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北京市龍文教育重點名校2023-2024學(xué)年中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,點C為弧BD的中點,若∠DAB=50°,則∠ABC的大小是()A.55° B.60° C.65° D.70°2.若a+|a|=0,則等于()A.2﹣2a B.2a﹣2 C.﹣2 D.23.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①ac>0;②a-b+c<0;
當(dāng)時,;,其中錯誤的結(jié)論有A.②③ B.②④ C.①③ D.①④4.如圖,是的直徑,是的弦,連接,,,則與的數(shù)量關(guān)系為()A. B.C. D.5.如圖,△ABC中,∠B=70°,則∠BAC=30°,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△EDC.當(dāng)點B的對應(yīng)點D恰好落在AC上時,∠CAE的度數(shù)是()A.30° B.40° C.50° D.60°6.如圖,△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB′C′,若∠BAC=90°,AB=AC=,則圖中陰影部分的面積等于()A.2﹣ B.1 C. D.﹣l7.如圖,在已知的△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以B、C為圓心,以大于BC的長為半徑作弧,兩弧相交于點M、N;②作直線MN交AB于點D,連接CD,則下列結(jié)論正確的是()A.CD+DB=AB B.CD+AD=AB C.CD+AC=AB D.AD+AC=AB8.下列圖形中,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是()A. B. C. D.9.如果將拋物線y=x2向右平移1個單位,那么所得的拋物線的表達式是(A.y=x2+1 B.y=x10.設(shè)點和是反比例函數(shù)圖象上的兩個點,當(dāng)<<時,<,則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限是A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.估算的值在(
)A.3和4之間 B.4和5之間 C.5和6之間 D.6和7之間12.如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB’C’D’,圖中陰影部分的面積為().A. B. C. D.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.某菜農(nóng)搭建了一個橫截面為拋物線的大棚,尺寸如圖,若菜農(nóng)身高為1.8m,他在不彎腰的情況下,在棚內(nèi)的橫向活動范圍是__m.14.計算:﹣1﹣2=_____.15.因式分解:________.16.在中,若,則的度數(shù)是______.17.如圖是一本折扇,其中平面圖是一個扇形,扇面ABDC的寬度AC是管柄長OA的一半,已知OA=30cm,∠AOB=120°,則扇面ABDC的周長為_____cm18.如圖所示,矩形ABCD的頂點D在反比例函數(shù)(x<0)的圖象上,頂點B,C在x軸上,對角線AC的延長線交y軸于點E,連接BE,△BCE的面積是6,則k=_____.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)某商場購進一批30瓦的LED燈泡和普通白熾燈泡進行銷售,其進價與標價如下表:LED燈泡普通白熾燈泡進價(元)4525標價(元)6030(1)該商場購進了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個,LED燈泡按標價進行銷售,而普通白熾燈泡打九折銷售,當(dāng)銷售完這批燈泡后可獲利3200元,求該商場購進LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為多少個?(2)由于春節(jié)期間熱銷,很快將兩種燈泡銷售完,若該商場計劃再次購進這兩種燈泡120個,在不打折的情況下,請問如何進貨,銷售完這批燈泡時獲利最多且不超過進貨價的30%,并求出此時這批燈泡的總利潤為多少元?20.(6分)為了加強學(xué)生的安全意識,某校組織了學(xué)生參加安全知識競賽,從中抽取了部分的學(xué)生成績進行統(tǒng)計,繪制統(tǒng)計圖如圖(不完整).類別分數(shù)段A50.5~60.5B60.5~70.5C70.5~80.5D80.5~90.5E90.5~100.5請你根據(jù)上面的信息,解答下列問題.(1)若A組的頻數(shù)比B組小24,求頻數(shù)直方圖中的a,b的值;(2)在扇形統(tǒng)計圖中,D部分所對的圓心角為n°,求n的值并補全頻數(shù)直方圖;(3)若成績在80分以上為優(yōu)秀,全校共有2000名學(xué)生,估計成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少名?21.(6分)關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-1)x-(2m+3)=1.(1)求證:方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)寫出一個m的值,并求出此時方程的根.22.(8分)如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F,求證:DE=DF.23.(8分)如圖所示,已知,試判斷與的大小關(guān)系,并說明理由.24.