數(shù)學(xué)解題技巧：概率統(tǒng)計

第八講概率統(tǒng)計【考點透視】1．了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義．2．了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的根本公式計算一些等可能性事件的概率.3．了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率．4．會計算事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率．5．【例題解析】考點(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的計算步驟：計算一次試驗的根本領(lǐng)件總數(shù);設(shè)所求事件A，并計算事件A包含的根本領(lǐng)件的個數(shù);依公式求值;答，即給問題一個明確的答復(fù).(2)互斥事件有一個發(fā)生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：對立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.(3)相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：獨立重復(fù)試驗的概率：Pn(k)＝.其中P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]n展開的第k+1項.(4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù).例1．在五個數(shù)字中，假設(shè)隨機取出三個數(shù)字，那么剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是〔結(jié)果用數(shù)值表示〕．[考查目的]此題主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.[解答過程]0.3提示:例2．一個總體含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，那么指定的某個個體被抽到的概率為．[考查目的]此題主要考查用樣本分析總體的簡單隨機抽樣方式，同時考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.用頻率分布估計總體分布，同時考查數(shù)的區(qū)間497.5g~501.5的意義和概率的求法.[解答過程]提示:例3從自動打包機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為〔單位：g〕：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根據(jù)的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g~501.5g之間的概率約為__________．[考查目的]此題主要考查用頻率分布估計總體分布，同時考查數(shù)的區(qū)間497.5g~501.5的意義和概率的求法.[解答過程]在497.5g~501.5內(nèi)的數(shù)共有5個，而總數(shù)是20個，所以有點評：首先應(yīng)理解概率的定義，在確定給定區(qū)間的個體的數(shù)字時不要出現(xiàn)錯誤.例4.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反響的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反響的概率為__________.〔精確到0.01〕信號源[考查目的]此題主要考查運用組合、概率的根本知識和分類計數(shù)原理解決問題的能力，以及推理和運算能力.信號源[解答提示]至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反響的概率為.故填0.94.例5．右圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否那么就不能接收到信號.假設(shè)將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接，那么這五個接收器能同時接收到信號的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[考查目的]此題主要考查運用組合、概率知識,以及分步計數(shù)原理解決問題的能力，以及推理和運算能力.[解答提示]由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有種分法；要五個接收器能同時接收到信號，那么需五個接收器與信號源串聯(lián)在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有種，所求的概率是，所以選D.點評：此題要求學(xué)生能夠熟練運用排列組合知識解決計數(shù)問題，并進一步求得概率問題，其中隱含著平均分組問題.例6．從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率．〔1〕求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；〔2〕假設(shè)該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率．[考查目的]本小題主要考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理與運算能力．[解答過程]〔1〕記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”．那么互斥，且，故于是．解得〔舍去〕．〔2〕記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，那么．假設(shè)該批產(chǎn)品共100件，由〔1〕知其中二等品有件，故． 例7．兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說的概率是〔結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示〕．[考查目的]此題主要考查運用排列和概率知識,以及分步計數(shù)原理解決問題的能力，以及推理和運算能力.[解答提示]從兩部不同的長篇小說8本書的排列方法有種，左邊4本恰好都屬于同一部小說的的排列方法有種.所以,將符合條件的長篇小說任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是種.所以,填.例8．甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球.由甲，乙兩袋中各任取2個球.(Ⅰ)假設(shè)n=3，求取到的4個球全是紅球的概率；(Ⅱ)假設(shè)取到的4個球中至少有2個紅球的概率為，求n.[考查目的]此題主要考查排列組合、概率等根本知識，同時考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.[標(biāo)準(zhǔn)解答]〔=1\*ROMANI〕記“取到的4個球全是紅球”為事件.〔=2\*ROMANII〕記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件，“取到的4個球只有1個紅球”為事件，“取到的4個球全是白球”為事件.由題意，得所以,，化簡，得解得，或〔舍去〕，故.例9.某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購置．根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用一次性付款的概率是0.6，經(jīng)銷一件該商品，假設(shè)顧客采用一次性付款，商場獲得利潤200元；假設(shè)顧客采用分期付款，商場獲得利潤250元．〔Ⅰ〕求3位購置該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；〔Ⅱ〕求3位顧客每人購置1件該商品，商場獲得利潤不超過650元的概率．[考查目的]本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗等的概率計算，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理與運算能力．[解答過程]〔Ⅰ〕記表示事件：“位顧客中至少位采用一次性付款”，那么表示事件：“位顧客中無人采用一次性付款”．，．〔Ⅱ〕記表示事件：“位顧客每人購置件該商品，商場獲得利潤不超過元”．表示事件：“購置該商品的位顧客中無人采用分期付款”．表示事件：“購置該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”．那么．，．．例10．某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案. 方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過； 方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.〔Ⅰ〕分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；〔Ⅱ〕試比擬該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.