沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

1、二、系統(tǒng)解法：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),一、經(jīng)典解法：微分方程的求解,復(fù)習(xí),零輸入響應(yīng)：為齊次解，初始條件不躍變，即,零狀態(tài)響應(yīng)：令初始狀態(tài)為零，即,零狀態(tài)響應(yīng) = 齊次解+特解,由系數(shù)匹配法定,2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),一、沖激響應(yīng)的概念及求解,主要內(nèi)容,二、階躍響應(yīng)的概念及求解,重點(diǎn),沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的求解,學(xué)習(xí) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的原因,沖激函數(shù)和階躍函數(shù)代表了兩種典型信號(hào)， 求它們引起的零狀態(tài)響應(yīng)是線性系統(tǒng)分析中 常見(jiàn)的典型問(wèn)題,2. 信號(hào)分解為許多沖激信號(hào)的基本單元之和或 階躍信號(hào)之和，當(dāng)要計(jì)算某種激勵(lì)信號(hào)對(duì)于 系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可先分別計(jì)算沖 激信號(hào)或階躍信號(hào)引起的零狀態(tài)響應(yīng)，

2、然后 疊加即得所需之結(jié)果,卷積法的原理,沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.2.1 沖激響應(yīng) 一線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位沖激信號(hào)(t)所引起的響應(yīng)稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)沖激響應(yīng)，用h(t)表示。亦即，沖激響應(yīng)是激勵(lì)為單位沖激信號(hào)(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其示意圖如下圖所示,沖激響應(yīng)示意圖,一、沖激響應(yīng),1.定義：當(dāng)激勵(lì)f(t)=(t)時(shí)lti系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),激勵(lì)f(t)=(t,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),2.求解,將沖激信號(hào)的作用轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的初始條件， 然后求沖激響應(yīng),思路,沖激響應(yīng)用h(t)表示,1）寫(xiě)出系統(tǒng)微分方程,2）寫(xiě)出微分方程的齊次解,3）在微分方程中利用 (t)匹配的方法定初

3、始條件，即：h(0,4）將初始條件代入，確定待定系數(shù)，得到 沖激響應(yīng),步驟,1.沖激平衡法 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式的恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等。根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 例:已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為,試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t,解:根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的定義，當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，即為h(t)，即原動(dòng)態(tài)方程式為 由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(hào)(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)也必須含有(t)。這樣沖激響應(yīng)h(t)必為aetu(t)的形式?？紤]到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為,解得a=2，因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為,特

4、征根1=-3，因此可設(shè) ，式中a為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有,2.等效初始條件法 系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求解還有另一種方法，稱(chēng)為等效初始條件法。沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，受單位沖激信號(hào)(t)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，它屬于零狀態(tài)響應(yīng)。 例:已知某線性非時(shí)變(lti)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)，t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解:沖激響應(yīng)h(t)滿足動(dòng)態(tài)方程式 h(t)+3h(t)=2(t)，t0,由于動(dòng)態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設(shè) 因而有 將h(t)與h(t)分別代入原動(dòng)態(tài)方程有 解得 a=2，b=-6,3

5、.其它方法 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，而與系統(tǒng)的外部激勵(lì)無(wú)關(guān)。但系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以由沖激信號(hào)(t)作用于系統(tǒng)而求得。在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的過(guò)程中，都是已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程,例2.2-1 求二階lti系統(tǒng)的沖激響應(yīng),分析：根據(jù)沖激響應(yīng)的概念，該題目隱含了以下條件,解,例2.2-2 求二階lti系統(tǒng)的沖激響應(yīng),解：利用系統(tǒng)的線性和微分性質(zhì)求解,設(shè),則,3.沖激響應(yīng)的一般形式,左邊為n階，右邊為m階的微分方程,當(dāng)n m時(shí),當(dāng)n =m時(shí),h(t)具有自由響應(yīng)（齊次解）的形式,h(t)有自然響應(yīng)的形式并含有沖激 (t,2.2.2 階躍

6、響應(yīng) 一線性非時(shí)變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱(chēng)為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)階躍響應(yīng)，用g(t)表示。階躍響應(yīng)是激勵(lì)為單位階躍函數(shù)u(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如圖2.17所示,階躍響應(yīng)示意圖,二、階躍響應(yīng),1.定義：當(dāng)激勵(lì)f(t)=(t)時(shí)lti系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),激勵(lì)f(t)=(t,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),階躍響應(yīng)用g(t)表示,2.階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的關(guān)系,對(duì)于同一個(gè)lti系統(tǒng),3. 階躍響應(yīng)的求法： 1）經(jīng)典法； 2）從沖激響應(yīng)求階躍響應(yīng),如果描述系統(tǒng)的微分方程式是 y(n)(t)+an-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) ， 將 代入，可求得其特解 上的特征根i(i=1，2，n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(nm)為,信號(hào)的時(shí)域分解,一、信號(hào)分解為沖激信號(hào)的疊加,在信號(hào)分析與系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要將信號(hào)分解為基本信號(hào)的形式。這樣，對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷?duì)基本信號(hào)的分析，從而將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，且可以使信號(hào)與