(10分)()如圖①已知四邊形中,,BC=b,,求:①對角線長度的最大值;②四邊形的最大面積;(用含,的代數(shù)式表示)()如圖②,四邊形是某市規(guī)劃用地的示意圖,經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù):,,,,請你利用所學(xué)知識探索它的最大面積(結(jié)果保留根號)25.(10分)已知拋物線y=ax2+bx+c.(Ⅰ)若拋物線的頂點為A(﹣2,﹣4),拋物線經(jīng)過點B(﹣4,0)①求該拋物線的解析式;②連接AB,把AB所在直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點O,得到直線l,點P是直線l上一動點.設(shè)以點A,B,O,P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當(dāng)4+6≤S≤6+8時,求x的取值范圍;(Ⅱ)若a>0,c>1,當(dāng)x=c時,y=0,當(dāng)0<x<c時,y>0,試比較ac與l的大小,并說明理由.26.(12分)如圖,一位測量人員,要測量池塘的寬度的長,他過兩點畫兩條相交于點的射線,在射線上取兩點,使,若測得米,他能求出之間的距離嗎?若能,請你幫他算出來;若不能,請你幫他設(shè)計一個可行方案.27.(12分)如圖,在△ABC中,AB=AC,點,在邊上,.求證:.
參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、C【解析】連接OC,因為點C為弧BD的中點,所以∠BOC=∠DAB=50°,因為OC=OB,所以∠ABC=∠OCB=65°,故選C.2、A【解析】
直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.【詳解】∵a+|a|=0,∴|a|=-a,則a≤0,故原式=2-a-a=2-2a.故選A.【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡,正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.3、C【解析】
①根據(jù)圖象的開口方向,可得a的范圍,根據(jù)圖象與y軸的交點,可得c的范圍,根據(jù)有理數(shù)的乘法,可得答案;
②根據(jù)自變量為-1時函數(shù)值,可得答案;
③根據(jù)觀察函數(shù)圖象的縱坐標,可得答案;
④根據(jù)對稱軸,整理可得答案.【詳解】圖象開口向下,得a<0,
圖象與y軸的交點在x軸的上方,得c>0,ac<,故①錯誤;
②由圖象,得x=-1時,y<0,即a-b+c<0,故②正確;
③由圖象,得
圖象與y軸的交點在x軸的上方,即當(dāng)x<0時,y有大于零的部分,故③錯誤;
④由對稱軸,得x=-=1,解得b=-2a,
2a+b=0
故④正確;
故選D.【點睛】考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置:當(dāng)a與b同號時,對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時,對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點:拋物線與y軸交于(0,c).拋物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定:△=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.4、C【解析】
首先根據(jù)圓周角定理可知∠B=∠C,再根據(jù)直徑所得的圓周角是直角可得∠ADB=90°,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠DAB+∠B=90°,所以得到∠DAB+∠C=90°,從而得到結(jié)果.【詳解】解:∵是的直徑,∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠B=90°.∵∠B=∠C,∴∠DAB+∠C=90°.故選C.【點睛】本題考查了圓周角定理及其逆定理和三角形的內(nèi)角和定理,掌握相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】
由三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB=80°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CE,∠ACE=∠ACB=80°,由等腰的性質(zhì)可得∠CAE=∠AEC=50°.【詳解】∵∠B=70°,∠BAC=30°∴∠ACB=80°∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△EDC.∴AC=CE,∠ACE=∠ACB=80°∴∠CAE=∠AEC=50°故選C.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.6、D【解析】∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,∴BC=2,∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°,AC′=AC=,∴AD⊥BC,B′C′⊥AB,∴AD=BC=1,AF=FC′=AC′=1,∴DC′=AC′-AD=-1,∴圖中陰影部分的面積等于:S△AFC′-S△DEC′=×1×1-×(-1)2=-1,故選D.【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識,得出AD,AF,DC′的長是解題關(guān)鍵.7、B【解析】
作弧后可知MN⊥CB,且CD=DB.【詳解】由題意性質(zhì)可知MN是BC的垂直平分線,則MN⊥CB,且CD=DB,則CD+AD=AB.【點睛】了解中垂線的作圖規(guī)則是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】試題解析:A.是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;B.是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;C.既是中心對稱圖又是軸對稱圖形,故本選項正確;D.是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故本選項錯誤.故選C.9、D【解析】
本題主要考查二次函數(shù)的解析式【詳解】解:根據(jù)二次函數(shù)的解析式形式可得,設(shè)頂點坐標為(h,k),則二次函數(shù)的解析式為y=a(x-故選D.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式,根據(jù)頂點的平移可得到二次函數(shù)平移后的解析式.10、A【解析】∵點和是反比例函數(shù)圖象上的兩個點,當(dāng)<<1時,<,即y隨x增大而增大,∴根據(jù)反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:當(dāng)時函數(shù)圖象的每一支上,y隨x的增大而減?。划?dāng)時,函數(shù)圖象的每一支上,y隨x的增大而增大.故k<1.∴根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:一次函數(shù)的圖象有四種情況:①當(dāng),時,函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限;②當(dāng),時,函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限;③當(dāng),時,函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限;④當(dāng),時,函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限.因此,一次函數(shù)的,,故它的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,不經(jīng)過第一象限.故選A.11、C【解析】
由可知56,即可解出.【詳解】∵∴56,故選C.【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的估算,掌握無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵.12、C【解析】
設(shè)B′C′與CD的交點為E,連接AE,利用“HL”證明Rt△AB′E和Rt△ADE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等∠DAE=∠B′AE,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠DAB′=60°,然后求出∠DAE=30°,再解直角三角形求出DE,然后根據(jù)陰影部分的面積=正方形ABCD的面積﹣四邊形ADEB′的面積,列式計算即可得解.【詳解】如圖,設(shè)B′C′與CD的交點為E,連接AE,在Rt△AB′E和Rt△ADE中,,∴Rt△AB′E≌Rt△ADE(HL),∴∠DAE=∠B′AE,∵旋轉(zhuǎn)角為30°,∴∠DAB′=60°,∴∠DAE=×60°=30°,∴DE=1×=,∴陰影部分的面積=1×1﹣2×(×1×)=1﹣.故選C.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),全等三角形判定與性質(zhì),解直角三角形,利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE,從而求出∠DAE=30°是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、1【解析】
設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+b,由圖得知點(0,2.4),(1,0)在拋物線上,列方程組得到拋物線的解析式為:y=﹣x2+2.4,根據(jù)題意求出y=1.8時x的值,進而求出答案;【詳解】設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+b,由圖得知:點(0,2.4),(1,0)在拋物線上,∴,解得:,∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2.4,∵菜農(nóng)的身高為1.8m,即y=1.8,則1.8=﹣x2+2.4,解得:x=(負值舍去)故他在不彎腰的情況下,橫向活動范圍是:1米,故答案為1.14、-3【解析】-1-2=-1+(-2)=-(1+2)=-3,故答案為-3.15、n(m+2)(m﹣2)【解析】
先提取公因式n,再利用平方差公式分解即可.【詳解】m2n﹣4n=n(m2﹣4)=n(m+2)(m﹣2)..故答案為n(m+2)(m﹣2).【點睛】本題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式,熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵16、【解析】
先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出,,再由特殊角的三角函數(shù)值求出與的值,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.【詳解】在中,,,,,,,故答案為:.【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.17、1π+1.【解析】分析:根據(jù)題意求出OC,根據(jù)弧長公式分別求出AB、CD的弧長,根據(jù)扇形周長公式計算.詳解:由題意得,OC=AC=OA=15,的長==20π,的長==10π,∴扇面ABDC的周長=20π+10π+15+15=1π+1(cm),故答案為1π+1.點睛:本題考查的是弧長的計算,掌握弧長公式:是解題的關(guān)鍵.18、-1【解析】
先設(shè)D(a,b),得出CO=-a,CD=AB=b,k=ab,再根據(jù)△BCE的面積是6,得出BC×OE=1,最后根據(jù)AB∥OE,得出,即BC?EO=AB?CO,求得ab的值即可.【詳解】設(shè)D(a,b),則CO=-a,CD=AB=b,∵矩形ABCD的頂點D在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,∴k=ab,∵△BCE的面積是6,∴×BC×OE=6,即BC×OE=1,∵AB∥OE,∴,即BC?EO=AB?CO,∴1=b×(-a),即ab=-1,∴k=-1,故答案為-1.【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用,能很好地考核學(xué)生分析問題,解決問題的能力.解題的關(guān)鍵是將△BCE的面積與點D的坐標聯(lián)系在一起,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為200個和100個;(2)1350元.【解析】
1)設(shè)該商場購進LED燈泡x個,普通白熾燈泡的數(shù)量為y個,利用該商場購進了LED燈泡與普通白熾燈泡共300個和銷售完這批燈泡后可以獲利3200元列方程組,然后解方程組即可;
(2)設(shè)該商場購進LED燈泡a個,則購進普通白熾燈泡(120-a)個,這批燈泡的總利潤為W元,利用利潤的意義得到W=(60-45)a+(30-25)(120-a)=10a+1,再根據(jù)銷售完這批燈泡時獲利最多且不超過進貨價的30%可確定a的范圍,然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.【詳解】(1)設(shè)該商場購進LED燈泡x個,普通白熾燈泡的數(shù)量為y個.根據(jù)題意,得解得答:該商場購進LED燈泡與普通白熾燈泡的數(shù)量分別為200個和100個.(2)設(shè)該商場再次購進LED燈泡a個,這批燈泡的總利潤為W元.則購進普通白熾燈泡(120﹣a)個.根據(jù)題意得W=(60﹣45)a+(30﹣25)(120﹣a)=10a+1.∵10a+1≤[45a+25(120﹣a)]×30%,解得a≤75,∵k=10>0,∴W隨a的增大而增大,∴a=75時,W最大,最大值為1350,此時購進普通白熾燈泡(120﹣75)=45個.答:該商場再次購進LED燈泡75個,購進普通白熾燈泡45個,這批燈泡的總利潤為1350元.【點睛】本題考查了二元一次方程組和一次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)實際問題找到等量關(guān)系列方程組和建立一次函數(shù)模型,利用一次函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍解決最值問題是解題的關(guān)鍵.20、(1)40(2)126°,1(3)940名【解析】
(1)根據(jù)若A組的頻數(shù)比B組小24,且已知兩個組的百分比,據(jù)此即可求得總?cè)藬?shù),然后根據(jù)百分比的意義求得a、b的值;(2)利用360°乘以對應(yīng)的比例即可求解;(3)利用總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)的百分比即可求解.【詳解】(1)學(xué)生總數(shù)是24÷(20%﹣8%)=200(人),則a=200×8%=16,b=200×20%=40;(2)n=360×=126°.C組的人數(shù)是:200×25%=1.;(3)樣本D、E兩組的百分數(shù)的和為1﹣25%﹣20%﹣8%=47%,∴2000×47%=940(名)答估計成績優(yōu)秀的學(xué)生有940名.【點睛】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力;利用統(tǒng)計圖獲取信息時,必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖,才能作出正確的判斷和解決問題.21、(1)見解析;(2)x1=1,x2=2【解析】
(1)根據(jù)根的判別式列出關(guān)于m的不等式,求解可得;(2)取m=-2,代入原方程,然后解方程即可.【詳解】解:(1)根據(jù)題意,△=(m-1)2-4[-(2m+2)]=m2+6m+12=(m+2)2+4,∵(m+2)2+4>1,∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)當(dāng)m=-2時,由原方程得:x2-4x+2=1.整理,得(x-1)(x-2)=1,解得x1=1,x2=2.【點睛】本題主要考查根的判別式與韋達定理,一元二次方程ax2+bx+c=1(a≠1)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系:①當(dāng)△>1時,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;②當(dāng)△=1時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;③當(dāng)△<1時,方程無實數(shù)根.22、答案見解析【解析】由于AB=AC,那么∠B=∠C,而DE⊥AC,DF⊥AB可知∠BFD=∠CED=90°,又D是BC中點,可知BD=CD,利用AAS可證△BFD≌△CED,從而有DE=DF.23、.【解析】
首先判斷∠AED與∠ACB是一對同位角,然后根據(jù)已知條件推出DE∥BC,得出兩角相等.【詳解】解:∠AED=∠ACB.理由:如圖,分別標記∠1,∠2,∠3,∠1.∵∠1+∠1=180°(平角定義),∠1+∠2=180°(已知).