〔說明理由〕[考查目的]此題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和對立事件的概率,以及不等式等根本知識，同時考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.[標(biāo)準(zhǔn)解答]記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B,C，那么P(A)=a，P(B)＝b，P(C)=c.(Ⅰ)應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率p1=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)=a×b×(1-c)+(1-a)×b×c+a×(1-b)×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc.應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率p2=P(A·B)+P(B·C)+P(A·C)=×(a×b+b×c+c×a)=(ab+bc+ca)(Ⅱ)p1-p2=ab+bc+ca-2abc-(ab+bc+ca)=(ab+bc+ca-3abc)≥=.∴p1≥p2例11．某項選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確答復(fù)以下問題者進入下一輪考核，否那么即被淘汰.某選手能正確答復(fù)第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確答復(fù)互不影響.〔Ⅰ〕求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;〔Ⅱ〕求該選手至多進入第三輪考核的概率. 〔注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示〕[考查目的]本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗的概率計算，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理與運算能力．[解答過程]〔Ⅰ〕記“該選手能正確答復(fù)第輪的問題”的事件為，那么，，，，該選手進入第四輪才被淘汰的概率．〔Ⅱ〕該選手至多進入第三輪考核的概率．考點例12．廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗,以決定是否接收這批產(chǎn)品.〔Ⅰ〕假設(shè)廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進行檢驗,求至少有1件是合格的概率；〔Ⅱ〕假設(shè)廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否那么拒收,求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.[考查目的]此題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，考察隨機事件的分布列，數(shù)學(xué)期望等，考察運用所學(xué)知識與方法解決實際問題的能力.[解答過程]〔Ⅰ〕記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事件A用對立事件A來算，有〔Ⅱ〕可能的取值為．，，．記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格”為事件B，那么商家拒收這批產(chǎn)品的概率．所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為．例13．某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確答復(fù)以下問題者進入下一輪考核，否那么即被淘汰.某選手能正確答復(fù)第一、二、三輪的問題的概率分別為、、,且各輪問題能否正確答復(fù)互不影響.〔Ⅰ〕求該選手被淘汰的概率;〔Ⅱ〕該選手在選拔中答復(fù)以下問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.〔注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示〕[考查目的]此題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，考察隨機事件的分布列，數(shù)學(xué)期望等，考察運用所學(xué)知識與方法解決實際問題的能力.[解答過程]解法一：〔Ⅰ〕記“該選手能正確答復(fù)第輪的問題”的事件為，那么，，，該選手被淘汰的概率．〔Ⅱ〕的可能值為，，，．的分布列為123．解法二：〔Ⅰ〕記“該選手能正確答復(fù)第輪的問題”的事件為，那么，，．該選手被淘汰的概率．〔Ⅱ〕同解法一．考點思路啟迪：解答過程：小結(jié)：某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．〔Ⅰ〕求事件：“購置該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；〔Ⅱ〕求的分布列及期望．[考查目的]本小題主要考查概率和離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識.考查運用概率知識解決實際問題的能力.[解答過程]〔Ⅰ〕由表示事件“購置該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“購置該商品的3位顧客中無人采用1期付款”，．〔Ⅱ〕的可能取值為元，元，元．，，．的分布列為〔元〕．某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實得80分卻記為50分，乙實得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是A.70，25B.70，50C.70，1.04 D.65，25解答過程：易得沒有改變，=70，而s2=［〔x12+x22+…+502+1002+…+x482〕－482］=75，s′2=［〔x12+x22+…+802+702+…+x482〕－482］=［〔75×48+482－12500+11300〕－482］=75－=75－25=50.答案：B考點典型例題解答過程：解答過程：．思路啟迪：解答過程：小結(jié)：．考點例20.如果隨機變量ξ～N〔μ，σ2〕，且Eξ=3，Dξ=1，那么P〔－1＜ξ≤1＝等于()A.2Φ〔1〕－1 B.Φ〔4〕－Φ〔2〕C.Φ〔2〕－Φ〔4〕 D.Φ〔－4〕－Φ〔－2〕解答過程：〕=Φ〔－2〕－Φ〔－4〕=Φ〔4〕－Φ〔2〕.答案：B例21.將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃，液體的溫度ξ〔單位：℃〕是一個隨機變量，且ξ～N〔d，0.52〕.〔1〕假設(shè)d=90°，ξ<89的概率；〔2〕假設(shè)要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，d至少是?〔其中假設(shè)η～N〔0，1〕，那么Φ〔2〕=P〔η<2〕=0.9772，Φ〔－2.327〕=P〔η<－2.327〕=0.01〕思路啟迪：〔1〕要求P〔ξ<89〕=F〔89〕，∵ξ～N〔d，0.5〕不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是Φ〔2〕，Φ〔－2.327〕，故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.〔2〕轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p，再利用p≥0.99，解d.解答過程：〔1〕P〔ξ<89〕=F〔89〕=Φ〔〕=Φ〔－2〕=1－Φ〔2〕=1－0.9772=0.0228.〔2〕由d滿足0.99≤P〔ξ≥80〕，即1－P〔ξ<80〕≥1－0.01，∴P〔ξ<80〕≤0.01.∴Φ〔〕≤0.01=Φ〔－2.327〕.∴≤－2.327.∴d≤81.1635.故d至少為81.1635.小結(jié)：〔1〕假設(shè)ξ～N〔0，1〕，那么η=～N〔0，1〕.〔2〕標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f〔x〕是偶函數(shù)，x<0時，f〔x〕為增函數(shù)，x>0時，f〔x〕為減函數(shù).是是思路啟迪：解答過程：小結(jié)：是思路啟迪：解答過程：【專題訓(xùn)練】一.選擇題13.某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后效勞情況，記這項調(diào)查為②.那么完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法14.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為()hB.0.9h C.1.0hD.1.5h二.填空題19.一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.假設(shè)m=6，那么在第7組中抽取的號碼是___________.20.用系統(tǒng)抽樣法要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生隨機地從1～160