2023年廣東省惠州市中考數(shù)學(xué)試卷附答案

2023年廣東省惠州市中考數(shù)學(xué)試卷附答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中.如果把收入5

元記作+5元，那么支出5元記作（）

A.-5元B.0元C.+5元1).+10元

3.（3分）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功.C919

可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186X105B.1.86X105C.18.6X101D.186X103

4.（3分）如圖，街道AB與CD平行，拐角/ABC=137°,則拐角NBCD=()

C.107°I).137°

5.（3分）計算的結(jié)果為（)

aa

A.1B.且C.5D.A

aa2aa

6.（3分）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法

應(yīng)用了)

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

7.（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4

第1頁（共27頁）

門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選中“烹飪”的

概率為（）

A.AB.1.c.AD.A

8642

8.（3分）一元一次不等式組的解集為（）

x<4

A?-l<x<4B,x<4C.x<3D.3<x<4

9.（3分）如圖，AB是。0的直徑，ZBAC=50。，則ND=（）

A

A.20°B.40°C,50°D.80°

10.（3分）如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)B在y軸上,

C.-3D.-4

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.（3分）因式分解：X2-1=

12.（3分）計算：加XV12_.

13.（3分）某蓄電池的電壓為48V,使用此蓄電池時，電流1（單位：A）與電阻R（單位:

Q）的函數(shù)表達(dá)式為［卷?.當(dāng)R=12。時，I的值為A.

14.（3分）某商品進(jìn)價4元，標(biāo)價5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%,

則最多可打折.

15.（3分）邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如

圖），則圖中陰影部分的面積為.

第2頁（共27頁）

10

三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分.

16.（10分）（1）計算：3yg+|-5|+（-1）2023.

（2）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）與點(diǎn)（2,5）,求該一次函數(shù)的表達(dá)

式.

17.（7分）某學(xué)校開展了社會實(shí)踐活動，活動地點(diǎn)距離學(xué)校12km,甲、乙兩同學(xué)騎自行車

同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到lOmin,求乙同學(xué)騎自行車的

速度.

18.（7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)

駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC=

BC=10m,兩臂夾角NACB=100。時，求A,B兩點(diǎn)間的距離.（結(jié)果精確到0.In,參

考數(shù)據(jù)：sin50^0.766cos50°-0.643tan5（T192）

第3頁（共27頁）

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.（9分）如圖，在DABCD中，ZDAB=30°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求BE的長.

20.（9分）綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒.

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角

上的小正方形;

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：（1）直接寫出紙板上NABC與紙盒上NA|B]C]的大小關(guān)系;

（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

圖1圖2

第4頁（共27頁）

21.（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做

了試驗(yàn)，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在

固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間.數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

實(shí)驗(yàn)序12345678910

號

A線路15321516341821143520

所用時

間

B線路25292325272631283024

所用時

間

根據(jù)以上信息解答下列問題:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時間22a1563.2

B線路所用時間b26.5C6.36

（1）填空：a=；b=；c=；

（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計圖

第5頁（共27頁）

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.(12分)綜合探究

如圖1,在矩形ABCD中(AB>AD),對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)A關(guān)于BD的對

稱點(diǎn)為A'.連接AA'交BD于點(diǎn)E,連接CA'.

(1)求證：AA'±CA'；

(2)以點(diǎn)0為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,00與CD相切，求證：2/=V3CA/：

②如圖3,00與CA'相切，AD=1,求。0的面積.

A'A'」

23.(12分)綜合運(yùn)用

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.如圖2,將正

方形OABC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0。<a<45°),AB交直線y=x于點(diǎn)E,

BC交y軸于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角NCOF為多少度時，OE=0F；(直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程)

(2)若點(diǎn)A(4,3),求FC的長；

第6頁(共27頁)

(3)如圖3,對角線AC交y軸于點(diǎn)M,交直線y=x于點(diǎn)N,連接FN.將△OFN與

OCF的面積分別記為Si與曲。設(shè)$=$[-$2，AN=n,求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)

式

第7頁(共27頁)

2023年廣東省惠州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中.如果把收入5

元記作+5元，那么支出5元記作（）

A.-5元B.0元C.+5元D.+10元

【答案】A

【分析】本題考查負(fù)數(shù)的概念問題，負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一

對具有相反意義的量，進(jìn)而作答.

【解答】解：把收入5元記作+5元，

根據(jù)收入和支出是一對具有相反意義的量，

支出5元就記作-5元.

故答案為A.

【點(diǎn)評】本題考查負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對具有相反意義的

量，解題的關(guān)鍵是理解相反意義的含義，進(jìn)而作答.

【答案】A

【分析】利用軸對稱圖形的定義進(jìn)行分析即可.

【解答】解：選項(xiàng)B,C,D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直

第8頁（共27頁）

線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項(xiàng)A中的圖形沿某條直線對折后兩部

分能完全重合，是軸對稱圖形，

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

3.（3分）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功.C919

可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186X105B.1.86X105C.18.6X104D.186X103

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIOn的形式，其中IW^VIO,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù).

【解答】解：將186000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.86X105.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIOn的形式，其

中n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.（3分）如圖，街道AB與CD平行,拐角NABC=137°,則拐角/BCD=()

)

A.43°B.53°C.107°D,137°

【答案】1）

【分析】由平行線的性質(zhì)即可求解

【解答】M：VAB//CD,

ZABC=NBCD=137°,

故選：1）.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)解解題關(guān)鍵.

5.（3分）計算3二的結(jié)果為（)

aa

A.AB.c.5D.A

aa2aa

第9頁（共27頁）

【答案】C

【分析】本題考查同分母分式的加減法，分母不變，分子相加減.

【解答】解：3二

aa

一3+2

a

=&

a

故本題選：C.

【點(diǎn)評】本題考查同分母分式相加減，分母不變，分子相加減.解題的關(guān)鍵是類比同分

母分?jǐn)?shù)的相加減進(jìn)行計算即可.

6.（3分）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法

應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答.

【解答】解：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618

法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，算術(shù)平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計量的選擇，熟練掌握

這些數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪"''陶藝”“木工”4

門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選中“烹飪”的

概率為（）

A.AB.J.C.AD.

8642

【答案】C

【分析】直接利用概率公式可得答案.

【解答】解：...共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，

，明恰好選中“烹飪”的概率為2.

4

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除

第10頁（共27頁）

以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

8.（3分）一元一次不等式組［x-2>l的解集為（）

x<4

A.-l<x<4B.x<4C.x<3D.3<x<4

【答案】D

【分析】求出第一個不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】（x2>1-

x<4

由不等式x12>l得：x>3,

???不等式的解集為3<x<4.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟知解集的規(guī)律.

9.（3分）如圖，AB是。0的直徑，ZBAC=50°,則ND=（）

D

A.20°B.40°C.50°D,80°

【答案】B

【分析】由AB是。0的直徑，得NACB=90°,而NBAC=50°,即得NABC=40°,

故ND=NABC=40°,

【解答】解：:AB是。0的直徑，

AZACB=90°,

AZBAC+ZABC=90°,

VZBAC=50°,

ZABC=40°,

AC=AC,

AZD=ZABC=40°,

故選：B.

第11頁（共27頁）

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角是直角和同

弧所對的圓周角相等.

10.(3分)如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)B在y軸上,

【答案】B

【分析】過A作AH_Lx軸于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NA0B=45°,得到AH=OH,

利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論.

【解答】解：過A作AH軸于H,

?..四邊形ABCO是正方形，

?.ZAOB=45°,

AZAOH=45°,

AAH=OH,

設(shè)A(m,m),貝?。軧(0,2m),

.m=am2+c

,?J，

2m=c

解得am=-1,m

2

Aac的值為-2,

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的

坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

第12頁(共27頁)

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.（3分）因式分解：x2-1=（x+1）（X-1）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=（x+1）（X-1）.

故答案為：（x+1）（X-1）.

【點(diǎn)評】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

12.（3分）計算：73XA/12^6.

【答案】6.

【分析】本題考查二次根式的乘法計算，根據(jù)而和存=a（a>0）進(jìn)行

計算，

【解答】解：方法一：

在X也

=2X3

=6.

方法二：

=73X12

=V36

=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題考查二次根式的計算，考查的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用而和療=a

（a>0）進(jìn)計算.

13.（3分）某蓄電池的電壓為48V,使用此蓄電池時，電流1（單位：A）與電阻R（單位：

Q）的函數(shù)表達(dá)式為［喑.當(dāng)R=12Q時，I的值為4A.

【答案】4.

【分析】直接將R=12代入1=型中可得I的值.

R

第13頁（共27頁）

【解答】解：當(dāng)R=12Q時，1=^^=4（A）.

12

故答案為：4.

【點(diǎn)評】此題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)

鍵.

14.（3分）某商品進(jìn)價4元，標(biāo)價5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%,

則最多可打8.8折.

【答案】8.8

【分析】利潤率不能少于10%,意思是利潤率大于或等于10%,相應(yīng)的關(guān)系式為：（打折

后的銷售價-進(jìn)價）+進(jìn)價》10%,把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：設(shè)這種商品最多可以按x折銷售，

則售價為5X0.lx,那么利潤為5X0.lx-4,

所以相應(yīng)的關(guān)系式為5X0.1X-424X10%,

解得：x28.8

答：該商品最多可以8.8折，

故答案為：8.8

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到利潤率的相關(guān)

關(guān)系式，注意“不能低于”用數(shù)學(xué)符號表示為“2”；利潤率是利潤與進(jìn)價的比值.

15.（3分）邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如

圖），則圖中陰影部分的面積為15.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算

即可.

【解答】解：如圖，

VBF〃DE,

.,.△ABF<^AADE,

第14頁（共27頁）

.AB_=BF

,,加-5r

VAB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,

._￡=BF

"2010,

ABF=2,

AGF=6-2=4,

VCK//DE,

.二△ACK^AADE,

.AC=CK

"ADDE'

VAC=4+6=10,AD=20,DE=10,

.Ki=CK

"20Io'

ACK=5,

；.HK=6-5=1,

；?陰影梯形的面積=2(HK+GF)QH

2

=J^X(1+4)X6

2

—15.

故答案為：15.

DCBA

【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的

對應(yīng)邊成比例.

三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分.

16.（10分）（1）計算：3yg+|-5|+（-1）2023.

（2）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）與點(diǎn)（2,5）,求該一次函數(shù)的表達(dá)

式.

第15頁（共27頁）

【答案】（1）6.

（2）y=2x+l.

【分析】（1）利用立方根的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)以及負(fù)數(shù)指數(shù)■的性質(zhì)進(jìn)行化簡計算即

可.

（2）將（0,1）與（2,5）代入y=kx+b解方程組即可.

【解答】（1）解：原式=2+5-1=6.

（2）解：將（0,1）與（2,5）代入y=kx+b得：

fb=l

i2km=5,

解得：（k=2,

lb=l

...一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x+l.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，正確化簡各數(shù)，將點(diǎn)

的坐標(biāo)代入后能正確解方程組是解題的關(guān)鍵.

17.（7分）某學(xué)校開展了社會實(shí)踐活動，活動地點(diǎn)距離學(xué)校12km,甲、乙兩同學(xué)騎自行車

同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到lOmin,求乙同學(xué)騎自行車的

速度.

【答案】乙騎自行車的速度為0.2un粉.

