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關(guān)于行列式的性質(zhì)第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念
設(shè)D=稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式.a11a12…a1n
a21a22…a2n…………an1
an2…anna11
a21…an1
a12
a22
…an2…………a1n
a2n
…ann,DT==D.
定義令DT
=|bij|
n×n,則bij=aji,則DT一.行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)1.(轉(zhuǎn)置)行列互換值不變,即DT=D.證第2頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念
設(shè)D=稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式.a11a12…a1n
a21a22…a2n…………an1
an2…anna11
a21…an1
a12
a22
…an2…………a1n
a2n
…ann,DT=
定義一.行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)1.(轉(zhuǎn)置)行列互換值不變,即DT=D.注:性質(zhì)1表明關(guān)于行的性質(zhì)對(duì)列也成立.第3頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
性質(zhì)2.(換法)兩行(列)互換,行列式的值變號(hào).第4頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
推論.兩行(列)相同,行列式值為零,即第5頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
性質(zhì)3.(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k,等于用數(shù)k乘以這個(gè)行列式,即
推論.如果行列式有兩行(列)成比例,則該
行列式為零.第6頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
性質(zhì)4.(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是兩數(shù)之和,則該行列式為兩個(gè)行列式之和,即
第7頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
性質(zhì)5.(消法)將行列式的某一行(列)的各元素乘以常數(shù)加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上去,則行列式的值不變,即
第8頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
行列式性質(zhì)小結(jié)性質(zhì)2(換法)換行(列)變號(hào).推論兩行(列)同,值為零.性質(zhì)3(倍法)某行(列)乘數(shù)k,值變?yōu)閗D.推論兩行(列)成比例,值為零.性質(zhì)4(分拆)D可按某行(列)分拆成兩行列式之和.性質(zhì)5(消法)D的某行(列)乘數(shù)
k
加至另行
(列),行列式值不變.性質(zhì)1(轉(zhuǎn)置)
DT=D.第9頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
例1.計(jì)算解
通過行變換將D化為上三角行列式第10頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
小結(jié)任一行列式總可以通過行(或列)的“換法”、“倍法”、“消法”化成上(或下)三角形行列式.“三角形法”第11頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
例2.設(shè)D=a11…a1m
am1…amm
D1
=……,證明:D=D1D2.b11…
b1nbn1…
bnnD2
=,……a11…
a1m
c11…
c1n
……………………,am1
…ammcm1…
cmn0…0b11…
b1n0…0bn1…
bnn第12頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
a11…a1n
an1…ann
D1
=……,b11…
b1nbn1…
bnnD2
=,……問題c11…
c1ncn1…
cnnD3=,……d11…
d1ndn1…
dnnD4=,……a11…
a1n
c11…
c1n
……………………=an1
…anncn1…
cnn
d11…
d1nb11…
b1n
d11…
dnnbn1…
bnnD1D2
D3D4?×第13頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
討論將n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式計(jì)算的問題,即“降階”.二.行列式按行(列)展開定理定義:在n階行列式D=|aij|n×n
中,把元素aij所在的第i行和第j列的元素劃去,剩余元素構(gòu)成的n1階行列式稱為元素aij的余子式,記作Mij
.令A(yù)ij=(1)i+jMij,稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式.第14頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
第15頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
例3.在行列式中第16頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
定理1.2.n階行列式D=|aij|n×n等于它的任意一行(列)的所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即注2.可作為行列式的等價(jià)定義注1.將行列式“降階”Laplace行列式按行(列)展開定理第17頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
證第18頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
推論.n階行列式D=|aij|n×n中,有第19頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
證由降階法,將G
按第j
行展開有第
i行第j行設(shè)第20頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
(未寫出的元素都是0).例4.計(jì)算2n階行列式D2n=a
ba
bc
dc
d…………第21頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
解:D2n==a............aabb0cc0dd00d
...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d
...…0bb00cc0….........……第22頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
=a............aabb0cc0dd00d
...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)
bcD2(n1)=(ad
bc)D2(n1)=(ad
bc)2D2(n2)=(ad
bc)3D2(n3)=…=(ad
bc)n1
D2=(ad
bc)n.小結(jié)當(dāng)行列式的某一行(或列)含有較多的零,可考慮使用行列式的按行(列)展開定理,
達(dá)到“降階”的目的.第23頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
1.定義法—利用n階行列式的定義計(jì)算;2.三角形法—利用性質(zhì)化為三角形行列式來
計(jì)算;3.降階法—利用行列式的按行(列)展開定理
對(duì)行列式進(jìn)行降階計(jì)算;4.遞推公式法;5.析因法;6.歸納法;7.加邊法(升階法);n階行列式的計(jì)算方法總結(jié)第24頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
例5.計(jì)算
n
階行列式(行和為常數(shù))第25頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
解第26頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
第27頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
例6.計(jì)算n階行列式Dn=
a111…11a2
1a3
1an(其中a1a2…an
0).
該條件不成立呢?(傘形行列式)第28頁,共34頁,2024年2月25日,星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)
例7.計(jì)算n階行列式Dn=21
121121.
12112(三對(duì)
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