∴∠2=∠1.
∴EF∥AB(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).
∴∠3=∠ADE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).
∵∠3=∠B(已知),
∴∠B=∠ADE(等量代換).
∴DE∥BC(同位角相等,兩直線平行).
∴∠AED=∠ACB(兩直線平行,同位角相等).【點睛】本題重點考查平行線的性質(zhì)和判定,難度適中.24、(1)①;②;(2)150+475+475.【解析】
(1)①由條件可知AC為直徑,可知BD長度的最大值為AC的長,可求得答案;②連接AC,求得AD2+CD2,利用不等式的性質(zhì)可求得AD?CD的最大值,從而可求得四邊形ABCD面積的最大值;(2)連接AC,延長CB,過點A做AE⊥CB交CB的延長線于E,可先求得△ABC的面積,結(jié)合條件可求得∠D=45°,且A、C、D三點共圓,作AC、CD中垂線,交點即為圓心O,當(dāng)點D與AC的距離最大時,△ACD的面積最大,AC的中垂線交圓O于點D',交AC于F,F(xiàn)D'即為所求最大值,再求得
△ACD′的面積即可.【詳解】(1)①因為∠B=∠D=90°,所以四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,AC為圓的直徑,則BD長度的最大值為AC,此時BD=,②連接AC,則AC2=AB2+BC2=a2+b2=AD2+CD2,S△ACD=ADCD≤(AD2+CD2)=(a2+b2),所以四邊形ABCD的最大面積=(a2+b2)+ab=;(2)如圖,連接AC,延長CB,過點A作AE⊥CB交CB的延長線于E,因為AB=20,∠ABE=180°-∠ABC=60°,所以AE=ABsin60°=10,EB=ABcos60°=10,S△ABC=AEBC=150,因為BC=30,所以EC=EB+BC=40,AC==10,因為∠ABC=120°,∠BAD+∠BCD=195°,所以∠D=45°,則△ACD中,∠D為定角,對邊AC為定邊,所以,A、C、D點在同一個圓上,做AC、CD中垂線,交點即為圓O,如圖,當(dāng)點D與AC的距離最大時,△ACD的面積最大,AC的中垂線交圓O于點D’,交AC于F,F(xiàn)D’即為所求最大值,連接OA、OC,∠AOC=2∠AD’C=90°,OA=OC,所以△AOC,△AOF等腰直角三角形,AO=OD’=5,OF=AF==5,D’F=5+5,S△ACD’=ACD’F=5×(5+5)=475+475,所以Smax=S△ABC+S△ACD=150+475+475.【點睛】本題為圓的綜合應(yīng)用,涉及知識點有圓周角定理、不等式的性質(zhì)、解直角三角形及轉(zhuǎn)化思想等.在(1)中注意直徑是最長的弦,在(2)中確定出四邊形ABCD面積最大時,D點的位置是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多,綜合性很強,計算量很大,難度適中.25、(Ⅰ)①y=x2+3x②當(dāng)3+6≤S≤6+2時,x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤(Ⅱ)ac≤1【解析】
(I)①由拋物線的頂點為A(-2,-3),可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2-3,代入點B的坐標即可求出a值,此問得解,②根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式,進而可求出直線l的解析式,分點P在第二象限及點P在第四象限兩種情況考慮:當(dāng)點P在第二象限時,x<0,通過分割圖形求面積法結(jié)合3+6≤S≤6+2,即可求出x的取值范圍,當(dāng)點P在第四象限時,x>0,通過分割圖形求面積法結(jié)合3+6≤S≤6+2,即可求出x的取值范圍,綜上即可得出結(jié)論,(2)由當(dāng)x=c時y=0,可得出b=-ac-1,由當(dāng)0<x<c時y>0,可得出拋物線的對稱軸x=≥c,進而可得出b≤-2ac,結(jié)合b=-ac-1即可得出ac≤1.【詳解】(I)①設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2﹣3,∵拋物線經(jīng)過點B(﹣3,0),∴0=a(﹣3+2)2﹣3,解得:a=1,∴該拋物線的解析式為y=(x+2)2﹣3=x2+3x.②設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m(k≠0),將A(﹣2,﹣3)、B(﹣3,0)代入y=kx+m
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