0<=>/(3x)<-/(-x2+x-3)=f(x2-x+3)<^>3x<x2-x+3x2-4x+3>0<?(x-l)(x-3)>0，

解得：XV1或X>3.

所以不等式的解集為(-8,1)U(3,+00).

【點評】本題考查了判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

21.(12分)某商品一年內(nèi)出廠價格與月份數(shù)之間的關(guān)系可以近似地用一個三角函數(shù)來描述，B

知該商品3月份價格最高，為8元，7月份價格最低，為4元.該商品在商店內(nèi)的銷售價格與月份數(shù)

之間的關(guān)系同樣可以用一個三角函數(shù)來描述，5月份銷售價格最高，為10元，9月份銷售價格最

低，為6元.

(1)試建立出廠價格、銷售價格的模型，并求出函數(shù)解析式；

(2)假設(shè)商店每月購進這種商品件，且當月銷完，試寫出該商品的月利潤函數(shù).

【分析】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求得出廠價格波動的正弦曲線以及商品在商店內(nèi)的

銷售價格波動的正弦曲線解析式，兩式相減，利用兩角和與差的正弦公式化簡為2-

(2)由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得生x=2版■-至nx=8jl-2,伏eZ),進而可得結(jié)果.

42

【解答】解：(1)設(shè)出廠價波動函數(shù)為y=6+Asin⑷x+的)

易知A=2,工=8,9=+(px='=>/=—5，=6+2sin(?x—5),

設(shè)銷售價波動函數(shù)為y2=8+Bsin(cy2x+^2)；

易知B=2,1=8,幼=-,—+(P-,=工=0=——: