微積分（第三版）課件：不定積分

線性代數(shù)高等學校經(jīng)濟管理學科數(shù)學基礎微積分

一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分公式三、不定積分的性質第一節(jié)不定積分的概念與性質第一節(jié)不定積分的概念與性質

問題導言：在運動學中,已知路程函數(shù)

,則在時刻t的瞬時速度

.此類問題稱為微分學問題.與其相反,已知速度函數(shù)

,則確定時刻t的路程,也即已知一個函數(shù)的導數(shù)或微分，尋求原來函數(shù).此類問題稱為積分學問題.微分問題積分問題（導函數(shù)）（原函數(shù)）

定義設f(x)定義在區(qū)間I內，如果對任意的都有

或

則稱F(x)為

f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).一、原函數(shù)與不定積分的概念

因為

所以

,,,都是的原函數(shù).

例因為

,所以

是在上的原函數(shù).1.原函數(shù)的概念

問題：一個函數(shù)的原函數(shù)有多少個？這些原函數(shù)之間有何關系？

第一，若F(x)為f(x)在該區(qū)間I上的一個原函數(shù).即對任意的都有

.而所以F(x)+C為

f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).結論：一個函數(shù)的原函數(shù)如果存在則有無窮多個.

第二，設,是f(x)在區(qū)間I上的任意兩個原函數(shù).即即G(x)=F(x)＋C0

(

C0為某常數(shù)).所以有G(x)－F(x)=C0

，于是

結論：若函數(shù)

f(x)

在區(qū)間I上存在原函數(shù)，則其任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù).

定理若函數(shù)

f(x)

在區(qū)間I上存在原函數(shù)F(x)，則

為f(x)

在區(qū)間I上的全部元原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。由導數(shù)公式可得一些簡單函數(shù)的原函數(shù)，見下表原函數(shù)函數(shù)原函數(shù)函數(shù)

定義設函數(shù)

f(x)在區(qū)間I有定義，F(xiàn)(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)

，則稱f(x)原函數(shù)的一般表達式F(x)＋C(C為任意常數(shù))為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.記作2.不定積分的概念其中記號稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，C為積分常數(shù).不定積分運算與微分運算之間有如下的互逆關系：或或

對于積分曲線族中的每一條積分曲線，在曲線上橫坐標相同的點x處的切線斜率都等于f(x)。

例設曲線通過點（1,2），且在任一點(x,y)處的切線斜率為2x，求此曲線方程.

解設所求曲線方程為.按題意在任一點（x,y)處的切線斜率為即2x的原函數(shù)為因為曲線過點（1，2），故代入上得于是所求曲線方程為二、基本積分公式三、不定積分的性質

性質被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面.即

性質兩個函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即不定積分的上述性質也可以寫成

利用此性質和不定積分基本公式，就可以直接求一些簡單函數(shù)的不定積分.例求解利用定積分性質與基本積分公式求積分例求解

在求簡單函數(shù)的積分時,通常要利用定積分性質將所求積分化成基本積分公式形式再求積分.這種方法稱為直接積分法.練習：求積分例求不定積分解

對由分式或根式表示的冪形式被積函數(shù)，應先化簡再積分.解例求不定積分練習：求積分例求不定積分解例求不定積分解例求不定積分解例求不定積分解例求不定積分解

求積分時通常要利用恒等式變形將被積函數(shù)化為積分表中的形式，然后求積分.練習：求積分

例某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的邊際成本C的是日產(chǎn)量q的函數(shù),已知固定成本為1000元,求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關系解因為總成本是邊際成本的原函數(shù)，所以有（K為任意實數(shù)）

已知固定成本為1000元，即，因此代入上式有所以不定積分一、第一換元積分法二、第二換元積分法第二節(jié)換元積分法第二節(jié)換元積分法一、第一換元積分法引例

分析由于被積函數(shù)為復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的特征，不妨設則于是積分為

驗證因為,所以上述積分正確.即一般而言，對于不定積分有定理證由復合函數(shù)微分法則所以定理結論也可以寫成此式稱為第一換元積分公式.第一換元法應用的基本過程還原④積分③換元②湊微分①湊微分換元成新變量求原函數(shù)還原成原變量

解決問題的特征：湊微分法主要解決復合函數(shù)與中間變量導函數(shù)乘積的積分.

在湊微分—換元—積分—還原的解題過程中,關鍵是湊微分,它是換元的前提.只有在被積函數(shù)的被積表達式中湊出,這樣才能通過換元

,以u為積分變量作積分,即所求積分化為從這個意義上講，第一換元積分法也稱為“湊微分”法.例求積分解因為湊微分換元求積分還原例求積分解因為

對于湊微分法較熟悉后，可略去中間的換元步驟直接湊微分，將看作一個變量，然后求出積分.即例求積分解

例

求積分解

例求積分解

用湊微分法求積分時，必須要熟悉一些常見的湊微分公式，下面列出一些常見的湊微分形式.練習：求積分積分表達式湊微分形式例求積分解練習：求積分例求積分；解下面再推出一些常用的積分公式

公式想到公式例求積分解想到公式

公式例求積分解例求積分；類似地，有解例求積分解類似地，有補充積分公式

用湊微分法計算積分時，由于選擇不同的湊微分形成，所以求出的不定積分在形式上也可能不盡相同，但是它們之間至多只相差一個常數(shù)項，屬于同一個原函數(shù)族.例求積分解

下面給出不同的求解方法例求積分解例求解下面介紹一些三角函數(shù)的積分例求積分解

例求積分解二、第二換元積分法

分析由于被積函數(shù)為無理函數(shù),不便于求積分,因此應消去根式,也即使被開方式為平方式.引例求不定積分

考慮到三角函數(shù)中的平方公式,也即或又不妨作變換則被開方式可以化為平方式,進而消去根式.(1)作變換令則且(2)求積分求積分步驟：因為(3)還原變量驗證

定理設函數(shù)f(x)連續(xù),為單調可導函數(shù)其反函數(shù)為且,若是函數(shù)的一個原函數(shù),則這就說明了是的f(x)原函數(shù).證由復合函數(shù)的求導法則及反函數(shù)求導公式,有第二換元法應用的基本過程積分換元①換元成新變量求原函數(shù)

還原成原變量

解決問題的特征：第二換元積分法主要解決被積函數(shù)為等無理函數(shù)的積分問題.②還原③解(1)

令即則例求積分(1)(2)(2)例

求積分解例求積分解axt例求積分解axt第二換元法常用的變換形式

一、分部積分公式二、分部積分法舉例第三節(jié)分部積分法第三節(jié)分部積分法

對于乘積函數(shù)的導數(shù)，有乘積求導法則．相應地,在積分法中也有與乘積求導法則相對應的分部積分法，分部積分法也是一種重要的積分方法．

由函數(shù)乘積的微分公式移項得對上式兩端同時積分，得此式稱為分部積分公式

.定理設函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在區(qū)間上有連續(xù)導數(shù),有不定積分分部積分公式或

分部積分公式，它可以將求的積分問題轉化為求的積分,當后面這個積分較容易求時，分部積分公式就起到了化難為易的作用．分部積分法應用的基本過程湊微分用公式

使用分部積分公式關鍵在于恰當?shù)倪x擇和u.

和u的選擇要體現(xiàn)化難為易的原則.例求積分解顯然，積分比原積分復雜.說明：使用分部積分公式的關鍵在于恰當?shù)倪x擇和u.選擇時要考慮轉換后的積分簡單易求.例求積分解熟練之后可以不再寫出u和直接應用分部積分公式.例求積分解(繼續(xù)使用分部積分公式)例

求積分解例求積分解積分類型函數(shù)u微