【分析】設(shè)乙步行的速度為xkm粉，則甲騎自行車的速度為1.25km粉，根據(jù)題意列方程

即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)乙步行的速度為xkm粉，則甲騎自行車的速度為1.3ckm粉，

根據(jù)題意得22-10=」一，

x1.2x

解得x=l.

5

經(jīng)檢驗(yàn)，X=」是原分式方程的解，

5

答：乙騎自行車的速度為0.3<m粉.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

18.（7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)

駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC=

BC=10m,兩臂夾角NACB=100°時，求A,B兩點(diǎn)間的距離.（結(jié)果精確到0.In,參

考數(shù)據(jù)：sin50弋0.766cos50°-0.643tan5G=1.192）

第16頁（共27頁）

【答案】A、B的距離大約是15.3n.

【分析】連接AB,取AB中點(diǎn)D,連接CD,根據(jù)AC=BC,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，可得NACD

=NBCD=」NACB=50°，在RtZXACD中，sin50=嶇，解得AD=10Xsin50七7.66

210

（m）,故AB=2AD?15.3（m）.

【解答】解：連接AB,取AB中點(diǎn)D,連接CD,如圖，

C

VAC=BC,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，

二中線CD為等腰三角形的角平分線(三線合一)，AD=BD=2AB,

2

AZACD=/BCD=」/ACB=50°,

2

在RtZ\ACD中，

sin/ACD=%

AC

二sin50,

10

?.AD=10Xsin50?7.66(m),

：.AB=2AD=2X7.66=15.32^15.3（m）,

答：A、B的距離大約是15.3n.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.（9分）如圖，在DABCD中，ZDAB=30°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)I）作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）

第17頁（共27頁）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求BE的長.

【答案】（1）見作圖；（2）6-273.

【分析】（1）由基本作圖即可解決問題；

（2）由銳角的余弦求出AE的長，即可得到BE的長.

【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點(diǎn)；

AE

（2）VcosZDAB=—,

AD

AAE=AI)E3os30°=4X返=2百，

2

【點(diǎn)評】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本作圖,

由銳角的余弦求出AE的長.

20.（9分）綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒.

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角

上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：（1）直接寫出紙板上NABC與紙盒上/AiBg］的大小關(guān)系；

（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

第18頁（共27頁）

c

圖1圖2

【答案】（1）ZABC=ZAIB1C1；

（2）證明過程見解答.

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）ZABC=NAIB[C]；

（2）為正方形對角線，

.?.ZA1B1C1=45°,

設(shè)每個方格的邊長為1,

則ABl2+32=-710.

AC=BC=yj-^2

VAC2+BC2=AB2,

...由勾股定理的逆定理得aABC是等腰直角三角形，

AZABC=45",

7.ZABC=NAIB[C].

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)，得到aABC是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做

了試驗(yàn)，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在

固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間.數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

實(shí)驗(yàn)序12345678910

號

A線路15321516341821143520

第19頁（共27頁）

所用時

間

B線路25292325272631283024

所用時

間

根據(jù)以上信息解答下列問題:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時間22a1563.2

B線路所用時間b26.5C6.36

(1)填空：a=19；b=26.8；c=25；

(2)應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計圖

(1)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的計算.

(2)方差的實(shí)際應(yīng)用.

【解答】解：(1)求中位數(shù)a首先要先排序,

從小到大順序?yàn)椋?4,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10個數(shù),

中位數(shù)在第5和6個數(shù)為18和20,

所以中位數(shù)為坦迫■=19,

2

求平均數(shù)5=25+29+23+25+27+26+31+28+30+24=26.8

10

眾數(shù)c=25,

第20頁(共27頁)

故答案為：19,26.825.

(2)小紅統(tǒng)計的選擇A線路平均數(shù)為22,選擇B線路平均數(shù)為26.8用時差不太多.而

方差63.A6.36相比較B路線的波動性更小，所以選擇B路線更優(yōu).

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)據(jù)的波動與集中程度，解題的關(guān)鍵是能夠平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)進(jìn)

行準(zhǔn)確的計算，理解方差的意義，并進(jìn)行作答.

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.(12分)綜合探究

如圖1,在矩形ABCD中(AB>AD),對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)A關(guān)于BD的對

稱點(diǎn)為A'.連接AA'交BD于點(diǎn)E,連接CA'.

(1)求證：AA'±CA'；

(2)以點(diǎn)0為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,00與CD相切，求證：川=J§CA'；

②如圖3,。。與CA'相切，AD=1,求。0的面積.

【答案】(1)證明過程詳見解答；

(2)①證明過程詳見解答；

②"2"

4

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AE=A'E,AA'±BD,根據(jù)四邊形ABCD是矩形,

得出0A=0C,從而0E〃A'C,從而得出AA'1CA'；

(2)①設(shè)CD與CD切于點(diǎn)F,連接0F,并延長交AB于點(diǎn)G,可證得0G=0F=

0E,從而得出NEAO=/GAO=/GBO,進(jìn)而得出/EAO=30°,從而岫，；

②設(shè)。0切CA'于點(diǎn)H,連接0H，可推出AA'=20H,CA'=20E，從而AA'=CA',

進(jìn)而得出NA'AC=/A'CA=45°，/A0E=NACA'=45°,從而得出AE=0E,0D

=OA=&AE,設(shè)0A=0E=x,則0D=0A=&x，在RtZ\ADE中，由勾股定理得出

第21頁(共27頁)

x2+[(V2-l)x]2=l?從而求得X2=2#Z，進(jìn)而得出。。的面積.

【解答】(1)證明：???點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A',

??.AE=A'E,AA'±BD,

???四邊形ABCD是矩形，

AOA=0C,

AOE〃A'C,

AAA'±CA'；

(2)①證明：如圖2,

設(shè)CD00與CD切于點(diǎn)F,連接OF,并延長交AB于點(diǎn)G,

AOF±CD,OF=0E,

???四邊形ABCD是矩形，

AOB=0D=ABD,AB〃CD,AC=BD,OA=2AC,

22

/.OG±AB,ZFDO=ZB0G,OA=0B,

AZGAO=ZGB0,

VZDOF=ZB0G,

/.△DOF^ABOG(ASA),

AOG=0F,

/.OG=OE,

由(1)知：AA'±BD,

/.ZEAO=ZGA0,

VZEAB+ZGB0=90°,

AZEAO+ZGA0+ZGB0=90°,

A3ZEAO=90°,

/.ZEAO=30°,

由(1)知：AA'J_CA',

.\tanZEA0=^_,

AAZ

??.AA，=V3CAZ；

第22頁（共27頁）

②解:如圖3,

設(shè)00切CA'于點(diǎn)H,連接0H,

.\0H±CA

由（1）知：AA1±CA',AA'±CA',OA=0C,

AOH〃AA',OE〃CA1，

：.ACOHS/XCAA',AAOE^AACA

.OHOC1OEOA1

?,AA，ckKF

:.AA'=2011,CA'=20E,

AAA'=CA',

NA'AC=/A'CA=45°,

ZAOE=ZACA'=45",

AAE=0E,OD=0A=&AE,

設(shè)OA=0E=x,則OD=0A=x，

ADE=0D-OE=（V2-1）x,

在RtZ\ADE中，由勾股定理得，

X2+[（V2-1）X]2=1-

4

AS00=疝E2=?兀.

圖3

【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識.

23.（12分）綜合運(yùn)用

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.如圖2,將正

方形OABC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0。<a<45°）,AB交直線y=x于點(diǎn)E,

第23頁（共27頁）

BC交y軸于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角NCOF為多少度時，OE=OF；(直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程)

(2)若點(diǎn)A(4,3),求FC的長；

(3)如圖3,對角線AC